Решение систем уравнений установившегося режима электроэнергетической системы. Учебное пособие

(

)

(

)

(

)

−

È

(

)

N

221

1

=

Φ

∂

Φ

∂

+

È

1



I

  

I

 



′

ki

,



NN

 

′′

ki

,



NN





′

I

 

=



′′

I

 

È



ki

,



NN



−



ki

,



NN



2



∂

IF

i



′

∂

 

∂



′′

∂





N

′

∂

II

iki

,,

2

( ) ( )

IF

i

′

∂

II

iki

,,

2

∂

IF

i

2

′

∂

′′

∂

′′

∂

II

iki

2

IF

i

22

′′

∂

II

iki

1



∂

IF

′

i

l

,

( )

IF

′′

i

l

,



i

2



NN

 

i

2

 



NN

. (2.62)







∂



ll

,,

NNNNNNNN

  

ll

,,



NNNNNNNN

I



∂

 

∂

I





Сейчас необходимо получить аналитические выражения част

ных производных, входящих в состав рекуррентных выражений

.

2.5. Получение аналитических выражений

с составляющими частных производных рекуррентных выражений

Полученные аналитические выражения составляющих частных производных, входящих в рекуррентное выражение ются согласно квадратичной функции входящие в состав рекуррентных выражений ляются соответственно аналитическим видам

(2.48).

(2.57) и (2.60).

Частные производные

(2.59) и (2.62),

(2.56),

определя

опреде

Поскольку частные производные, входящие в состав рекуррент ных выражений вим их в обобщенном виде, предполагая, что

(2.56), (2.59) и (2.62),

имеют тот же вид, мы предста

K

jijijiji ,,;,,

.

-

,

-

Частные производные первого порядка, т. е. элементы столбце

вой матрицы градиентов, определяются

M

∑

M

∑

 

Φ=

pj



j



 

Φ=

pj



j



pj

′

∂

i

Φ∂

pj

′′

∂

i

∂

F

i

′

∂

i

∂

F

i

′′

∂

i

61

-



qj



Φ+

qj

∂

,2



′

III



i

(2.63)

Φ∂



qj



Φ+

qj

∂

.2



′′

III



i

Частные производные второго порядка, в данном случае элемен

≠

j

i

Φ

-

ты матрицы Гессе, определяются

2

∂

F

i

=

2

′

∂

I

i

2

∂

F

i

=

2

′′

∂

I

i

2

∂

F

i

′′

′

∂

ii

≠

ji

2

∂

F

i

′

∂

ji



M

∑

M

∑

=

Φ∂

 





j









 





j







M

 

∑

j





M

 

∑

j







pj

 

′

∂



i

Φ∂



pj

 

′′

∂



i

Φ∂

pj

′

∂

i

Φ∂

pj

′

∂

i

+

Φ∂

 



∂

II



Φ∂

 



∂

II



Φ∂

pj

+

′′

∂

i

Φ∂

pj

+

′

∂

j

22



qj



Φ+



′



i

2

Φ∂

pj

′

∂

i

Φ+

2



Φ∂

pj



qj

∂

II

,2

2

′



i



22



qj



Φ+



′′



i

Φ∂

qj

′

∂

i

Φ∂

qj

′

∂

i

2

Φ∂

pj

Φ∂

∂

Φ∂

∂

′′

∂

i

qj

′′

i

qj

′

j

Φ+

2

Φ+

pj

∂

Φ+

pj

∂

2



Φ∂

pj



qj

∂

II

Φ∂

pj

′′

′

∂

ii

Φ∂

pj

′

∂

ji

,2

2

′′



i



22

Φ+

qj

∂

Φ+

qj

∂



Φ∂

pj

,2



′′

′

∂

IIIIIIIIII



ii



22



Φ∂

pj

,2



′

∂

IIIIIIIIII



ji



(2.64)

2

∂

F

i

∂

′′∂′′

ji

=

M

∑



Φ∂

pj



j

i





′′

∂

′′

∂

j

Φ∂

+

∂

Φ∂

qj

′′

i

qj

Φ+

′′

∂

j

Φ∂

pj

∂

Φ+

′′∂′′

ji

≠

ji

2

∂

F

i

∂

′′∂′

ji

=

M

∑



Φ∂

pj



j

i





′

∂

′′

∂

j

Φ∂

+

∂

Φ∂

qj

′

i

qj

Φ+

′′

∂

j

Φ∂

pj

∂

Φ+

′′∂′

ji

22



Φ∂

pj

,2

qj

∂



′′∂′′

IIIIIIIIII

ji





22



Φ∂

pj

.2

qj

∂



′′

′

∂

IIIIIIIIII

ji





Как можно заметить из

(2.63) и (2.64),

кроме выражений част ных производных первого и второго порядка в них также входят со ответствующие производные функции

62

и

pi

.

qi

-

Для получения выражений частных производных указанных

функций целесообразно представить их в следующем виде

:

Φ

( )

′′′

,

−=



iiipi





[ ]

+

∑

i

( )

Φ

+

,

[ ]

∑

i

+

′′′

( ) ( )

−=

iiiqi

′′

+

′′

( ) ( )

Согласно выражениям

′′′′

Á

ii

′′′

−

+

′′

+

i

Á

,,

( )

′′′′



( )



′′′′

−

i

Á

′′

Á

ii



′′′′

−

,,

′′′

−

(2.65) и (2.66)

′

+

( )

,



′′′

IIIIXIIIIR

=



jijijijijiji



′

+

( )

,



′′′

IIIIRIIIIX

=



jijijijijiji



можем получить частные

+

22

′′

+

IIRIUIUPII

iiiii

(2.65)

,0

22

′′

+

IIRIUIUQII

iiiii

(2.66)

.0

производные первого и второго порядка, которые, соответственно

,

входят в состав рекуррентных выражений

Частные производные первого порядка определяются при рав

ных индексах



Φ∂

pi

′

∂

I

i



′

Ái

+

−=

 



′

( )

+

∑

j

≠ij

′

−



Φ∂

pi

′′

∂

I

i



′′

Ái

+

−=

 



′′

( )

+

∑

j

≠ij

′′

+



Φ∂

qi

′

∂

I

i



′

Ái

+

−−=

 



′

( )

+

∑

j

≠ij

′

+

.

-

 

′′

,2

IXIRIRU

,,,

jjijjiiii

 



 

′

,2

IXIRIRU

,,,

jjijjiiii

 



 

′′

,2

IRIXIXU

,,,

jjijjiiii

 



Φ∂



qi

′

∂

I

i



′

Ái

+

−−=

 



′

( )

+

∑

j ≠ij

63

′

+

 

′′

,2

IRIXIXU

,,,

jjijjiiii

 



Φ∂

Φ

∂

Φ

∂

, ,

, .

i j i i j i j i j j i j

X I R I X I R I

∂Φ ∂Φ

′′ ′ ′′ ′

′ ′′ ′ ′′

′′ ′ ′′ ′



pj

′

∂

I

j



′

Áj

+

−=

 



′

( )

+

∑

ii

ji

′

−

 

′′

,2

IXIRIRU

,,,

iijiijjjj

 



Φ∂

pj

′

∂

I

j



′′

Áj

+

−=

 





Φ∂

qj

′

∂

I

j



′

Áj

+

−−=

 





Φ∂

qj

′′

∂

I

j



′′

Áj

+

−=

 



При разных индексах

 

′′

( )

+

∑

i

≠≠ji

′′

+

′

,2

IXIRIRU

,,,

iijiijjjj

 



 

′

( )

+

∑

i

ji

′

+

′′

,2

IRIXIXU

,,,

iijiijjjj

 



 

′′

( )

+

∑

i

≠≠ji

′′

−

′

.2

IRIXIXU

,,,

iijiijijj

 



pi

′

I

∂

j

( ) ( )

−=

′

+

′′

IXIR

ijiiji

pi pj

′′ ′′

I I

∂ ∂

j i

∂Φ ∂Φ

qi qj

′ ′′

I I

∂ ∂

j i

∂Φ ∂Φ

qi qj

′′ ′′

I I

∂ ∂

j i

R I X I R I X I

= − − = − −

( ) ( )

, , , ,

i j i i j i j i j j i j

= − − = − − −

( ) ( )

, , , ,

X I R I X I R I

= − + = − +

( ) ( )

, , , ,

i j i i j i j i j j i j

pj

−=

′

I

∂

i

′

+

′′

,,

IXIR

,,,, jijjij

64

Частные производные второго порядка определяются

iqjiqjipji

=

2

Φ∂

pj

−=

2

′′

∂

II

j

2

Φ∂

pj

2

′

∂

j

=

2

Φ∂

pi

−=

R

,

2

′′

∂

II

i

ii

2

Φ∂

pi

2

′

∂

i

,2,2

R

,

jj

=

2

Φ∂

qj

−=

=

X

.0,0

2

′′

∂

II

j

2

Φ∂

2

′′

∂

IIII

,2,2

,

jj

2

Φ∂

qj

2

′

∂

j

2

Φ∂

2

′

∂

=

2

Φ∂

qi

−=

X

,

22

′′

∂

II

i

2

Φ∂

=

2

′′

∂

ii

2

Φ∂

qi

2

′

∂

i

2

Φ∂

pj

2

′

∂

2222

Φ∂

pj

∂

′′∂′

ii

Φ∂

pj

′∂′

ji

Φ∂

pj

′′∂′′

ji

Φ∂

pi

=

∂

22

=

∂

22

=

∂

=

′′

′

∂

jj

Φ∂

pi

IIII

ij

Φ∂

pi

IIII

ij

R

−=

,

′′∂′′

ij

R

−=

,

ij

Φ∂

qj

∂

′′∂′

ii

Φ∂

qj

′

∂

ji

Φ∂

qj

′′∂′′

ji

Φ∂

=

qi

′

IIIIIIII

∂

jj

22

Φ∂

qi

′

IIII

∂

ij

22

Φ∂

qi

IIII

ij

,0,0

=

′′

,,

X

=

,

ij

,,

X

−=

,

′′∂′′

ij

22

Φ∂

pj

∂

′′∂′

ji

Φ∂

=

pi

′

IIII

∂

ij

X

−=

,

′′

ij

Φ∂

qj

∂

′′∂′

ji

22

Φ∂

qi

=

∂

=

′′

′

IIII

∂

ij

R

.,

,

ij

2.6. Вычислительный алгоритм реализации диакоптической математической модели «Z, P-Q» установившегося режима

Для реализации вычислительной диакоптической математиче

ской модели

«Z, P-Q»

установившегося режима предлагается соответ ствующий вычислительный алгоритм, который необходимо осу ществлять в следующей последовательности

65

.

-

1.

Исследовать схему замещения ЭЭС по совокупности подсистем

,

связанных друг с другом по единой линии, которая получается при от ключении соответствующего количества линий электропередач

2.

Пронумеровать узлы по такому принципу, чтобы привести их

.

в соответствие представленному принципу подсистем. В данном слу чае единственный и общий базисный узел, находящийся в первой подсистеме, имеет нумерацию меруются другими натуральными числами

3.

Построить диакоптическую

предложенной методике в параграфе

4.

Имея диакоптическую расчетную матрицу

0,

или Б, следующие подсистемы ну

.

Z –

расчетную матрицу согласно

2.4. Z,

построить чис ловую математическую модель первой подсистемы и рекуррентное выражение ее реализации

5.

Подсчитать численные значения частных производных, вхо

.

дящих в рекуррентное выражение первого и второго порядка, и реа лизовать математическую модель первой подсистемы. В результате чего будут получены численные значения узловых комплексных то

-

ков первой подсистемы

6.

Имея численные значения узловых комплексных токов первой

.

подсистемы, подсчитать комплексное напряжение примыкающего уз ла второй подсистемы. Затем построить числовую математическую модель второй подсистемы и рекуррентное выражение ее реализации

7.

Подсчитав численные значения частных производных первого и второго порядка, входящих в рекуррентное выражение, построенное для второй подсистемы, реализовать математическую модель и полу чить численные значения узловых комплексных токов

8.

Имея численные значения узловых комплексных токов второй

.

подсистемы, подсчитать комплексные напряжения, которые примы кают к третьей подсистеме, и построить числовую математическую модель подсистемы

9.

Продолжать тем же образом строить числовую математиче

.

скую модель предпоследней подсистемы и соответствующее рекур рентное выражение. Подсчитав численные значения частных произ

-

.

-

водных первого и второго порядка, входящих в рекуррентное выра жение, построенное для предпоследней подсистемы, реализовать со ответствующую математическую модель. В результате будут получе

66

-

ны численные значения узловых комплексных токов предпоследней

(

)

φ ,

φ ;

φ ,

φ ;





















(

)

φ ,











подсистемы

10.

.

Имея численные значения узловых комплексных токов пред последней подсистемы, подсчитать комплексное напряжение узла, к которому примыкает последняя подсистема, и построить соответ ствующую математическую модель

11.

Имея числовую математическую модель последней подсисте

.

мы, построить рекуррентное выражение ее реализации и также сде лать шаг, или итерацию

12. В

результате будут реализованы числовые математические

.

модели всех подсистем и получены, соответственно, численные зна чения комплексных токов узлов

.

Совокупность численных значений комплексных токов всех подсистем представляет собой числовые значения комплексных токов узлов полной системы

После каждой полной итерации проверяем следующие условия

.

:

-

P P P

− + ≤ ∆

i pi i

1 1 1

Q Q Q

i qi i

1 1 1

P P P

i pi i

2 2 2

Q Q Q

i q i i

2 2 2

Ái

1

− + ≤ ∆

( )

Ái

1

− + ≤ ∆

( )

Ái

2

− + ≤ ∆

( )

Ái

2

………………………….....

P P P

− + ≤ ∆

i pi i

N N N

Q Q Q

i qi i

N N N

Ái

N

− + ≤ ∆

( )

Ái

N

67

где

∆∆∆

∆

===

=

K

11

QPQP

,,,,

– доступные не балансирующие прираще-

iiii

NN

ния активных и реактивных мощностей узлов отдельных подсистем.

Как всегда принимается, что

∆

P

∆

P

∆

21

P...

N

,∆P



iiii

 

∆∆

...

21

====

N



.

∆∆

QQQQ

iiii



Контрольные вопросы

1.

Какое матричное уравнение лежит в основе построения диа

коптической математической модели типа

2.

Как можно представить матричное уравнение типа

4.

Какая матрица является обращенной формой матрицы

5.

Как называется обращенная форма матрицы

6.

Напишите матричное уравнение ЭЭС как совокупность

подсистем

7.

.

Какая расчетная матрица лежит в основе построения диакоп

-

Y?

Z?

Y?

Z?

N

-

тической математической модели

8. По

9. По

10. По

11.

коптической матрицы

12.

отношению к какому узлу составляется матрица отношению к какому узлу составляется матрица отношению к какому узлу составляется матрица

Что обеспечивает

Z-

метод во время коррекции расчетной диа

?

Какие мощности задаются в качестве исходной информации

?

для построения математической модели

13.

Что представляет собой матрица Гессе

14.

Что получают после реализации первой итерации

15.

Для чего предлагают исследовать схему замещения ЭЭС по

совокупности подсистем

?

Z1? Z2? ZN?

-

«Z, P-Q»?

?

68

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ «Z-Y, P-Q» – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

(

)

=

МОДЕЛИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

3.1. Построение Z-Y – диакоптической математической модели

В основе диакоптической математической модели диакоптическая модель

Z,

которая имеет следующий вид

Z

ji

11

Z

ji

22

. . .

Полученная модель

(3.1)

представляет собой математическую

модель радиально связанных подсистем

Для формулирования дальнейшего материала выберем следую щую систему предварительных индексов

,,;,,

lknmji

111111

Z

.

Z-Y

лежит

:

. (3.1)

ji

NN

-

:

( )

=

,,;,,

lknmji

222222

...................................

( )

=

тогда матричное выражение виде

:

ZZ

kmnm

1111

ZZ

ll

kn

1111

lknmji

NNNNNN

ZZ ZZ

,,;,,

kmnm

2222

kn

ll

2222

(3.1)

. . .

можно представить в следующем

.

ZZ

kmnm

NNNN

ZZ

kn

ll

NNNN

69

Кроме вышеприведенной обобщенной межподсистемной системы

(

)

Γ

=

1

(

)

Γ

=

2

(

)

Γ

=

N

&&&

&

++=

&&&

&

++=

индексов необходимо также выбрать внутриподсистемные индексы

В данном случае

nm

( )

l

k

где

Н

,

Г

–

количество электрических станций и нагрузок первой

подсистемы соответственно

,...3,2,1

111

,...2,1

Η+Γ+Γ+Γ=

111111

;

nm

,...3,2,1

222

k

( )

l

,...2,1

Η+Γ+Γ+Γ=

222222

где

Н

,

Г

подсистемы соответственно

–

количество электрических станций и нагрузок второй

;

nm

,...3,2,1

NNN

.

( )

k

l

где ней

Н

,

Г

N

подсистемы соответственно

–

количество электрических станций и нагрузок послед

.

Рассмотрим уравнение отдельных клеточных подматриц

Для первой клеточки

=

&



U



U





Б

mm

&

Б

ll



1

+



 



1

&





U

1





&

U





1

Написанное матричное уравнение виде двух подматричных уравнений

Б

Η+Γ+Γ+Γ=

,...2,1

NNNNNN

ZZ

ll

(3.2)

.

&





I



kmnm

kn

n

1111

1

. (3.2)







&

I

k



1111





1

представим в открытом

,

IZIZUU

(3.3)

kkmnnmmm

11111111

-

IZIZUU

Б

70

llll

. (3.4)

kknn

11111111