Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
В соответствии с (6.6) определяем, что в северном полушарии
r
r
r
⋅−=
2
ω
а
ω
v
О
r
r
r
б
r
Рис.
6.6
ϕ
r
ω
r
ϕ
ϕ
r
r
r
сила Кориолиса направлена вправо относительно направления
скорости движения вагона.
O
r
R
З
ицF.
O
u
F
k
а б
Рис. 6.5
Пример 6.2. На платформе (рис. 6.6) лежит шарик, не взаимо-
действующий с платформой (сила трения отсутствует). Если
платформу при-
O
r
F
k
u
n
F
иц
.
рик останется неподвижным (рис. 6.6а). Относительно вращающейся системы отсчета, связанной с платформой (рис. 6.6б), шарик будет двигаться по окружности с угловой скоростью, направленной противоположно.
Определить силы в неинерциальной системе отсчета, в результате действия которых на шарик, он будет двигаться по окружно-
сти (с нормальным ускорением
2
ω
=
n
Решение. На шарик во вращающейся системе отсчета дейст-
вует центробежная сила инерции (6.3):
вести во вращение
с угловой скоро-
стью
инерциальной системе отсчета ша-
ra
).
иц
.
ω
, то в
nrmF
, где
ω
–
91
угловая скорость вращения системы,
r
rvrrr
r
r
r
r
r
v
v
r
r
rrr
rrr
rrr
правленный к оси вращения, а также сила Кориолиса:
k
Действительно, векторное произведение
n
– единичный вектор, на-
∩
2),sin(22
ω
×u
направлено па-
nmunumuumF
⋅=⋅=×=
ωωωω
.
раллельно
одной прямой, но в противоположных направлениях (рис. 6.6б).
Поскольку модуль линейной скорости шарика равен
Результирующая сила, приложенная к шарику:
им ускорение равно:
ВОПРОСЫ
1. В каких случаях на тела в неинерциальных системах отсчета дей-
ствует сила инерции? центробежная сила инерции? сила Кориолиса?
2. Какая величина входит во все формулы: для силы инерции, цен-
тробежной силы и силы Кориолиса?
3. Где, при прочих равных условиях – вблизи полюса или вблизи эк-
ватора – центробежная сила инерции больше? то же для силы Кориолиса.
ЗАДАНИЕ
Как известно, сила тяжести на поверхности Земли является векторной суммой силы тяготения, направленной к центру Земли, и силы
инерции, направленной перпендикулярно земной оси. Считая Землю
однородным шаром, найдите широту местности, на которой вектор силы тяжести имеет максимальное отклонение от направления к центру
Земли. Определите также модуль ускорения силы тяжести на полюсе и
на экваторе.
n
. Таким образом, силы
⋅=22
k
2
ицk
.
ω
n
F
и
F
k
nrmF
.
2
nrmFa
⋅==
ω
направлены вдоль
иц
.
u =
ω
r
, то
222
nrmnrmnrmFFF
⋅=⋅−⋅=+=
ωωω
, что и требовалось доказать.
и получаемое
92
7 КОЛЕБАНИЯ
ϕ
ω
+
=
ϕ
ϕ
cos
)
π
π
π
ϕ
+
+
π
ω
=
ω
π
=
=
ν
7.1 Гармонические колебания
Колебаниями называют движения, повторяющиеся во времени.
Если значения изменяющейся физической величины повторяются через равные промежутки времени, колебания называются периодическими.
Если некоторая физическая величина (например координата материальной точки) изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими:
)cos(
tAx
0
или
Поскольку
зическая величина x принимает значения от –A до A. Если x– коор-
дината, то среднее значениеx= 0 называют положением равновесия,
а отклонение от этого положения – смещением. Модуль максимального
отклонения А от положения равновесия называют амплитудой, аргумент
синуса или косинуса
лической) частотой. В момент времени t= 0 фаза равна
называют начальной фазой.
Синус или косинус принимают одинаковые значения при изменении аргумента на
sin
и
(
2
принимают значения от -1 до 1, то фи-
ϕω
+t
– фазой, величинуω – угловой (или цик-
0
, поэтому фазы колебаний, отличающиеся на
)sin(
ϕω
+= tAx
.
0
ϕ
, поэтому
0
ϕ
0
n
2
, где n = 0, 1, 2..., называют одинаковыми.
За время изменения фазы от некоторого значения ϕ до
совершается одно полное колебание. Поскольку при этом время изменя-
ется от t до
Для характеристики колебаний используется также частота
(число полных колебаний в единицу времени):
93
Tt
, где T– период, мы можем записать
T
/2
. (7.1)
T/1
. (7.2)
2
T
2
, откуда
Наглядное представление о колебании можно получить при его
tx,
A
r
ϕ
=
ω
A
r
ϕ
ω
+
=
x
б
x
T
A
r
ϕ
графическом изображении в координатах
жение позволяет непосредственно найти основные величины, характе-
ризующие колебания: амплитуду, период, начальную фазу, а также
форму негармонического колебания (например, рис. 7.1б).
а
фиков на практике используют
принцип временной развертки –
T
колебательное движение накладывают на поступательное прямолинейное движение с посто-
t
янной скоростью (движущаяся
бумажная лента, луч осциллографа и т.п.).
Рис. 7.1
пользоваться векторным (геомет-
рическим) представлением колебаний.
(рис. 7.1). Такое изобра-
Для получения таких гра-
Во многих случаях удобно
Обратимся к рис. 7.2. Проекция вектора
на ось x равна
O
x
Рис. 7.2
ϕωϕ
+= t
, при этом проекция вектора изменяется по гармониче-
0
скому закону с циклической частотой ω:
Таким образом, гармоническое колебание геометрически изо-
бражается в виде проекции вектора
амплитуде колебаний, и вращающегося с угловой скоростью ω, равной циклической (угловой) частоте колебаний.
Векторное представление удобно использовать для сложения
колебаний одинаковых частот одного направления:
между вектором и осью. Если вектор равномерно вращается с угловой скоростью
, то кинематическое уравнение для уг-
лового перемещения имеет вид
, имеющего модуль, равный
),cos(
tAx
111
ϕω
+=
tAx
222
cosAx
, где ϕ – угол
)cos(
ϕω
+= tAx
.
0
).cos(
94
А
r
r
r
+
=
А
r
ϕ
ω
+
=
=
ϕ
π
A
r
z
ˆ
у
ϕ
2
r
ϕ
A
r
1
r
ϕ
Рис. 7.3
A
A
02
0
x
2
01
x
x
1
Векторы этих колебаний в
начальный момент времени t = 0
изображены на рис. 7.3. По-
скольку оба вектора вращаются
с одинаковой частотой, их взаимное положение не изменяется
с течением времени. Вектор
суммарного колебания находит-
ся путем векторного сложения векторов
ние
Амплитуду суммарного колебания можно найти по теореме косинусов:
или через проекции по теореме Пифагора:
Начальную фазу найдем из треугольника
Из (7.3а) следует, что суммарное колебание имеет максималь-
ную амплитуду A=
одинаковой фазе, т.е.
мальную амплитуду
тивофазе:
С векторным представлением тесно связано представление
гармонических колебаний посредством комплексных чисел. Плоскость
векторного изображения (рис. 7.2, 7.3) можно представить как комп-
xxx
может быть представлено как проекция вектора
21
)cos(
tAx
.
2
2
2
2
2
1
2
2211
AA
AAA −=
.
+
AA
+
n
πϕϕ
2)(
=−
, где n= 0, ±1, ±2..., и мини-
, если
21
tg
=
ϕ
A
+
A
, если колебания
1
2
12
ϕϕ
)12(12+=− n
А
А
и
. Суммарное колеба-
2
1
(7.3а)
)cos(2
ϕϕ
−++= AAAAA
1221
AAAAA +++=
:
OAx
sinsin
ϕϕ
2211
. (7.4)
coscos
ϕϕ
2211
x
и
x
1
x
и
x
1
складываются в
2
складываются в про-
2
)sinsin()coscos(
ϕϕϕϕ
2211
xy /tg
2
. (7.3б)
или
:
лексную плоскость (рис. 7.4), а вектор
числом
в алгебраической форме:
95
представить комплексным
ˆ
ibаz +=
(7.5)
(знак∧над буквой означает, что число
z
ˆ
(
)
ϕ
Α
=
ϕ
Α
=
=
ϕ
A
r
A
r
(
)
A
r
ϕ
мнимая ось
является комплексным). В тригонометрической форме:
b
а
O
действительная ось
Рис. 7.4
Используя формулу Эйлера
поненциальную форму комплексного числа:
В выражениях (7.5) и (7.6)
действительная часть комплексного числа,
а
мнимая единица.
sin
b
– мнимая часть,
ϕ
i±=±
ϕϕ
sincosˆiz +Α=
ϕϕ
sincos ie
ˆ
Aez =
. (7.6)
cos
а
i
, получим экс-
ϕ
i
, (7.7),
–
1
−=
–
где
– модуль комплексного числа, равный корню квадратному из суммы
квадратов действительной и мнимой частей, а ϕ – аргумент комплексного числа, тангенс которого
равен отношению мнимой части к действительной.
Если вектор
правлении, то соответствующее комплексное число может быть пред-
ставлено в виде:
а его проекции на ось 0x (действительная часть) или 0y (мнимая часть)
представляют собой гармоническое колебание.
Представление гармонического колебания в форме (7.9) позволяет значительно упростить решение многих задач. Операции дифференцирования и интегрирования над экспоненциальными функциями
проводить удобнее, чем над тригонометрическими. Поворот вектора
на дополнительный угол ϕ может быть представлен умножением
правой части (7.9) на
равномерно вращается в положительном на-
ϕ
i
e
. Действительно,
ϕω
ti
i
0
22
baA +=
(7.8а)
ab /tg
(7.8б)
ˆ
ϕ
(
Aez
(
=⋅
eee
)
ϕω
+=ti
0
, (7.9)
)
ϕϕω
+++
ti
0
.
96
ВОПРОСЫ
1
(
)
(
)
π
()(
)
ω
υ
=
1. Приведите примеры периодических движений из повседневной
жизни. В каких случаях колебания близки к гармоническим?
2. Материальная точка совершает гармоническое колебание с амплитудой А. Чему равны путь и перемещение точки за период? На какой угол поворачивается вектор, изображающий это колебание?
ЗАДАНИЕ
Получите формулы, аналогичные (7.3) и (7.4), для амплитуды и начальной фазы суммарного колебания
плексные числа. Алгебраические действия с комплексными числами про-
водятся по обычным правилам алгебры с учетом соотношения
7.2 Скорость и ускорение точки при гармоническом
колебании
Представим смещение точки при гармоническом колебании как
cosϕω+= tAx
или в виде комплексного числа как
комплексной форме) определится как:
0
ˆ
Aez
ˆ
zd
ˆ
ˆˆˆ
zzz +=
, используя ком-
21
2
−=i
.
(7.10)
ϕω
+=ti
0
, тогда скорость (в
)(
ϕω
+==tj
ωυ
eAi
0
. (7.11)
td
Умножение комплексного числа на i означает поворот вектора, соответствующего данному комплексному числу, на угол
i
2
используя формулу Эйлера, имеем
Это позволяет переписать (7.11) в виде
π
2/
. Действительно,
iie
=+= 2sin2cos
ππ
.
π
ˆ
где
– амплитуда скорости.
Действительная часть выражения (7.12) дает значение скорости
в действительной форме:
97
ϕωυυ
ti
m
A
m
(7.12а)
cos
m
++=2exp
, (7.12)
0
π
ϕωυυ
t
++=
. (7.13)
0
2
Из (7.12) и (7.13) следует, что колебания скорости происходят со
π
(
)
(
)
πϕω
++=
(
)
(
)
ϕ
ω
2
ω
π
сдвигом по фазе на угол
отражено на векторной диаграмме (рис. 7.5).
А
А
/2
мнимая ось
0
А
O
действительная ось
Рис. 7.5
ускорения сдвинуты по фазе на угол πотносительно колебаний смещения. Действительно, применяя формулу Эйлера, получаем, что
π
i
e
ку смещение, скорость и ускорение измеряются в разных единицах.
или
– амплитуда ускорения. Сравнивая полученное выражение с (7.10),
можно записать
но смещению с обратным знаком.
1−=
. Длины векторов на рис. 7.5 выбраны произвольно, посколь-
Действительная часть от (7.14) дает:
cos taa
m
Ускорение тела при гармоническом колебании пропорциональ-
0
2/
относительно смещения (7.10), что и
Найдем ускорение как произ-
водную по времени от (7.11):
ˆ
d
υ
ˆ
a
td
Знак (–) означает, что вектор,
описывающий ускорение, повернут
относительно вектора, описывающего
смещение, на угол π, т.е. колебания
, где
2
ω
=
m
2
ω
−=
( )
exp
2
cos
2
Aa
(7.15)
xa
. (7.16)
. (7.14)
ϕωω
+−== tiA
0
ϕωω
+−= tAa
0
ЗАДАНИЯ
1. Получите выражения для скорости и ускорения, пользуясь триго-
нометрическим представлением гармонического колебания (7.10).
2. Пользуясь полученными выражениями и векторной диаграммой
(рис. 7.5), постройте графики
98
t
υ
и
ta
, полагая
00=
ϕ
.
7.3 Простейшие колебательные системы и уравнения их
2
−
=
m
0 x
m
0
x
r
движения
Колебательными системами (или осцилляторами) называют
механические системы, способные совершать колебательные движения. Если колебательную систему вывести из положения равновесия и
предоставить самой себе, то она будет совершать колебания, которые
принято называть свободными.
Рассмотрим примеры систем, совершающих свободные гармонические колебания в отсутствие сил трения и сопротивления. Такие
системы называют гармоническими осцилляторами. Как мы видели,
ускорение и смещение при гармоническом колебании должны удовлетворять уравнению (7.16), которое мы перепишем в виде:
xd
2
dt
F
x
Рис. 7.6
тальной поверхности без трения. Если сдвинуть груз от положения
равновесия, то на него будет действовать сила упругости пружины,
направленная к положению равновесия, поэтому эту силу называют
возвращающей. При малых отклонениях от положения равновесия сила
подчиняется закону Гука:
Если груз сместить от положения равновесия и отпустить, то он
будет совершать колебания. Уравнение движения груза, составленное
на основании 2-го закона Ньютона будет иметь вид:
2
xd
m −=
dt
kx
2
или
2
ω
0
ставляет собой систему, состоящую
из груза массой m, присоединен-
ного к пружине с жесткостью k.
Массой пружины в сравнении с
массой груза можно пренебречь.
Установим пружину горизонтально,
как показано на рис. 7.6. Будем считать, что груз движется по горизон-
x
(7.17а)
.0
=+ x
Пружинный маятник пред-
kxF
.
2
k
dt
xd
2
0
=+ x
. (7.17б)
m
99
Мы получили дифференциальное уравнение движения пружин-
(
)
α
⋅
=
ного маятника, в котором переменной величиной является время t, а
неизвестной функцией
Сравнивая уравнения (7.17а) и (7.18б), делаем вывод, что частота гармонических колебаний пружинного маятника определяется
выражением:
т.е. зависимость смещения от времени имеет вид:
Частоту (7.18) называют частотой собственных колебаний или
собственной частотой. Собственная частота определяется параметрами самой системы и не зависит (в пределах применимости закона
Гука) от амплитуды.
Амплитуда А и начальная фаза
условиями: смещением
мени
t
= 0. Начальная фаза зависит от того, каким способом (толчком
из положения равновесия или отклонением от этого положения) мы
привели колебательную систему в движение.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение (7.19) является общим решением дифференциального уравне-
ния (7.17б), т.е. никаких других решений не существует. В применении к
пружинному маятнику это означает, что маятник может совершать
только гармонические колебания и ни в каких других движениях участвовать не может (естественно, в рамках тех условий и ограничений,
которые учитывались при выводе уравнения (7.17б).
Математический маятник представляет собой систему, состоящую из груза, подвешенного на тонкой нити. Предполагается, что
груз можно считать материальной точкой, а нить невесомой и нерастяжимой. Движение груза происходит по дуге окружности (рис. 7.7).
Смещение груза вдоль дуги
отклонения от вертикали. Пренебрегая диссипативными силами, за-
tx
.
ω
0
x(0)
и скоростью
mk /
=
Ax
Lx
, (7.18)
k
m
ϕ
определяются начальными
0
υ
0
, где L – длина нити, а α – угол
+⋅=0cos
ϕ
t
в начальный момент вре-
. (7.19)
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]