Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Если взять производную по времени от левой и правой частей
dt
dt
rrr
dtdzdtdydt
dt
υ
r
υ
r
υ
r
υ
r
r
dt
уравнения (2.17), получим:
r
Откуда следует, что модуль вектора мгновенной скорости равен первой
производной от пути по времени:
Вектор скорости можно разложить на составляющие по осям координат:
r
dS
τυ
=
. (2.19)
r
dS
=
υ
.
kji
υυυυ
++=
, (2.20)
zyx
где
При этом модуль полной скорости равен:
2.3.3 Ускорение
Ускорение при трехмерном движении также является векторной
величиной:
Ускорение совпадает по направлению с вектором
ния скорости за время dt. Так как скорость в общем случае изменяет-
ся не только по величине, но и по направлению, то направление вектора приращения скорости
скорости
вдоль координатных осей. Запишем здесь лишь проекцию
и соответствующие значения для скорости (2.20–2.22).
.
Вектор ускорения также можно разложить на составляющие
Остальные проекции и модуль ускорения выражаются так же, как
dx
υυυυ
++=
r
a
=
d
в общем случае не совпадает с вектором
d
υ
a
x
dt
2
x
==
===
υυυ
,,
zyx
222
. (2.22)
zуx
d
.
xd
.
2
. (2.21)
d
прираще-
a
на ось x.
21
0
υ
2
dt
θυυ
=
y
A
y
x
υ
Пример 2.6. Найти уравнение траектории снаряда, выпущен-
ного с поверхности земли под углом к горизонту с начальной скоростью
пренебречь.
лета снаряда (рис. 2.8). Закон движения будет задан двумя урав-
A
υ
oy
θ
тивления воздуха движение по горизонтали (вдоль x) будет равномерным, а по вертикали - равнопеременным с ускорением
dy
, и дальность его полета S. Сопротивлением воздуха
Решение. Располагаем начало координат системы в точке вы-
нениями (поскольку
все точки траектории
лежат в одной плоскости, координату z мож-
r
0
υ
ox
−=
g
A
Рис. 2.8
. Выражая из первого уравнения t и подставляя во второе,
x
S
но положить равной
нулю):
,
tx
=
υ
ox
2
gt
ty
−=
υ
oy
При отсутствии сопро-
.
υ
получаем уравнение траектории:
oy
−=
xy
2
tg
sin
ooy
а,
θ
0
=
)tg( x
xy
−=
θ
2
υ
22
0
θυ
oox
0
cos
g
cos2
θυυ
то:
2
.
22
θυ
2
υ
0
θθ
cossincos2
===
2
ggg
Так как
Это уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси
у
и координатами вершины А, равными:
x
A
22
2
xg
.
υυ
oxox
θ
2sin
2
=−=
υ
υ
r
r
υ
r
r
r
υ
r
θ
tg
y
A
2
22
cos2
0
2
υ
2
0
θυ
==
2
gg
.sin
θ
Формулы для координат вершины мы взяли из справочника по
математике, но их можно получить самостоятельно, например,
методами нахождения экстремума функции. Можно воспользоваться и физическими соображениями. Нетрудно догадаться, что в
верхней точке траектории (т. А) вертикальная составляющая ско-
рости равна нулю:
0
yy
gt
.
0
Отсюда можно найти момент времени t, когда тело находится
в точке А, и, подставив это значение в уравнение движения, найти
х
и
у
. Дальность полета равна S = 2⋅
A
A
тории. Максимальная дальность достигается при
при
2.3.4. Тангенциальное и нормальное ускорение
Если траектория точки целиком лежит в одной плоскости (такое
движение называют плоским), то в этом случае вектор ускорения удобно разложить на две составляющие: вдоль касательной и вдоль нор-
мали к ней. Пусть материальная точка движется из положения А1 в положение А2. При этом ее скорость изменяется от
Примем, что расстояние между точками А1 и А2 стремится к нулю, тогда
отрезок дуги между этими точками можно представить как отрезок окружности. Радиус этой окружности называют радиусом кривизны R, а
ее центр - центром кривизны траектории в данной точке. (Отметим, что
у прямолинейной траектории, которую можно рассматривать как предел все более стремящейся криволинейной траектории, радиус кривизны бесконечно велик.) Если перемещение бесконечно мало, то и
изменение скорости будет бесконечно малым. Представим изменение
скорости
0
.
45=
θ
в виде суммы таких же бесконечно малых ортогональных
d
х
ввиду симметрии траек-
A
о
902 =
θ
υ
до
υ
1
(рис. 2.9а).
2
, т.е.
векторов
и
d
υ
n
(рис. 2.9б). Первый из них
υ
d
τ
характеризует
d
n
23
изменение скорости по направлению (т.е. угол поворота вектора
r
r
υ
=
α
υ
=
υυυ
Откуда
R
dt
dt
υ
r
dt
υ
r
υ
r
r
R
dα
R
А1 А
τ
v
r
υ
r
υ
r
r
υ
r
υ
r
r
r
R
r
υ
), а
второй –
Из рис. 2.9б следует (с учетом малости угла dα), что:
характеризует изменение модуля (т.е. изменение длины).
υ
d
τ
d
n
υ
1
1
dα
2
траектория
1
υ
d
2
υ
1
d
υ
n
dα
n
d
d
τ
С другой стороны
(см. рис. 2.9а):
В свою очередь
а
υ
υ
d
n
=
d
=
dtdS
1
n 1
=
1
2
υ
1
α
RdSd /
, тогда:
dtd
R
.
б
Рис. 2.9
ния, которая характеризует быстроту изменения скорости по направлению, называют нормальным (иногда центростремительным) ускоре-
r
d
нием. Таким образом,
a
n
или
=
n
a
=
n
Составляющую
вектора ускоре-
d
rr
n
,
n
.
где
- единичный вектор нормали к касательной. Записывая послед-
n
нее выражение, мы учли, что
индекс у скорости в (2.23), получаем выражение для нормального уско-
рения:
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны
траектории в данной точке (рис. 2.10).
Быстрота изменения скорости по модулю характеризуется тангенциальным ускорением:
24
направлен так же, как
d
n
2
υ
rr
a
n
n
=
. (2.24)
n
. Опуская
dt
υ
r
υ
dt
τ
r
r
r
υ
r
dt
R
2
r
траектория
r
τ
r
r
r
a
r
n
a
n
Рис. 2.10
скорости (сравните (2.25) и (2.19)). При замедленном движении
и
υ
a +=
рии, т.е. образует острый угол с вектором
0<dtd
Полное ускорение (см. рис. 2.10) определяется из соотношения:
2
υ
n
Вектор полного ускорения всегда направлен "внутрь" траекто-
a
τ
a
противоположен вектору
τ
d
υ
rrr
а его модуль из:
,
τ
r
d
a
τ
где
по касательной к траектории. При уско-
ренном движении (
совпадает по направлению с вектором
=
a
τ
=
или
a =
τ
- единичный вектор, направленный
.
2
2
υ
R
d
υ
+
dt
n
, кроме двух частных случаев:
rr
d
, (2.25)
τ
) вектор
υ
0>dtd
.
a
τ
1)
2)
модулю скоростью, когда
25
aar=
– движение по прямолинейной траектории, когда R
τ
aar=
– движение по криволинейной траектории с постоянной по
n
0=
a
Пример 2.7. Снаряд выпущен под углом θ=60° к горизонту с
начальной скоростью
альное ускорения в начальной точке траектории и в точке, где бу-
дет снаряд через t =10 с после выстрела. Найти радиус кривизны
траектории в этих точках.
Решение. Полное ускорение тела, свободно движущегося в
поле силы тяжести Земли, направлено вертикально вниз и равно
.
τ
υ
= 600 м/с. Найти нормальное и тангенци-
0
→
∞ и
а
= 0;
n
по модулю g. Вектор
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⊥
υ
r
r
(
)
υυα
=
=⋅=
=
υθυ
υ
θ
θ
r
r
r
α
r
r
r
x
y
υ
r
А
υ
r
υ
r
υ
r
α
можно разложить на нормальную
g
и
a
n
тангенциальную
Из рис. 2.11а видно, что в начальной точке траектории угол
между векторами
0
а
n
а
τ
g
(рис. 2.11б). Угол между векторами
, а
a
n
Итак,
а
n
Рис. 2.11
g
⊥
υ
х
a
составляющие.
τ
g
и
a
равен θ. Следовательно,
n
а
τ
g
y
.
,arctg
xy
а
θ
θ
Для нахождения угла α
между векторами
в точке А траектории
a
n
б
x
необходимо рассмотреть
вектор скорости
составляющие
этой точке траектории
υ
и
υ
также равен α, так как
x
2
и
g
и его
υ
y
,м/с9,4,cos
2
.м/с5,8,sin
в
==
aga
nn
rr
==
aga
ττ
υ
и
υ
x
0
0
Знак (-) означает, что скорость
находится на падающем участке траектории.
gt
xx
υθυυ
yy
υ
направлена вниз, т.е. снаряд
y
αα
==
α
α
Радиус кривизны траектории можно найти из выражения (2.24):
26
aga
nn
rr
==
aga
ττ
,м/с300м/с5,0600,cos
−=⋅−⋅=−=
0
,57,53,1300/460tg
≈==
2
,м/с35,5,cos
2
.м/с2,8,sin
.м/с460м/с)108,987,0600(,sin
2
(
)
r
r
r
2
3
. В точке 0
aR /
υ
=
В точке A
n
υυυ
ВОПРОСЫ
1
Рис. 2.12
денный за тот же промежуток времени? Может ли он быть меньше?
Объясните.
3. Можно ли сделать вывод о том, что автомобиль движется без ускорения, если его спидометр постоянно показывает одну и ту же скорость? Учтите, что траектория автомобиля – не обязательно прямая
линия.
ЗАДАНИЯ
1. Кинематический закон движения материальной точки задан уравнением
Начертить траекторию точки. Для момента времени t =1 с вычислить
модуль скорости, модуль полного ускорения, модуль тангенциального
ускорения, модуль нормального ускорения.
2. Определите, на сколько длиннее может быть прыжок человека на
Луне по сравнению с прыжком на Земле, если скорость и угол отрыва
одинаковы? Ускорение свободного падения на Луне составляет одну
шестую земного.
3. Ребенок хочет узнать, с какой скоростью из его рогатки вылетает
камень. Помогите ему это сделать, пользуясь только метровой линейкой. Как решить задачу, если еще есть только секундомер?
υυ
0
yx
1. Покажите, как направлено нормальное ускорение в точках 1, 2, 3 при движении тела по
траектории, показанной на рис. 2.12.
2. Может ли модуль вектора перемещения тела, движущегося по плоской криволинейной траектории, быть больше, чем путь, прой-
2
, где А = 10 м, В = –5 м/с2, С =10 м/с.
CtjBtAitz
++= )(
2
2222
=== R
=+=+= R
.
км5,73м)9,4/600(,
.
км4,56м)35,5/)460300((,
27
2.4 Относительность движения. Преобразования
+
=
.
'
z
z
−
=
Галилея
Движение тел можно описывать в разных системах отсчета. Естественно, что и траектории тела в разных системах будут различными.
Если по вращающемуся диску провести мелом прямую линию от центра к ободу, то на диске будет нанесена спираль. Движение куска мела,
описываемое в одной системе отсчета прямой линией, будет представлено движением по спирали в системе отсчета, связанной с вращающимся диском. В этом смысле движение (как и покой) является
относительным, т.е. оно описывается всегда относительно какой-то
системы координат.
Рассмотрим простой пример описания движения в двух системах
координат, одна из которых
(x0yz
) прямолинейно и равномерно вдоль оси
2.13). Если в момент времени t = 0 начала координат 0' и 0 совпадали,
то в момент времени t расстояние 0'0 будет равно Vt. Выберем неко-
торую точку А. Если заданы ее координаты в движущейся системе -
z
0
V t
x
z'
x'
Рис. 2.13
z'
0'
A
y'
y
(x'0'y'z')
y'
движется относительно другой
х
со скоростью V (рис.
,',',' zyx
, то в неподвижной
,'
Vtxx
,'
yy
=
=
и наоборот, если заданы координаты в неподвижной системе,
то в движущейся
,'
yy
=
(2.26)
,'
zz
,'
Vtxx
(2.27)
=
Соотношения (2.26) и (2.27) называются преобразованиями координат
Галилея. С помощью их нетрудно найти проекции скоростей и ускоре-
ний.
28
dx
z
r
r
r
υ
r
υ
r
r
r
r
r
dtddt
dt
dy
dt
dz
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
'
'
'
υυ
==
υυ
υυ
==
,',
VV
+=+=
xx
,',
yy
.',
zz
Составляющие
системы к неподвижной, поскольку сама система движется вдоль оси х,
т.е.
V=VX.
преобразования скоростей Галилея имеют вид:
или в векторной форме
Напомним, что здесь
подвижной системе отсчета,
жущейся системе и
тельно неподвижной). Эту скорость иногда называют переносной.
Если нужно найти скорость в движущейся системе координат, то
из (2.29) получаем:
Ускорение тела в разных системах отсчета можно найти, взяв произ-
водные от скорости. Используя (2.28), имеем:
υ
и
υ
y
Если движущаяся система имеет составляющие
d
υυ
=
не изменяются при переходе от движущейся
υυ
υυ
υυ
υυ
- вектор скорости движения тела в не-
'
- вектор скорости этого же тела в дви-
V
- вектор скорости движущейся системы (относи-
'
'
xx
или
,'
V
+=
xxx
,'
V
+=
(2.28)
yyy
.'
V
+=
zzz
.' V
+=
(2.29)
V
−=
υυ
. (2.30)
'
aax=
x
V
и
V
, то
Y
Z
'
=
Аналогичным образом получаем:
Итак, ускорение тел в системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, оказывается одинако-
29
yy
(2.31)
'
aaaa=
zz
вым. Следует подчеркнуть, что соотношения (2.31) имеют такой вид
υ
r
r
υ
r
α
−
=
r
υ
r
y
α
υ
r
υ
r
r
только потому, что составляющие переносной скорости
в
VVV ,,
zyx
выражениях (2.28) постоянны, т.е. система отсчета
относительно
ха равна 200 км/ч, летит на север. Внезапно начинает дуть северовосточный ветер со скоростью 50 км/ч относительно земли. Какова будет результирующая скорость самолета относительно земли?
Изобразим на рис. 2.14 два вектора:
сительно воздуха,
V
ставляющую
x0yz
равномерно и прямолинейно.
Пример 2.8. Самолет, скорость которого относительно возду-
Решение. Свяжем систему 0 с землей, а систему 0' с воздухом.
- скорость самолета отно-
'
- скорость воздуха относительно земли. Ре-
V
зультирующий вектор
'
β
x
Рис. 2.14
y
(2.29), представляет собой скорость самолета относительно земли.
Для удобства расчетов разобьем векторы на составляющие вдоль осей х и у. Переносная скорость имеет составляющие:
,
α
sinVVx−=
α = 45°. Скорость
''
υυ
=
.
υ
x'0'y'z'
, в соответствии с
y
имеет только одну со-
движется
, где
cosVV
Результирующий вектор
щие
равен
υ
Пример 2.9. Два автомобиля приближаются к перекрестку под
прямым углом друг к другу (рис. 2.15а) с одинаковой скоростью
36 км/ч (10 м/с). Чему равна скорость одного автомобиля относи-
30
и
αυ
sinVx−=
22
или:
υυυ
+=
yx
( ) ( )
имеет, таким образом, составляю-
'
Vy−−=
Модуль вектора скорости
.cos
αυυ
22
=⋅−+⋅=
.км/ч4,168км/ч707,050200707,050
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]