Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, полная работа (т.е. работа равнодействующей
r
===
α
r
r
(
)
1212
+
=
1
2
α
r
r
всех сил), произведенная над телом, равна изменению его кинетической энергии:
Это соотношение называют теоремой об изменении кинетиче-
ской энергии. Оно часто используется при решении задач на отыскание
закона изменения скорости или кинематического закона движения.
Потенциальная энергия системы тел в некотором состоянии измеряется работой сил взаимодействия между телами при переводе
системы из этого состояния в другое, потенциальную энергию в котором принимают равной нулю. Как мы увидим ниже, этот нулевой уровень потенциальной энергии является величиной относительной.
Рассмотрим пример системы, состоящей из тела и Земли, и вы-
dh
h
1
По определению, работа по переводу тела из одного состояния в другое равна разности потенциальных энергий в этих состояниях:
(через U мы обозначили потенциальную энергию).
Сравнивая (4.9) с работой силы тяжести (4.10), получаем, что потенциальную энергию в поле силы тяжести можно записать в следующем виде:
gm
Рис. 4.3
rd
h
2
h
2
∫
h
1
KKA −=
. (4.8)
12
числим работу силы взаимодействия
между ними (силы тяжести) по перемещению тела из точки 1 в точку 2 по
произвольной траектории (рис. 4.3).
Элементарная работа на участке
равна:
cos
mgdrrdgmdA
o
α
Работа на всем пути:
( )
−−=−=
mghmghmgdhA
(4.10)
UUA −−=
,
UmghU +=
022
,
UmghU
011
. (4.9)
2112
mgdhmgdr
−=−−
rd
.)180cos(
61
где U0 - некоторая постоянная, имеющая размерность энергии.
=
+
122
2
2
121
−−=
Чтобы найти потенциальную энергию в точке 2, мы можем положить энергию в точке 1 равной нулю, т.е.
и потенциальная энергия в точке 2 равна:
mghU −=
10
. (4.11)
)(
hhmgU −=
Можно принять за нулевой уровень энергию при
энергия на высоте
h
будет равна
2
. Если выбрать за нулевой
mghU =
Umgh
, отсюда
0
01
h
= 0, тогда
1
уровень энергию на высоте
будет отрицательной:
Мы можем, таким образом, произвольно выбирать нулевой уровень, но при этом работа (4.9) по переводу системы из одного состояния в другое не меняется. Физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии, поэтому потенциальную энергию определяют с точностью до некоторой постоянной и нулевой уровень выбирают, исходя из удобства решения той или иной конкретной задачи. Чаще
всего принимают равной нулю минимально возможную в рамках данной
задачи потенциальную энергию, тогда во всех других состояниях она
будет положительной; или, наоборот, максимальное значение, тогда
потенциальная энергия всегда будет отрицательной. Конечно, это не исключает и возможность выбора за нулевой любого промежуточного уровня.
Из выражения (4.9) следует, что работа силы тяжести не зави-
сит от формы траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Силы с такими свойствами называют консервативными, или потенциальными. Другое эквивалентное определение консервативных сил: это такие силы, работа которых по замк-
нутой траектории равна нулю. Доказать эквивалентность этих опре-
делений можно, определив работу по перемещению тела из точки 2 в
точку 1 (рис. 4.3) по любой траектории, например, по изображенной на
рисунке штриховой линией. Эта работа будет равна по модулю и противоположна по знаку работе по перемещению из точки 1 в точку 2, а
полная работа на замкнутой траектории равна нулю.
h
, тогда потенциальная энергия на высоте
2
.
)(
hhmgU
62
Потенциальная энергия, характеризующая состояние тела и не
2
зависящая от способа изменения этого состояния (траектории перехода и т.п.), может быть определена только для консервативных сил.
Кроме силы тяжести, консервативными являются силы упругости, а также кулоновские (электростатические) силы. Кулоновские силы, как и силы тяготения, направлены вдоль прямых, соединяющих
центры взаимодействующих тел (центры масс и зарядов); их поэтому
называют центральными. Консервативными являются все центральные
силы, независимо от их природы.
В соответствии с (4.10) работу силы тяжести (как и любой другой
консервативной силы) можно представить как изменение потенциальной энергии, взятое с обратным знаком. Работа силы тяжести
положительна при отрицательном изменении, (т.е. при убыли) потенциальной энергии. Выражение (4.10) справедливо для любой консервативной силы, тогда как значение потенциальной энергии зависит от
вида рассматриваемых консервативных сил. Например, потенциальная
энергия сжатой пружины определится как (см. пример 4.1):
2
(со знаком -) пружины. Здесь удобно выбрать за нулевое значение потенциальной энергии энергию недеформированной пружины, т.е. U = 0
при x = 0, тогда U0 = 0 и выражение для энергии деформированной
пружины примет вид:
, где x – величина удлинения (со знаком +) или сжатия
2 UkxU +=
0
2
kx
U =
.
Отметим важное обстоятельство – изменение кинетической
энергии определяется работой равнодействующей всех сил, приложенных к телу, тогда как изменение потенциальной энергии определяется работой только соответствующей консервативной силы (другие
действующие на тело силы в расчет не принимаются, так как не изменяют потенциальной энергии). Так, например, шарик, поднятый над
поверхностью Земли, можно равномерно опустить на землю, например,
на нити, а можно предоставить ему падать свободно, т.е. ускоренно. В
обоих случаях изменения потенциальной энергии будут одинаковыми,
тогда как кинетическая энергия в первом случае не меняется (равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити равна нулю), а во
63
втором – ее изменение будет равно работе силы тяжести, поскольку
S
r
α
r
1
r
r
α
∆
∆
α
Рис. 4.
4
эта сила будет единственной приложенной к телу.
Пример 4.2. Тело массой 2 кг, соскальзывая с наклонной плоско-
сти, прошло путь ∆S = 1 м (рис. 4.4). Определить изменение кине-
N
F
тр
1
S
h
тической и потенциальной энергии.
Коэффициент трения µ = 0,4.
Решение. Изменение потенци-
альной энергии:
gm
2
12
α∆∆∆
SmghmgUUU −=−=−=
∆U = –9,8 Дж.
Изменение кинетической энергии
равно работе равнодействующей силы:
,sin
тр
ВОПРОСЫ
1. Может ли иметь отрицательное значение кинетическая энергия?
потенциальная энергия?
2. Зависит ли кинетическая энергия тела от выбора системы отсче-
та? (Скорость одного и того же тела в разных системах отсчета может быть
различной).
3. В каком случае работа силы тяжести вызывает изменение кинети-
ческой энергии?
4. Приведите примеры консервативных сил.
ЗАДАНИЯ
1. Мяч массой 300 г, движущийся со скоростью 25 м/с, попав в руку
ловящего его игрока, сдвигает ее назад на 40 см. Чему равна средняя
сила, действующая со стороны игрока на мяч?
2. Подпрыгнув вверх, оцените, на сколько изменилась потенци-
альная энергия в поле силы тяготения.
mgSFmgAK
, ∆К = 2,98 Дж.
∆−=∆−==∆ )cos(sin)sin(
αµαα
64
∑∑∑
4.3 Диссипативные силы. Закон изменения и
сохранения энергии в механических системах
Не все силы являются консервативными. Силы, работа которых
по замкнутой траектории не равна нулю, называются диссипативны-
ми. К диссипативным силам относятся силы трения, сопротивления и т.п.
Пример 4.3. Тело на наклонной плоскости (см. пример 4.2) вначале
опустилось на ∆S =1 м, а затем вернулось в исходное положение (естественно, под действием внешней силы). Определить, какую работу при
этом совершила: а) сила тяжести; б) сила трения.
Решение. Работа силы тяжести А = –∆ U = 0 .
Работа силы трения отрицательна, поскольку сила направлена
противоположно вектору перемещения:
Системы материальных точек, в которых действуют только консервативные силы, называются консервативными. Рассмотрим произвольную систему, состоящую из материальных точек. При малом перемещении отдельной материальной точки изменение ее кинетической
энергии в соответствии с (4.9) равно работе всех сил, приложенных к
данной точке:
всех внутренних консервативных
также внешних
материальной точки
ческой энергии всей системы будет равно сумме изменений кинетиче-
ских энергий материальных точек системы:
Суммарная работа консервативных сил будет равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком:
тртр
AK =∆
внеш
сил. Изменение кинетической энергии отдельной
A
i
∆−=∆−=
. Работу можно представить как сумму работ
ii
A
кон
ii
∆
кон
i
i
,
αµ
кон
i
cos22 mgSSFA
дис
i
A
тр
и диссипативных
внеш
, а изменение кинети-
AAAK ++=∆
i
дис
++=
i
i
i
AAAK
внеш
i
.
Дж6,13=
дис
сил, а
A
i
.
65
N
U
∑
дис
∑
внеш
α
∆−=∆−=∆
S
=∆+
∆
∆−=
∆
кон
Тогда:
дис
где
"Изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних диссипативных
сил, действующих на систему".
потенциальной энергии: E = K + U.
=
AA
i
i
Выражение (4.12) представляет собой закон изменения энергии:
Полной механической энергией называют сумму кинетической и
,
внеш
кон
AА
∑
i
=
i
1
=
AA
i
i
.
.
∆−==
внешдис
AAUK +=∆+∆
, (4.12)
Пример 4.4. Найти изменение кинетической энергии в примере
4.2, воспользовавшись законом изменения энергии.
Решение. Поскольку
дис
тр
∆−=∆−=
дис
, то в соответствии с (4.10) имеем:
αµ
cosmgSSFA
mgSmgSmgAUK
, а
sinSmghmgU
,
∆−=∆−∆=+∆−=∆ )cos(sincossin
αµααµα
т.е. такое же выражение, как и в примере (4.2).
Если система является замкнутой и консервативной (т.е. отсутствуют
внешние силы и внутренние диссипативные), то:
0
UK
(4.13)
или:
Это означает, что в любом процессе, происходящем в такой
системе, при положительном изменении кинетической энергии изменение потенциальной энергии отрицательно и наоборот. При этом
полная энергия:
Соотношения (4.13) и (4.14) выражают закон сохранения энергии: "В
замкнутой консервативной системе полная механическая энергия
является величиной постоянной".
E = K + U = const
.
UK
. (4.14)
66
Пример 4.4. Определить, на какую максимальную высоту под-
121
2
2
1
1
2
1
2
нимется мяч, подброшенный вверх со скоростью 6 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Записываем закон сохранения энергии в виде:
. В верхней точке траектории К2 = 0.
0)()(
=−+− UUKK
Считая, что в точке бросания
т.е.
ВОПРОСЫ
1. В замкнутой консервативной системе результирующая сила, дей-
ствующая на одно из тел, совершая работу, увеличивает его кинетическую энергию на 50 Дж. Как при этом меняется потенциальная энергия
системы? полная энергия?
2. Объясните, почему мяч, падающий с некоторой высоты на поверхность стола, отскакивает вверх на меньшую высоту? Покажите, как
изменяется полная энергия тела в процессе движения.
ЗАДАНИЯ
1. С какой скоростью шарик массой 0,1 кг вылетает из пружинного
пистолета, если пружину жесткостью 640 Н/м сжимают на 10 см? На
какую высоту поднимется шарик из первоначального положения (пру-
жина сжата), если скорость направлена вертикально вверх?
2. Мяч массой 150 г упал с высоты 10 м и имел при ударе о землю
скорость 7 м/с. Определить среднюю силу сопротивления воздуха,
действующую на мяч.
2
, откуда
2
υ
mmgh =
h
= 0, U1 =0, имеем
1
2
или
gh 2
υ
=
h
= 3,3 м.
2
,
0
=+− UK
4.4 Движение под действием консервативных сил
В тех случаях, когда в системах отсутствуют диссипативные силы, характер движения можно наглядно представить с помощью графиков потенциальной энергии, зависящей от взаимного расположения
тел и являющейся функцией координат.
Потенциальная энергия в поле силы тяжести вблизи поверхности Земли линейно зависит от высоты подъема
h
относительно неко-
67
торого произвольно выбранного нулевого уровня (рис. 4.5а). Зависи-
а б в
мость потенциальной энергии пружины от величины деформации,
описываемой выражением (4.11), имеет вид параболы (рис. 4.5б).
Из этих графиков можно определить границы области возможных значений координат, где может находиться частица. Поскольку
кинетическая энергия частицы не может быть отрицательной, то потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. Значения
координат, при которых U = Е (т.е. скорость равна нулю), и являются
границами этой области. Полная энергия Е – величина сохраняющая-
ся и поэтому на графиках изображена горизонтальной линией.
Частица, обладающая энергией Е, не может подняться в поле
силы тяжести на высоту, большую, чем
h
(рис. 4.5а), а тело, присое-
1
диненное к пружине, не может деформировать ее на величину, большую, чем
±
x
(рис. 4.5б). Эти граничные точки являются точками по-
1
ворота движения, т.е. точками изменения знака скорости. Если зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид, показан-
ный на рис.(4.5в), то тело с энергией Е может двигаться либо в области от
x
до
x
1
, либо от
2
U
E
0
x
до бесконечности.
3
h
h
1
- x
2,5
U
2
1,5
E
1
0,5
0
0
1
x
U
E
x
x
1
0
1
x
0
x
x
x
2
3
x'
0
Рис. 4.5
Ограниченная область пространства, в которой потенциальная
энергия тела (частицы) меньше, чем вне ее, называется потенциаль-
ной ямой. Основное свойство потенциальной ямы – способность удерживать частицу в этой ограниченной области пространства.
Наглядно действие потенциальной ямы можно представить, если рассмотреть движение шарика в поле силы тяжести (без трения) по
поверхности, форма которой совпадает с формой потенциальной кри-
68
вой на рис. 4.5в. Если шарик с энергией находится в области
dx
r
то он будет кататься внутри этой ямы и не сможет ее покинуть.
Если потенциальная энергия является функцией одной коорди-
наты, то используя (4.3) и (4.9), получим:
Полагая U1 = 0 при
В результате дифференцирования получим
В трехмерном случае это соотношение запишется в виде:
Вектор, стоящий в квадратных скобках, называется градиентом
и обозначается
наиболее быстрого возрастания функции U. Выражение (4.17) можно
x
= 0 и обозначая U2 = U,
1
r
grad U
iF
. Направление градиента есть направление
dU
dx
rr
j
dU
dy
x
r
dU
++−=
k
dz
= x , имеем:
2
Fx−=
−=−
12
dU
. (4.17)
x
< x <
1
x
2
(4.15)
.
dxFUU
x
∫
x
1
x
−=
dxFU
x
∫
0
. (4.16)
x
2
.
,
записать в виде:
потенциальной энергии с обратным знаком. Знак (–) означает, что сила
направлена в сторону наиболее быстрой убыли потенциальной энергии. Выражение (4.17) справедливо, если U зависит только от коор-
динат. Если же U является еще и функцией времени, то в (4.17) нужно
брать частные производные.
Используя понятие потенциальной энергии, можно выразить условие равновесия тела или механической системы. При равновесии
результирующая всех сил равна нулю. Если в системе все силы консервативны, то из равенства нулю производной потенциальной энергии по координатам (4.17) следует, что потенциальная энергия в точках равновесия экстремальна, т.е. максимальна или минимальна.
Тело с потенциальной энергией, зависимость которой от координат показана на рис. 4.5
Точка
x
является положением устойчивого равновесия. Если тело
0
. Консервативная сила равна градиенту
UF grad−=
в, находится в равновесии в точках
x0
и
x'
0
69
.
находится в данной точке, то при малом смещении от этого положения
r
r
возникает сила, направленная в сторону убыли потенциальной энергии, возвращающая тело в положение равновесия. Точка
положением неустойчивого равновесия, так как при малом смещении
от этого положения на тело действует сила, еще более удаляющая
тело от положения равновесия.
Найдем потенциальную энергию тела массой m в поле силы тяжести Земли. Подставив в (4.15) выражение для силы тяготения (3.27)
с заменой переменной x на r , получим:
−=−=−
Mm
r
12
r
2
dr
GMmdr
,
∫∫
2
r
r
1
,
GU +−=
r
2
или
где M – масса Земли,
Отсюда следует, что потенциальную энергию на любом расстоянии от
центра Земли можно записать в виде:
12
12
Mm
GUU
2
r
r
1
Mm
−−=−
GUU
G
r
r
Mm
x'
является
0
.
U
0
Здесь удобно выбрать
График потенциальной энергии тяготения имеет вид гиперболы.
При малых изменениях расстояния до центра Земли можно использовать выражение (4.11), при этом гиперболу можно аппроксимировать
отрезком прямой.
Тело в поле силы тяжести находится в потенциальной яме, края
которой уходят в бесконечность. Следовательно, тело можно считать
свободным от тяготения Земли лишь на бесконечно большом расстоянии. Для освобождения тела ему нужно сообщить такую энергию,
чтобы полная энергия была не меньше потенциальной энергии на кра-
ях потенциальной ямы (при
дящееся на поверхности Земли и обладающее потенциальной энер-
U
= 0 при r → ∞ , тогда
0
Mm
GU −=
r
→ ∞ ), т.е. E ≥ 0. Для этого тело, нахо-
U
= 0 и
0
(4.18)
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]