Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
dt
(
)
L
dt
L
r
L
r
r
Рис.
7.7
α
F
н
F
τ
0
α
пишем 2-й закон Ньютона для тангенциальных
составляющих силы и ускорения:
2
xd
m =
х
gm
Поскольку сила
порциональна не углу α, а его синусу, колебания не будут гармоническими – полученное
нами уравнение не эквивалентно уравнению
(7.17). Однако в случае малых углов отклоне-
ния
αα
≈sin
F
.
τ
2
τ
возвращающая сила может
Fma =
или
ττ
α
sinmgF −=
про-
быть представлена в виде
смещение при отклонении маятника на угол α.
При этом уравнение движения математического маятника имеет вид:
2
g
xd
2
шаемые им собственные колебания являются гармоническими (при
малой амплитуде) и происходят с частотой
Итак, мы определяем другое условие, необходимое для того,
чтобы колебания были гармоническими: возвращающая сила должна
быть пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия. Такая сила называется квазиупругой и в общем случае может
быть представлена в виде:
ругой силы. Для пружины
mg
k =
0
Физический
ную ось вращения О, не проходящую через центр тяжести (рис. 7.8). В
однородном поле тяготения центр тяжести совпадает с центром масс С.
0
=+ x
а его решение:
L
.
маятник – это твердое тело, имеющее неподвиж-
τ
x 0
0
α
mgF −≈
или
Ax
F −=
g
L
ω
xkF
−=
, где
k
- коэффициент квазиуп-
0
kk =
, для математического маятника
mg
x
, т.е. совер-
ϕ
g
. (7.20).
L
, где х –
τ
+⋅=0cos
t
=
0
101
Если маятник отклонить от положения равновесия на угол α, то
α
−
=
α
dt
(
)
dt
ml
возникает вращающий момент, обусловленный силой тяжести, приложенной к центру масс, модуль которого равен:
Основное уравнение динамики вращательного движения имеет
2
α
d
J −=
2
mgl
sin
О
l
вид:
L
пр
инерции маятника относительно оси О. При
sinmglM
.
, где J – момент
α
C
О'
малых углах отклонения
ние движения примет вид:
2
d
mgl
α
2
J
0
=+
α
, а его решение
=sin
αα
уравне-
r
gm
Рис. 7.8
где
α
- амплитуда углового смещения. Сопоставляя с (7.17), нахо-
m
дим, что физический маятник (при малых отклонениях) совершает гар-
монические колебания с частотой
Величину
маятника. Если подставить ее в (7.21),то получим формулу
g
=
ω
0
тематического маятника. Приведенная длина физического маятника
равна длине математического маятника, имеющего такую же собственную частоту.
L
от оси вращения О на линии, проходящей через центр масс, назы-
пр
вается центром качания. Центр качания О' и точка подвеса О обладают свойством взаимности. Если ось вращения маятника будет прохо-
, подобную формуле (7.20) для собственной частоты ма-
L
np
Точка О' физического маятника, расположенная на расстоянии
Lnp=
J
называют приведенной длиной физического
mgl
m
=
ω
0
+⋅=0cos
ϕαα
t
J
mgl
. (7.21).
J
,
102
дить через точку О', тогда точка О будет центром качания, при этом
⋅
=
x
частота колебаний окажется прежней.
Рассмотрев несколько примеров колебательных систем, мы обнаружили, что их движение описывается уравнениями, имеющими одинаковый вид. Аналогичными уравнениями описываются также электрические колебания. Это сходство позволяет заменить всякую колебательную систему моделью, состоящей из невесомой пружины жестко-
стью k и материальной точки массой m. Идеализированная система, в
которой масса сосредоточена в одной ее части, а жесткость – в другой,
называется системой с сосредоточенными параметрами.
Для того чтобы колебания в отсутствии трения были гармоническими, необходимо, чтобы возвращающая сила была квазиупругой.
Определив конкретный вид возвращающей силы, нетрудно найти собственную частоту любой колебательной системы.
Пример 7.1. Определить период и частоту собственных коле-
баний ареометра, опущенного в воду.
Ареометр представляет собой стеклянную трубку с грузом в нижнем конце
(рис. 7.9). Масса ареометра m = 50 г,
площадь поперечного сечения трубки
S = 2 см2.
Решение. Определим возвращающую силу. Если вывести ареометр из
положения равновесия, утопив его на
расстояние x, то появится дополни-
Рис. 7.9
тельная сила Архимеда
F
, направ-
A
ленная вверх и равная весу воды, вытесненной объемом
SxV
.
Имеем:
ρ
– плотность воды. Если ареометр поднимается вверх, то сила
A
SxgF
ρ
−=
, где g – ускорение свободного падения,
Архимеда уменьшается на такую же величину и возвращающая
сила обусловлена некомпенсированной частью силы тяжести.
103
Уравнение движения ареометра имеет вид:
dt
0
=
ω
(
)
2
α
d
m
2
xSg
ρ
−=
или
2
2
dt
T
ВОПРОСЫ
1. Изменится ли период колебаний математического маятника, если
его поднять на высокую гору?
2. Как изменится частота колебаний пружинного маятника, если груз
подвесить на двух одинаковых пружинах?
ЗАДАНИЯ
1. Резиновый жгут имеет длину 40 см, когда к нему подвешен груз
массой 20 г и 60 см при грузе массой 70 г. Определить период собственных колебаний грузов на этом жгуте.
2. Определить, во сколько раз отличаются периоды математического маятника и физического, представляющего тонкий стержень такой
же длины, подвешенный у одного из концов.
3. Используя самодельный математический маятник и часы с секундной стрелкой, определите ускорение свободного падения в вашей
квартире.
Sg
xd
ρ
=+ x
m
. Сопоставляя с (7.17), имеем
2
m
π
2=
Sg
ρ
,
28,6
=
T
−
105
⋅
43
−
102108,9
⋅⋅⋅
ω
0
,
c1c
=
Sg
ρ
=
или
m
.
c3,6
0
7.4 Энергия гармонического осциллятора
Энергия идеализированной системы с сосредоточенными пара-
метрами m и k слагается из двух частей – кинетической энергии дви-
жущейся массы
системы
ния по закону
ниями (7.10) и (7.13), и выражения для энергии имеют вид:
104
2
kxU =
2
2
υ
mК =
2
. Если система совершает гармонические колеба-
cosϕω+= tAx
и потенциальной энергии упругой части
, то x и υопределяются соотноше-
0
2
2
2
222
2
()(
)
m
0
x
π
1
2
1
22
cos
m
cos
ϕωυ
22
( ) ( )
++= tAmtmK
0
0
1
2
2
1
cos
sin
222
222
( )
+=
.
ϕωωϕω
+=+= tAmtkAU
0
,
ϕωω
0
Здесь использованы соотношения
На рис. 7.10 приведены графики зависимостей потенциальной и
кинетической энергии от времени, из которых следует, что кинетическая энергия максимальна в момент прохождения точкой положения
равновесия, потенциальная в этот момент
равна нулю. При колебаниях происходит
переход кинетической энергии в потенци-
0
U
K
Рис. 7.10
ем в любой момент времени:
альную и обратно. При этом полная энергия
t
сохраняется:
Полная механическая энергия гармонического
осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.
t
k
Полная энергия может быть выражена через максимальную кинетическую либо
через максимальную потенциальную:
υ
Отсюда можно получить полезное
соотношение между скоростью и смещени-
222
ωυ
0
A
ωυ
=
и
m
22
kxm
xAxA
−=−=
ω
1
=+=
2
m
υ
m
222
. (7.23)
mk /2=
.
22
AmUKE
ω
. (7.22)
2
kA
==+
.
2
22
Поскольку
мера 7.1: а) полную энергию; б) кинетическую энергию и потен-
105
m
Пример 7.2. Вычислить для колебательной системы из при-
=
A
ωυ
, имеем:
υυ
m
x
.
−=
1
2
A
циальную энергию при смещении ареометра на расстояние, рав-
2=A
2
ρ
=
=
814
212
−
=
(
)
ное половине амплитуды; в) скорость в момент времени, когда
груз находится на расстоянии 0,5 см от положения равновесия,
если амплитуда
Решение. а) подставляя в формулу (7.22), полученное в при-
мере 7.1 значение частоты, а также амплитуду и массу, имеем:
1
б) из выражения для возвращающей силы в примере 7.1 находим "жесткость" системы, точнее, коэффициент квазиупругой силы:
U
Sgk
, тогда потенциальная энергия при
kx
2 −−−
( )
см.
2
22
A
Sg
===
2
,
SAg
ρρ
44
,
Дж1041043,6105
⋅=⋅⋅⋅= ДжE
2/Ax
,
Дж104−≈U
а кинетическая
в) скорость определяется по формуле (7.23)
22
ωυ
ВОПРОСЫ
1. Как изменится частота, максимальная скорость и полная меха-
ническая энергия гармонического осциллятора, если увеличить его
амплитуду вдвое?
2. При каком смещении потенциальная энергия гармонического ос-
циллятора равна половине полной?
ЗАДАНИЕ
К пружине жесткостью k = 19.6 Н/м присоединили груз массой
0,3 кг, а затем, отклонив от положения равновесия на 0.1 м, отпустили.
Определить: а) амплитуду колебаний; б) максимальную скорость; в)
полную энергию; г) скорость в момент времени, когда груз находится
на расстоянии 5 см от положения равновесия.
106
xA −=
,
UEK
,
υ
.
Дж1034−⋅=K
422 −
.
м/с105,023,6
⋅−=
7.5 Затухающие колебания
dt
=
β
dt
(
)
ϕ
ω
+
=
(
)
В реальных системах свободные колебания не являются гармоническими. Вследствие потерь механической энергии за счет трения
амплитуда колебаний постепенно уменьшается. Такие колебания называются затухающими.
Рассмотрим колебательную систему, в которой кроме квазиупругой силы действуют силы вязкого трения. Согласно (3.34) сила вязкого
трения пропорциональна скорости. Уравнение движения системы при
2
этом будет иметь вид:
xd
m −−=
2
υ
rkx
.
Обозначив
Общее решение данного дифференциального уравнения найдем путем замены переменной:
производные от данного выражения, подставим в (7.24) и после не-
сложных преобразований получим уравнение:
или
где
Уравнение (7.25) аналогично уравнению (7.17), и мы можем записать его общее решение (при
рейдя обратно к переменной x, получим:
Данное решение описывает затухающие колебания. График такого движения приведен на рис. 7.11. Оно не является гармониче-
ским, поскольку амплитуда колебаний
mr 2/
и перенеся все члены в левую часть, имеем:
dt
2
xd
2
2
dt
dx
dt
=
zd
2
ω
2
−=
0
>
0
β
−
t
cos
2
02
=++ x
ωβ
0
t
β
−
zex
0
=+ z
, (7.25)
22
βωω
(7.26)
22
):
βω
ϕω
+=
teAx
−
eA
0
. (7.24)
. Найдем первую и вторую
2
zd
2
. (7.27)
00
t
β
не остается постоянной,
cos
2
0
tAz
2
=−+ z
βω
. Пе-
00
0)(
107
t
β
−
(
)
x
β
t
x
t
а уменьшается по закону
–
e
0
T
Рис. 7.11
та затухающих колебаний, определяемая из выражения (7.26), несколько меньше собственной частоты, однако это отличие при малом
невелико и на практике его часто не учитывают.
При большом затухании, когда
силу, поскольку частота становится мнимой величиной и движение пе-
рестает быть колебательным. В этом случае система просто возвращается в положение равновесия (такое движение называют апери-
β>ω
0
β=ω
0
Рис. 7.12
e
. Это движение, строго говоря, не явля-
ется периодическим в том смысле, в
0
каком мы определили такое движение в разделе 7.1. В данном случае
можно определить период как время
t
между последовательными прохождениями через положение равновесия в одном и том же направлении
(рис. 7.11). Величина β называется
коэффициентом затухания. Часто-
, решение (7.27) теряет
ωβ
≥
0
одическим), причем в случае
система приходит в положение равнове-
сия в самое короткое время (рис. 7.12).
Выражение (7.27) обладает следующей особенностью – логарифм отношения двух последовательных амплитуд (разделенных промежутком времени,
равным периоду) есть величина постоянная. Ее называют логарифмическим
декрементом затухания θ:
t
−
β
eA
0
( )
β
Tt
+−
eA
T
β
lnln
Te
βθ
===
. (7.28)
ωβ
=
β
0
108
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в
е
раз, называется временем затухания:
βτ
1=
. Совершаемое за это
T
время число колебаний равно
N
τ
Другой характеристикой колебательной системы является доб-
ротность Q. Она связана с логарифмическим декрементом затухания
соотношением
π
=Q
. (7.29,а)
1
=== T
β
.
θ
θ
Учитывая (7.28), можно получить другое выражение, справедли-
ω
Qπ2=
0
. (7.29,б)
=Q
β
2
E
, (7.29,в)
E
T
вое при малом затухании:
Добротность можно выразить и через энергетические характе-
ристики:
где Е – полная энергия системы, ЕТ – энергия, теряемая за период.
ЗАДАНИЯ
1. Определить, чему равен логарифм отношения двух амплитуд,
разделенных промежутком времени в одну секунду.
2. Определите, при каком коэффициенте вязкого трения движение
системы с массой и жесткостью становится апериодическим.
7.6 Вынужденные колебания
Колебательная система, выведенная из положения равновесия
и предоставленная самой себе, совершает затухающие колебания с
частотой (7.26), определяемой параметрами самой системы m, k и r.
Если же на систему действует периодическая внешняя сила, то
система будет совершать вынужденные колебания с частотой, равной
частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания устанавливаются не сразу с появлением вынуждающей силы, поскольку в начальные
моменты времени в системе существуют также свободные затухающие
колебания, но они с течением времени исчезают.
109
Пусть внешняя сила изменяется по гармоническому закону и мо-
dt
dt
(
)
(
)
(
)
m
(
)
Ω
β
ti
жет быть представлена в виде:
ний вынуждающей силы. Тогда уравнение движения системы (с учетом
затухания) будет иметь вид:
ˆ
m
Ω
eFF
=
2
xd
2
, где Ω – частота колеба-
0
Ω
eFrkx
υ
+−−=
0
ti
или:
2
xd
2
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что одним из решений (частным решением) этого уравнения является
функция вида:
(Общим решением является сумма решения (7.31) и решения,
описывающего затухающие колебания, однако последним мы пренебрегаем, полагая, что по истечении некоторого времени эти колебания
прекращаются). Представляя решение (7.31) в комплексной форме
ϕ
i
ˆ
где
вынужденных колебаний. Для этого возьмем от (7.32) первую и вторую
производные и подставим в (7.30). Получим:
После сокращения на множитель
Мы представили знаменатель этого выражения в виде ком-
плексного числа (7.7):
модуль, а (–
из выражения
0
AeA =
- комплексная амплитуда, найдем амплитуду и фазу
ˆ
A
=
ϕ
) – аргумент, который в соответствии с (7.8б) находится
0
dx
2 =++
dt
ˆ
2
2 =++−
( )
0
ˆ
ωβ
cos
ωΩβΩ
mF
/
0
22
+−
i
DeD−=
ϕ
2
0
2
0
2
0
x
ti
ˆ
i
ΩβΩω
, где
F
ti
Ω
0
. (7.30)
e
m
ϕΩ
+= tAx
. (7.31)
0
ϕΩ
+
0
==
eAj
ti
Ω
e
0
=
ˆ
D
Ω
ˆ
eAAex
F
ΩΩ
0
e
, имеем:
mF
/
.
0
ti
, (7.32)
titi
.
2
22
4
ΩβΩω
+−=D
22
–
tg
( )
ϕ
2
=−
0
0
22
Ωω
−
или
tg
110
( )
ϕ
0
2
Ωβ
−=
0
(7.33)
22
Ωω
−
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]