Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
гретым до температуры Т. Какое давление Р устанавливается при этом в сосу-
Р
0
k
Р
0
Р
0
Р
Р
дах?
В04. В горизонтально закреплённой открытой с торцов трубе сечения S =
16 см2 находятся два поршня. В исходном состоянии левый поршень соединён
недеформированной пружиной жёсткостью k = 103 Н/м со стенкой, давление
газа во всей трубе равно атмосферному Р0 = 105 Па, расстояние между поршнями ℓ = 5 см, правый поршень находится на расстоянии ℓ = 5 см от правого края трубы (рисунок
33). Правый поршень медленно вытянули до края
ℓ
ℓ
трубы. Какую силу F надо приложить к этому
Рисунок 33
поршню, чтобы удерживать его в таком положении? Температуру газа считать постоянной. Трением пренебречь.
В05. Воздушный шар с нерастяжимой оболочкой массой m = 0,3 кг наполнен гелием при температуре Т1 = 300 К и давлении Р1 = 1,2⋅105 Па. Объём шара
V = 1 м3. Определите высоту, на которой шар будет находиться во взвешенном
состоянии (шар свободно плавает в воздухе), если при подъёме на каждые ℓ =
100 м высоты атмосферное давление падает на ∆Р = 1,33⋅103 Па, а температура
понижается на ∆Т = 0,54 К. Атмосферное давление и температура воздуха у поверхности Земли равны соответственно Р0 = 1,01⋅105 Па и Т0 = 300 К, молярные
массы воздуха µв = 29 г/моль и гелия µг = 4 г/моль. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
ℓ
ℓ
В06. В цилиндрической трубе на расстояниях ℓ и 2ℓ
от закрытого торца находятся два поршня, которые могут
перемещаться без трения (рисунок 34). В левом отсеке
Рисунок 34
находится воздух при давлении Р, а в правом пары воды при том же давлении.
Давление насыщенных паров воды равно 2Р. Правый поршень медленно вдвинули на расстояние а, при этом температура воздуха и паров воды оставалась
постоянной. Определите, насколько сдвинется левый поршень.
В07. В баллоне, рассчитанном на максимальное давление 150 атм, может
содержаться 2 кг кислорода. Какую массу водорода можно хранить в баллоне
81
при этом давлении? Молярная масса кислорода равна 32 г/моль, водорода −
r
ω
ℓ
2 г/моль.
В08. Газ, занимающий объём 10-3 м3 при нормальном атмосферном давлении, расширился изотермически до объёма 2 л. При этом же объёме его давление было уменьшено в 2 раза. Затем газ расширился при постоянном давлении
до объёма 4 л. Начертите график зависимости Р-V и, используя его, установите
при каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу. Как
изменилась температура?
В09. В закрытом с обоих торцов цилиндре объёмом V =
1,2 л находится воздух при давлении Р0 = 100 кПа, который
разделён на две одинаковые половины тонким поршнем массы m = 0,1 кг. Длина цилиндра 2ℓ = 0,4 м. Цилиндр привели
Рисунок 35
во вращение с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину (см. рисунок 35). Найти ω, если поршень оказался на расстоя-
нии r = 0,1 м от оси вращения. Трения нет. Температура постоянна.
В10. 2 моля гелия и 3 моля водорода закачали в баллон ёмкостью 3 л при
температуре 300 К. Вычислить давление смеси газов.
В11. В первом сосуде находится гелий при давлении 15 кПа, во втором −
кислород при давлении 13 кПа. Температура газов одинаковая. Гелий перекачали во второй сосуд. Найти давление смеси, если объёмы сосудов относятся
V1/V2 = 1:3.
В12. Сколько молей одноатомного газа можно нагреть на 5 К, подведя к
нему 41,5 Дж теплоты? Давление газа постоянно.
В13. В процессе изобарического нагревания гелия, к нему подвели 300 Дж
тепла. Определить работу, совершённую этим газом.
В14. При уменьшении объёма газа в 2 раза давление увеличилось на
120 кПа и абсолютная температура возросла на 10 %. Каким было первоначальное давление?
В15. Аэростат наполнен водородом при температуре 15 0С. Под влиянием
солнечной радиации его температура поднялась до 37 0С. При этом часть газа
82
вышла в атмосферу, вследствие чего масса аэростата уменьшилась на 6 кг. Оп-
V
2V
V
0
0,5Р
2
1
0
ределить объём аэростата. Атмосферное давление 100 кПа.
В16. Баллон массой m = 1 кг объёмом V = 1 л заполнен азотом так, что при
температуре t = 20 0С давление в баллоне Р = 1 атм. С какой скоростью стал бы
двигаться баллон, если бы удалось упорядочить хаотическое тепловое движение так, чтобы все молекулы двигались в одну сторону?
В17. Колба объёмом 100 см3 заполнена воздухом с относительной влажностью 40 % при температуре 100 0С. Как надо увеличить объём колбы, чтобы
при понижении температуры до 20 0С пар не конденсировался?
В18. Под колоколом насоса находится стакан, содержащий 200 г воды. Насос откачивает воздух из-под колокола со скоростью 50 л/мин. Через какое
время вся вода испарится, если установившаяся температура воды равна 7 0С?
В19. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т, когда
азот полностью диссоциировал (распался) на атомы, а диссоциацией водорода
ещё можно пренебречь, давление в сосуде равно Р. При температуре 2Т, когда
оба газа полностью диссоциировали, давление в сосуде стало равно 3Р. Найти
отношение числа атомов азота и водорода в смеси.
С01. В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится некоторое
количество идеального газа. Газ медленно сжимается
Р
поршнем и переводится из состояния 1 с давлением
Р
0
0,5Р0, объёмом 2V0 и температурой Т0 в состояние 2 с
давлением P0 объёмом V0. Какой наибольшей температуры достигает газ при этом процессе, если на Р-V
диаграмме процесс изображается прямолинейным от-
Рисунок 36
резком (рисунок 36).
С02. Газ, занимающий при температуре 127 0С и давлении 105 Па объём
2 л, изотермически сжимают до объёма V2 и давления Р2, затем изобарически
охлаждают до температуры −73 0С, после чего изотермически изменяют объём
до 1 л. Найдите конечное давление Р4. Решить задачу графически, построив графики в координатах P-V, P-T, V-T.
83
Примеры решения задач
ρ
10
18
⋅
ρ
10
18
⋅
V
V
ν
ρ
10
18
⋅
1. В стакан налито V = 200 мл воды. Найдите число молей воды, количе-
ство и концентрацию молекул, массу молекулы. Молярная масса воды равна
µ = 18 г/моль.
Дано: V=200⋅10−6 м3; µ=18⋅10−3 кг/моль; ρ=103 кг/м3; NA=6,02⋅1023 моль−1.
ν −? N −? n −? m1 −?
Решение. Число молей ν (количество вещества) равно отношению массы
воды m к ее молярной массе µ. Учитывая, что масса равна m = ρV, имеем:
63
=ν
µ
=
µ
Vm
=
−
1020010
⋅⋅
−
= 11,1 моль.
3
Число молекул воды N найдем, исходя из того, что в одном моле содер-
жится число молекул, равное числу Авогадро NA, согласно выражению:
2363
1002,61020010
⋅⋅⋅⋅
= 6,7⋅1024.
N = νNA =
m
µ
NA =
V
µ
NA =
−
3
−
Концентрация молекул n равна числу молекул, содержащихся в единице
объема:
233
1002,610
⋅⋅
−
= 3,3⋅1028 м−3.
3
n =
N
=
N
mN
A
=
A
V
µ
=
N
µ
A
=
Массу молекулы воды m1 можно определить, разделив массу воды на число содержащихся в ней молекул, используя одно из приведённых ниже соотношений:
84
µ=ρ
µ
3
−
1018⋅⋅
= 3,0⋅10
23
1002,6
−26
кг.
m1 =
m
= . m1 =
NnN
A
N
=
A
2. Со дна водоёма поднимается пузырёк воздуха. У поверхности его диа-
метр оказывается в 1,3 раза большим, чем у дна. Найдите глубину водоёма, если атмосферное давление равно 750 мм рт. ст., а температура воды на поверхности водоёма на 5 градусов выше температуры на дне, равной t1 = 4 0C. Плотности воды ρв = 1 г/см3, ρр = 13,6 г/см3. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
Дано: d2=1,3 d1; ρв=103 кг/м3; ρр=13,6⋅103 кг/м3; Т1=277 К; Т2=282 К;
g=9,8 м/с2; Р0=0,75 м рт. ст.
Н −?
Решение. Давление Р воздуха в пузырьке на дне водоёма равно давлению,
оказываемому на пузырёк со стороны окружающей среды и определяемому как
сумма атмосферного Р0 и гидростатического Рг давлений:
Р = Р0 + Р
г
.
Гидростатическое давление (давление столба жидкости) зависит от глубины погружения Н и рассчитывается по формуле Рг = ρвgH. Следовательно,
давление воздуха в пузырьке на дне водоёма
Р
= Р0 + ρвgH,
1
где Н – глубина водоёма.
А давление воздуха в пузырьке на поверхности равно Р2 = Р0, так как на поверхности водоема Н = 0. Атмосферное давление равно
85
Р
6
6
(
)
(
)
ρ
ρ
= ρрgh,
0
где h – высота столбика ртути.
При подъёме пузырька со дна водоёма термодинамические параметры
воздуха в нём удовлетворяют объединённому газовому закону:
VP
T
22
2
= .
T
VP
11
1
Учитывая, что
V1 =
1
3
πd
и V2 =
1
1
3
πd
,
2
где d1 и d2 − диаметры пузырька воздуха на дне и у поверхности, получаем:
3
dgHP πρ+
1в0
=
T6
1
3
d3,1P π
10
.
T6
2
Решая это уравнение относительно Н, находим:
Н =
( )
Т
3
1
3,1
Т
2
Р
1
− =
ρ
в
0
( )
g
Т
3
1
3,1
− =
Т
2
gh
p
1
g
ρ
в
( )
Т
3
1
3,1
− =
Т
2
h
p
1
ρ
в
3
=
( )
277
3
3,1
282
1
− = 11,8 м.
10
75,0106,13
⋅⋅
3
3. В сосуд с ртутью опустили стеклянную капиллярную трубку. Разность
уровней ртути в сосуде и капилляре равна h = 7,5 мм. Считая несмачивание
полным (краевой угол ϕ = 1800), определите радиус R кривизны ртутного мениска в капилляре. Плотность ртути ρ = 13,6 г/см3, ее коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,5 Н/м. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
86
Дано: h = 7,5⋅10−3 м; ρ = 13,6⋅103 кг/м3; σ = 0,5 Н/м; g = 9,8 м/с2.
R
σ
R
σ
σ
⋅
d4R2σ=σ
R −?
Решение. Давление Лапласа, вызванное кривизной мениска ртути, равно:
2
Р =
,
где R – радиус кривизны мениска в капилляре.
Так как ртуть не смачивает стекло, то она в трубке опускается на такую
высоту h, когда гидростатическое давление, равное ρgh, будет уравновешено
давлением Лапласа:
2
= ρgh,
откуда находим
R =
2
=
gh
ρ
5,02
= 10−3 м = 1 мм.
33
−
105,78,9106,13
⋅⋅⋅⋅
При полном несмачивании радиус R кривизны мениска совпадает с ра-
диусом капиллярной трубки. Значит, радиус капилляра 1 мм.
Примечание. Используя приём решения этой задачи, можно выяснить ус-
ловия, при которых можно носить воду в решете. Допустим, решето имеет систему отверстий диаметром (размером) d = 1 мм. Если вода (σ = 0,07 Н/м) не
смачивает материал решета, то вода в решете будет удерживаться на уровне h,
определяемом условием:
откуда
= ρgh,
87
h =
σ
⋅
вылить через край решета, так как при наклоне решета уровень превысит
R
σ
4
=
gd
ρ
07,04
= 0,03 м = 3 см.
33
−
108,910
⋅⋅
Таким образом, если в такое решето налить воду, то вода может удерживаться
на максимальном уровне h = 3 см от дна. Причём эту воду из решета не удастся
h = 3 см, и вода будет выливаться сквозь отверстия.
4. Найдите значение избыточного давления внутри мыльного пузыря
радиусом R = 0,5 см. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора σ = 0,04 Н/м.
Дано: R = 0,5⋅10−2 м; σ = 0,04 Н/м.
Р
избыт
−?
Решение. Давление Р внутри мыльного пузыря равно:
где Р0 – атмосферное давление;
Р
– избыточное давление, создаваемое искривленным поверхно-
избыт
стным слоем мыльной воды.
Избыточное давление Р
Р = Р0 + Р
равно удвоенному давлению Лапласа:
избыт
избыт
,
Р
избыт
= 2⋅
,
множитель 2 перед дробью (давлением Лапласа) поставлен потому, что мыльный пузырь имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю.
Итак,
2
88
Р
R
σ
⋅
R
σ
0
1
V2
V
2
избыт
= 2⋅
2
= 2⋅
04,02
= 32 Па.
2
−
105,0
⋅
Значение Р
пании воды при малых R, например, в пузырьках воздуха в воде давление Р
обратно пропорционально радиусу R пузырька. При заки-
избыт
избыт
может быть сравнимо с атмосферным давлением. Правда в этом случае поверх-
2
ность пузырька одинарная, и Р
избыт =
.
5. С азотом произошел процесс, изображенный на рисунке в координатах
P-V. Определите температуру газа Т в этом процессе,
когда его объем равен V = 1,1 л, если масса азота рав-
P
P
1
на m = 0,56 г; Р1 = 100 кПа; V1 = 0,5 л; Р2 = 40 кПа; V2 =
P
1,5 л. Молярная масса азота равна µ = 28 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
V
Дано: Р1 = 100⋅103 Па; V1 = 0,5⋅10−3 м3; Р2 = 40⋅103 Па; V2 = 1,5⋅10−3 м3;
µ = 28⋅10−3 кг/моль; V = 1,1⋅10−3 м3; R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
Т −?
Решение. Процесс, происходящий с газом (см. рисунок), можно выразить
уравнением:
где Р0 – значение давления при нулевом объёме;
α − угловой коэффициент в зависимости P(V).
Запишем это уравнение процесса для состояний 1 и 2:
P = P0 − αV,
P1 = P0 − αV1, P2 = P0 − αV2.
89
Из этих уравнений выразим постоянные α и Р0:
−
−
mR
µ
mR
µ
mR
µ
mR
µ
−
mR
µ
−
−
mR
µ
−
α =
21
; Р0 = Р1 +
VVРР−
12
21
⋅V1.
VVРР−
12
Для промежуточного состояния запишем уравнение процесса и уравнение
Клапейрона-Менделеева:
m
P = P0 − αV, PV =
RT.
µ
Из этих уравнений с учетом выражений для α и Р0 найдём искомую температуру Т:
Т =
V
=
⋅(Р1 +
PV
=
V
VVРР−
21
⋅V1 −
12
⋅Р =
V
⋅(P0 − αV) =
21
⋅V) =
VVРР−
12
V
V
⋅(Р1 +
⋅(Р1 +
21
⋅V1 − αV) =
VVРР−
12
21
⋅(V1 − V) =
VVРР−
12
=
−−
33
⋅⋅⋅
1028101,1
3
⋅⋅
31,81056,0
3
+⋅⋅
10100
33
⋅−⋅
104010100
⋅−⋅
105,0105,1
( )
−−−
33
⋅−⋅⋅
101,1105,0
−−
33
=
= 424 К.
6. Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой 400 кг запол-
нен гелием. Он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17 0С, а давление 105 Па, груз массой 225 кг. Какова масса гелия в оболочке
шара? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению
объёма шара.
Дано: Т = 290 К; Р = 105 Па; µВ = 29 г/моль; µ
М = 225 кг; М
= 400 кг.
об
= 4 г/моль;
Не
mНе = ?
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]