Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
гией
тическую энергию, чтобы
Mm
, где RЗ - радиус Земли, должно получить такую кине-
GU −=
R
З
2
m
υ
2
Mm
G
R
З
, откуда
,0
≥−
υ
M
.
G2≥
R
З
Значение скорости
притяжения Земли, называют второй космической скоростью. Используя выражение для ускорения свободного падения на поверхно-
сти Земли
космической скорости:
Подстановка числовых данных дает значение этой скорости
11 км/с. Вторая космическая скорость в 2 раз больше первой кос-
мической скорости (см. пример 3.8).
ВОПРОСЫ
1. Как по графикам потенциальной энергии (рис. 4.6а,б) определить,
меняется ли консервативная сила с изменением координаты?
2. Покажите потенциальные ямы на графиках (рис. 4.6).
3. Определите направления силы в точках с координатами и с по-
мощью графика потенциальной энергии (рис. 4.6в).
ЗАДАНИЕ
Определите третью космическую скорость, т.е. скорость, которую
необходимо сообщить телу, чтобы преодолеть притяжение Солнца.
Масса Солнца 2⋅1030 кг. Примите, что тело первоначально находится на
расстоянии от Солнца 150⋅106 км (на орбите Земли). Притяжение со
стороны Земли и других планет не учитывайте.
υ
M
Gg −=
2
R
З
M
, при которой тело уходит из области
G2=
R
З
, можно получить другое выражение для второй
.
υ
gR2=
З
71
5 МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
5.1 Поступательное и вращательное движение
твердого тела
Представлять тело как материальную точку не всегда возможно.
Например, Земля может быть представлена как материальная точка,
когда рассматривается ее движение вокруг Солнца, однако таковой ее
нельзя считать при решении всех "земных" задач.
Во многих случаях любое протяженное тело можно рассматривать как систему материальных точек, однако гораздо удобнее использовать модель абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом
называется тело, расстояние между двумя любыми точками которого
неизменно (т.е. остается неизменной форма тела). Этой моделью удобно пользоваться в тех случаях, когда возможно пренебречь деформациями тела. В дальнейшем мы будем называть абсолютно твердое тело
просто твердым телом.
Как уже упоминалось в разделе 3.6, возможны два вида движения
твердого тела. Поступательным называют такое движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, сохраняет неизменным направление в пространстве (т.е. остается параллельной
самой себе) - рис. 5.1. Все точки твердого тела двигаются одинаково,
поэтому для описания поступательного движения достаточно определить движение одной точки, например центра масс.
О
О
Рис. 5.1 Рис. 5.2 Рис.5.3
Вращательным
тории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центрами на одной прямой, называемой осью вращения (рис. 5.2). Траек-
называется такое движение, при котором траек-
1
О
2
72
тории всех точек лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
r
dtdt
dtddt
ось
z
Ось вращения может лежать вне тела или проходить через него.
ВОПРОС
Каким является движение, изображенное на рис 5.3, поступательным или вращательным?
5.2 Кинематика вращательного движения.
Каждая частица твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, движется по окружности некоторого радиуса. Характеризовать
движение тела линейной скоростью частиц не очень удобно, поскольку
эта скорость, во-первых, непрерывно меняет свое направление, вовторых, величина скорости для разных частиц разная: она тем больше,
чем дальше отстоит частица от оси вращения. Для характеристики
вращательного движения вводят угловые величины.
Угловым перемещением ϕ называется угол, на который поворачивается перпендикуляр, опущенный из произвольной точки А тела на
ось вращения (рис. 5.4). Угол измеряется (в радианной мере) как отношение дуги окружности S, стягиваемой этим углом к радиусу окруж-
t
ϕ
→∆ 0
S
=
. (5.1)
ϕ
за некоторый
∆t
∆
ϕϕ
=
. (5.2)
∆
dS
υ
i
==
один и тот
ϕ
ii
r
,
i
ности r:
S
ϕ
r
А
Рис. 5.4
угловых характеристик.
Угловой скоростью называется первая производная от углового
перемещения по времени:
Угловую скорость тела нетрудно связать с линейной скоростью
любой точки
i
. Из (5.1) получаем
Угол поворота
промежуток времени
же для любых точек твердого тела, и
в этом заключается преимущество
ω
=
lim
rSϕ=
тогда:
ii
73
r
dt
dtddt
β
=
r
r
r
r
r
r
rrr
r
ωυ
или
Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени или как вторая производная от углового
перемещения:
Угловое ускорение можно связать с тангенциальным ускорени-
ем. Используя (2.25), имеем:
Поскольку линейная скорость - векторная величина, то имеет
смысл и угловую скорость считать вектором, направление которого
нужно как-то связать с направлением вращения. За модуль вектора
принимают значение угловой скорости ω, а его направление выбирают
вдоль оси вращения так, что оно совпадает с направлением поступательного движения правого винта, когда он поворачивается по направлению вращения (рис. 5.5). При изменении направления враще-
ния на противоположное вектор
противоположное. В математике такие векторы называют псевдовек-
торами, или аксиальными (т.е. осевыми) векторами. Отметим, что по
определению всегда
β
υω
⊥
ω
Рис. 5.5
при уменьшении угловой скорости – в противоположном направлении.
Формулы, связывающие линейные и угловые величины, также
можно записать в векторной форме. Нетрудно проверить справедливость следующих выражений:
=
. (5.3)
ii
2
d
d
dt
a
i
τ
τ
.
направлен вдоль оси вращения (поскольку ось вращения принимается неподвижной, вектор изменяется только по
величине). При увеличении угловой ско-
рости вектор
×=
ωυ
ϕω
==
ω
r
, 5.6)
. (5.4)
2
dt
d
υ
i
( )
ω
ra
. (5.5)
ii
также изменяет направление на
Вектор углового ускорения также
β
d
ω
r
направлен вдоль
r
===
,
ii
ω
ω
, а
74
ra
rrr
rrr
r
r
r
r
r
r
r
α
=
r
r
r
Т
2
r
r
r
r
b
r
r
r
r
r
ω
r
×=
β
τ
Здесь каждый вектор определяется через векторное произведение двух других (
ружности, описываемой ею при своем движении).
a
– радиус-вектор точки, проведенный из центра ок-
c
векторов
вектор
, (5.7)
υω
×=na
. (5.8)
Напомним, что векторным произведением
a
и
b
, обозначаемым
c
, имеющий длину
sinabc
ba
×
, называют
, где α –
угол между векторами
Рис. 5.6
правого винта в направлении, совпадающем с направлением
5.6). В выражениях (5.6–5.8) сомножители векторного произведения
направлены под углом 90° друг к другу.
Наряду с угловой скоростью используют частоту вращения ν –
число полных оборотов, сделанных в единицу времени. Поскольку полный оборот соответствует углу в 2π радиан, то
что вращение первого по кратчайшему направлению ко второму дает поступательное движение
ω
ν
1
==
a
и
b
, и направленный так,
c
(рис.
, (5.9)
π
где Т – время полного оборота (период)
υ
Рис. 5.7
рение точки обода.
Решение. Линейная скорость направлена по касательной к ободу маховика, а вектор
вии с правилом правого винта вектор
– в рассматриваемую точку. В соответст-
Пример 5.1. Линейная ско-
рость точки, расположенной на
краю вращающегося маховика
(рис. 5.7) υ =10 м/с, частота вращения v = 4 об/с. Определить радиус маховика и нормальное уско-
ω
направлен по оси враще-
75
ния вверх. Поскольку модуль линейной скорости
r
r
r
r
r
r
βωω
+
=
2
2
(
)
2
, r = 0,4 м. С помощью (5.8) определяем направ-
)2(
πνυωυ
==r
r
ωυ
=
, то
ii
ление и модуль
ру
, а его модуль
Как вектор скорости
жении, так и вектор угловой скорости
вокруг неподвижной оси не изменяют своего направления, поэтому ки-
нематические уравнения для вращательного движения вокруг неподвижной оси аналогичны соответствующим уравнениям для поступательного прямолинейного движения, нужно только заменить перемещение
на угловое перемещение ϕ, скорость
Приведем эти уравнения вместе с их аналогами:
Линейные Угловые
2
υυ
0
ВОПРОСЫ
1. В каких единицах измеряются угловая скорость, угловое ускоре-
ние, частота вращения?
2. Может ли угол между векторами угловой и линейной скоростей со-
ставлять 30°, 60°, 90°?
a
. Вектор
n
at+=
υυ
0
2
at
tSS ++=
υ
00
2
2 SSa −=−
0
a
направлен противоположно векто-
n
,
υπνυω
2==na
υ
при прямолинейном поступательном дви-
ω
при вращательном движении
υ
на ω, ускорение а на β .
0
2
ωϕϕ
2
0
м/с251=na
t
t
++=
00
( )
2
2
.
2
t
β
ϕϕβωω
−=−
0
ЗАДАНИЯ
1. Определите линейную скорость и нормальное ускорение точек,
лежащих на земной поверхности: а) на экваторе; б) на полюсе; в) на широте р.п. Большеречье Омской области (56° с.ш.).
2. Диск радиусом 20 см вращается по закону
А = 3 рад, В = –1 рад/с, С = 0,1 рад/с
мальное и полное ускорение точек на ободе диска в момент времени t =10 с.
2
. Определить тангенциальное, нор-
ϕ
CtBtA ++=
, где
76
F
r
F
r
⊥
r
α
=
F
r
⊥
r
5.3 Основное уравнение динамики вращательного
движения
Основным уравнением динамики материальной точки (и поступательного движения твердого тела) является второй закон Ньютона. Выясним особенности вращательного движения и попытаемся получить
уравнение для этого движения, аналогичное второму закону Ньютона.
Рассмотрим твердое тело, (например диск) с неподвижно закрепленной осью (рис. 5.8). Опыт показывает, что величина углового ускоре-
ния, получаемого телом под действием силы
модуля силы, но и направления, а также от положения точки приложе-
ния силы. Сила
лового ускорения. Напомним, что ось закреплена неподвижно, и силы
на рис. 5.8, углового ускорения не вызывают.
Из опыта установлено, что угловое ускорение пропорционально
величине:
Это выражение можно представить в виде
где
где
силы до оси вращения (рис. 5.9). Величина, определяемая с помощью
= FF
τ
⊥
sinrl
, действующая вдоль оси вращения, не вызывает уг-
реакции в опорах оси полностью ком-
Рис. 5.8
α
sin
– тангенциальная составляющая силы, или в виде:
– плечо силы, – кратчайшее расстояние от линии действия
пенсируют эту силу. Угловое ускорение
вызывается только силой, направлен-
ной перпендикулярно оси –
F
перпендикулярной составляющей силы) и то только в том случае, если линия действия силы не проходит через
ось вращения. Обе силы, показанные
α
sin
= rFM
⊥
rFM =
, (5.10б)
τ
= lFM
⊥
. (5.10а)
, (5.10в)
, зависит не только от
F
(или
77
соотношений (5.10), называется моментом силы. Удобно пользоваться
rrr
⊥
r
r
r
v
⊥
r
M
=
β
M
r
r
∑
∑
r
r
l
r
r
r
⊥
r
А
вектором момента силы, определяемым как векторное произведение:
×= FrM
. (5.11)
⊥
Так как векторы
O
α
F
τ
α
F
Рис. 5.9
малом участке окружности (предположим, на невесомой нити) под действием силы
второму закону Ньютона:
Умножим правую и левую части на r и выразим тангенциальное
ускорение
Величина
называется моментом инерции материальной точки относительно оси
F
, лежащей в плоскости этой окружности (рис. 5.9). По
a
через угловое с помощью соотношения (5.5). Имеем:
τ
кости, перпендикулярной оси вращения, то
вектор момента силы направлен вдоль оси
вращения и совпадает по направлению с
вектором углового ускорения
Рассмотрим простой пример. Пусть
материальная точка А массой m движется на
sin
== FFma
ττ
⊥
2
= rFmr
αβ
sin
⊥
2
mrJ =
(5.12)
O. С учетом (5.10а) и (5.12) можно записать:
Угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции. Нетрудно показать, что
F
и
лежат в плос-
.
β
α
.
.
J
.
справедливо векторное соотношение:
Перейдем к рассмотрению вращательного движения твердого тела. Мы можем мысленно разбить его на малые элементы массой
расположенные на разных расстояниях
Для каждого из элементов, составляющих тело, мы можем воспользоваться выражением (5.13), а затем просуммировать по всему телу:
β
i
r
=
MJ
ii
i
J
=
β
(5.13)
∆m
до оси вращения (рис. 5.10).
i
.
i
78
,
i
Угловое ускорение одинаково для всех частей тела, поэтому его
∑
∑
r
r
∑
∑
∑
∑
rrr
r
r
r
r
r
Z
можно вынести за знак суммы:
∆m
i
r
i
Рис. 5.10
Все силы, действующие на каждый из элементов тела, можно
разделить на внутренние (действующие со стороны других частей тела)
и внешние. При этом выражение (5.14) можно представить в виде:
β
щения сумма
есть величина постоянная, ее называют
моментом инерции тела относительно
заданной оси Z.
=
i
i
. Для заданной оси вра-
МJ
i
i
i
i
2
JrmJ =∆=
Ziii
+=
β
где
M
элементу тела,
ложенных к этому элементу.
силы попарно равны и противоположно направлены, результирующий
момент внутренних сил, приложенных ко всем элементам тела, равен
нулю, и мы можем записать:
где
M
в целом.
вращательного движения. Оно аналогично 2-му закону Ньютона. Роль
массы здесь играет момент инерции, роль силы – момент силы, а вместо линейного ускорения стоит угловое ускорение.
на сила F = 15 Н (рис. 5.11). Определить угловое ускорение блока,
- результирующий момент внутренних сил, приложенных к i-му
i
внут
M
Так как в соответствии с третьим законом Ньютона внутренние
– результирующий момент внешних сил, приложенных к телу
Z
Соотношение (5.15) называют основным уравнением динамики
Пример 5.2. На блок намотана нить, к концу которой приложе-
– результирующий момент внешних сил, при-
i
внеш
iZ
внут
i
MМJ
i
MJ
=
β
,
внешi
, (5.15)
ZZ
79
если его радиус r = 0,3 м, момент инерции
r
r
F
r
Рис. 5.
11
O
Н⋅м.
JZ = 0,4 кг⋅м2, момент силы трения F
тр
= 1,2
Решение. В соответствии с (5.15) угловое ус-
корение
β
JM=
ZZ
, где
FFrM −=
трZ
– сум-
марный момент внешних сил. Имеем:
β
= 8 рад/с.
ВОПРОСЫ
1. Почему удержать гантель в вытянутой руке труднее, чем в руке,
согнутой в локте?
2. В каком случае для открывания двери нужно приложить меньшую
силу: когда сила приложена к внешнему краю двери или когда такая же
сила приложена ближе к косяку с петлями?
3. Почему человек, толкающий тележку (рис. 3.4), немного накло-
няется вперед?
ЗАДАНИЯ
1. Метатель молота за четыре оборота сообщает первоначально по-
коящемуся молоту массой 7 кг угловую скорость 15 рад/с. Вычислить
момент силы, действующий на молот, если радиус окружности, описы-
ваемой молотом r = 2 м. Молот можно считать материальной точкой.
2. Вал радиусом 5 м, обладающий моментом инерции 0.25 кг⋅м, вра-
щался с частотой v = 8 1/с. К цилиндрической поверхности прижали
тормозную колодку, под действием которой вал остановился через
t
= 10 с. Определить силу трения.
3. Объясните, почему упавшую на пол катушку ниток (на деревянном
каркасе) можно подкатить к себе, потянув за нитку так, что угол между
нитью и поверхностью пола невелик, а при большом угле катушка катится назад. Движение катушки можно рассматривать как вращение вокруг
мгновенной оси – линии касания каркаса катушки и поверхности пола.
Полезно проделать этот опыт.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]