Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
В06. Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого 1 см,
локи радиусом 10 см равномерно заряжено зарядом
А
В
R
E
1
E2
имеет ёмкость 20 пФ. В пространство между обкладками вдвигается металлическая пластинка толщиной 2 мм. Определите ёмкость получившегося конденсатора. Рассмотреть два случая: 1) пластинка вдвигается посередине обкладок
конденсатора; 2) пластинка вдвигается вплотную к одной из обкладок.
В07. В однородном электростатическом поле с напряжённостью Е, силовые линии которого направлены вертикально вверх, может вращаться в вертикальной плоскости шарик массой m с зарядом +q на нити длиной ℓ. Какую горизонтальную скорость v надо сообщить шарику в верхнем положении, чтобы
сила натяжения нити в нижнем положении в n = 10 раз превосходила силу тяжести шарика?
В08. Два конденсатора ёмкостью 10
-10
Ф и 2⋅10
-10
Ф соединены последова-
тельно и заряжены до разности потенциалов 600 В. Конденсаторы, не разряжая,
разъединяют и соединяют параллельно. Найти изменение заряда на каждом
конденсаторе и разность потенциалов, которая установится при параллельном
соединении.
В09. В изображенной на рисунке 43 схеме найти разность потенциалов между точками А и В (ϕА − ϕВ), если Е1 =
6 В, Е2 = 3 В, С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ. До подключения кон-
С
1
Рисунок 43
С
2
денсаторов к источникам они были незаряженными.
В10. Шарик массой m с зарядом q может вращаться в вертикальной плоскости на нити длиной ℓ. В центре вращения находится второй шарик с зарядом,
равным по значению и знаку заряду вращающегося шарика. Какую минимальную скорость v надо сообщить шарику в нижнем положении, чтобы он смог
сделать полный оборот?
В11. Два металлических шарика радиусами R1 = 5 см и R2 = 10 см имеют
заряды Q1 = 40 нКл и Q2 = −20 нКл соответственно. Найти энергию W, которая
выделится при разряде, если шары соединить проводником.
В12. Кольцо из прово
5 нКл. Найдите напряжённость электрического поля на оси кольца в точках, от-
121
стоящих от центра кольца на 0, 5, 8, 10, 15 см. Начертите график зависимости
напряжённости поля от расстояния от центра кольца.
В13. Два плоских конденсатора с ёмкостями С1 и С2, обладающих зарядами q1 и q2, включают в замкнутую цепь так, что положительно заряженная пластина одного конденсатора соединяется с отрицательно заряженной пластиной
другого. Определите заряд каждого конденсатора в этом случае.
В14. Металлический шар радиусом R помещён в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и плотностью ρ2. Плотность материала, из
которого изготовлен шар, равна ρ1. Чему равен заряд шара, если в однородном
электрическом поле, направленном вертикально вверх, шар оказался взвешен-
ным в жидкости? Электрическое поле создается двумя параллельными пластинами, расстояние между которыми d, а разность потенциалов U.
В15. Две проводящие сферы диаметрами 5 мм и 2,5 мм соединены непроводящей пружиной жёсткостью 100 Н/м, длиной 10 см. Одной из сфер сообщают заряд Q. Затем сферы соединяют тонким проводником. Расстояние между
сферами становится равным 10,5 см. Найти заряд Q, если до сообщения этого
заряда сила натяжения пружины была равна нулю.
В16. Четыре одинаковых точечных заряда по 4·10-6 Кл помещены в вершинах квадрата. Какой пятый заряд нужно поместить в центр квадрата, чтобы
вся система находилась в равновесии.
В17. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом
расстоянии от каждой пластины и имея скорость 104 км/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами 2 см, длина каждой пластины 10 см. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к
пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?
В18. 2 одинаково заряженных шарика массами m = 10 г подвешены на нитях к одной точке. Длина каждой нити 1 м. В точке подвеса находится третий
шарик, заряженный так же, как и два первых. Вычислить заряд каждого шарика
и силу натяжения нитей, если угол расхождения нитей в положении равновесия
равен 600.
122
В19. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между обкладками
1
2
С
2
d = 2 мм зарядили от источника ЭДС, равной 30 В. Затем конденсатор отклю-
чили от источника и внутрь его ввели пластину диэлектрика толщиной 2 мм с
диэлектрической проницаемостью 5. Определить величину напряжённости поля внутри конденсатора. Решить ту же задачу для случая, когда в конденсатор
вводят пластину, а затем подключают источник.
В20. Найти количество теплоты Q, выделившееся в
проводах при соединении верхних незаземлённых обкла-
U
1
С
U
док конденсаторов с ёмкостями С1 = 2 мкФ и С2 =
0,5 мкФ (рисунок 44). Разности потенциалов между
верхними и заземлёнными нижними обкладками равны
U1 = 100 В для первого конденсатора и U2 = −50 В для
Рисунок 44
второго конденсатора.
В21. На конце расположенной вертикально невесомой пружины с коэффициентом упругости 0,004 Н/м подвешен шарик массой 0,03 г и зарядом 1 мкКл.
Определить величину растяжения пружины в горизонтальном электрическом
поле напряженностью 400 В/м, а также угол, образованный с вертикалью.
В22. В точках А и В, находящихся на расстоянии 10 см друг от друга, расположены разноимённые одинаковые по величине точечные заряды. Напряжённость электрического поля посередине между зарядами равна 18 кВ/м. Определить напряжённость электрического поля в точке, отстоящей от А на 2 см и
от В на 8 см.
В23. 4 электрона помещены в вершинах квадрата со стороной 8 см. Определить максимальное значение скорости, которую будет иметь один из электронов, если ему предоставить возможность свободно двигаться. Система находится в вакууме.
С01. Конденсатор ёмкости С1 заряжают от батареи с ЭДС Е и подключают
к незаряженному конденсатору ёмкости С2. Затем конденсатор С2 отсоединяют
от конденсатора С1 и вновь подсоединяют, но при этом соединяют разноимённо
заряженные пластины. Определите разность потенциалов на конденсаторах.
123
С02. Найти ёмкость батареи конденсаторов,
U
−
+
4
3
В
А
2
С
6
5
4
3
1
U
−
+
С
∅
∅
изображённой на рисунке 45, если ёмкость каждого
конденсатора равна С.
С03. Три одинаковых точечных заряда, каждый
величиной q = 10-6 Кл, расположены в вакууме в вер-
Рисунок 45
шинах правильного треугольника и связаны нерастяжимыми нитями длиной по
ℓ = 0,5 м. Система вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести,
перпендикулярно плоскости треугольника с угловой скоростью ω=20 рад/с.
Найти натяжение нити Т, если масса каждого заряженного тела m = 10 г. Массой нити пренебречь.
С
С04. Определить разность потенциалов между точками
А и В в схеме, приведённой на рисунке 46.
С
С
С05. Одной из пластин плоского конденсатора емкостью С сообщили заряд +Q, другой +4Q. Найти разность потенциалов между пластинами конденсатора.
С06. Во сколько раз увеличится ёмкость плоского кон-
Рисунок 46
денсатора, если в пространство между обкладками ввести, параллельно им, металлическую пластинку, толщина которой в 5 раз меньше расстояния между
обкладками?
С07. Три одинаковых маленьких шарика массами 0,1 г каждый подвешены
в одной точке на шёлковых нитях длиной 20 см. Какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составляла с вертикалью угол 300?
С08. Конденсатор 1 ёмкости С, заряжен-
2
ный до разности потенциалов U, подсоединяют
к батарее, составленной из пяти конденсаторов
ёмкости С каждый (рисунок 47). Найти заряд на
каждом конденсаторе.
Рисунок 47
С09. Пучок электронов, имеющих кинетическую энергию Т = 10 кэВ, влетает в плоский конденсатор по средней линии. Напряжение на конденсаторе
124
U = 40 В, расстояние между пластинами d = 1 см, их длина ℓ = 10 см. На рас-
ℓ
2
ℓ
1
r
стоянии S =20 см от края пластин находится экран. Начальная скорость электронов параллельна пластинам. Найти смещение х на экране.
С10. В нижней точке сферической поверхности закреплён заряд q. Шарик
массой m, имеющий заряд Q, находится на внутренней поверхности сферы.
Определите, на какой высоте находится этот шарик. Сфера радиуса R выполнена из диэлектрического материала. Трением пренебречь.
С11. Разноимённые точечные заряды q и −q нахо-
-q
дятся на расстоянии ℓ1 и ℓ2 от заземлённой металлической сферы малого радиуса r (рисунок 48). Найти силу,
с которой заряды действуют на сферу. Угол с вершиной
в центре сферы, образованный прямыми линиями, про-
q
Рисунок 48
ведёнными через заряды, равен 900.
С12. Два металлических шара с одинаковыми зарядами q расположены на
расстоянии ℓ друг от друга. Первый шар заземляют, а затем удаляют заземляющий проводник. Затем такую же процедуру совершают со вторым шаром.
Каково отношение зарядов на шарах после их заземления? Радиусы шаров r
много меньше ℓ. Оба шара находятся на очень большом расстоянии от Земли.
Примеры решения задач
1. На шёлковых нитях длиной ℓ = 50 см подвешены в одной точке в воздухе два одинаково заряженных шарика массами m = 0,8 г каждый. Сколько
избыточных электронов надо сообщить каждому шарику, чтобы нити подвеса
шариков разошлись на угол α = 600? Диэлектрическая проницаемость воздуха
ε = 1.
Дано: ℓ = 0,5 м; m = 0,8⋅10−3 кг; е = 1,6⋅10
g = 9,8 м/с2; ε = 1; ε0 = 8,85⋅10
−12
−19
Кл;
Ф/м; α = 600.
N−?
125
Решение. На каждый шарик действуют силы: mg − сила тяжести, Т − сила
2
r
2
0
х
у
2
α
α
gТ
э
ℓ
натяжения нити, FЭ − сила электрического (кулоновского) отталкивания шариков. Так как шарики находятся в равновесии, то условие равновесия любого из
шариков записывается в виде:
mg + T + FЭ = 0,
т.е. векторная сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. Распишем это
векторное уравнение в проекциях по осям координат 0х, 0y:
FЭ − Т2sinα = 0; T2cosα − mg = 0,
или
Т
sinα = FЭ; T2cosα = mg.
Поделив почленно уравнения в последней
системе, друг на друга, имеем:
F
Э
mg
α
, или FЭ = mg2tgα.
tg
=
2
В последнее уравнение подставим выражение для FЭ, следующее из закона Кулона:
2
FЭ =
41πεε
q
, где r = 2ℓ2sinα ,
2
0
F
r
m
т.е.
Итак,
Fэ =
πεε l
0
126
2
q
.
α
22
sin16
2
2
2
e
2
α
2
⋅
30
sin
πεε
q
= mg2tgα.
α
22
sinl16
0
Fэ =
Заряд каждого шарика q складывается из зарядов избыточных электронов,
так как создается их совокупностью, т.е. q = Ne, где N – число избыточных
электронов. Подстановка выражения для q в предыдущее уравнение дает:
22
eN
= mg2tgα,
α
22
πεε l
sin16
0
откуда находим
N =
4l
sin
mgtg
πεε =
0
α
=
5,04
19-
106,1
⋅
0
−−
0312
30tg8,9108,01085,81 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅π
= 2,21⋅1012.
2. Четыре конденсатора С1 = 3 пФ, С2 = 7 пФ, С3 = 6 пФ и С4 = 4 пФ со-
единены по схеме, приведённой на рисунке и подключены к источнику напряжения с ЭДС Е = 1 000 В. Определите показания вольтметра, подключенного
между точками А и В схемы.
Дано: С1 = 3 пФ; С2 = 7 пФ; С3 = 6 пФ; С4 = 4 пФ; Е = 1 000 В.
UV −?
Решение. Напряжение U, поданное на схему (между точками 1 и 2), равно
ЭДС источника, т.е.
U = U12 = E = 1 000 В.
127
Рассмотрим участок цепи, состоящий из последовательно соединенных
Е
А В 1 2
+
−
V
конденсаторов С1 и С2, к которой приложено напряжение U12 = U. При последовательном соединении конденсаторов заряды их одинаковы и равны заряду
системы из С1 и С2:
q1 = q2 = q12.
Электроёмкость С12 цепи из
двух последовательно соединённых
конденсаторов С1 и С2 найдём из известного соотношения для ёмкости
батареи конденсаторов при последовательном соединении:
1
1
1
+= , ⇒ С12 =
С
С
С
2112
С
С
С
С
2
4
1
3
21
.
СССС+
21
Теперь найдём заряд, ушедший из источника в систему из конденсаторов
С
и С2:
1
q12 = C12U12 = C12U =
21
U.
СССС+
21
Определим напряжение U1 на конденсаторе С1:
U1 =
q
C
q
1
1
=
C
12
1
=
C
1
1
21
U =
СССС+
21
2
U.
ССС+
21
Повторяя приведённые выше рассуждения для цепи, состоящей из последовательно соединённых конденсаторов С3 и С4, можно найти напряжение на
конденсаторе С3:
128
U3 =
4
U.
ССС+
43
Напряжение U3 есть разность потенциалов ϕ1 − ϕВ (см. рисунок):
U3 = ϕ1 − ϕВ,
и, соответственно,
U1 = ϕ1 − ϕА.
Вычитая почленно два последних уравнения, имеем:
U3 − U1 = ϕА − ϕВ.
Но (ϕА − ϕВ) – есть разность потенциалов (напряжение) между точками А и В и
будет равно показанию вольтметра, подключённого между этими точками:
UV = UAB = ϕА − ϕВ = U3 − U1 =
4
U −
ССС+
43
2
ССС+
U =
21
=U
С
4
+
СС
43
С
−
2
= 1 000
+
СС
21
4
+ 73
46
7
−
= − 300 В.
+
Знак ″−″ указывает на то, что ϕА − ϕВ < 0, т.е. ϕА < ϕВ.
Теперь исследуем случай, когда показание вольтметра будет нулевое, т.е.
когда
UV = ϕА − ϕВ = U
С
4
+
СС
43
С
−
2
= 0.
+
СС
21
Поскольку U ≠ 0, то должно быть:
129
4
−
ССС+
43
2
= 0, или
ССС+
21
4
=
ССС+
43
2
ССС+
, или
21
Последнее равенство выполняется при выполнении условия:
С
С
1
3
1
+
4
1
=
С
С
.
1
1
+
2
С
С
3
= .
4
С
С
1
2
Эту пропорцию можно привести к виду
1
= .
3
С
С
2
4
С
С
Таким образом, при выполнении соотношений между емкостями приведенной схемы:
С
С
С
1
3
2
= , или
С
4
С
С
3
= ,
4
С
С
1
2
будет ϕА − ϕВ = 0, т.е. ϕА = ϕВ.
В этом случае:
- показания вольтметра, подключённого между точками А и В будут ну-
левыми, т.е. UV = ϕА − ϕВ = 0;
- подключение между точками А и В приведённой схемы конденсатора
любой ёмкости (также любого резистора) или наличие между этими точками
разрыва или перемычки (шунта) никак не повлияет на распределение зарядов и
напряжений на конденсаторах С1, С2, С3 и С4;
- полученные результаты можно использовать при расчёте подобных
схем.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]