Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Решение систем уравнений установившегося режима электроэнергетической системы. Учебное пособие
.pdf
(
)
′′′
=
,
N N
m k
F F
(
)
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
Для
N
подсистем
III
nnn
,,
NNN
=
=
′′′
UUU
lll
NNN
( )
=
тогда функции
( )
Согласно этим обозначениям математическая модель
примет следующий вид
( )
IF
nm
NN
UF
lk
NN
,,
будут представлены в следующем виде
=
=
,0
,0
,0
.0
IF
npm
NN
( )
IF
nqm
NN
UF
lpk
NN
( )
UF
lqk
NN
:
:
(3.58)
IF
11
( )
UF
. . .
Как было отмечено, полученную математическую модель
можно реализовать по методу минимизации, или по методу
Ньютона
соответствующие квадратные функции
–
Рафсона второго порядка, для которого нужно построить
,0
,0
=
11
=
,0
,0
.
IF
NN
( )
UF
NN
=
. (3.59)
,0
,0
(3.59)
IF
22
( )
UF
22
91
()(
)
(
)
()(
)
(
)
()(
)
(
)
()(
)
(
)
()(
)
(
)
,
∑ ∑
1, 2
i N
=
Для каждой подсистемы составим квадратные функции, выби
рая нелинейные векторные функции двух видов: верхнюю левую и
нижнюю правую
.
Для нелинейных векторных математических моделей верхняя
левая и нижняя правая отмеченные квадратные функции первой под
системы запишутся следующим образом
2
1
11
m
1
( ) ( )
2
1
11
k
1
∑∑
m
1
( )
∑∑
k
1
22
+==
FFIFIF
qmpm
+==
FFUFUF
qkpk
:
,
11
22
.
11
Для второй подсистемы
2
2
22
m
2
( ) ( )
2
22
k
2
m
2
∑∑
2
( )
∑∑
k
2
22
+==
FFIFIF
+==
FFUFUF
,
qmpm
22
22
.
qkpk
22
-
-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Для
N
подсистем
m
N
( ) ( )
k
N
222
+==
NNN
∑∑
m
N
( )
∑∑
NNN
k
N
FFIFIF
qmpm
+==
FFUFUF
,
NN
222
.
qkpk
NN
Как видим, квадратные функции, составленные для всех подси
стем, являются одинаковыми, что дает возможность пользоваться
обобщенными видами их представления
222
+==
∑∑
iii
m
i
F U F U F F
= = +
i i i pk qk
2 2 2
k k
i i
m
i
FFIFIF (3.60)
i i
,
qmpm
ii
(3.61)
-
где
K
.
92
(
)
i
Б
(
)
i
Б
I
[
]
∆
∂
∂
I
0.
∆ + ∆ ∆ =
Разложив по отдельности квадратные функции
(3.60) и (3.61) в
ряд Тейлора, можем построить соответствующие рекуррентные вы
ражения
.
Разложим квадратную функцию
(3.60) в
ряд Тейлора, получим
где
+=
I
∂
IF
представляет собой сумму членов ряда Тейлора, которые
i
i
i
IF
∂
o
)()(
ii
IFIF
1)(
i
∆+∆
2
2
∂
2
II
)(
i
IF
i
+∆
oo
2
I
∂
i
II
i
)(
i
IFI
Б
, (3.62)
имеют частные производные выше второго порядка. Если пренебречь
IF
,
квадратная функция
(3.62)
примет следующий вид
:
2
i
IF
∂
o
ii
IFIF
+=
)()(
o
i
I
∂
i
I
1)(
i
2
∂
2
II
∆+∆
i
IF
)(
2
i
I
∂
. (3.63)
i
I
∆
o
i
-
Условие минимума полученной функции
щий вид
:
где
Т –
знак транспонирования
Поскольку
o
i
IF
i
тогда выражение
∂
∆∂
i
I
IF
∂
i
o
)(
+
i
IF
∂
i
I
.
0)( =
,
(3.64)
∂ ∂ ∂
i i i
I I I
∂∆ ∂ ∂
примет следующий вид
( ) 1 ( )
i i
F I F I
i i i
I I I
2
2
T
(3.63)
1)(
∆+∆
2
2
∂
T
ii
II
IF
2
∂
i
I
имеет следую
i
∆
I
0
=
i
)(
-
, (3.64)
:
2
(3.65)
93
∂
∂
i
I
I
i
I
I
∂
∂
[][][
]
−=∆
[][][
]
или
Из
(3.65)
∂
следует, что
2
i
IF
i
∂
+∆
i
I
IF
2
∂
)()(
i
∆
2
2
,0
=
i
I
IF
i
i
I
∆
−=
i
IF
∂
)()(
. (3.66)
i
Введем следующие обозначения
2
∂
∂
)(
i
IF
2
i
I
=
[ ]
)(
i
IH
–
неособенная квадратная матрица Гесса
∂
[ ]
)(
i
=
i
I
∂
IG
)(
i
IF
–
столбцевая матрица градиента
.
В результате матричное выражение
вид
:
)()(
ii
IGIIH
.
:
;
(3.66)
примет следующий
Откуда
-1
)()(
ii
IGIHI −=∆ .
Можно написать следующее рекуррентное выражение
-1
)(
i
IF
i
[ ]
И
2
)(
i
IGI
,
И
[ ]
2
∂
[ ]
I
И
−=
I
∂
1И
+
94
:
И
−
(
)
i
Б
(
)
i
Б
[
]
∆
∂
∂
U
а в открытом и законченном виде
1
И
+
=
′
I
ik
′′
I
ik
И
′
I
ik
′′
I
ik
−
( ) ( )
∂
∂
IF
i
′
′
∂
∂
II
iik
( ) ( )
IF
i
′
′′
∂
∂
II
iik
22
∂
∂
∂
∂
IF
i
′′
′
∂
II
iik
ll
22
IF
i
′′
′′
∂
II
iik
ll
который будет правильным для всех подсистем
лучим
Разложив вспомогательную функцию
(3.61) в
+=
i
U
∂
iU
i
UF
∂
o
)()(
ii
UFUF +∆
1)(
i
∆+∆
2
2
∂
2
UU
∂
U
i
UF
2
i
где
UF
представляет собой сумму тех членов ряда Тейлора, кото
1
( )
∂
IF
′
I
ik
( )
IF
′′
I
ik
i
,
(3.67)
i
∂
∂
∂
.
ряд Тейлора, по
-
)(
)(
ii
UFU
oo
iU
Б
, (3.68)
-
рые имеют частные производные выше второго порядка. Если прене
бречь
UF
, то
ряд Тейлора
(3.68)
примет следующий вид
:
∂
o
ii
UFUF ∆
+=
)()( ,
)(
∆
iU
i
U
∂
1
i
∆+
2
i
UF
2
∂
2
UU
∂
U
i
UF
)(
2
i
i
U
oo
iU
∂
∆∂
U
UF
i
∂
o
)(
+
i
i
UF
∂
i
U
1)(
∆+∆
UU
2
2
∂
T
ii
∂
U
)(
i
UF
2
i
∆
U
0
=
i
.
Поскольку
o
i
UF
i
,0)( =
тогда
-
∂
∂
∂
∆
i
U
i
UF
∂
i
U
1)(
∆+∆
UU
2
2
∂
T
ii
∂
U
)(
i
UF
2
i
∆
U
i
(3.69)
.0
=
95
∂
∂
i
U
U
i
U
U
∂
∂
[][][
]
−=∆
[][][
]
И
или
Из
(3.69)
∂
следует
2
∂
i
UF
+
i
)()(
i
UF
∆
2
U
,
0
=
i
2
∂
)(
i
UF
∆
i
2
U
∂
−=
)(
i
UF
.
(3.70)
i
Введем следующие обозначения
2
∂
U
∂
)(
i
UF
2
i
=
[ ]
)(
i
UH
–
неособенная квадратная матрица Гесса
∂
∂
U
[ ]
=
i
)(
i
UG
)(
i
UF
–
столбцевая матрица градиента
.
В результате матричное выражение
вид
:
)()(
ii
UGUUH
,
:
;
(3.70)
примет следующий
откуда
-1
)()(
ii
UGUHU −=∆ .
Можно написать следующее рекуррентное выражение
+
[ ] [ ] [ ]
И1И
−=
U
∂
2
∂
-1
)(
i
UF
2
i
)(
i
UGUU
,
И
96
:
−
И
(
)
которое представится в открытом и законченном виде
+
1
И
′
U
i
l
′′
U
i
l
=
U
U
И
′
i
l
′′
i
l
−
( ) ( )
∂
UF
i
′
′
∂
∂
∂
∂
UU
iki
( ) ( )
UF
i
′
′′
∂
UU
iki
22
∂
UF
′
∂
∂
∂
∂
UU
22
UF
′′
∂
UU
1
i
′′
iki
ll
i
′′
iki
ll
( )
∂
IF
i
′
∂
U
ik
( )
∂
IF
i
′′
∂
U
ik
и которое также будет правильным для всех подсистем
.
3.3. Получение частных производных аналитических видов,
входящих в состав рекуррентных выражений (3.67)
Имея построенное рекуррентное выражение
делить соответствующие производные
.
(3.67),
нужно опре
Сначала установим виды производных рекуррентного выраже
(3.71)
-
-
ния
(3.67).
Частные производные первого порядка столбцевой матрицы
градиента определяют следующим образом
:
Г
∑
n
i
1
=
i
∂
IF
i
=
′
∂
I
m
i
F
pn
∂
F
pn
i
i
∂
+
′
I
m
i
F
qn
∂
i
∂
F
qn
i
,2
′
I
m
i
(3.72)
Г
∑
n
i
1
=
i
( )
∂
IF
i
=
′′
∂
I
m
i
F
pn
∂
F
pn
i
i
∂
+
′′
I
m
i
F
qn
∂
i
∂
Пользуясь частными производными первого порядка
F
qn
i
.2
′′
I
m
i
(3.72), не-
трудно определить частные производные второго порядка матрицы
Гесса
qn
′
m
22
1
+
F
1
pn
n
Г
∑
1
∂
1
=
F
∂
1
pn
1
′
I
m
1
+
∂
F
∂
I
2
( )
∂
IF
i
=
2
′
∂
I
m
1
2
∂
F
pn
1
+
F
1
2
′
∂
I
m
1
qn
2
∂
1
∂
I
F
qn
1
,2
2
′
m
i
97
1
1
≠
qn
m
22
1
+
F
′′
1
pn
n
Г
∑
1
∂
1
=
F
pn
1
1
′′
∂
I
m
1
+
∂
F
∂
I
2
( )
∂
IF
i
=
2
′′
∂
I
m
1
2
∂
F
pn
1
+
F
1
2
′′
∂
I
m
1
qn
2
∂
1
∂
I
F
qn
1
,2
2
′′
m
i
2
( )
∂
∂
IF
i
′′
′
∂
II
mm
11
=
n
Г
∑
1
∂
1
∂
1
=
F
∂
F
pn
′
I
m
1
pn
1
∂
I
m
∂
1
+
′′
∂
1
F
∂
F
qn
′
I
m
qn
1
1
1
+
F
′′
∂
I
m
1
pn
∂
F
pn
1
+
F
1
∂
′′
′
∂
II
mm
11
qn
22
∂
F
1
′
∂
qn
1
,2
′′
∂
II
mm
11
2
( )
∂
∂
IF
i
′
′
∂
II
nm
11
=
∑
n
Г
∂
1
∂
1
=
1
F
∂
F
pn
′
I
m
1
pn
1
′
∂
I
n
∂
1
+
∂
1
F
∂
F
qn
′
I
m
qn
1
1
1
+
F
′
∂
I
n
1
pn
∂
F
pn
1
+
F
1
∂
′
′
∂
II
nm
11
qn
22
∂
F
1
′
∂
qn
1
,2
′
∂
II
nm
11
nm
2
( )
∂
∂
IF
i
′′
′′
∂
II
nm
11
=
∑
n
Г
∂
1
∂
1
=
1
F
∂
F
pn
′′
I
m
1
pn
1
∂
I
n
∂
1
+
′′
∂
1
F
∂
F
qn
′′
I
m
qn
1
1
1
+
F
′′
∂
I
n
1
pn
∂
F
pn
1
+
F
1
∂
′′
′′
∂
II
nm
11
qn
22
∂
F
1
′′
∂
qn
1
,2
′′
∂
II
nm
11
2
( )
∂
∂
IF
i
′′
′
∂
II
nm
11
=
∑
n
Г
∂
1
∂
1
=
1
F
∂
F
pn
′
I
m
1
pn
1
∂
I
n
∂
1
+
′′
∂
1
F
∂
F
qn
′
I
m
qn
1
1
1
+
F
′′
∂
I
n
1
pn
∂
F
pn
1
+
F
1
∂
′′
′
∂
II
nm
11
qn
22
∂
F
qn
1
1
∂
′′
′
∂
II
nm
11
Как видим, в частные производные первого и второго порядков
входят также соответствующие частные производные согласно функ
циям
pF и qF .
Из отмеченных функций частные производные первого порядка
определяются следующим образом
–
при равных индексах
:
∂
F
p
m
1
′
∂
I
m
1
′
−=
+
′
+
n
Б
1
( )
∑
1
1
≠=mn
11
′
−
,,,Б
′′
IXIRIRU
nnmnnmmmmm
1111111111
.2
-
,2
98
2 ,
2 ,
′′ ′′ ′′ ′
′′ ′ ′ ′′
)
;
′
∂
,
.
′ ′ ′ ′ ′′ ′′
′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′
Б
F
∂
p
m
1
′′
I
∂
m n
1 1
F
∂
q
m
1
′
I
∂
m n
1 1
F
∂
q
m
1
′′
I
∂
m
1
U R I R I X I
= − + + +
= − + + +
= − + + −
Б , , ,
m m m m m n n m n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
U X I X I R I
Б , , ,
m m m m m n n m n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
′ ′′ ′′
U X I X I R
Б , ,
2
m m m m m n n m
1 1 1 1 1 1 1
1
( )
∑
1
=
n m
≠
1 1
Б
1
( )
∑
1
=
n m
≠
1 1
Б
1
(
∑
1
n
=
1
n m
≠
1 1
I
,
n n
1 1 1
– при разных индексах
F
p
m
1
′
I
∂
n
1
F
∂
p
m
1
′′
I
∂
n
1
F
∂
q
m
1
′
I
∂
n
1
F
∂
q
m
1
′′
I
∂
n
1
( )
−=
( )
−=
( )
−=
( )
−=
′
+
′′
+
′
−
′′
+
′′
,
IXIR
,,
mnmmnm
111111
′
,
IXIR
,,
mnmmnm
111111
′′
,
IRIX
,,
mnmmnm
111111
′
.
IRIX
,,
mnmmnm
111111
С другой стороны,
M
1
U U A U A U
U U A U A U
= + −
Б Б , ,
m m m
1 1 1 1 1 1 1 1
= + +
Б Б , ,
m m m
1 1 1 1 1 1 1 1
l
1 1
l
1 1
∑
= +
∑
= +
( )
Б 1
M
1
( )
Б 1
l l l l
l l l l
99
Частные производные второго порядка определяются при равных индексах
2
∂
F
pm
1
2
′
∂
I
m
1
=
=
2
∂
F
pm
1
−=
2
′′
∂
I
m
1
X
,2,2
,
mm
11
2
∂
F
pm
1
−=
R
,
2
′′
∂
I
m
1
mm
2
∂
F
qm
1
11
2
′
∂
I
m
1
2
∂
F
∂
I
Частные производные второго порядка смешанного типа определяются
∂
′′
∂
F
∂
′
∂
F
∂
′′
∂
F
∂
∂
′
m
∂
pn
2
1
pm
pm
II
pm
II
=
2
∂
F
pn
1
2
′′
∂
I
m
1
F
∂
qm
1
′
′′
II
∂
∂
∂
∂
∂
∂
mm
11
F
qm
1
′
′
II
∂
mn
11
F
qm
1
′′
′′
II
∂
mn
11
=
=
=
=
.0,0
2222
F
∂
qn
1
′
′′
II
∂
∂
∂
∂
∂
∂
mm
11
22
F
qn
1
′
′
II
∂
mn
11
22
F
qn
1
′′
′′
II
∂
mn
11
=
=
−=
X
X
,0,0
,,
,
nm
11
,,
,
nm
11
R
R
2
∂
F
qn
1
2
′
∂
I
m
1
,
nm
11
,
nm
11
2
∂
F
pn
1
=
1
′
II
mm
1
′
mn
11
1
′′
mn
11
∂
=
∂
11
∂
=
∂
∂
=
∂
1
=
2
′′
∂
I
m
1
F
pn
1
=
′
′′
II
∂
mm
11
22
F
pn
1
−=
′
′
II
∂
mn
11
22
F
pn
1
−=
′′
′′
II
∂
mn
11
2
F
∂
pm
1
X
=
′
′′
II
∂
∂
mn
11
,
nm
11
2
F
∂
pn
1
′
′′
II
∂
∂
mn
11
X
−=
,,
,
nm
11
2
F
∂
qm
1
′
′′
II
∂
∂
mn
11
R
−=
,
nm
11
2
F
∂
qn
1
R
=
′
′′
II
∂
∂
mn
11
.,
,
nm
11
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]