Решение систем уравнений установившегося режима электроэнергетической системы. Учебное пособие

Каждая строка

Z

∆

Z

∆

1 1

.

i j

Z

()(

)

[

]

{

ËZ∆-

матрицы определяется разностью двух

строк прямоугольной матрицы мерами тех чисел, между которыми находятся удаленные ветви

Во время построения матрицы щих строк подматрицы

,

номера которых совпадают с но

.

ËZ∆

необходимо иметь в виду, что к элемен

при выборе соответствую

там каждой последующей подматрицы по столбцам нужно прибавить элементы последних строк предыдущей подматрицы, этим и заверша ется построение подсчетной матрицы

Z.

Предположим, что в соответствующих узлах первоначальной ЭЭС происходят структурные изменения по причине подключения отдельных ветвей. В этом случае возникает проблема коррекции рас четной матрицы узлы, так и в других радиально связанных подсистемах

Z

как в первой подсистеме, где находятся базисные

.

В первой подсистеме структурные изменения происходят между ветвями из-за подключения или отключения отдельных ветвей, в ре зультате чего меняется матрица узловых сопротивлений

В случае если одновременно подключаются две ветви между уз лами

А-В и С-D, то

ражением

новая матрица

:

H

Z

определяется следующим вы

ji

11

-

H

ji

Ï

ji

Ä

ZZZ

∆+=

.

ji

111111

Здесь

матрицу до подключения новых ветвей, а

Ï

Z

представляет собой первоначальную матрицу, т. е

ji

11

Ä

Z11∆

–

дополнительную

ji

матрицу, которая выявляется вследствие подключения новых отме ченных ветвей

.

Элементы предварительной матрицы определяются согласно следующему выражению

:

1

L

ij

( )

∆

∆∆

ZZZZZZZ

++−++−−=

DjCjABCDBjAjCDiBiA

(2.42)

( )

[ ]

( ) ( )

ZZZZZZ

+−++−−+

DjCjABBjAjABCDiDiC

}

,∆∆

.

-

51

где

∆

2 ,

∆

2 ,

∆

,

CD CC DD CD

ABCD BC AD BD AC

AB CD ABCD

DBBDDD

BB

(

)

(

)

+−−

AB

Z Z Z Z

= + + −

AB AA BB AB

CD

Z Z Z Z

= + + −

(2.43)

Z Z Z Z

= + − −

∆ ∆ ∆ ∆

= ⋅ −

2

,

где чаются между узлами

CDAB

ZZ , –

комплексные сопротивления ветвей, которые подклю

А-В и С-D;

iÀ

ic

Àj

ZZZZ ,,, –

Cj

комплексные со

противления между теми же основными узлами, к которым подклю чаются начала ветвей

CDAB

ZZ , ;

комплексные со

DjBjiDiB

противления между теми же основными узлами, к которым подклю чаются концы ветвей

CDAB

ZZ , ;

ÀA

CC

ÀC

ZZZZ ,,, –

CA

комплексные со

противления, которые подключаются между узлами, к которым под ключаются начала этих ветвей

;

ZZZZ ,,,

–

комплексные со

противления между узлами, к которым подключаются концы этих ветвей

узлами, к которым подключаются начала и концы этих ветвей

;

ÀB

ZZ , –

CD

комплексные сопротивления, происходящие между

.

Предположим, что одновременно подключаются не две ветви, а

-

одна между узлами, тогда выражение

где

В;

ÀA

В;

Z –

ÀB

мыми узлами

iÂ

ÂÂ

Àj

частные комплексные сопротивления между узлами

iÀ

ZZ , –

продольные комплексные сопротивления между теми же са

.

Z

ZZZZ ,,, –

Âj

(2.42)

L

=

ij

AB

примет следующий вид

ZZZZ

BjAjiBiA

, (2.44)

ZZZZ

2−++

ABBBAA

комплексные сопротивления между узлами

52

:

А и

-

В результате этого меняется квадратная матрица узловых сопро

′

∆

+′∆

′

∆

3

2

′

∆

(

)

-

тивлений первой подсистемы, составленной из единственного базис ного узла, которую мы обозначим по

вых сопротивлений отдельных подсистем, т. е

Z

.

Квадратные матрицы узло

ji

11

.

ZZZ

K

3322

jijiji

NN

остаются неизменными, и искомая расчетная уточняющая матрица примет следующий вид

:

Z

ji

11

Z

ji

22

Z

l

i

1

l

i

2

. . . . . . . . . . . . . (2.45)

Z

ji

NN

∆

Z

l

i

N

ZZ

ËË

Как можно заметить щая в выражение

(2.45),

,

Z

–

прямоугольная подматрица, входя

l

i

1

тоже меняется по причине изменения матри

-

,,

-

цы

Z

.

Для других прямоугольных подматриц

ji

11

необходимо сказать следующее: если

ll

, ii

больше, чем номера уда

(

Z

,

Z

l

i

2

…)

l

i

3

ленных ветвей, тогда они остаются устойчивыми, в противном случае они тоже меняются

Прямоугольная квадратная подматрица

.

Z

∆

ËZ

подматрица остается неизмененной, и

l

i

N

строится по вышеприведенному методу

.

Рассмотрим тот случай, когда изменения происходят в любой подсистеме типа

Если квадратная матрица

k.

Z

первой подсистемы узловых со

ji

11

противлений связана с единственным и базисным узлом, то относи тельно других матриц узловых сопротивлений подсистемы мы то же самое сказать не можем

Каждая подматрица сопротивлений подсистемы типа

ничным узлам предыдущей подсистемы

.

ji

kk

1 ≠kZ

следующей матрицы узловых

k

строится по отношению к погра

(k – 1).

-

Для реализации структурных изменений матрицы узловых со противлений подсистемы типа

k

необходимо привести последнюю в

форму пограничного узла, которая принадлежит данной подсистеме

53

-

.

Для этого достаточно из элементов первоначальной расчетной

=

′

+′∆

матрицы ний, которая связывает подсистему типа

(2.41)

( ) ( )

удалить величину взаимно комплексных сопротивле

ZZ

11 −−

k с

подсистемой

.

kkkk

[k – 1], т. е.

После этого можно реализовать структурные изменения рас сматриваемой подсистемы типа

Структурное изменение в рассматриваемой подсистеме

k.

k

может возникнуть даже из-за подключения или отключения отдельных вет вей

.

В том случае, если одновременно подключаются две ветви

можно воспользоваться следующим выражением

H

ji

Ï

ji

Элементы дополнительной матрицы

жениями

(2.42) и (2.43), а в

ветвь, нужно воспользоваться выражением

Ä

ZZZ ∆+=

.

ji

kkkkkk

том случае, когда подключается одна

(2.44).

:

Ä

Z∆

определяются выра

ji

kk

-

,

-

После завершения построения матрицы

тивлений типа

k ее

необходимо привести в первоначальный вид, т. е

Z

узловых сопро

ji

kk

ее нужно построить по отношению к граничной точке подсистемы

(k – 1).

Для этого нужно прибавить элементы полученной новой под

матрицы торый связывает подсистему

рица будет иметь следующий вид

Z

к

комплексному сопротивлению продольной ветви, ко

ji

kk

Если обозначим ее

Z

(k – 1) с

,

то

ji

kk

искомая уточненная расчетная мат

:

подсистемой типа

k.

Z

ji

11

∆

Z

l

i

1

. . . . . . . . . . . .

Z

ji

kk

∆

Z

l

i

k

. . . . . . . . . . . . . (2.46)

Z

ji

NN

∆

Z

l

i

N

.

-

54

ZZ

ËË

Рассматривая матрицу

′

∆

()(

)

[

]

=′′′+−=′′′Φ

(2.46),

можно отметить, что соответ

-

ственно любым изменениям меняется и

Z

∆

.

l

i

k

Необходимо обратить внимание и на то, что если такие высокие

подматрицы

∆

Z

не

l

i

1

меняются выше

Z

∆

i

k

, то

l

ниже данной подмат

рицы меняются, и как всегда не меняется подматрица последней под матрицы

вышеприведенному методу

.

Z

-

подматрицу, которая тоже изменяется, нужно построить по

Ë

.

Во время коррекции расчетной диакоптической матрицы

Z ме-

тод обеспечивает высокую маневренность при ее использовании, т. е во время расчета установившегося режима оптимальной ЭЭС

.

Численные исследования показывают, что коррекция расчетной диакоптической матрицы объема

.

Z

требует небольшого вычислительного

2.4. Построение диакоптической модели «Z, P-Q»

-

.

Строя диакоптическую матрицу

Z и

решая вопрос ее коррекции мы можем перейти к построению диакоптической математической мо дели

«Z, P-Q»,

исходной информации задаются активные и реактивные мощности

когда для независимых станционных узлов в качестве

.

Для этого необходимо построить системы нелинейных алгебра ических уравнений, совокупность которых представляет собой диа коптическую математическую модель установившегося режима БЭЭС

ный ток

.

Если умножим первую систему

,

i

тогда получим

i

1

(2.19) на

комплексно сопряжен

IIPPII

iiipi

1111

Ái

1

iipi

111

,0,φ,

(2.47)

( ) ( )

Φ

′′′

[ ]

iiiqi

1111

Ái

+−=

1

′′′

IIQQII

iiqi

111

=

,0,φ,

,

-

55

где

[

]

′′′′+′′

=

(

)

(

)

(

)

′′′

=

()(

)

(

)

Á

(

)

Á

()(

)

M

1

( ) ( ) ( )

′′′

=

∑

i

1

′′

+

′′′′

+

′′′

−

′′′

,,φ

IIIIXIIIIRII

jijijijijijiiipi

111111111111111

M

1

( ) ( ) ( )

′′′

[ ]

=

∑

i

1

′′

+

′′′′

−

′′′

−

′′′

,,φ

IIIIRIIIIXII

jijijijijijiiiqi

111111111111111

,

IUIUP

i

ÁiÁi

1

11

Ái

i

1

( )

−=

′′

−

i

ÁiÁi

1

11

Ái

′′′′

.

IUIUQ

i

1

Подмодель

(2.47),

полученную для первой подсистемы, нужно реализовать по методу второго порядка, или методу Ньютона Рафсона, для чего построим следующую квадратную функцию

:

22

Φ+Φ=

qipii

111

где

IF , (2.48)

∑

i

1

III

,

.

Квадратную функцию

(2.24)

разложим в ряд Тейлора

2

( )

IF

∂

0

( )

IFIF +∆

+=

0

I

∂

I

1 2

∂

T

II

∆+∆

IF

2

I

∂

0

I

( )

IFI

Á

, (2.49)

–

где

IF

–

да Тейлора, а

Если пренебречь слагаемым

дующий вид

сумма слагаемых производных выше второго порядка ря

Т –

знак транспонирования

.

IF

,

тогда ряд

(2.49)

примет сле

:

2

∂

T

II

IF

. (2.50)

I

2

I

∂

∆

0

I

( )

0

( )

IFIF

IF

∂

+=

0

I

∂

I

56

1

∆+∆

2

-

Необходимо найти такой прирост

I

∆

0.

+ ∆ + ∆ ∆ =

()(

)

(

)

(

)

(

)

()(

)

=∆+

, который будет минимизи-

ровать функцию (2.50), и, соответственно, нужное условие запишем в следующем виде:

 

∂

 

I I

∂∆ ∂

 

 

0

F I I I I

( )

F I F I

∂ ∂

( ) ( )

0

I

Учитывая тот факт, что производная первой функции выраже-

ния (2.51) равна нулю, получим



∂

IF

( ) ( )

∂



∆∂

∂

I





0

I

1

∂

T

∆+∆

II

2

Введем следующие обозначения:

∂

IF

∂

0

I

1 2

2

T

2

I

∂

0

I

(2.51)

2

IF

2

∂

I

1

T

∆+∆

II

2



.0

=

∆

I



0





2

∂

IF

(2.52)

.0

=∆

2

∂

I

0

I

В результате получим

IF

∂

 





=



I

∂



( )

IG

– столбцевую матрицу градиента от заданной функции

1F

2



∂



∂





IF

=



2

I



( )

IH

,

которая называется

матрицей Гессе

и

представляет собой необычную квадратную матрицу, имеющую элементы частных производных вто рого порядка. Тогда выражение

(2.52)

примет следующий вид

:

(2.53)

.0

IIHIG

-

57

Из полученного выражения

I

∆

(

)

[

]

(

)

[

]

I

[][][

]

[

]

[

]

(

)

[

]

(

)

()(

)

(

)

1

&

()(

)

[

]

=′′′+−=′′′Φ

(2.53)

1

определим

(2.54)

.

IGIHI ⋅−=∆

00

II

Фактически выражение

коррекции вектора

.

Если обозначим новый вектор

шага, тогда можем написать

01

,

III ∆+=

или

Для первой подсистемы выражение

принимает следующий вид

+

1

È

    







′

I

,

ki



11

 

′′

I

,

ki



11







I

 

=



I

 



È



′

,

ki



11

 

′′

,

ki



11





  

−

  



(2.54)

1

:

2

∂

′

∂

2

∂

′′

∂

представляет собой приращение

1

, т. е.

0

его значения для первого

−1

⋅−=

0

I

(2.55) в

2

IF

i

1

′

∂

II

,,

iki

1111

( ) ( )

IF

i

1

′

∂

II

,,

iki

1111

∂

IF

i

1

′

2

′′

∂

II

iki

IF

i

1

′′

∂

II

iki

. (2.55)

IGIHII

развернутой форме

−

1



∂

IF







∂

,,

ll



1111

  

,,

ll



1111

I



∂

 

∂

I



È

i

1

′

,

l

i

11

( )

IF

i

1

′′

,

l

i

11

 

. (2.56)

   

Реализовав первый шаг, или итерацию, для первой подсистемы определим компоненты комплексных токов и, соответственно, сами комплексные токи

Зная комплексный ток узла определить комплексное напряжение

и построим математическую подмодель второй подсистемы

.

Ì

второй подсистемы, мы сможем

.

U

Ì

1

Имея

U

,

определим

Ì

1

U

Ái

2

IIPPII

iiipi

2222

Ái

2

iipi

222

,0,φ,

(2.57)

( ) ( )

Φ

′′′

[ ]

iiiqi

2222

58

Ái

+−=

2

′′′

IIQQII

iiqi

222

,0,φ,

=

,

где

[

]

′′′′+′′

=

(

)

(

)

i pi qi

∑

()(

)

(

)

−

È

2

M

2

( ) ( ) ( )

′′′

=

∑

i

2

′′

+

′′′′

+

′′′

−

′′′

,,φ

IIIIXIIIIRII

jijijijijijiiipi

222222222222222

M

2

( ) ( ) ( )

′′′

[ ]

=

∑

i

2

′′

+

′′′′

−

′′′

−

′′′

.,φ

IIIIRIIIIXII

jijijijijijiiiqi

222222222222222

С другой стороны

,

i

ÁiÁi

2

22

Ái

i

2

,

IUIUP

( )

−=

′′

−

i

ÁiÁi

2

22

Ái

′′′′

.

IUIUQ

i

2

Полученную математическую подмодель ализовать по методу второго порядка, или методу Ньютона на, для чего построим следующую квадратичную функцию

F I = Φ + Φ

2 2 2

Поступив так же с функцией

i

(2.58),

2 2

2

(2.57)

также нужно ре

–

Рафсо

:

. (2.58)

как в предыдущем случае с

математической подмоделью второй подсистемы, получим следую

-

щее рекуррентное выражение

:

+

1

È



I

  

I

 



′

,

ki



22

 

′′

,

ki



22



=



′

I

  

I

 

È



,

ki



22



−



′′

,

ki



22



2



∂



∂

 

∂



∂





IF

i

2

′

′′

′

∂

II

,,

iki

2222

2

( ) ( )

IF

i

2

′

∂

II

,,

iki

2222

2

∂

IF

i

2

′

∂

2

∂

′′

∂

′′

∂

II

iki

IF

i

2

′′

∂

II

iki

1

  

,,

ll

2222

  

,,

ll



2222

∂

IF

 

′

∂

I

,

i



⋅

( )

∂

IF

 

′′

∂

I





,

i

Реализовав первый шаг, или итерацию, получим комплексные токи узлов второй подсистемы, а также комплексные токи крещивающиеся с узлами третьей подсистемы

59

.

i

2

l

22

i

2

l

22

Ì

  

. (2.59)

 





,

пере

-

Определив комплексное напряжение

2

()(

)

[

]

=′′′+−=′′′Φ

′′′′+′′

=

(

)

(

)

Ì

узла, сможем построить

математическую подмодель третьей подсистемы и т. д

Реализовав математическую подмодель предпоследней подси стемы, сможем определить

дель последней подсистемы

U

Ái

и

построить математическую подмо

N

IIPPII

iipi

NNN

′′′

IIQQII

iiqi

NNN

Φ

iiipi

NNNN

( ) ( )

′′′

iiiqi

NNNN

Ái

N

[ ]

Ái

+−=

N

где

M

N

( ) ( ) ( )

′′′

[ ]

=

∑

i

N

′′

+

′′′′

+

.

,0,φ,

(2.60)

,0,φ,

=

′′′

−

-

′′′

,,φ

IIIIXIIIIRII

jijijijijijiiipi

NNNNNNNNNNNNNNN

M

N

( ) ( ) ( )

′′′

[ ]

=

∑

i

N

′′

+

′′′′

−

′′′

−

′′′

IIIIRIIIIXII

jijijijijijiiiqi

NNNNNNNNNNNNNNN

С другой стороны

,

i

ÁiÁi

N

NN

Ái

i

N

,

IUIUP

( )

−=

′′

−

i

ÁiÁi

N

NN

Ái

′′′′

.

IUIUQ

i

N

Полученную математическую подмодель по методу второго порядка, или методу Ньютона

(2.60)

–

реализуем снова

Рафсона, и соот

ветствующая квадратичная функция представится в следующем виде

22

IF

∑

i

N

Φ+Φ=

. (2.61)

qipii

NNN

.,φ

-

:

Разложив ряд Тейлора

(2.61) и

сделав соответствующие моди фикации для реализации математической подмодели следующее рекуррентное выражение

:

60

(2.60),

получим

-