Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Тонкое кольцо
Цилиндр
2
Z Z
2
12
5
Z
Z
5.4 Вычисление момента инерции
Согласно выражению (5.14), момент инерции зависит не только
от массы тела, но и от того, как эта масса распределена. Чем дальше
от оси вращения сконцентрирована масса, тем больше момент инерции тела. Формула (5.14) является приближенной, так как элемент
массой
ляется точно. Точное выражение можно получить, разбивая тело на
бесконечно малые элементы и заменяя суммирование интегрированием:
(см. например, [2]). На рис. 5.12 приведены значения момента инерции
для некоторых из таких тел. Моменты инерции тел сложной формы
можно находить численными методами [6].
∆m
обладает конечным объемом и расстояние
i
Эту операцию несложно проделать для тел правильной формы
2
dmrJ∫=
.
r
не опреде-
i
R
mRJZ=
Шар
2
Тонкий стержень
2
2
mRJZ=
L
R
1
2
mRJZ=
1
mLJZ=
Рис. 5.12
Существуют две простые теоремы, которые помогают при вычислении моментов инерции тел. Первая из них – теорема о параллельных осях (больше известная как теорема
если известен момент инерции тела JC относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой дру-
Штейнера). Она гласит:
81
гой оси, параллельной первой и отстоящей относительно ее на расстоя-
575
Z
O
Рис.5.13
x
Рис. 5.
14
2
mlJJ
ние l, может быть найден по формуле:
+=
C
. (5.17)
Пример 5.3. Определить момент инер-
ции шара относительно оси Z, совпадающей
с касательной к его поверхности (рис.5.13).
R
Решение. Расстояние между параллельными осями равно R. Применяя теорему
Штейнера, имеем:
2
Другая теорема – теорема о перпендикулярных осях может
быть применена к плоским фигурам постоянной толщины, если толщиной можно пренебречь по сравнению с другими размерами тела.
Согласно этой теореме, сумма моментов инерции плоского тела отно-
z
сительно любой пары взаимно перпендикулярных осей в плоскости этого
тела равна моменту инерции относительно оси, проходящей через точку
y
пересечения этой пары перпендикулярно плоскости тела. Если тело расположе-
но в плоскости xy (рис. 5.14), то
222
mRmRmRJ =+=
.
JJJ +=
. (5.18)
yxz
Пример 5.4. Определить момент инерции тонкого диска от-
носительно оси, лежащей в плоскости диска и проходящей через
его центр.
Решение. Момент инерции тонкого диска (тонкого цилиндра)
равен
соответствии с (5.18) имеем:
2)(2mRJz=
. Вследствие симметрии
JJ =2
,
zx
JJ =
4)(2mRJx=
82
, тогда в
yx
.
Аддитивность момента инерции позволяет просто вычислить
r
r
его для тел, состоящих из частей правильной формы (например шары,
соединенные тонким стержнем и т.п.)
В качестве примера рассмотрим однородный диск, в котором
вырезано круглое отверстие (рис. 5.15).
z
Рис. 5.15
ции можно найти как разность моментов инерции относительно оси
большого сплошного диска и малого диска.
ВОПРОСЫ
1. С какой целью маховик делают таким образом, чтобы возможно
большая часть его массы была сосредоточена вблизи обода и возможно меньшая часть вблизи оси вращения?
2. Относительно какой из трех осей, проведенных через центр масс
прямоугольного бруска перпендикулярно его поверхностям, момент
инерции будет наибольшим? наименьшим?
ЗАДАНИЯ
1. Вычислите момент инерции велосипедного колеса диаметром
60 см. Масса обода колеса с покрышкой 1,3 кг. Можно ли пренебречь
массой спиц и внутренней втулки колеса и почему?
2. Определить момент инерции тонкого диска (рис. 5.14) относительно
оси, лежащей в плоскости диска на расстоянии 0,5 R от его центра.
Сплошной диск (момент инерции которого известен) может быть представлен состоящим из двух тел: тела, изображенного на рис 5.15, и малого диска, точно заполняющего вырезанное
отверстие. Тогда искомый момент инер-
5.5 Закон сохранения момента импульса
Подобно тому, как второй закон Ньютона для материальной
υ
точки можно записать через импульс
нение динамики вращательного движения можно записать, используя
понятие момента импульса тела относительно оси вращения. Момен-
том импульса тела относительно оси вращения Z называется произ-
mP =
, так и основное урав-
83
ведение момента инерции относительно данной оси на угловую ско-
r
r
r
r
dt
v
r
r
dt
dt
ω
⋅
=
υ
ω
=
r
=⋅=
υ
PrL
rrr
×
=
r
r
P
r
r
r
ω
r
ω
r
ω
рость:
JL =
. (5.19)
ZZ
Вектор
санное через момент импульса, имеет вид:
Действительно, полагая
че. Поскольку для нее
где
всех внешних сил, приложенных к телу, равен нулю, то момент им-
пульса тела остается постоянным:
вая скорость будет увеличиваться или уменьшаться в зависимости от
того, уменьшается или увеличивается момент инерции. Если человек,
имеет такое же направление, как и
L
Z
Основное уравнение динамики вращательного движения, запи-
Покажем, что это уравнение эквивалентно уравнению (5.15).
, имеем:
const=
J
Z
r
d
( )
ω
Для материальной точки момент импульса может быть выражен ина-
rPmrL
, или в векторной форме:
– радиус-вектор материальной точки, а
Из уравнения (5.20) следует, что если результирующий момент
1
J
1ω1=J2ω2
Рис. 5.16
ω
d
JJ
2
mrJZ=
, то
2
β
J
==
ZZZ
В этом состоит закон сохра-
нения момента импульса для вра-
щающегося тела. Если момент
инерции тела не изменяется, то из
(5.20) следует постоянство угловой
скорости по величине и направлению. Если тело состоит из отдельных частей, способных под действием внутренних сил перемещаться,
что может приводить к изменению
общего момента инерции, то угло-
− по оси вращения.
ω
Ld
Z
M
=
.
rmrL
, а так как
– ее импульс.
const==
ω
JL
ZZ
r
. (5.20)
Z
, то
, (5.21)
. (5.22)
84
находящийся на вращающейся скамейке, поднесет гантели к груди,
угловая скорость возрастет (рис. 5.16).
Пример 5.5. Фигурист с вытянутыми в горизонтальном на-
правлении руками вращается вокруг собственной оси с угловой
скоростью
ω
= 5 рад/с. Как изменится угловая скорость, если
1
фигурист поднимает руки вверх, уменьшив тем самым момент
инерции тела в 1,5 раза?
Решение. В соответствии с (5.22) имеем:
да
1. Почему для повышения точности стрельбы пуле или снаряду
придают вращательное движение вокруг собственной оси?
2. Почему автомобиль при трогании с места оседает на задние колеса, а при остановке, наоборот, на передние?
3. Зачем прыгун в воду, делая сальто, группируется, т.е. подтягивает колени к груди и обхватывает их руками?
4. Зачем канатоходцы держат в руках длинный шест?
Оцените, как изменится длительность суток, если все население
Земли (в результате, скажем, резкого похолодания) сконцентрируется
вблизи экватора? Численность населения Земли 7 млрд. чел.
ωω
=
ВОПРОСЫ
ЗАДАНИЕ
,
ω
=7,5
JJ
2112
рад/с.
2
, отку-
ωω
JJ =
2211
5.6 Кинетическая энергия вращающегося тела
Для нахождения кинетической энергии тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, разобьем его на малые элементы (рис. 5.10) и найдем сумму энергий всех элементов тела:
2
∆
m
υ
1
==
КК
i
i
Здесь была использована связь линейной и угловой скоростей.
Угловая скорость всех элементов одинакова, и ее можно вынести за
i
ii
2
∆=
∑∑∑
2
i
22
.
rm
ω
ii
85
∑
2
2
2
2
2
2
2
=∆
знак суммы. Поскольку
i
жем записать:
Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии поступательного движения (4.6). Работа, совершаемая
над телом, вращающимся вокруг неподвижной оси, также может быть
выражена через угловые величины. Пусть сила F⊥ приложена к телу в
точке, расположенной на расстоянии r от оси вращения (рис. 5.9). Ра-
ii
К =
Jrm
- момент инерции тела, мы мо-
ω
J
. (5.23)
бота, совершаемая этой силой при повороте тела на угол
δ
A = Fτ dS
окружности радиуса r. Поскольку
δ
A= Mdϕ.
тельном движении (4.3). Можно показать, что работа, совершаемая
телом при повороте на угол
ческой энергии вращения:
ниях, то энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного
движений:
Определить изменение кинетической энергии маховика под дей-
ствием постоянного момента силы 50 Н⋅
10 с, если момент инерции маховика 20 кг⋅м, а начальная угловая ско-
рость равна нулю.
, где
dS = rd
Работа, совершаемая при повороте тела на угол
Это выражение аналогично выражению для работы при поступа-
Если тело участвует во вращательном и поступательном движе-
ЗАДАНИЕ
ϕ
– бесконечно малое перемещение по дуге
К +=
ϕ
=
ϕ
ϕ =ϕ
2
∫
1
Fτ r = M
ϕ
MdA
. (5.24)
–
ϕ
2
A −=
ωυ
Jm
– момент силы, имеем:
, равна изменению его кинети-
1
2
2
22
.
2
ωω
JJ
1
12
м, действующего в течение
d
ϕ
, равна:
ϕ
=
ϕ
-
ϕ
:
2
1
. (5.25)
86
6 НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
r
r
Рис. 6.1
Неинерциальными называют системы отсчета, в которых не выполняются законы Ньютона. Неинерциальными будут все системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно какой-либо инерциальной системы. Различают два вида неинерциальных систем отсчета
(НИСО):
а) поступательно движущиеся (относительно инерциальной системы отсчета) НИСО;
б) вращающиеся НИСО.
6.1 Поступательно движущиеся НИСО
Пусть на полу вагона (рис. 6.1) лежит шар, который может перемещаться по полу вагона без трения. Вагон начинает двигаться с уско-
рением
6.1а), шар покоится, поскольку на него не действуют силы, как и должно
нием, причем
которого действует сила, вызывающая ускоренное движение, оканчи-
вается неудачей. Итак, на тело не действуют силы (точнее говоря, силы
тяжести и реакции опоры взаимно скомпенсированы), а оно движется
ускоренно, т.е. ведет себя так, как будто на него действует сила
Наблюдатель делает вывод о том, что система отсчета, связанная с
вагоном, является неинерциальной.
системах отсчета в том же виде, что и в инерциальных системах, вводят силы инерции, отвечающие за явления, вызванные ускоренным
движением системы. Так, в выше приведенном примере в инерциаль-
а
. В инерциальной системе отсчета, связанной с землей (рис.
с
y
a
а
= –
ш
Для того чтобы сохранить законы движения в неинерциальных
y'
c
x
а
(
рис. 6.1б). Попытка найти тело, со стороны
с
a
ш
быть по 2-му закону Ньютона
(нет трения).
тель, находящий-
x'
ся в вагоне, видит, что шар движется с ускоре-
Наблюда-
amr−
c
.
87
ной системе для объяснения ускоренного движения шара нужно ввести
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
силу
мах отсчета. Таким образом, в ускоренно движущейся системе отсчета
на каждое тело действует сила инерции, равная произведению массы
тела на ускорение системы, взятое с противоположным знаком.
указать тела, со стороны которых они действуют. Нет, следовательно,
"противодействия", и третий закон Ньютона не выполняется. При этом
силы инерции вполне реальны. Достаточно вспомнить свои ощущения,
возникающие в резко тормозящем автобусе.
maF =
или
ши
maF −=
. (6.1)
си
Силы инерции действуют на все тела в неинерциальных систе-
Силы инерции отличаются от всех других сил тем, что нельзя
6.2 Вращающиеся системы отсчета
Рассмотрим вращающуюся с постоянной угловой скоростью
платформу, на которой на нити подвешен шарик (рис. 6.2). В инерциальной системе отсчета, связанной со столом, на котором стоит платформа, шарик движется по окружности, на него действуют две силы –
сила натяжения нити
направлена к оси вращения и создает нормальное ускорение
2
ra
ω
=
n
где
. Второй закон Ньютона записывается в виде
n
- единичный вектор нормали к траектории, направленный к оси
a
n
Рис. 6.2 Рис. 6.3
F
и сила тяжести
н
н
F
н
gm
F
gm
gm
. Результирующая этих сил
2
nrmgmF
⋅=+
ω
н
, (6.2)
вращения.
F
иц
.
альной системе, связанной с платформой, шарик покоится,
причем нить отклонена от вертикали. Такое положение можно
объяснить тем, что на
В неинерци-
88
шарик действует еще одна сила
r
rrr
r
r
∆=∆
ω
ϕ
2
Рис.
6.4
мы (рис. 6.3). При этом
Сравнивая с (6.2), мы получим, что
Эта сила инерции получила название центробежной силы, так
как она направлена по радиусу от центра вращения. Итак, центробеж-
ная сила инерции пропорциональна массе тела, квадрату угловой скорости вращения системы отсчета и расстоянию тела до оси вращения.
F
, связанная с вращением систе-
иц
.
0.=++
FgmF
.
ицн
2
nrmF
⋅−=
иц
.
ω
. (6.3)
6.3 Сила Кориолиса
Рассмотрим явления, возникающие, когда тело двигается во
вращающейся системе отсчета. Пусть по поверхности диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью, равномерно без трения катится шарик от оси вращения к краю диска. Если бы диск покоился, то ша-
рик катился бы по прямой ОА (рис. 6.4). При вращении диска шарик
движется относительно него по траектории ОВ. Рассмотрим это движе-
ние в разных системах отсчета. В инерциальной системе шарик движется прямолинейно, а диск под ним поворачивается на угол
t
за время ∆t движения шарика от оси к краю. Это время за-
висит от скорости u равномерного движения шарика:
радиус диска. Шарик попадает в точку В, причем длина дуги S = AB
определится как
∆ϕ
A
B
через путь
S, пройденный в этом направлении за время ∆
O
связанной с диском, шарик отклоняется от прямолинейной траектории, следовательно, на него действует сила, заставляющая шарик
двигаться ускоренно в направлении, перпендикулярном радиусу.
Ускорение может быть найдено
tuRtRS ∆=∆=∆=
ωωϕ
. (6.4)
В неинерциальной системе,
, где R –
uRt =∆
t
89
:
2 tSa
ω
=
r
ω
rrr
×
=
r
r
r
2
2
3
⋅
=
r
ω
r
ϕ
ω
=
k
показать, что при произвольном направлении скорости
ет ускорение, выражаемое через векторное произведение:
2
∆=
. Подставляя путь из (6.4), имеем:
u
uak2
. Можно
тело получа-
Оно называется ускорением Кориолиса, а соответствующая сила, действующая на тело, – силой Кориолиса:
При выводе выражения для силы Кориолиса мы не учитывали
центробежную силу инерции, поскольку она направлена по радиусу и
не влияет на ускорение Кориолиса. Изменением скорости под действием центробежной силы можно пренебречь, если рассматривать малый
участок движения в радиальном направлении и, соответственно, малое
время движения ∆t.
Пример 6.1. Определить силы инерции, обусловленные вра-
щением Земли, действующие на железнодорожный вагон массой
m = 60⋅103 кг, движущийся на широте ϕ = 45° в меридиональном
направлении со скоростью u = 60 км/ч.
Решение. Центробежная сила инерции действует на все тела
независимо от того, движутся они или нет. В соответствии с (6.3)
модуль этой силы
щения (рис. 6.5а) или
иц
.
uak2
. (6.5)
ω
×= umFk2
. (6.6)
rmF
ω
=
. Зиц
, где
r
- расстояние до оси вра-
ϕω
cos
RmF =
, где
ω
– угловая ско-
рость вращения Земли, а
ν
= 1 об/сут, то
.
F
.
иц
Сила Кориолиса зависит от векторного произведения векторов
u
и
. На широте ϕ угол между этими векторами равен ϕ
(рис. 6.5б). Тогда модуль силы Кориолиса равен:
k
90
Н104,1
sin2muF
. Так как
R
– ее радиус. Поскольку
З
ν
= 1,16⋅10–5 1/с, а
u
= 60 км/ч = 16,7 м/с, то
ω
= 7,27⋅10
ω=2πν
–5
рад/с и
F
=103 Н.
k
, где
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]