Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Единица ускорения в СИ - 1 м/с2.
dt
−
=
Аналогично тому, как определяется мгновенная скорость, уско-
рение (термином "мгновенное ускорение" обычно не пользуются) может
быть найдено как первая производная от скорости по времени:
d
aυ=
или как вторая производная от координаты по времени:
d
a =
Движение является равнопеременным, если ускорение постоян-
но (равноускоренным, если модуль скорости увеличивается, и равно-
замедленным, если модуль скорости уменьшается).
Пример 2.2. Точка движется по закону:
=
dt
(2.3)
2
dS
dt
Sd
(2.4)
2
dt
2
)(
CtBtAS −+=
м,
где С = 0.55 м/с2. Определить ускорение в моменты времени
t
=5 с.
2
Решение. В соответствии с (2.4.а) имеем:
2
Sd
dt
,
2
a =
Подставляя значения С, получаем, что а = –1,1 м/с и не зави-
сит от времени, т.е. данное движение является равнопеременным.
Рассмотрим графический способ представления перемещения,
скорости и ускорения. Из графика, представленного на рис. 2.2а, следует, что на участках 0–1 и 2–4 точка удаляется от начала координат,
на участке 1–2 неподвижна, а на участке 4–5 движется в обратном направлении. На участке 0–1 точка за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения, т.е. движется равномерно.
В соответствии с геометрической интерпретацией первой произ-
водной скорость может быть определена как тангенс угла наклона касательной к графику перемещения в соответствующий момент времени.
11
.2Ca
t
1
=0,
График скорости, соответствующий графику перемещения, при-
−
S,м
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
υ
1
2
5
2
2
1
2
в
б
а
веден на рис. 2.2б. На участке 0–1 движение равномерное и скорость
10
постоянна:
=
υ
01
ttSS−
01
на участке 1-2 скорость
равна нулю, на участке 2–
5
4 скорость положительна,
(но не постоянна), на уча-
стке 4–5 скорость отрицательна. Это соответству-
0
0 5 10
3
, м/с
t,c
ет движению точки в обратном направлении. Отметим, что в точке 4 (в
момент времени t =11с)
2
1
0
0 5 10
-1
t,с
скорость равна нулю (изменяет знак на противоположный). Аналогичным
образом по графику скорости можно построить
график ускорения (рис.
2.2в). На участках 0–1 и
-2
a, м/с
1–2 ускорение равно нулю, поскольку скорость
постоянна (скачкообраз-
0
0 5 1 0
t,с
ные изменения скорости
мы не учитываем, поскольку они происходят
очень быстро). На участке
2–5 ускорение постоянно
-1
Рис. 2.2
и отрицательно, так как
тангенс угла наклона ка-
сательной к графику скорости одинаков во всех точках участка и отрицателен. Подчеркнем, что
знак ускорения определяется знаком изменения скорости
, а не знаком
скорости. Сравните участки 2–5 графиков скорости и ускорения. Гра-
,
12
фический способ является менее точным, чем аналитический (значе-
=
υ
t
t
υ
=
ние производной из графика S(t) можно определить лишь приближенно), но обладает большей наглядностью.
Можно решить обратную задачу - по известному ускорению найти закон изменения скорости, а по известной скорости найти кинематический закон движения.
Эта задача может быть решена как аналитически, так и графически.
Выражение (2.3) можно представить в виде:
adtd
(2.5)
Интегрируя левую и правую части, имеем:
– изменение скорости за промежуток времени
При равнопеременном движении ускорение постоянно, и его
можно вынести за знак интеграла. Имеем:
υυ
Из последнего видно, что для нахождения скорости как функции
времени необходимо знать еще начальную скорость
мени
t
. Если положить
0
где
υ
- скорость при t =0 (начальная скорость). Кинематическое урав-
0
нение движения можно найти, если формулу (2.2) представить в виде:
Интегрируя, имеем:
Выражение (2.9) справедливо для любой зависимости скорости
от времени. Для равнопеременного движения зависимость скорости от
времени задается выражением (2.7). Подставляя его в (2.9) и учитывая,
t
= 0, то из (2.6) можно получить:
0
υυ
,0at+=
(2.7)
dtdS
. (2.8)
t
=−
0
∫
t
=−
υυ
0
tt −
0
)(00tta −=−
. (2.6)
. (2.9)
dtSS
υ
0
где
,
adt
∫
.
υ
в момент вре-
0
υυ
−
0
13
что
2
2
2
υ
и a – величины постоянные и их можно вынести за знак инте-
0
грала, имеем:
t
+−=−
tdtаttSS
υ
или
Если
t
= 0, тогда
0
где
S
и
υ
- координата и скорость в момент времени t = 0.
0
0
Обратная задача кинематики – нахождение кинематического
уравнения движения по заданному ускорению может быть решена, ес-
υ
)(
000
)(
ttSS
000
tSS ++=
υ
00
−
+−=−
2
at
∫
t
0
2
)(
tta
0
. (2.10)
,
(2.11)
ли заданы начальные условия: скорость
Пример 2.3. Тело брошено с балкона высотой S0 =20 м вертикально вверх со скоростью
уравнение движения, максимальную высоту подъема тела и ско-
рость при падении на землю.
Решение. Если направить координатную ось вертикально
вверх и обозначить ее через h (за начало отсчета можно принять
поверхность земли), то тело будет двигаться с отрицательным ускорением – g. Зависимость скорости от времени запишется в ви-
де:
Уравнение движения:
В момент
рость тела равна нулю, т.е.
g ≈10 м/с ), что
14
gt−=
υυ
.
0
t
достижения максимальной высоты подъема ско-
m
υ
t
= 0,5 с. Подставляя это значение в уравнение
m
υ
и координата
0
υ
= 5 м/с. Найти кинематическое
0
2
gt
thh −+=
υ
00
gt−
= 0, откуда находим (полагая
m
0
.
.0S
движения, получим максимальную высоту подъема тела над уров-
2
2
υ
∆
υ
нем земли:
2
gt
thh −+=
υ
00
mm
m
,
h
m
.м5,20=
Момент времени
быть найден из условия h = 0 при
найдем
tk.
Подставив значения
нение, получим
скорости, получим,
t
падения тела на поверхность земли может
k
t = t
. Из уравнения:
k
2
gt
thh −+=
υ
00
h
и
0
t
= 2 с. Подставив это значение в выражение для
k
υ
= – 15 м/c. Знак (-) означает, что скорость
k
k
km
υ
и решив квадратное урав-
0
направлена вниз.
Обратная задача кинематики может быть решена и графическим
путем, поскольку величину определенного интеграла можно найти как
площадь криволинейной трапеции. В соответствии с (2.9) из графика
скорости, приведенного на рис. 2.3, можно найти перемещение
как площадь криволинейной
i
t
0
t
i
t
t
1
2
Рис. 2.3
интервалы
ным со скоростью
графически определится как площадь полоски, изображенной на рис.
∆t
, в течение которых движение можно считать равномер-
i
υ
. Путь, пройденный за это время, (
i
трапеции, ограниченной графиком
щими через
ными оси ординат (скорости), и
осью абсцисс (времени). Эта
t
3
площадь на рис 2.3 заштрихова-
t
на. Ее величину можно найти
приближенно путем разбиения
времени движения на малые
)(t
, прямыми, проходя-
t
и
t
0
, параллель-
1
SS −
01
tS ∆=
υ
),
iii
15
2.3 более светлой штриховкой. Для того, чтобы найти путь за время
<
υ
υ
6
t,c
1
2 3 2 4
5
t,c
а,
м/
υ
1
–
υ
0
υ
,
υ
υ
υ
а
б
Рис. 2.5
t0,
нужно сложить площади всех полосок (на рис. не показаны), на кото-
рые разбивается графическая фигура. Чем меньше ширина каждой
полоски (и чем больше, следовательно, их число), тем выше точность
определения общей площади.
Отметим, что для нахождения координаты S необходимо знать
начальную координату S0.
Чтобы найти перемещение за время от
υ
0
лежащей ниже оси времени, необходимо
учитывать с отрицательным знаком, по-
скольку
происходит в обратном направлении).
Если же требуется найти путь за это же
t
время, то площади всех фигур складываются.
Рис. 2.4
1
2
c
0
-1
м/c
4
1
3
2
1
2
2
0
0 1 2 3 4 5
чальная координата S
2
= 0.
Если график
резками прямых линий (рис. 2.4),
то площадь фигуры может быть
найдена достаточно точно путем
разбиения ее на простые фигуры - прямоугольники, треугольники и трапеции.
t
до
t
, площадь фигуры,
0
3
,то и
0
i
(движение
0<iS
представлен от-
)(t
Пример 2.4. Зависи-
мость ускорения от времени представлена на рис.
2.5а.
Построить график скорости и найти перемещение
(графическим путем) за
время 3 с, если начальная
скорость
υ
= 2 м/с, а на-
0
t1–
16
Решение. Учитывая, что движение в период времени от t = 0
до t =2 с является равноускоренным, достаточно найти скорость в
эти моменты времени. Из условия задачи
через 2 с возрастает на величину площади прямоугольника шири-
ной 1 м/с и длиной 2 с (рис. 2.5а).
Таким образом, при t = 2 с
этими двумя точками является прямой линией (рис. 2.5б). Скорость в момент времени t = 5 с находим, отняв от скорости
площадь прямоугольника, расположенного ниже оси t на графике
ускорения. Получаем, что при
мещение за время t = 3 с определим через площадь заштрихован-
ной фигуры на полученном графике скорости:
S = 3 м/с⋅2 с + 3,5 м/с⋅1с = 9,5 м.
В формуле (2.10) координата выражается через время движе-
ния. Иногда требуется исключить время из рассмотрения и выразить
координату через скорость. Выразим из (2.6) время (точнее
подставим в (2.10).
−
Имеем:
SS
=−
υ
00
a
υ
1
t
= 5 с скорость
1
a
+
= 4 м/с. График скорости между
υ
= 2 м/с, а скорость
0
υ
υ
= 1 м/с. Пере-
2
t – t
) и
0
2
−
00
=
2
2
υυυυυυ
−
0
aa
22
1
2
2
или
Пример 2.5. Игрок в гандбол бросает мяч со скоростью 20 м/с.
Вычислить среднее ускорение мяча в ходе броска, если при броске мяч ускоряется на общем расстоянии около 3,5 м, когда игрок
проводит мяч из-за спины до точки, в которой он освобождается.
Решение. Требуется найти ускорение при условиях, что
SS −
=3,5 м.
0
17
υυ
0
υ
=0, υ=20 м/с. Из (2.12) найдем ускорение:
0
)(2
SSa −=−
. (2.12)
0
2
2
−
υυ
0
=
ВОПРОСЫ
1. Какую величину измеряет счетчик автомобиля - путь или пере-
мещение?
2. Отличается ли средняя скорость от мгновенной, если:
а) тело движется равномерно?
б) тело движется равноускоренно?
3. Может ли в один и тот же момент времени тело иметь равную ну-
лю скорость и не равное нулю ускорение? Приведите пример.
4. Сравните ускорение автомобиля, который увеличивает скорость
от 80 км/ч до 90 км/ч, с ускорением велосипедиста, ускоряющегося за
тот же промежуток времени из состояния покоя до скорости 10 км/ч.
ЗАДАНИЯ
1. Найти среднюю скорость автомобиля, если:
а) первую половину времени своего движения он двигался со скоро-
стью 80 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 40 км/ч;
б) первую половину пути он двигался со скоростью 80 км/ч, а вто-
рую половину - со скоростью 40 км/ч.
2. Уравнение прямолинейного движения имеет вид S=At+Bt2, где
,
)(
SSaa−
0
2
м
20
=a
5,32
⋅
c
м
.
57
=
22
c
А = 1.5 м/с, В = –0.5 м/с. Построить графики зависимости координаты и
скорости от времени на отрезке от t = 0 до t= 8 с.
3. С балкона бросили мяч вертикально вверх со скоростью 10 м/с.
Через t = 3 с он упал на землю. Определить высоту балкона над землей
и скорость мяча в момент удара о землю.
2.3 Криволинейное движение
2.3.1 Кинематические уравнения движения. Путь и переме-
щение
Для описания одномерного движения достаточно было одной
координаты. Описание движения в пространстве трех измерений является более сложным, поскольку траектория точки в общем случае яв-
18
ляется пространственной кривой. Положение точки в пространстве мо-
r
r
r
=
===
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
x
z
A
ix
yj
k z
r
траектория
y
жет быть задано тремя способами.
При векторном способе ее положение
r
r
r
о
r
Рис. 2.6
ский закон движения может быть задан либо в форме векторного уравнения:
либо в виде трех координатных уравнений:
Уравнение траектории, т.е. уравнение, связывающее между
собой координаты точки, можно получить, если исключить из (2.14)
время. Радиус-вектор
указывается радиус-вектором
веденным из центра О. С векторным
способом тесно связан координатный,
при котором положение точки задано
тремя координатами x, y, z (в декартовой системе координат).
При движении т. А (рис. 2.6) ее
координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени. Кинематиче-
)(trr
, (2.13)
. (2.14)
)(),(),( tzztyytxx
можно разложить на составляющие по осям
,r
про-
координат (рис. 2.6):
где
i
,
j
,
k
- орты (единичные векторы) координатных осей. Модуль
вектора
ственный (или траекторный) способ описания. Положение точки на
траектории в этом случае определяется дуговой координатой S, измеряемой длиной участка по кривой от начала отсчета до данной точки.
Положительное направление дуговой координаты устанавливают произвольно, например, вправо от начала отсчета (рис. 2.7). Кинематиче-
ское уравнение движения имеет в этом случае вид:
19
равен:
Если траектория движения точки задана, тогда применяют есте-
,kzjyixr
++=
222
zyxr ++=
. (2.15)
S=S(t).
(2.16)
∆
=
r
τ
r
r
=
τ
r
t
∆
r
r
zr∆
t
∆
r
dt
r
r
r
1
r
rr∆
O
A
∆
1
0
r
0
Рис. 2.7
∆
r
почти равен пути
S
траектория
r
При перемещении точки из
A
2
S
S
А
путь
∆
S
2
всех случаях, кроме прямолинейного
движения точки, длина пути больше
модуля вектора перемещения (длины
хорды). В случае, когда соседние положения точки очень близки друг к
другу, модуль вектора перемещения
. Переходя к бесконечно малым величинам,
равен длине дуги
А1А
А
. Во
2
в
1
получаем равенство
Поскольку при бесконечно малом перемещении вектор
правлен по касательной к траектории, можно записать:
где
- единичный вектор, направленный по касательной в сторону
возрастания дуговой координаты S.
2.3.2 Скорость
В случае трехмерного движения скорость, как и перемещение,
нужно рассматривать как векторную величину. Вектор средней скоро-
сти определяется как:
По направлению
Вектор мгновенной скорости определяется как
или
т.е. равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по
касательной к траектории в сторону движения точки (поскольку так на-
правлен вектор
υ
совпадает с
ср
rd
).
dSdr
.
rd
на-
dSrd
, (2.17)
r
υ
z
=
ср
υ
.
∆
.
r
=
lim
υ
r
rd
=
, (2.18)
r
t
→∆
0
∆
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]