Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
Отметим, что
t
∂
dt
t
∂
x
∂
dt
t
∂
x
∂
t
∂
∂
t
∂
z
∂
t
∂
t
∂
x
∂
∂
z
∂
f
характеризует быстроту изменения f при x = const, y =
∂
const, z = const, т.е. при зафиксированной точке. Величина же
характеризует
быстроту изменения f с учётом изменения x, y, z, т.е. действительно полную
df
быстроту, в отличие от
f
∂
,
f
и т.д., где часть переменных зафиксирована,
∂
т.е. не меняется.
Отметим ещё один момент. Если имеется некоторая функция f(x, y, z, t),
то величина
df =
df
⋅dt =
∂
f
⋅dt +
f
x
dt +
∂
∂
y
dt +
yf∂
∂
f
z
dt =
∂
∂
=
f
⋅dt +
∂
∂
f
⋅dx +
⋅dy +
yf∂
f
⋅dz
∂
называется полным дифференциалом от функции f. Слагаемые в правой части
уравнения называются частными дифференциалами от f.
То, что сказано про производную и дифференциал скалярной функции
f(x), вполне применимо и к векторной функции u = u(ϕ), где ϕ − некоторый
скаляр (см. п.1, п.2, п.3 данного пособия, например, u – радиус-вектор, ϕ − время). Это следует из того, что вместо функции u = u(ϕ) мы можем всегда рассматривать uх(ϕ), uу(ϕ), uz(ϕ), а тогда при зафиксированных ортах i, j, k имеем:
du
ϕd
=
d
(uх⋅i + uу⋅j + uz⋅k).
ϕd
7 Интеграл
Интегрированием называют математическую операцию, ″обратную″
дифференцированию (взятию производной). При интегрировании находят первообразную функцию – такую функцию, производная которой равна данной
261
функции. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функ-
(
)
(
)
+
1
n
x
()(
)
(
)
a
k
k
ции f(x), если функция F(x) дифференцируема и F′(x) = f(x). Данная функция
f(x) может иметь различные первообразные функции, отличающиеся друг от
друга на постоянные слагаемые. Поэтому совокупность всех первообразных
функций для данной функции f(x) содержится в выражении F(x) + C, которое
называют неопределённым интегралом от этой функции f(x) и обозначается
символом:
,
dxxf
∫
где ∫ − называется знаком интеграла;
f(x) – подынтегральной функцией;
f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом,
где С = const.
Неопределённые интегралы некоторых функций (A, C, k, a = const):
∫
=⋅ Cdx0
∫
=
dxx
∫
где n ≠ −1
+= Cаxаdx
1
= F(x) + C,
∫
dx
= ln |x| + C
∫
∫ ∫
+
1nn
+
Cx
,
∫ ∫ ∫
=
dxe + C
∫
dxxf
∫
+= CdxхUAdxхAU
+=+ VdxUdxdxVU
1
axax
e
∫
kxdxsin
∫
kxdxcos
∫
1
+−= Cxcosxdxsin
+= Cxsinxdxcos
1
+−= Ckxcos
+= Ckxsin
Пусть в интервале (а, в) изменения аргумента х определена непрерывная
функция f(x). Разобьём интервал (а, в) на элементарные отрезки ∆х1, ∆х2, ... ∆хn.
Составим сумму:
262
n
1
i
0
х
а в
0
х
а
в
S
∆⋅
∑
=
x)x(f
где каждое слагаемое f(xi)⋅∆xi представляет собой площадь прямоугольника со сторонами f(xi) и ∆xi (см. рисунок В.10).
Выражение
,
ii
n
∑
→∆
0x
i
∞→
n
=
1i
∆⋅
в
x)x(flim
=
ii
∫
а
dx)x(f
называется определённым интегралом от этой функции f(x).
в
Геометрический смысл определённого интеграла (рисунок В.11):
∫
а
dx)x(f
− определённый интеграл равен площади S криволинейной трапеции (площади
фигуры под графиком функции f(x) при изменении аргумента х в интервале (а,
в)).
f(x)
f(xi)
f(x)
z
f(а)
х
i
х
+∆x
i
i
Рисунок В.10
Рисунок В.11
Нужно отметить, что
в
∫
а
dx)x(f = F(в) − F(а),
263
т.е. значение определённого интеграла от подынтегральной функции f(x) равно
а
разности значений первообразной функции F(x) при значениях х = в и х = а, соответственно.
Например,
в
∫
а
xdxcos =
в
xsin = sinв − sinа.
Для определённых интегралов справедливы правила интегрирования,
аналогичные соответствующим правилам для неопределённых интегралов.
Можно говорить и об интеграле от функции многих переменных, т.е. от
функции f(x, y, z, t). При этом в интересующих нас случаях это интегралы типа
r
2
∫
r
1
()
d
=
rrf
zyx
222
( ) ( ) ( )
[ ]
∫
zyx
111
++
zyx
.
dzzyxfdyzyxfdxzyxf ,,,,,,
Можно показать, что если величина
fxdx + fydy + fzdz
есть полный дифференциал от некоторой функции F(x, y, z), т.е. если
fxdx + fydy + fzdz = dF,
то значение интеграла
r
2
( )
∫
r
1
++
zyx
dzfdyfdxf
=
r
2
dF
∫
r
1
может быть выражено как разность функции F(x, y, z) на границах интегрирования, т.е.
264
r
2
∫
r
1
()
d
r
2
=
rrf
= F(r2) − F(r1).
dF
∫
r
1
Принято говорить, что в данном случае результат интегрирования не зависит от
пути интегрирования между точками 1 и 2.
Если же f такова, что
fxdx + fydy + fzdz ≠ dF,
то результат интегрирования зависит от пути интегрирования. Это обычно (но
не всегда!) означает, что f есть функция не только от x, y, z, но и от каких-то
других переменных (например, от vx, vy, vz, t и т.д).
Именно поэтому элементарная работа F(r, v, t)dr не является полным
дифференциалом, т.е. F(r, v, t)dr ≠ dA. Это значит, величина работы зависит от
формы траектории (от «формы пути»). Исключение составляет случай, когда F
= F(r) или, что то же самое F = F(x, y, z), а тогда F(r)dr = dФ и тогда
r
2
∫
r
1
()
d
r
2
=
rrF
= Ф(r2) − Ф(r1).
Фd
∫
r
1
Вместо функции Ф(r) удобно использовать функцию U(r) = −Ф(r), где U(r) −
потенциальная энергия.
К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении
площадей, объёмов тел, длин дуг кривых, задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения,
работы производимой силой и т.п.
265
t
Δt
t∆∆
dt
dt
t∆∆
dt
dt
R
S
v=
v
=
ср.
vср =
v =
ΔS
dr
r
= r′t
Приложение Г
(справочное)
Основные формулы по физике
при равномерном движении скорость v равна отношению пути S ко
времени t.
v
− средняя скорость равна отношению пути ∆S к промежутку
ср.
времени ∆t, в течение которого этот путь был пройден.
vср − вектор средней скорости перемещения за время ∆t, ∆r − вектор
перемещения.
v − вектор мгновенной скорости равен производной от перемещения по времени.
v =
а
ср
a=
aτ=
dS
=
dv
= S′t
=v′
vd
=v′t
v − модуль мгновенной скорости равен производной от пути по
времени.
а
− вектор среднего ускорения равен отношению изменения ско-
ср
v
рости ∆v к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошло.
мгновенное ускорение равно производной от скорости по времени
t
тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту
изменения скорости по модулю и направлено по касательной к
траектории в данной точке.
нормальное (центростремительное) ускорение аn характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру
2
v
а
=
n
кривизны траектории. R − радиус кривизны траектории, v − скорость.
(при равномерном вращении по окружности аn − центростремительное ускорение, R − радиус окружности).
266
∆
R − радиус кривизны в данной точке кривой, ∆ϕ − угол
2
2
a
2
2
2
lim
R =
→ϕ∆
0
а = an + аτ
22
a=
+ aa
n τ
tgα = an/aτ
х(t)=x0 + v
.
t
0
dSS
=
ϕ∆
d
между касательными к кривой в точках, отстоящих
ϕ
друг от друга на элементе участка траектории ∆S.
а − полное ускорение при криволинейном движении;
an, aτ − нормальное (центростремительное) и тангенциальное
(касательное) ускорения, соответственно.
α - угол между векторами полного ускорения и скорости.
кинематическое уравнение равномерного движения со скоростью v0 вдоль оси х, x0 - начальная координата, t - время.
кинематическое уравнение равнопеременного движения
х(t)=x0 + v
S=v
0
t +
1
.
v=v0 + a . t
2
−
S =
2
gt
H =
; t =
h(t)=H −
vv
0
at2
2
0
gt
(а=const) вдоль оси х, v0 - начальная скорость. Значения v0
1
.
t +
at2
и а − положительны, если векторы v0 и а направлены в
сторону положительной полуоси х, и отрицательны в противном случае.
S − путь и v − мгновенная скорость при равнопеременном движении, v0 − начальная скорость, а − ускорение, t − время.
кинематическое уравнение, связывающее путь S, пройденный
телом за некоторое время, с начальной − v0 и конечной − v скоростями на этом отрезке пути, с ускорением а.
H2
свободное падение (v0 = 0) тела с высоты Н: t − время
;
g
2
;
падения; g − ускорение свободного падения; v − скорость
тела в момент достижения поверхности (Земли), h(t) –
v = gt =
gH2
высота в момент времени t.
267
y(t) = H −
2
2
t
N
t
ϕ
2πϕ
Т
dtdϕ
dtdω
gt
2
движение тела, брошенного горизонтально со скоро-
;
стью v0 с высоты Н: х0 = 0 и у0 = Н − начальное поло-
х(t) = v0⋅t;
H2
t0 =
; L = v0t0;
жение тела (в момент броска); х(t) и у(t) − уравнения
движения по осям; t0 − время полета; L − дальность по-
g
лета; vx и vy − составляющие скорости v тела по осям
vx = v0; vy = gt;
координат для любого момента времени t во время по-
2
v =
2
x
vv +
y
лета (до удара о поверхность).
vox = v0⋅cosα; v0у = v0⋅sinα;
1
x(t)=vox⋅t; y(t)=voy⋅t−
vx(t)=vox; vy(t) = v
2
v
H=
y0
; t0 =
g2
oy
v2
y0
;
g
gt2;
− gt;
движение тела, брошенного со скоростью v0 под
углом α к горизонту: х0 = 0 и у0 = 0 − начальное
положение тела (в момент броска); vox и voy − проекции скорости v0 по осям; х(t) и у(t) − уравнения
движения по осям; vx(t) и vy(t) − зависимость составляющих скорости по осям от времени t; Н −
2
⋅
L =
0
g
ν=
N
; T=
t
ν=T−1; T=ν−1
ω=
; N=
2π
ω = 2πν =
ω =
= ϕ t′
α2sinv
высота подъема, t0 − время полета; L − дальность
полета.
при равномерном вращательном движении: ν − частота враще-
;
ния, Т − период вращения, N − число оборотов за время t.
ω − угловая скорость при равномерном вращении: ϕ − угол
;
поворота, N − число оборотов за время t; ν − частота вращения, Т − период вращения.
ω − угловая скорость равна производной угла поворота по времени.
ε =
ε − угловое ускорение равно производной угловой скорости по
= ω t′
времени.
268
T
R
2
t
−
2
ε
V
векторная величина, равная произведению массы
dt
dt
S=R . ϕ
S − путь, пройденный материальной точкой при повороте на угол
ϕ по дуге окружности радиуса R.
2πR
v=ω . R=
=2πRν
at = ε⋅R;
2
an=ω2 . R=
v
=v . ω
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 . t
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 . t +
связь между линейной и угловой скоростями при равномерном вращательном движении
an и at − нормальное (центростремительное) и тангенциальное (касательное) ускорения, соответственно.
кинематическое уравнение равномерного вращения, ϕ0 − на-
чальное угловое положение.
кинематическое уравнение равнопеременного враще-
2
ε ⋅t
ния (ε=const), ω0 − начальная угловая скорость.
ω(t)= ω0 + ε . t
ωω
ε
=
=ϕ
m
ρ=
0
2
2
ωω
−
0
ρ − плотность тела, m − масса, V − объем тела.
р − импульс тела −
р = m⋅v
m тела на его скорость v.
ω − мгновенная угловая скорость при равнопеременном вращении в момент времени t, ω0 − начальная угловая скорость, ε −
угловое ускорение.
кинематическое уравнение, связывающее угол поворота ϕ с начальной ω0 и конечной ω угловыми скоростями и с угловым
ускорением ε.
второй закон Ньютона: m − масса тела, F − равно-
F = ma = m
; F =
dv
dp
= p′
t
действующая всех приложенных к телу сил, a −
ускорение, p − импульс тела.
269
∆
S
R
⋅
M
свободного падения на высоте h над
масса и радиус планеты;
R
имальной силе трения покоя
F = ∑ Fi.
F21= −F
12
F
= - k∆ℓ;
упр
σ = ε . Е;
принцип суперпозиции для силы − если на рассматриваемое тело
действует несколько сил, то его движение будет таким же, как если
бы на тело действовала результирующая сила, равная векторной
сумме отдельных сил.
третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга
два тела, всегда равны по модулю и противоположно направлены.
закон Гука: сила упругости F
пропорциональна удлинению те-
упр
ла (пружины) ∆ℓ и направлена в сторону, противоположную на-
ε =
;
l
0
F
l
σ=
;
∆ℓ = ℓ− ℓ0
GF
⋅=
правлению перемещений частиц тела при деформации; k − коэффициент пропорциональности (жёсткость пружины); σ − механическое напряжение; S − площадь поперечного сечения образца, к
которому приложена сила F; Е − модуль Юнга (упругости); ε −
относительное удлинение; ℓ0 − начальная длина.
закон всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к
другу с силой, пропорциональной их массам и обратно про-
mm
2
порциональной квадрату расстояния R между их центрами
21
масс; G − гравитационная постоянная. В такой форме записи
закон справедлив для взаимодействия материальных точек и
однородных тел сферической формы.
g(h) − ускорение
Gg(h)
⋅=
h)(R
+
2
−
h
1gg(h)
+=
R
поверхностью планеты, M и R −
2
g − ускорение свободного падения у поверхности планеты
(без учета вращения планеты), т.е.
F
тр.
=µ . N
сила трения скольжения равна макс
270
M
Gg =
.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]