Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение систем уравнений установившегося режима электроэнергетической системы. Учебное пособие
.pdf
(
)
[
]
()(
)
= + + + + − +
′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′
= − + + + + − +
(
)
−
1.2.
Построим математическую модель первой подсистемы как
совокупность подмоделей
где
p
q
P U I U I A U I U I A U I U I
Б1 Б1 1 Б1 1 12 2 1 2 1 12 2 1 2 1
+ + + −
Q U I U I A U I U I A U I U I
Б1 1Б 1 1Б 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1
+ +
′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′
′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′
A U I U I A U I U I
( ) ( )
13 3 1 3 1 13 3 1 3 1
′′ ′ ′ ′′ ′′
A U I U
( ) ( )
31 3 1 3
+−=
[ ]
+−=
+ −
1 31 3 1 3 1
Для этой подсистемы в качестве вспомогательной функции будет
Z
1(Y1
2
′
1111Б11
+
IIRPP
) и (Y1)Z1.
2
′′
=
1
,0Φ
2
′
( )
1111Б11
2
′′
+
=
IIXQQ
1
,0Φ
,
( ) ( )
′ ′ ′′ ′′ ′
IF Φ+Φ= (4.2)
2
11
.I A U I U I
2
.
1
qp
Разложив квадратную функцию
(4.2) в
ряд Тейлора, можем по
строить соответствующее рекуррентное выражение
+
И
1
′
I
1
′′
I
1
=
И
′
I
1
I
−
′′
1
2
∂
F
1
2
′
∂
I
1
2
∂
F
1
∂
′∂′′
II
11
2
∂
∂
∂
∂
F
1
′′
′
∂
II
11
2
F
1
2
′′
I
2
Частные производные, входящие в полученное рекуррентное
выражение
рядка
∂
F
1
′
1
(4.3),
Φ=
p
определяются как частные производные первого по
Φ∂
1
p
1
∂
Φ+
′
1
Φ∂
1
q
1
q
∂
,2
′
III
1
-
1
∂
F
1
′
∂
I
1
. (4.3)
∂
F
1
′′
∂
I
1
-
∂
F
′′
1
1
Φ=
Φ∂
1
p
1
p
∂
Φ+
′′
1
Φ∂
1
q
1
q
∂
.2
′′
III
1
111
Φ
Φ
Φ
∂
Φ
∂
Частные производные второго порядка, входящие в матрицу
Гессе, имеют следующий вид
2
∂
F
2
′
∂
I
1
2
∂
F
2
′′
∂
I
1
2
∂
F
′
∂
∂
Φ∂
1
1
1
=
∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
=
′′
11
∂
2
1
′
1
1
′′
1
1
′
1
+
2
+
Φ∂
1
+
′′
∂
1
:
Φ∂
∂
Φ∂
∂
2
1
qp
Φ+
′
II
1
2
1
qp
Φ+
′′
II
1
Φ∂
∂
Φ∂
1
′
∂
1
1
2
Φ∂
1
p
1
p
1
p
1
qqpp
′′
′
∂
1
2
Φ∂
2
′′
∂
1
Φ+
1
p
Φ+
2
1
p
Φ+
2
Φ∂
′
∂
∂
2
1
q
∂
2
1
q
∂
1
p
Φ+
′′
11
Φ∂
1
q
,2
2
′
II
1
Φ∂
1
q
,2
2
′′
II
1
2
1
q
∂
Φ∂
1
q
,2
′′
′
∂
IIIIIIIIII
11
2
∂
F
1
∂
Φ∂
=
′∂′′
11
∂
Φ∂
1
′′
1
′
∂
1
Φ∂
1
+
∂
Φ∂
1
′′
1
1
qqpp
Φ+
′
∂
1
2
Φ∂
1
p
1
p
∂
Φ+
′∂′′
11
2
1
q
∂
Φ∂
1
q
.2
′∂′′
IIIIIIIIII
11
Частные производные первого и второго порядка типа
и
p
входящие в вышеприведенные частные производные первого и второ
го порядка, определяются следующим образом
–
частные производные первого порядка
:
∂
P
Б1
−=
′
∂
I
1
+
′
∂
I
1
′
IR
11,1
pp
11
′′
∂
I
1
∂
P
Б1
−=
+
′′
∂
I
1
′′
,2,2
IR
11,1
Φ∂
′
∂
I
1
∂
Q
Б1
−=
+
′
∂
I
1
′
IX
11,1
Φ∂
qq
11
′′
∂
I
1
∂
Q
Б1
−=
+
′′
∂
I
1
′′
.2,2
IX
11,1
,
q
-
112
∂
1
1
С другой стороны
P
1
Б
′
I
∂
1
P
∂
1
Б
′′
I
∂
1
Q
∂
1
Б
′
I
∂
1
Q
∂
1
Б
′′
I
∂
1
=
=
=
′
−=
( ) ( )
+
Б
′′
( ) ( )
+
Б
′′
( ) ( )
+
Б
′
( ) ( )
+
Б
,
′′
−
′′′
+
′′′′
+
′′′
+
′′
−
′′′
−
′′′′
,
UAUAUAUAU
313313212212,1
′′′
,
UAUAUAUAU
313313212212,1
′′′
+
′′′′
−
′′′
+
′′
+
′′′
−
′′′′
−
′′′
,
UAUAUAUAU
313313212212,1
′′
.
UAUAUAUAU
313313212212,1
Частные производные второго порядка определяются следую
щими выражениями
2
Φ∂
R
2
′
I
∂
1
2
Φ∂
2
′
I
∂
−=
X
−=
2
Φ∂
=
∂
11
2
Φ∂
′′
′
∂
=
′′
′
∂
∂
11
-
:
2
Φ∂
pp
11
1,1
′′
I
∂
1
−=
2
R
,2,2
1,1
2
Φ∂
qq
11
1,1
′′
I
∂
2
Φ∂
′′
∂
∂
−=
2
pp
11
=
′
IIII
11
,2,2
X
1,1
,0,0
2
Φ∂
qq
11
∂
IIII
11
.0,0
=
′∂′′
113
′′′
′′′
′′′
∂
Определим численные значения вышеприведенных выражений
2
Φ
1
p
2
′
∂∂I
1
2
1
p
2
′′
∂Φ∂I
1
2
1
q
2
′
∂Φ∂I
1
2
1
q
2
′′
∂Φ∂I
1
Поскольку имеем
−=⋅−=
12,249880,6,124694 2
−=⋅−=
20,184666,10,092333 2
−=⋅−=
20,184666.10,092333 2
−=⋅−=
, UU
Б
,1
Б
,1
, а
,249880,12124694,62
также численные значения
, UU
Б
,2
и
Б
,2
, UU
Б
,3
величин, то можем определить
Б
,3
P
1Б
′
∂∂I
1
( )
( )
=⋅+⋅+
00,0017632200,550795104,074917
,221,36835700,0081152200,017643
+⋅−⋅+=
P
1Б
′′
∂∂I
1
( )
( )
=⋅−⋅−+
220 0,0017630 0,5507954,937185
,3,539745220 0,0081150 0,001763
+⋅+⋅+=
Q
∂∂I
1Б
′
1
=⋅⋅−+
0) 0,550795220 (0,0017634,937185
+⋅+⋅+=
,3,5397450) 0,017643-220 0,008115(
Q
1Б
′′
I
∂
1
−=⋅+⋅−+
)220550795,00001763,0(074917,104
+⋅−⋅+−=
368357,221)220017643,00008115,0(
.
114
227,493051
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
Φ
(
)
×+−+⋅
=
×+⋅+−⋅−
=
−=−++−=
Φ
5 2]} 7,000407.
Φ = − + + − = −
Затем можем определить
1
p
0,500000) 6,124694 27(221,36835
′
∂
I
1
1
p
′′
∂
I
1
[ ]
1
q
( )
′
∂
I
1
1
q
′′
∂
I
1
Определим численные значения функции
[ ]
−=⋅⋅+−=
2,0281530,454545)( 6,124694 23,539745
=−⋅⋅+−=
13,632078,0,500000 10,092333 23,539745
−=⋅⋅+−=
=−⋅⋅+−−=
1p
и
1q
,
,
.230,5431960,454545)( 10,092333 2221.368357
P
Б1
=⋅−−−
{0,5507950,4545454,9371850,500000 104,074917
0,454545)( 200,001763[20,454545)]( 00,5000000 [220
0,454545)]0(0,500000 200,017643[2{0,500000]} 0
−−⋅+−⋅+⋅×
−−+⋅−+⋅−
,109,0752050,500000]} 00,454545)( 2200,008115[
Q
Б
1
=⋅−−⋅+
{0,0017630,500000 4,9371850,454545)( 104,074917
0,454545)( 200,550795[20,454545)]( 00,500000 [220
0,454545)]( 00,500000 200,008115[2{0,500000]} 0
−−⋅−−⋅+⋅×
+−⋅+⋅−+⋅−
,102,392136]}500000,00)454545,0(2200,017643[
1
p
1,871808,]}0,454545)2(,50000026,124694[0075205,{109110
100 {102 392136 10.092333[0,5000002 ( 0,45454
1
q
. )
115
Имея численные значения всех необходимых величин, определим
F
1
∂∂I
p
=−−−−=
′
1
4,1042,50681]13,632078)7,000407()227,4930511,871808(2[
F
1
∂∂I
p
−=⋅−⋅−=
′′
1
0.3220,19978]230,543196 7,004072,028153 1,8718082[
Затем
2
F
1
2
′
∂∂I
1
2
F
1
2
′′
∂∂I
1
F
1
′
∂
∂∂II
12,249880)(1,871808213,632078)()2227,4930512[(
=−⋅−
,208104206,314]20,184666)(7,000407
12,249880)( 1,8718082230,54319622[2,028153
−−⋅−−+−=
−−⋅−+=
=−⋅−
′′
11
−=⋅−⋅−
,853106637,017]20,184666)( 7,000407
230,543196 13,6320782,028153 )227,4930512[(
−⋅−⋅−=
,87208,347080]7,00040701,871808
F
1
′
′′
∂
∂∂II
11
−=⋅−⋅−
Осуществим первый шаг, или первую итерацию, по отношению
к вышеприведенным рекуррентным выражениям
1
′
I
1
=
′′
I
1
500000,0
454545,0
−
−
−
−
347088,7208304208,104206
017853,106637347088,7208
116
13,632078)( 230,543196)227,493051( 2[2,028153
−−⋅+−⋅=
.87208,347080] 7,0004070 1,871808
10
−
−
506814,1042
199780,3220
,
(
)
(
)
[
{
(
)
(
)
[
{
(
)
(
)
[
{
(
)
(
)
[
{
()(
)
′′′−′′′′′+′′′′+′′′+′′′′+′′=
()(
)
′′′−′′′′′+′′′′+′′′+′′′′+′′=
()(
)
′′′′+′′′′−′′′−′′′′+′′′−′′′=
()(
)
′′′′+′′′′−′′′−′′′′+′′′−′′′=
1
′
I
1
=
′′
I
1
1
′
I
1
=
′′
I
1
Таким образом, получим результат реализации математической
подмодели верхней левой части первой подсистемы
Перейдем к построению математической подмодели нижней
правой части той же первой подсистемы. Для этого сначала остано
вимся на построении соответствующей математической подмодели
Нелинейные алгебраические уравнения, представляющие соот
ветствующую математическую подмодель, будут равны
+
+
−
−
( )
( )
( )
( )
500000,0
454545,0
−
492048,0
424885,0
−
′′′
−
′′′
−
′′
+
′′
+
0
−
.
+−=Φ
′′′
]
}
UUUUb
32323,2
+−=Φ
′′′
]
UUUUb
23232,3
−−=Φ
′′′′
]
UUUUb
−−=Φ
UUUUb
=
32323,2
′′′′
]
}
=
23232,3
=
}
007952,0
029660,0
−
2
′
+
2222Б22
,0
2
′
+
3333Б3
,0
=
2
′
22,2Б22
,0
2
′
3333Б33
.0
+
+
′′
2
2
′′
3
=
2
′′
+
2
2
′′
+
3
2
+
+
,,q
492048,0
424885,0
−
,,p
,,p3
,q2
′′′
′′′
−
′′
−
+
,
.
.
′′′′
+
UUUUgUUgPP
323232
−
−
′′′′
UUUUgUUgPP
+
232323
(4.4)
′′
+
′′′
UUUUgUUbQQ
323232
′′′
UUUUgUUbQQ
232323
-
-
С другой стороны
,
3
117
,
IUIUBIUIUBIUIUP
12121,212121,2Б22Б222Б
,
IUIUBIUIUBIUIUP
13131,313131,3Б3Б33Б3
,
IUIUBIUIUBIUIUQ
12121,212121,22Б22Б2Б2
.
IUIUBIUIUBIUIUQ
13121,313131,33Б33Б3Б3
(
)
−
(
)
∂
∂
∂
∂
(
)
∂
∂
∂
∂
Полученную математическую модель
(4.4)
также нужно реали
зовать по методу второго порядка, для этого построим следующую
квадратную функцию
:
UF Φ+Φ+Φ+Φ= (4.5)
2
2 qqpp
Разложив квадратную функцию
2
3
(4.5) в
2
2
ряд Тейлора, после соот
2
.
3
ветствующих модификаций можем построить решение рекуррентного
выражения вышеприведенной системы уравнений
2
∂
F
∂
2
′
∂
U
2
2
∂
F
′
′
∂
UU
23
2
∂
F
∂
UU
22
2
∂
F
′
′′
∂
′
′′
∂
∂
UU
23
U
U
U
U
0
′
2
′
3
−
′′
2
′′
3
1
′
U
2
′
U
3
′′
U
2
′′
U
3
=
2
∂
F
′
′
∂
∂
∂
∂
UU
32
2
∂
F
2
′
∂
U
3
2
∂
F
′
′′
∂
UU
32
2
∂
F
′
′′
∂
UU
33
2
∂
F
′′
′
∂
∂
UU
22
2
∂
F
′′
′
∂
∂
UU
23
2
∂
F
2
′′
∂
U
2
2
∂
F
′′
′′
∂
∂
UU
23
2
∂
F
′
∂
∂
UU
2
∂
F
′
∂
∂
∂
UU
2
∂
F
′′
∂
UU
2
∂
F
2
′′
∂
U
3
1
∂
F
′′
32
′′
33
′′
32
′
∂
U
2
∂
F
′
∂
U
3
.
∂
F
′′
∂
U
2
∂
F
′′
∂
U
3
-
-
Частные производные первого и второго порядка, входящие в
данное рекуррентное выражение, определяются нижеприведенным
выражением
∂
∂
U
UF
′
2
Φ=
F
2
p
2
p
∂
U
Φ+
′
2
F
3
p
3
p
∂
U
Φ+
′
2
F
2
q
2
q
∂
U
Φ+
′
2
F
3
q
U
,2
′
2
3
q
∂
∂
( )
∂
UF
′
∂
U
3
∂
UF
′′
∂
U
2
Φ=
Φ=
F
2
p
2
p
2
p
′
∂
U
3
F
2
p
+
′′
∂
U
2
∂
F
3
Φ+
p
p
p
3
3
′
∂
U
3
F
3
p
+
′
∂
U
2
∂
F
2
Φ+
2
q
q
2
q
′
∂
U
3
F
2
q
+
′′
∂
U
2
∂
F
3
q
q
U
,2
′
3
3
,φφφ2
′′
2
Φ+
3
q
∂
F
3
q
∂
U
∂
( )
∂
UF
′′
∂
U
3
Φ=
F
2
p
2
p
′′
∂
U
3
∂
F
3
Φ+
p
p
3
′
∂
U
3
∂
F
2
Φ+
q
q
2
′′
∂
U
3
∂
F
3
q
U
.2
′′
3
Φ+
3
q
∂
118
(
)
(
)
Затем определим частные производные второго порядка неосо
бенной квадратной матрицы Гессе
2
( )
∂
UF
2
′
∂
U
2
Φ+
2
p
2
( )
∂
UF
2
′
∂
U
3
Φ+
2
p
2
( )
∂
UF
2
′′
∂
U
2
Φ∂
2
=
∂
2
Φ∂
2
p
2
′
∂
2
Φ∂
2
=
∂
2
Φ∂
2
p
2
′
∂
3
Φ∂
2
=
∂
2
2
′
2
Φ+
3
p
∂
2
2
′
3
Φ+
3
p
2
2
′′
2
Φ∂
+
∂
2
Φ∂
3
p
2
′
2
Φ∂
+
∂
2
Φ∂
p
2
′
∂
3
Φ∂
+
∂
-
2
3
′
2
+
Φ∂
∂
2
2
′
2
+
Φ∂
∂
UUUU
2
3
qqpp
+
′
2
2
Φ∂
2
q
Φ+
2
q
2
3
′
3
3
Φ+
q
′
∂
2
Φ∂
+
∂
2
Φ∂
2
∂
2
3
′′
2
+
Φ∂
∂
Φ+
2
2
2
′
3
2
q
Φ+
2
′
3
2
2
′′
2
2
3
q
∂
UUUU
+
∂
3
q
∂
+
∂
Φ∂
3
q
,
2
′
2
Φ∂
UUUU
2
Φ∂
UUUU
2
3
qqpp
+
′
3
Φ∂
3
q
,
2
′
UUUU
3
2
3
qqpp
+
′′
2
2
Φ∂
2
p
Φ+
2
p
∂
2
Φ+
2
′′
2
Φ∂
3
p
3
p
∂
2
Φ+
2
′′
2
Φ∂
2
q
2
q
∂
2
Φ+
2
′′
2
3
q
∂
UUUU
Φ∂
3
q
,
2
′′
2
2
( )
∂
UF
2
′′
∂
U
3
Φ+
2
p
2
∂
UF
=
∂
Φ+
2
∂
32
2
2
p
∂
UF
′
′
∂
=
′′
′
∂
∂
Φ+
22
2
2
p
∂
Φ∂
2
=
∂
2
Φ∂
2
p
2
′′
∂
3
Φ∂
2
Φ∂
p
′
∂
2
Φ∂
2
p
′
∂
2
′
∂
2
2
Φ+
′
32
Φ∂
2
′
∂
2
Φ+
′′
22
2
2
′′
3
Φ+
3
p
Φ∂
2
′
∂
3
2
3
p
∂
Φ∂
2
′′
∂
2
2
3
p
∂
Φ∂
+
∂
2
Φ∂
3
p
2
′′
∂
3
Φ∂
+
∂
Φ∂
3
p
′
′
∂
32
Φ∂
+
∂
Φ∂
3
p
′′
′
∂
22
2
3
′′
3
Φ+
2
q
Φ∂
3
′
∂
2
Φ+
2
q
Φ∂
3
′
∂
2
Φ+
2
q
+
Φ∂
∂
2
Φ∂
∂
3
3
+
′
3
2
Φ∂
′
∂
∂
3
+
′′
2
2
Φ∂
′
∂
∂
2
2
′′
3
2
q
Φ+
2
′′
Φ∂
2
′
∂
2
2
q
′
32
Φ∂
2
′
∂
2
2
q
′′
22
Φ∂
+
∂
UUUU
2
3
q
∂
UUUU
Φ∂
2
′
∂
3
Φ+
3
q
∂
Φ∂
2
′′
∂
2
Φ+
3
q
∂
2
3
qqpp
+
′′
3
Φ∂
3
q
,
2
′′
3
Φ∂
+
∂
2
Φ∂
′
∂
Φ∂
+
∂
2
Φ∂
′
∂
Φ∂
3
′
2
3
q
′
UUUUUUUU
32
3
′
2
3
q
′′
UUUUUUUU
22
3
qqqqpppp
+
′
∂
UUUUUUUUUU
3
,
Φ∂
3
qqqqpppp
+
′′
∂
UUUUUUUUUU
2
,
119
(
)
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
Φ
∂
(
)
(
)
(
)
()()()()()(
)
Φ
Φ
1
1
=
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
UF
′
∂
32
Φ+
2
p
∂
2
UF
′
∂
23
Φ+
2
p
∂
2
UF
′
∂
33
2
=
′′
2
Φ∂
2
p
′
∂
2
=
′′
2
Φ∂
2
p
′′
∂
2
=
′′
2
′
∂
2
Φ+
′′
32
Φ∂
2
′′
∂
2
Φ+
′
32
Φ∂
2
′
∂
3
2
+
′′
∂
3
2
Φ∂
p
3
p
p
∂
′
∂
∂
Φ∂
2
+
′
∂
3
2
Φ∂
3
Φ∂
′′
∂
∂
2
+
′′
3
3
′
∂
2
3
Φ+
′′
32
Φ∂
3
′′
∂
2
3
p
∂
Φ+
′
32
Φ∂
3
′
3
3
+
′′
∂
3
2
Φ∂
2
q
Φ∂
∂
q
Φ∂
∂
′
∂
3
+
′
3
2
Φ∂
2
∂
3
+
′′
3
2
′
∂
2
2
q
′′
∂
32
Φ∂
2
′′
∂
2
2
q
′
′′
∂
32
Φ∂
2
′
∂
3
2
+
′′
∂
3
2
Φ+
3
q
∂
Φ∂
2
+
′
∂
3
Φ+
3
q
∂
Φ∂
2
+
′′
∂
3
3
′
∂
2
Φ∂
3
q
′′
′
∂
UUUUUUUU
32
Φ∂
3
′′
∂
2
2
Φ∂
3
q
′
′′
∂
UUUUUUUU
32
Φ∂
3
′
∂
∂
3
3
qqqqpppp
+
′′
∂
UUUUUUUUUU
3
,
Φ∂
3
qqqqpppp
+
′
∂
UUUUUUUUUU
3
,
Φ∂
3
qqqqpppp
+
′′
UUUUUUUUUU
3
2
Φ∂
2
Φ+
2
p
∂
2
∂
UF
′′
∂
∂
Φ+
2
p
p
′
∂
2
=
′′
32
2
Φ∂
′′
∂
∂
Φ+
′′
33
Φ∂
p
2
′′
∂
2
2
Φ+
′′
32
2
Φ∂
3
p
3
p
′
∂
∂
Φ∂
2
+
′′
∂
3
2
Φ∂
3
p
′′
∂
∂
Φ+
′′
33
Φ∂
3
′′
∂
3
p
∂
2
Φ+
′′
32
2
Φ∂
2
q
2
q
Φ∂
′
∂
∂
3
+
′′
∂
3
2
Φ∂
2
q
′′
∂
∂
Φ+
′′
33
Φ∂
q
Φ∂
2
′′
∂
2
2
Φ+
′′
32
2
Φ∂
3
q
′
∂
2
+
′′
3
2
3
q
∂
3
q
,
′′
∂
UUUUUUUU
33
Φ∂
∂
Φ∂
3
′′
2
3
qqqqpppp
+
′′
∂
UUUUUUUUUU
3
Φ∂
′′
3
q
.
′′
∂
UUUUUUUU
32
Необходимо иметь в виду следующее
2
UF
∂
2
UF
∂
=
′
∂
2
∂
32
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
UF
′
′
UU
∂
′
UU
∂
∂
2
∂
23
UF
=
′
∂
23
′′
′
UU
∂
′′
UU
∂
∂
32
Определим частные производные первого и второго порядка по
отношению к функциям
Прежде всего, определим частные производные первого порядка
при равных индексах, когда
p
∂
∂
∂
и
l
:
=
2
UF
∂
,,,
′
′′
UU
∂
∂
23
2
UF
2
UF
∂
2
UF
∂
=
′′
′
′′
′
UU
∂
11
′′
UU
∂
∂
11
′
UU
∂
∂
32
=
2
UF
∂
.,,
′′
′′
UU
∂
∂
23
2
UF
∂
2
UF
∂
2
UF
∂
=
′′
′
′′
′
UU
∂
313
′′
UU
∂
∂
33
′′
UU
∂
∂
32
.
q
k
,
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]