Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
то человек будет двигаться ускоренно (естественно, вместе с тележкой).
Из рассмотренных выше примеров ясно, что сила влияет на характер движения тела только в том случае, если она приложена к этому
телу. Сила, с которой данное тело действует на другое, не влияет на
движение этого первого тела непосредственно. Она влияет только на
то, другое тело. Итак, очень важно определить два объекта: действующий с силой и испытывающий действие этой силы.
Иногда могут возникать сомнения в равенстве "действующей" и
"противодействующей" сил. В соответствии с третьим законом Ньютона
Земля и Солнце действуют друг на друга с равными по величине силами, но ведь Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот. Нужно
отметить, что это утверждение не вполне верно. Земля и Солнце вращаются вокруг общего центра масс. Однако ускорение, приобретаемое
Солнцем под действием силы со стороны Земли, очень мало по сравнению с тем ускорением, с которым движется Земля, ввиду многократного превышения массы Солнца над массой Земли.
ВОПРОСЫ
1. Мяч, брошенный на пол, подскакивает вверх. Необходима ли сила,
чтобы заставить мяч подпрыгнуть вверх? Если да, то со стороны какого
тела действует сила?
2. Почему трудно выйти на берег из свободно плавающей у берега
лодки?
3. Космонавт, вышедший в открытый космос, случайно отцепился от
корабля. Какой можно предложить способ причалить к кораблю?
4. При перетягивании каната каждая команда действует на соперника с равной силой. Чем же тогда определяется, какая команда победит? В чем отличие данной ситуации, от изображенной на рис. 3.3.
3.5 Системы материальных точек. Закон сохранения
импульса
До сих пор мы рассматривали движение отдельной материальной точки. Очень часто приходится иметь дело с совокупностью связанных, взаимодействующих между собой тел. Такая совокупность тел
называется механической
системой. Если движение таково, что раз-
41
меры и форма отдельных тел, образующих систему, не играют роли, то
rrr
dt
r
dt
r
r
r
r
r
r
r
система может рассматриваться как система материальных точек.
Можно привести ряд примеров механических систем, которое подпадают под такое определение: солнечная система; грузовик с прицепом;
протяженное тело, если его можно мысленно разбить на большое число малых частиц, и т.п.
Силы, действующие между телами системы, называются внутренними. Силы, действующие на тела системы со стороны тел, не вхо-
дящих в систему, называются внешними. Система называется замкнутой, если внешними силами можно пренебречь.
Если имеется точка из N взаимодействующих частиц (материальных точек), имеющих в некоторой системе отсчета импульсы
, то импульс системы всех материальных точек, входящих в
PPP
,...,,
N
21
систему, равен векторной сумме импульсов отдельных частиц:
N
rr
=
Уравнение движения произвольно выбранной материальной точки будет иметь вид (для случая замкнутой системы):
Pd
i
21
rrr
FFF
+++= ...
iNii
. (3.12)
PP
∑
i
=
i
1
r
Pd
,
i
F
=
внутрi
(3.13)
где
гих частиц, входящих в систему, а
уравнения (3.12), то получим:
С учетом (3.13) получаем:
всех сил, действующих на все частицы системы.
42
FF
– силы, действующие на i-ую частицу со стороны всех дру-
...21,ii
F
Если взять производную по времени от левой и правой частей
N
Pd
=
∑
dt
dt
=
i
1
N
Pd
=
∑
i
=
dt
- сумма всех этих сил.
внутрi
iPd
. (3.14)
r
F
1
, где
внутрi
∑
=Ni
1
r
внутрi
– сумма
F
Согласно третьему закону Ньютона все внутренние силы можно
dt
r
r
dt
r
внешн
r
r
∑
r
dt
dt
dt
разбить на пары. Если одна частица действует на другую с некоторой
силой, то вторая действует на первую с равной по величине, но противоположно направленной силой. При суммировании по всей системе
N
эти силы попарно сокращаются, т.е.
Следовательно, выражение (3.14) для замкнутой системы будет иметь
∑
=
i
F
внутрi
1
.
=
0
вид:
утверждение носит название закона сохранения импульса.
тицы будет определяться векторной суммой всех внутренних и внешних
сил. Уравнение (3.13) примет в этом случае вид:
Pd
и
0=
Импульс замкнутой системы сохраняется постоянным. Это
Если система не является замкнутой, то движение каждой час-
iPd
При подстановке (3.16) в (3.14) получим выражение для производной от
импульса системы (с учетом того, что сумма всех внутренних сил равна
нулю):
Pd
dt
F
где
каждую отдельную частицу, а
внешних сил, действующих на все частицы системы.
Уравнение (3.17) выражает закон изменения импульса замкну-
той системы: "Производная по времени от импульса системы равна
векторной сумме всех внешних сил, действующих на тела системы".
Запишем закон изменения импульса (3.17) в координатной форме:
- векторная сумма всех внешних сил, действующих на
внешнi
dP
x
F
=
,
x
dP
y
=
constP =
. (3.15)
rr
FF
+=
N
r
=
F
∑
=
i
1
F
внешнi
i
,
F
y
(3.17)
i
- векторная сумма всех
dP
z
=
. (3.16)
внешнiвнутрi
. (3.18)
F
z
43
Здесь
dt
=
221
1
υ
υ
+
=
внешних сил, действующих на тела системы. Если одна из этих состав-
- составляющие по осям векторной суммы
FFF ,,
zyx
ляющих, например,
Составляющая импульса по координатной оси, вдоль которой
сумма внешних сил равна нулю, сохраняется. Т.е. вдоль этого направления действует закон сохранения импульса. Это обстоятельство используется при решении ряда задач.
F
, окажется равной нулю, то из этого следует:
x
dP
x
,
0=
x
.
constP
Пример 3.3. Загруженный железнодорожный вагон массой
50 т, движущийся со скоростью 6 м/с, сталкивается с пустым ва-
гоном массой 10 т, находящимся в покое, и сцепляется с ним. С
какой скоростью вагоны будут двигаться после столкновения?
Решение. Полный импульс системы до столкновения:
, но по условию задачи
mmP
υ
= 0. Полный импульс
2
системы после столкновения остается таким же, но его нужно выразить через массу сцепленных вагонов и их общую скорость V:
VmmP )(21+=
. Приравнивая оба выражения для импульса сис-
( )
4
6105
⋅×
3
101050
⋅+
м
м
с
.
5
=
с
темы, имеем:
V+=
m
υ
11
,
mm
21
=V
Пример 3.4. Орудие, установленное на железнодорожной
платформе, стреляет вверх под углом α =60° к горизонту, в направлении пути. С какой скоростью
υ
покатится платформа сразу
2
после выстрела, если ее масса с орудием М =10 т, масса снаряда
m =10 кг и он вылетает со скоростью
υ
=600 м/с?
2
Решение. Система в данном случае не является замкнутой, но,
учитывая, что внешние силы действуют только вдоль оси у (сила
тяжести и сила реакции опоры), мы можем считать, что импульс
сохраняется вдоль оси
х
. До выстрела платформа была неподвиж-
ной
P
= 0. После выстрела составляющая импульса осталась той
x
44
0
1
2
M
α
υ
с
r
x
r
r
y
α
P
1
же:
. Здесь
=+xxPP
21
- проек-
xP1
ция импульса снаряда на ось х,
xP2
Рис. 3.5
xP1
m
υ
2
1
−=
- проекция импульса платфор-
xP2
мы (рис.3.5). Имеем:
cos
или
или
mМ −=
υ
3,02−=
cos
м
αυυ
.
, откуда
PP12−=
xx
ВОПРОСЫ
1. Снаряд, летящий над поверхностью Земли, разорвался на два осколка в верхней точке траектории. Какие тела нужно включать в систему, чтобы найти скорости осколков непосредственно после взрыва?
2. Если накачать и отпустить воздушный шарик, не завязывая горловину, то он будет летать по комнате. Почему?
3. Большинство свободно движущихся тел в конце концов останавливается. Не нарушается ли при этом закон сохранения импульса?
ЗАДАНИЯ
1. Снаряд массой 10 кг, летящий горизонтально со скоростью
200 м/с, разорвался на две части. Меньшая часть массой 3 кг получила
скорость 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость второй части
после разрыва.
2. На подножку вагонетки, которая движется со скоростью 2 м/с, прыгает человек массой 60 кг в направлении, перпендикулярном ходу вагонетки. Масса вагонетки 240 кг. Определить скорость вагонетки с че-
ловеком.
3.6 Центр масс и закон его движения
Использование понятия материальной точки позволяет упростить решение многих задач механики. Но не всегда протяженное тело
можно рассматривать как материальную точку. Например, подброшенное вверх тело может двигаться поступательно, как изображено на
рис. 3.6
а. Это же тело может участвовать и в поступательном и враща-
45
rrr
=
i
n
1
M
∑
M
∑
M
∑
∑
===
∑
∑
∑
1
r
z
2
r
r
x
z
Рис. 3.7
C
Рис. 3.6
C
r
0
тельном движениях (рис. 3.6б) (понятие о поступательном и вращательном движениях дается в разделе 5.1).
Можно показать, однако, что и во втором
случае у тела есть точка, которая движется по такой же параболической траектории, что и при по-
а
ступательном движении, изображенном на рис.
3.6а. Эта точка называется центром масс.
Рассмотрим систему N материальных точек,
массы которых
радиус-векторы
б
Центр масс данной системы материальных точек
определяется как точка, положение которой относительно начала координат оп-
m
1
r
с
m
С
r
y
C
ределяется радиус-вектором
2
y
21
r
=
r
c
или координатами
,...,,
∑
=
i
∑
21
1
n
m
mmm ,...,
и соответствующие
n
rrr
(рис. 3.7).
n
r
rm
ii
(3.19)
i
xm
ii
i
x
=
c
где
был в начале координат, т.е.
примут вид:
46
=
Если выбрать новую систему координат так, чтобы центр масс
- масса системы.
mM
i
i
,
y
=
c
xm
iii
ym
ii
i
zm
iii
ym
ii
i
0=
0=
0=
,
z
=
c
zyx
ccc
, (3.21а)
, (3.21б)
. (3.21
zm
ii
i
, (3.20)
0
, то формулы (3.20)
в
)
Или в векторной форме:
∑
0
r
=+−
=
M
dt
rrr
M
+++
υυυ
rrr
r
M
r
r
r
m
x
1
2
0
i
Центр масс - это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих систему, на
их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.
Пример 3.5. Найти положение центра масс в случае, когда
система состоит из двух тел (материальных точек), расположен-
m
1
x
Рис. 3.8
Центр масс расположен ближе к материальной точке с большей
массой.
В процессе движения механической системы изменяются координаты материальных точек, а следовательно, и координаты центра
масс. Найдем скорость перемещения центра масс. Из определений
скорости и радиус-вектора центра масс (3.19) следует:
2
x
rd
m
1
1
m
dt
r
r
rd
V
c
c
==
. (3.22)
=
rm
i
ных на оси 0х (рис. 3.8).
Решение. Используя (3.21а),
получим
rd
2
2
dt
m
xmxm
3
, т.е.
2221
rd
3
dt
xmxm
2211
m
1
m
2
...
+++
или
0
=
x
2
x
1
.
или
Поскольку векторная сумма импульсов точек – это импульс всей систе-
мы, то
Последнее выражение можно интерпретировать следующим образом. Импульс системы материальных точек равен импульсу, кото-
рый бы имел центр масс, если бы в нем была сосредоточена вся масса системы. При этом закон сохранения импульса можно сформулиро-
47
V
=
c
r
P
V
c
или
=
mmm
=
...
332211
. (3.23)
. (3.24)
VMP
c
вать так: "Скорость центра масс замкнутой системы не меняется со
r
r
v
r
r
r
υ
υ
+
=
r
r
r
с
с
с
с
с
⋅
временем".
Пример 3.6. Два тела по 35 кг имеют скорости (в м/с)
и
υ
ji
υ
Решение. Запишем импульс системы из двух тел в координатной
форме
16121−=
mmP
xxx
2211
. Определить импульс системы.
ji
14202+−=
,
mmP
+=
. Полный им-
υυ
yyy
2211
пульс:
мкг
( )
−=xP
( )
Если на систему действуют внешние силы, то закон изменения
импульса (3.17) можно представить в виде:
Центр масс незамкнутой системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под
действием всех сил, приложенных к системе.
Закон движения центра масс (3.25) показывает, что для изменения скорости центра масс необходимо, чтобы на систему действовали
внешние силы. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут
вызвать изменение скорости отдельных частей, но не меняют импульс
всей системы и скорость ее центра масс.
⋅
201235
141635
+−=yP
22
или
PPP +=
yx
d
dt
280
−=
мкг
⋅
=P
( )
70
−=
6,228
N
=
∑
=
i
1
, где
iPiPP
×+×=
yx
мкг
⋅
,
мкг
⋅
. Модуль импульса равен
мкг
.
rr
FVM
. (3.25)
внешic
ВОПРОСЫ
1. Объясните, почему однородный прямоугольный брусок можно по-
ложить на стол только так, чтобы от края стола выступало не более
половины его длины.
48
2. Почему труднее сесть из лежачего положения, когда ваши колени
r
r
rrr
rrrrr
r
rrr
r
согнуты, чем когда ваши ноги вытянуты вперед?
3. Граната, движущаяся по параболической траектории, внезапно
разрывается на множество осколков. Что можно сказать о движении
этой "системы" осколков?
4. Ракета в космическом пространстве покоится относительно некоторого тела. Как будет двигаться центр масс системы, включающей
ракету и выхлопные газы, после включения двигателей?
ЗАДАНИЯ
1. Найти в Интернете значения масс Земли и Луны и расстояние между ними. Рассчитать положение центра масс этой системы.
2. Два фигуриста с массами в 80 и 60 кг, находящиеся на расстоянии
6 м, держат в руках веревку. Если первый фигурист, дернув за веревку,
переместится на расстояние 1 м, то на каком расстоянии от него окажется второй фигурист?
3.7 Движение тел с переменной массой. Реактивное движение
Рассмотрим механические явления, связанные с отделением от
тел части их массы. Примером такого тела является ракета. При работе двигателей от ракеты с большой скоростью отделяется часть ее
массы в виде продуктов сгорания топлива.
Пусть в начальный момент импульс ракеты равен
рез малое время ∆t за счет вылета газов массой ∆m общий импульс
ракеты и газов станет равным
выражении первое слагаемое представляет собой импульс ракеты, а
второй – газов, вылетающих со скоростью υ'.
Найдем изменение общего импульса за время
12
Считая, что система, состоящая из ракеты и отделившихся газов, незамкнута, т.е. находится в поле внешних сил
2
∆t:
F
внешн
υ
mP =
1
υ∆υ∆υ∆
mmmP ++−= ))((
. В этом
υυ∆υ∆∆υ∆υυ∆∆
mmmmmmPPP −+−−+=−= '
.
, использу-
. Че-
49
tFP
r
r
r
(
)
r
rrr
r
rrr
dt
dt
r
r
dt
dt
r
r
dt
r
υ
v
r
dt
dt
ем закон изменения импульса (3.17)
лой величиной второго порядка
=−−= '
сительно ракеты
последнего выражения и устремим ∆t→0, в результате чего получим:
или:
Это уравнение было получено И.В. Мещерским в 1897 г.
Как следует из (3.26), изменение импульса ракеты определяется
не только внешними силами, но зависит также от скорости выброса
газов. Второй член в правой части выражения (3.26) имеет размерность
силы и называется реактивной силой:
Благодаря реактивной силе является возможным ускоренное
движение тела при отсутствии взаимодействия с другими телами. Такое движение называют реактивным.
Найдем максимальную скорость, которую может получить ракета
после того, как израсходует все горючее. Для простоты не будем учитывать внешние силы. Запишем уравнение Мещерского для такого слу-
чая в скалярном виде, учитывая, что скорости
υυ
−=u
∆υυ∆υ∆∆
внешн
)'(
, разделим на ∆t левую и правую части
внешн
d
υ
m
=
tFmmP
. Обозначим скорость газов отно-
d
υ
mF
−=
+=
внешн
∆∆
внешн
r
dm
u
r
uF
реакт
. Пренебрегая ма-
υ∆∆
m
.
dm
(3.26)
r
uF
=
и
u
, получаем:
dm
. (3.27)
направлены в
d
противоположные стороны:
ляя переменные, получим:
ная масса ракеты (с горючим) и масса пустой ракеты, соответственно; υк. В
результате интегрирования получаем:
50
υ
m −=
m
dm
m
0
dm
u
. Сокращая на dt и разде-
υ
кк
1
=−
d
υ
. Здесь
∫∫
um
0
υ
к
m
m
0
u
ln
=
m
к
и
m
– началь-
0
к
(3.28)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]