Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
8.2 Энергия упругих волн
∆
∆
=
ρ
∆
dt
2
Распространение колебаний в среде связано с переносом энергии, поскольку при этом в процесс колебаний вовлекаются новые, ранее покоящиеся частицы среды. В колеблющейся среде можно выде-
лить достаточно малый элемент объемом
всех его частиц можно было считать одинаковыми в любой момент
времени. Кинетическая энергия этого выделенного элемента запишется
dm
в виде:
K
V
∆
=
=
td
22
, такой, чтобы скорости
V
22
d
ξρξ
td
,
V
∆
где
объем, а
Найдем скорость частиц как производную от ξ по времени и подставим
в выражение для кинетической энергии. Получим:
ладает потенциальной энергией упругой деформации. В отличие от
замкнутой колебательной системы, где колебания скорости груза и деформации пружины сдвинуты по фазе на π/2 (см. разделы 7.2 и 7.3),
модули скорости и деформации в упругой волне колеблются в одинаковой фазе. Это связано с тем, что деформация выделенного элемента
определяется не смещением этого элемента как целого относительно
с
рицательно (точка b); именно в эти моменты максимальна и скорость
Vm
- масса этого элемента (ρ – плотность среды),
d
ξ
υ
=
- скорость частиц.
В гармонической волне смещение ξ изменяется по закону (8.4).
1
V
∆
Кроме кинетической энергии, выделенный объем среды об-
d
a
b
Рис. 8.8
положения равновесия, а разностью смещения
граничных частей (изменением размеров) выделенного участка.
Это изменение размеров максимально в
момент прохождения положения равновесия
(участок
из границ положительно, (точка a), а другой от-
222
( )
ωωρ
cos
ab
на рис. 8.8), когда смещение одной
. (8.10)
VkxtAK
∆⋅−=
V
- его
121
движения элемента. Участок cd, где скорость равна нулю, не деформи-
2
(
)
V
∆
=
(
)
2
t
2
ω
рован (при малой его длине, конечно).
Отсюда следует, что колебания потенциальной и кинетической
энергии частицы, участвующей в волновом движении, происходят в
одинаковой фазе. Можно показать (см. например [2]), что амплитуды
кинетической и потенциальной энергии (как и в случае замкнутой колебательной системы) одинаковы, т.е.
Полная энергия выделенного элемента определится как сумма кинетической
и потенциальной:
данного выражения можно найти объемную плотность энергии, численно равную энергии единичного объема:
Из (8.11) видно, что полная энергия частиц среды, участвующих
в волновом движении, не остается постоянной, а колеблется с удвоенной частотой (рис. 8.9). Это не противоречит закону сохранения энергии, поскольку частица обменивается энергией с соседними частицами
(у маятника, являющегося замкнутой системой, полная энергия (7.22)
сохраняется).
Среднее значение плотности энергии определится из (8.11) с
учетом того, что среднее значение квадрата косинуса за период равно
½ (см. рис. 8.9):
1
V
∆
Ew
/
;
cos
222
( )
−=
VVV
∆∆∆
1
Awср=
VkxtAU
∆ωωρ
.
222
cos
222
ωωρ
cos
22
ωρ
. (8.12)
−=+=
kxtAw −=
. (8.11)
VkxtAUKE
∆ωωρ
. Из
cos
1
0,5
0
формулой
t
cosωt
Рис. 8.9
Ф
t
E
∆
=
,
Перенос энергии от
одних частей среды к другим характеризуется потоком энергии и плотностью
потока энергии. Поток
энергии через некоторую
поверхность определяется
∆
122
где ∆Е – энергия, переносимая через эту поверхность за время ∆t:
t
S
r
∆
∆
υ
∆
∆
υ
∆
∆⋅∆
υ
∆υ∆
∆
=
∆∆∆
=
υ
⋅
=
2
∆∆=
υ
∆
t
r
Нетрудно сообразить, что перенос энергии осуществляется (в
среднем) вдоль направления распространения волны. Плотностью
потока энергии, или интенсивностью, называют отношение потока
энергии через площадку, расположенную перпендикулярно направле-
E
нию распространения волны, к ее площади:
∆
I
=
. Выражение для
∆∆
интенсивности можно получить, если мысленно выделить в колеблю-
щейся среде прямой цилиндр (рис. 8.10) с образующей, параллельной скорости волны
щадью основания
υ
t
∆
S
волна переместится на расстояние
ренесет через площадку
S
и высотой
S
такую энергию, кото-
υ
, пло-
t
. За время
t
и пе-
рая содержится в объеме
фронт волны
Рис. 8.10
/
Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды
и квадрату частоты.
Интенсивность одномерной (или плоской) волны убывает только
вследствие затухания, обусловленного трением. Если же мы имеем
дело со сферической волной (примером таких волн являются звуковые
волны в воздухе, световые волны от точечного источника и др.), то
убывание интенсивности с расстоянием происходит еще и из-за того,
что увеличивается площадь волнового фронта. Рассмотрим две точки,
расположенные на расстоянии
мощность источника
сивность на расстоянии
равна
Поскольку интенсивность определяется как
tSEI
, то, используя (8.12), запишем:
wI
ср
,
/
r
(при отсутствии затухания) будет равна:
1
ср
1
AI =
r
и
r
от источника S (рис. 8.11). Если
1
2
tEN
не меняется со временем, то интен-
tSwE
.
22
υωρ
. (8.13)
tS
. Эта энергия
123
N
r
r
==
1
r
1
, где
2
4 r
π
1
, а на расстоянии
S
– площадь сферы
1
r
–
Iπ=
2
2
2
// rrII =
2
112
4 r
2
. Интенсив-
N
2
2
r
2
r
1
S
Рис. 8.11
N
I
1
S
радиуса
Таким образом,
ность сферической волны обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.
Пример 8.1. Интенсивность звуковой волны на расстоянии
r
=1,0 м от источника составляет
1
тенсивность на расстоянии
r
=5 м?
2
I
1
=
610−
Вт/м2. Чему равна ин-
Решение. Интенсивность убывает с увеличением расстоя-
2
r
ния по закону:
ВОПРОСЫ
1. Чем объяснить непостоянство энергии частицы в волне (при от-
сутствии затухания)?
2. В каких единицах измеряются поток энергии и плотность потока
(интенсивность)?
3. Две волны одинаковой амплитуды распространяются в одной и
той же среде, причем частота одной в два раза больше, чем другой.
Интенсивность какой волны больше? Во сколько раз?
1
,
II =
12
2
2
r
2
28
.
Вт/м104−⋅=I
.
ЗАДАНИЯ
1.Определите интенсивность волны на расстоянии 1,5 м от электри-
ческой лампочки, излучающей мощность в 25 Вт. Определите среднюю
плотность энергии в этой точке (скорость света равна 3⋅108 м/с).
124
2. Покажите, что смещение в упругой сферической волне, расходящейся
r
в
равномерно во все стороны от источника, можно записать в ви-
де
A
( )
krt
−=ωξsin
, где r– расстояние до источника, A – постоянная.
8.3 Отражение волн. Принцип суперпозиции.
Стоячие волны
При достижении волной препятствия или границы раздела сред
происходит отражение (частичное или полное). Это явление хорошо
наблюдать на поверхности воды при достижении волной крутого берега, стенки причала или борта судна. Частичное отражение происходит
тогда, когда волна проходит из одной среды в другую. Отражение тем
сильнее, чем сильнее различаются свойства сред (упругие и инертные), т.е. чем сильнее разнятся значения скорости волны в этих средах.
Рассмотрим механизм формирования им-
пульса, отражающегося от закрепленного на ка-
а
б
Рис. 8.12
8.12в). При отражении от закрепленного конца импульс таким образом
изменяет фазу на противоположную. Деформация основания обычно
незаметна, так как ее величина много меньше деформации шнура, но
играет существенную роль в формировании обратного импульса.
Когда импульс достигает основания, то отражается не вся энергия. Часть энергии переходит в тепло при деформации материала основания, часть продолжает распространяться в виде упругой волны в самом основании.
Рассмотрим отражение импульса от свободного конца шнура.
Когда передний край импульса подходит к нему (рис. 8.13), направленная вверх сила сообщает концу шнура большее ускорение, чем частям,
ком-нибудь основании конца шнура. Когда импульс приближается к закрепленной границе (рис.
8.12а), он действует на основание с силой, направленной вверх, и деформирует его. В результате этого в соответствии с третьим законом Ньютона основание будет действовать на шнур с такой же силой, направленной вниз. Эта сила и создает обратный перевернутый импульс (рис.
125
расположенным вдали от края, так как нет противодействия находя-
(
)
−
=
ω
ξ
(
)
π
ϕ
=
(
)
щихся впереди импульса участков шнура.
В результате край шнура взмывает вверх
почти до удвоенной амплитуды исходного импульса и потянет за собой расположенные слева
участки шнура, благодаря чему возникает отраженный импульс, но уже не перевернутый. При
отражении от свободного конца шнура фаза, таким образом, не изменяется.
Рассмотрим случай, когда в ограниченном
отрезке шнура будут возбуждаться гармонические
волны. Волна, распространяющаяся вдоль положи-
Рис. 8.13
В результате отражения от конца ш нура возникает волна, распространяющаяся вдоль отрицательны х. Полагая, что потерь энергии
при отражении не происходит (амплитуда отраженной волны не умень-
шается), мы можем записать уравнение отраженной волны в виде:
Это уравнение отличается от (8.14) знаком у слагаемого kх, что
связано с изменением направления распространения на противо-
положное. Кроме того, в (8.15) аргумент косинуса содержит некоторое
постоянное запаздывание по фазе ϕ, обусловленное тем, что волна
проходит всю длину шнура дважды, от чего возникает запаздывание по
фазе, равное 2kl, и тем, что может происходить изменение фазы при
отражении. Для упрощения задачи мы положим, что длина шнура выбрана такой, что
тельного направления х, будет описываться выражением:
2
n
2
, где n- целое число, тогда выражение (8.15)
cos
1
kxtA
8.14)
ϕωξ
++= kxtAcos
(8.15)
примет вид:
Таким образом, в шнуре будут существовать одновременно две
волны, описываемые уравнениями (8.14) и (8.16). Было установлено,
что, когда две или несколько волн одновременно проходят одну и ту же
область среды, как и при других известных случаях сложения движений, смещение частицы равно векторной сумме смещений, которые
126
2
kxtA +=ωξcos
. (8.16)
частица получает, участвуя в каждом из волновых движений в отдель-
ω
ξ
⋅
=
π
=
kx2
λ
π
=
(
)
4
ности. Это утверждение называется принципом суперпозиции. Принцип
суперпозиции справедлив, пока амплитуды механических волн невелики и в колеблющейся среде выполняется закон Гука (3.30), т.е. сохраняется линейная зависимость между смещением и возвращающей
силой.
В соответствии с принципом суперпозиции результирующее смещение может быть найдено как сумма
падающей и отраженной волнах совершаются в одинаковом направле-
нии). Подставив соответствующие выражения (8.14) и (8.16), находим
смещение в результирующей волне:
Мы воспользовались формулой
Уравнение (8.17) называют уравнением стоячей волны. Стоячая
волна, получившаяся в результате наложения двух встречных волн,
отличается от бегущей одиночной волны рядом особенностей, которые
мы сейчас обсудим (не следует понимать термин "стоячая волна" слишком
буквально). Из (8.17) следует, что любая частица с координатой x совершает
coscos2
βα
ξξξ
+=
(если колебания в
21
tkxA
. (8.17)
=+
cos2coscos
cos
2
+−
βαβα
.
2
колебания с частотой ω и амплитудой, равной
Амплитуда в стоячей волне, таким образом, зависит от координаты x (в отличие от одиночной волны, описываемой уравнением (8.4),
в которой амплитуда во всех точках одинакова). Амплитуда максимальна и равна
nkx
(n = 0,±1,±2,...). Эти точки называются пучностями. Коор-
динаты этих точек:
Амплитуда минимальна и равна нулю в тех точках, для которых
+=
nkx
127
2А
в тех точках, где выполняется условие
λπ
nn
==
(напомним, что
2/12
λ
. Координаты этих точек, называемых узлами:
( )
12λ+= nx
.
kxAcos2
.
k
/2
).
Нетрудно показать, что расстояния между соседними узлами
λ
=
(или пучностями) равны λ/2. Для этого нужно найти разность координат узлов (или пучностей) для n, отличающихся на единицу. Фаза коле-
баний в стоячей волне (8.17) в любой момент времени одинакова у
всех точек, лежащих между соседними узлами (в отличие от одиночной
волны, где фазы у точек с различными x различны). На рис. 8.14а показаны смещения точек в стоячей волне в последовательные моменты
времени
узлами, движутся в одном направлении, одновременно достигают своих крайних положений и одновременно проходят через положение равновесия. Точки, расположенные с другой стороны узла, двигаются со
сдвигом по фазе в π (в противофазе). В уравнении (8.17) это выра-
ξξξξ
ξξξξ
("горб" как бы стоит на месте), волна и получила название стоячей (но
колебания частей шнура в стоячей волне происходят!).
тановится стоячая волна, такая, что на концах струны будут узлы (потому что концы закреплены), а посередине одна пучность. При этом на
длине струны
t
,
t
,
t
1
Видно, что все точки, расположенные между двумя соседними
t
Если оттянуть и отпустить середину струны гитары, то в ней ус-
.
2
3
жается как изменение зна-
1
t
2
t
3
пучности
б
узлы
Рис. 8.14
l
уложится половина длины волны:
а
ка смещения при таком
изменении координаты x,
когда она проходит через
x
узел.
заны огибающие амплитуд
(крайние положения точек
шнура, которых они дости-
x
гают через каждые полпериода). Поскольку положения пучностей "горбов" не
изменяются во времени
На рис. 8.14б пока-
2/
l
.
128
Поскольку
νυλ
=
2
υλυ
λ
=
λ
l=2
λ
l
лебаний, то колебания струны будут возбуждать звуковые волны в воз-
/
, где υ- скорость волны, а ν– частота ко-
духе с той же частотой:
ν
==
.
l
Укорачивая струну, прижимая ее к одному из поперечных порожков ("ладов"), мы можем повысить частоту колебаний струны.
Если возбуждать в струне вынужденные колебания с помощью
периодической силы, то можно убедиться, что значительная амплитуда
возникает только при определенных частотах, а именно в том случае,
если на струне укладывается целое число полуволн.
l=
/2
1
λ
/2
2
l
Рис. 8.15
частотами. Самая низкая частота, определяемая условием
называется основной частотой, или основным тоном, остальные -
/2
1
λ
/4
2
Рис. 8.16
столба, у барабанов – его размерами и т.д. Таким образом, чем больше
размеры инструментов, тем ниже звук основного тона.
обертонами, или гармониками.
Если один из концов струны
(или стержня) не закреплен, то в ней
возникают такие стоячие волны, при
которых на свободном конце будет
пучность (рис. 8.16).
Стоячие волны возникают во
всех музыкальных инструментах. У
духовых инструментов частота звука
определяется длиной воздушного
На рис. 8.15 показаны огибающие
стоячих волн, возникающих в струне, у
которой оба конца
закреплены. Частоты,
на которых возникают
стоячие волны, называют собственными,
или резонансными
l
2/
,
129
ВОПРОСЫ
λ
=
(
)
1
2
1. Какими особенностями стоячая волна отличается от бегущей?
2. Почему тонкая и толстая струны гитары одинаковой длины испус-
кают звуки разной частоты, хотя для обеих выполняется условие
3. Каковы граничные условия для струны, на длине которой уклады-
вается четверть длины волны при возбуждении стоячей волны?
4. Объясните наличие узла на закрепленном конце струны (пучности
на свободном) как результата наложения падающей и отраженной
волн. Учтите изменение фазы при отражении от закрепленного конца.
ЗАДАНИЯ
1. Пронаблюдайте стоячую волну в басовой струне гитары. Почему
если возбудить волну, оттягивая не середину струны, а ее часть, расположенную ближе к краю, то колебания будут менее устойчивыми?
2. Вычислите, с какой силой должна быть натянута струна гитары массой
2,4 г и длиной 0,7 м, чтобы частота основного тона была равна 277 Гц?
2/
l
?
8.4 Интерференция волн
При наложении двух встречных одномерных (или плоских) волн
одинаковой частоты, как мы видели, образуются стоячие волны, в которых наблюдается устойчивое пространственное распределение узлов и пучностей.
Аналогичное явление возникает при наложении двух или боль-
шего числа волн любого типа (плоских, сферических
и др.), распространяющихся в произвольных на-
d
S
1
d
S
2
Рис. 8.17
ную точку О от двух источников (рис. 8.17). Смещение частицы в точку
О
в первой волне можно записать в виде:
O
правлениях. При этом наблюдается усиление колебаний частиц в одних местах и ослабление (или
полное прекращение) в других. Такое явление называется интерференцией.
Рассмотрим наложение двух сферических
волн одинаковой частоты, приходящих в произволь-
cos
ϕωξ
++= kdtA
,
1111
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]