Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение систем уравнений установившегося режима электроэнергетической системы. Учебное пособие
.pdf
Дополнительные
′
′
′
′
′
−
221
1
&L&L&&&
nnnSnSnnn
1
,
Z
γ′i
t
,1
Z
–
i
γ
прямоугольные матрицы строят с
помощью подматриц
дополнительных матриц. Дополнительная
Z
,
Z
…
ji
11
ji
Z
22
,
а
Z
-
ji
NN
матрицу
δγ
Z
-
подматрица является
δγ
– с
помощью
квадратной, и ее порядок определяется количеством удаленных линий
электропередач, вследствие чего первоначальная схема превращается
в радиально связанные подсистемы
После построения расчетной матрицы
определяют на основании следующего выражения
.
(1.9)
искомые матрицы
Z
:
t
+
′
+
′
==
′′
ZZZZZZ
.
iiijij
γδγγ
Фактически решен также вопрос построения и коррекции мат
рицы
Z
для любых сложностей ЭЭС
.
Составленные нелинейные алгебраические уравнения типа
Z
решают по простейшему итерационному методу и в качестве основ
ного расчетного выражения выбирают
-
-
M
&
Б
ZUU
+=
∑
iji
j
1
=
U
jQP
jj
ˆ
.
j
виде
В основном математическую модель
:
Z
приводят в следующем
,
+++++++=
L
IZIZIZIZE
112121111
nnSS
&&&
L
2211
&&&
L
&
L
&
L
&
L
IZIZIZIZE
nSnSSSSSS
&
L
IZIZIZIZE
,
+++++++=
,
+++++++=
где
E& – величина комплексных напряжений первого узла, являюще-
гося базисным.
21
Электрический ток станционного узла
Gm
EnGnn
&&&
+
=
ˆ
Lnnn
n
I& определяют по сле-
дующей формуле:
jQP
ˆ
Gm
GmGm
.
&
I−=
Gm
E
Если к тому же узлу подключены как станция, так и нагрузка, то
соответствующий ток будет определен на основании следующего выражения:
,
III
ˆ
Z
E
ˆ
Ln
n
,
−
E
jQP
Gn
&
=
I
n
GnGn
−
−
E
jQP
HnHn
ˆˆ
H
−
или
E
−
ˆˆ
QQ
HnGn
PP
−
&
I +
=
n
HnGn
−
j
E
Z
E
ˆ
.
Математические модели Y и Z имеют как положительные, так и
отрицательные стороны.
1. Если схема замещения сильно неоднородна, т. е. к одному и
тому же узлу подключены комплексные продольные сопротивления,
имеющие разные величины, то математическая модель Y не обеспечивает решение проблемы установившегося режима.
2. Если схема замещения содержит отрицательные сопротивле-
ния, которые возникают во время построения схем замещения трехфазных трехрожковых трансформаторов, то в этом случае Y – математическая модель также не обеспечивает решения проблемы установившегося режима.
3. При построении Z – математической модели нужно обращать
Y-матрицу комплексных проводимостей, что требует большого объе-
ма вычислительных работ.
22
1.4. Y-Z – математические модели установившегося режима
nni
i
&&&
&
nn
ii
in
ni
=
(
)
=
(
)
(
)
(
)
n
n
электроэнергетической системы
Математическая модель Y-Z содержит положительные стороны
математических моделей Y и Z:
– при Y электрическая станция может быть в любом виде:
«P-U», «P-Q», «P-U, P-Q»;
– при Z безоговорочно обеспечивается соответствующая сходи-
мость нелинейных алгебраических уравнений.
Соответствующая математическая модель представляется в следующем виде [12 – 24]:
−−
I
&
U
i
=
n
−
−
11
YYYYYY
nninninninii
−−
11
YYY
nnninn
&
U
i
,
&
I
n
где
нагрузочных узлов;
IUIU
, и , – комплексные напряжения и токи станционных и
YY ,
– квадратные подматрицы станционных и
нагрузочных узлов собственными и взаимными комплексными проводимостями
YY
.
Построенную систему нелинейных алгебраических уравнений
предлагалось решить путем совмещения метода Ньютона – Рафсона и
метода Якоба
XFAX
, (1.10)
где
А
– неособенная квадратная матрица, имеющая искомый вектор Х
порядка
можно определить
N
, а
Поскольку
xF
– нелинейная функция искомой переменной Х.
А
– неособенная матрица, то из уравнения (1.10)
X
1
,
XFAX−=
или в виде рекуррентного выражения
11−
=
+
23
XFAX
. (1.11)
Система уравнений установившегося режима типа
(
)
&&&
=
−
(
)
(
)
n
n,,1
&
&
=
−
k k
m m
e k k
m m
= =
ляется в следующем виде:
или
Представляя уравнение (1.12) в виде рекуррентного выражения
(1.11), получим
=
1&&−
QPUIYU ,,
,
или
∑
Y
представ-
QPUIUY
,,
, (1.12)
jQP
U
ii
ˆ
. (1.13)
i
&
UY
=
jij
j
QPUZIU
+
(1.14)
– систему уравнений установившегося режима типа Z.
Если узлы 1-
M
являются нагрузочными, то уравнение (1.13)
принимает следующий вид:
−
N
&&
.
UY
∑∑
11
+==
Mj
(1.15)
jij
M
=
UY
j
jij
U
jQP
ii
ˆ
i
Системы нелинейных алгебраических уравнений, представленные
в уравнении (1.14) в виде Z и в уравнении (1.15) в виде Y, необходимо
решать совместно.
Качественный анализ показывает, что соответствующий вычислительный алгоритм не обеспечивает общность решения, в результате
чего он не нашел дальнейшего применения.
С этой точки зрения предлагается более усовершенствованная
математическая модель
1
k
f
∆
PQ
m
f
∆
PU
∆
k
m
PQ
e
∆
PU
k m
B G
LLL L LLL
′ ′
G B
J M
k m
M
−
M
−
C
RP
d
RV
. (1.16)
24
Здесь m – количество станционных узлов вида P-U; k – количе-
(
)
+
(
)
+
(
)
′′′
(
)
′′′
ство нагрузочных узлов вида P-Q; j – нулевая матрица порядка
mkm
:
М
– угловая матрица порядка
состоит из двух элементов, а остальные элементы равны нулю.
Согласно (1.16) строят системы уравнений P-U, P-Q, которые
решают разными методами.
Математические модели Y-Z имеют следующие преимущества:
1) обеспечивается большая продуктивность для системы, где ве-
личина активных сопротивлений превосходит величину реактивных
R > X;
2) сходимость итерационного процесса не зависит от выбора
первоначальной величины зависимых режимных параметров;
3) гарантируется решение проблемы ЭЭС, которая содержит
продольные новые ветви;
4) обеспечивается решение проблемы для существующих тяже-
mkm
, каждый блок которой
лых режимов.
В настоящее время математическая модель Y-Z представляется в
совокупности подмоделей Y(Z) и Z(Y).
Y(Z) – математическая подмодель представляется как
Φ
Φ
Z(Y) – математическая подмодель представляется как
Φ
pk
Φ
( )
qk
UU
( )
UU
II
ll
′′′
II
ll
=
nnpm
′′′
nnqm
=
=
,0,
(1.17)
=
.0,
,0,
(1.18)
.0,
Как Y(Z), так и Z(Y) – математическая подмодель реализуется по
методу Ньютона – Рафсона, когда соответствующие рекуррентные
выражения имеют следующий вид:
25
+
(
)
[
]
′′′ϕ+−=
Φ
(
)
[
]
′′′ϕ+−=
Φ
=
′
U
m
′′
U
m
U
U
И1И
′
m
′′
m
−
Φ∂
pm
′
∂
n
Φ∂
qm
′
∂
n
Φ∂
∂
UU
Φ∂
∂
UU
pm
n
qm
n
−
1
′′
′′
Φ
Φ
pm
qm
,
+
′
I
k
′′
I
k
=
И1И
′
I
k
′′
I
k
−
Φ∂
′
∂
Φ∂
′
∂
Φ∂
∂
Φ∂
∂
−
1
pkpk
II
ll
qkqk
II
ll
′′
′′
Φ
Φ
pk
. (1.19)
qk
Как видим, вместо обращения матрицы порядка 2
М
(1.19) обра-
щаются две нижние неособенные квадратные матрицы порядка 2Г и
2Н. Уравнения (1.17), (1.18) имеют следующий вид:
,,
Б
UUPP
nnpmmmpm
[ ]
Б
Б
( )
ϕ+−=Φ
pkkkpk
′′′
,,
UUQQ
nnqmmmqm
,,
IIPP
ll
′′′
,,
IIQQ
ll
′′
+
′′′′
+
,,
′′′
−
′′′
,,
UUUUbUUUUgUU
nmnmnmnmnmnmnnpm
где
[ ]
Б
ϕ+−=Φ
qkkkqk
( )
Г
( ) ( ) ( )
ϕ
′′′
[ ]
=
∑
1
=
n
Г
( ) ( ) ( )
ϕ
( )
ϕ
( )
ϕ
′′′
′′′
=
′′′
=
[ ]
=
∑
1
=
n
Г
( ) ( )
[ ]
∑
=
l
1
Г
[ ]
∑
=
l
1
( ) ( )
′′′
−
′′
+
kkkpk
′′′
−
kkkqk
26
′′′
−
,,
′′′′
+
n
′′′
−
n
,,
,,
′′
′′′
−
kkk
′′
+
kkk
+
IIIIXIIIIRII
′′′′
,,
UUUUbUUUUgUU
nmnmnmnmnmnmnnqm
′′′
,,
IIIIXIIIIRII
llllllll
n
′′′′
.,
llllllll
n
При типе станционных узлов
(
)
Ψ
′′′
[
]
1
m
Р-Q
соответствующие математи
-
ческие модели представляются следующим образом
–
для станционных узлов
( )
–
для нагрузочных узлов
ΨΦ
1
2
Г
р
( )
( )
=
unp
unp
LLLLL
un
,0
=ΨΦ
,0
=ΨΦ
,0
(1.20)
Φ
+
1Г,
p
Φ
p
( )
+
2Г,
Φ
( )
,
Mp
′′′
=
II
ll
II
ll
,0,
′′′
=
,0,
LLLLL
′′′
=
II
ll
,0,
:
Φ
q
( )
+
1Г,
′′′
=
II
ll
,0,
Φ
q
( )
+
2Г,
Системы
Φ
(1.20) и (1.21)
( )
,
Mq
нелинейных алгебраических уравнений
решают относительно искомых переменных
′′′
=
II
ll
,0,
LLLLL
′′′
=
II
ll
.0,
(1.21)
um
и
II
,
ll
пользуясь
так называемым методом минимизации, в основе которого лежит
принцип построения вспомогательных функций
.
В этом случае для системы нелинейных алгебраических уравне
ний
(1.20)
эта функция принимает следующий вид
при обозначении вспомогательной функции буквой
:
F(Ψ)
Г
( ) ( )
F
∑
=
2
(1.22)
ΨΦ=Ψ
.
upm
-
27
Если для системы уравнений
2 2
Ψ
Ψ
(
)
[
]
(
)
[
]
Φ
Φ
(
)
[
]
=Ψϕ+−=Φ
(
)
[
]
=Ψϕ+−=Φ
ϕ
1
n
(1.21)
вспомогательную функцию
обозначим буквой
F(I), то
она будет иметь следующий вид
:
m
F I I I
= Φ + Φ
( ) ( ) ( )
k
∑
= +
При построении уравнения
{ }
Г
1
pk qk
(1.22)
согласно принципу минимиза
. (1.23)
ции вспомогательной функции, численное значение искомого вектора
является результатом решения нелинейного векторного уравнения
u
Ф
(
), а
pm
численное значение искомого вектора
u
по принципу минимизации вспомогательной функции
ствие решения нелинейных векторных уравнений
I = (I', I"),
(1.23), –
полученное
след
и .
II
qkpk
В более компактном виде системы (1.20) и (1.21) соответственно
можно представить в следующем виде:
Б
UPP , (1.24)
unnpmmmpm
0,
-
-
Вышеприведенная функция
гласно следующему выражению:
Г
( ) ( ) ( )
∑
[ ]
=
а функции Ф
рk
и Ф
системы (1.25) решаются так:
qk
M
( ) ( ) ( )
Ψ
( ) ( ) ( )
Ψ
′′′
=
′′′
[ ]
∑
1
Г
+=
l
M
−=
[ ]
∑
1
Г
+=
l
′′
+
′′′
Б
UQQ (1.25)
unnqmmmqm
.0,
системы (1.24) определяется со-
рm
,,
′′′′
+
,,
′′′
−
′′′
IIIIXIIIIRII
kkkkkkpk
llllllll
Ψ−Ψ+Ψ−Ψ=Ψϕ
,,
,sincos,
UbgUU
nunumnmunumnmmunnpm
−
′′′
−
,,
′′
+
′′′′
.,
IIIIXIIIIRII
kkkkkkqk
llllllll
Согласно решению системы нелинейных алгебраических уравнений (1.24) и (1.25) рекуррентные выражения представляются в следующем виде:
28
−+
−
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
′′′
1
И
Ψ
Ψ=
И
−
umum
2
( ) ( )
ΨΦ∂
Ψ∂Ψ∂
1
ΨΦ∂
,
Ψ∂
umunum
++
1И1И
−
( ) ( )
Φ∂
I
′
′
∂
∂
II
( ) ( )
Φ∂
I
′
′′
∂
∂
II
=
′
I
l
′′
I
l
′
I
l
′′
I
l
22
Φ∂
′
∂
∂
kk
22
Φ∂
′′
∂
∂
kk
1
I
′′
II
ll
I
′′
II
ll
( )
Φ∂
I
′
∂
I
k
.
( )
Φ∂
I
′′
∂
I
k
В отличие от вышеприведенных математических моделей математические модели
Y-Z
представляются в следующем виде (когда
станционные узлы могут быть одновременно как типа
P-Q
):
=ΨΨ+−=Φ
Б
[ ]
Б
( )
UUPP
UUQQ
ll
uunnpmmmpm
ll
uunnqmmmqm
,0,;,φ
=ΨΨ+−=Φ
,0,;,φ
+−=Φ
Б
Б
[ ]
Б
IIPP
jjpiiipi
( )
=
,0,φ
UUPP
UUQQ
=ΨΨ+−=Φ
uunnpkkkpk
lllluunnqkkkqk
[ ]
+−=Φ
Б
( )
′′′
IIQQ
jjqiiiqi
=
.0,φ
P-U
, так и типа
,0,;,φ
(1.26)
=ΨΨ+−=Φ
,0,;,φ
Поскольку при наличии аргументов комплексных напряжений
станционных узлов типа
Р
-U
можно определить численное значение
реактивных мощностей, то из системы уравнений (1.26) можно исключить второе уравнение и можно представить математическую модель в следующем виде:
29
(
)
(
)
′′′
−
UU
=ΨΨΦ
ll
uunnpm
,0,;,
( )
UU
=ΨΨΦ
,0,;,
ll
uunnqm
(1.27)
( )
UU
ll
uunnpk
=ΨΨΦ
,0,;,
Полученное рекуррентное выражение реализации математиче
ской подмодели
+
И
1
Ψ
Ψ
m
um
uk
(1.27)
UU
m
Ψ=
um
Ψ
uk
Φ
=
II
jjpi
,0,
Φ
( )
′′′
II
jjqi
(1.28)
=
.0,
представляется в следующем виде
И
∂
F
−
∂∂
UU
∂
F
∂Ψ∂
U
∂
F
∂Ψ∂
U
U
∂
F
Ψ∂∂
∂
Ψ∂Ψ∂
∂
Ψ∂Ψ∂
∂
U
∂
∂
-
:
−
222
F
Ψ∂∂
222
FF
Ψ∂Ψ∂
222
FF
Ψ∂Ψ∂
1
umunmnm
l
uumunumnum
l
uukunuknuk
l
∂
∂
F
U
m
∂
F
.
Ψ∂
um
∂
F
Ψ∂
uk
Как видим
,
математическая подмодель
(1.27)
решается по мето
ду минимизации. Реализация рекуррентного выражения математиче
ской подмодели
+
И
′
I
i
′′
I
i
1
=
(1.28)
И
′
I
i
′′
I
i
представляется в следующем виде
Φ∂
pi
′
∂
j
−
Φ∂
qi
′
∂
j
Φ∂
∂
II
Φ∂
∂
II
1
pi
′′
j
qi
′′
j
Φ
pi
Φ
.
qi
:
Можно отметить, что математическая подмодель
ся по методу Ньютона
–
Рафсона
.
30
(1.28)
решает
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]