Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
A
(
)
ξξξ
+
=
ξ
ξ
()(
)
ϕωϕωϕ
+−−+−=∆
ϕ
∆
()(
)
(
)
(
)
λ
π
=
λ
=
−
2
λ
где
расстояния
лебаний источника. Аналогичное выражение для второй волны:
волн результирующее смещение равно векторной сумме смещений в
каждой из волн. Предположим, что колебания частиц в каждой из волн
происходят в одном направлении (например, перпендикулярно плоскости чертежа). Тогда результирующее смещение может быть пред-
ставлено алгебраической суммой:
будет определяться разностью фаз колебаний
иметь максимальную амплитуду, равную
складываются в одинаковой фазе, т.е. разность фаз
где n = 0, ±1, ±2,... Если источники колеблются в одинаковой фазе
- амплитуда, зависящая от амплитуды колебаний источника и
1
d
от источника до данной точки,
1
В соответствии с принципом суперпозиции при наложении двух
Как мы выяснили в разделе 7.1, суммарное колебание будет
021=−
ϕϕ
, то выражение (8.19) упрощается:
cos
ϕ
- начальная фаза ко-
1
ϕωξ
++= kdtA
.
2222
. Результат сложения
21
и
:
1
2
kdtkdt
=−+−=∆
2112
. (8.18)
2211
AA +
, если колебания
21
равна:
nddk
πϕϕϕ
2
, (8.19)
nddk
π
212=−
, из
/2
которого, учитывая, что
Максимум наблюдается в точке, до которой разность хода
равна целому числу длин волн.
Если колебания в точке наблюдения будут складываться в противофазе, то в этой точке амплитуда будет равна
минимума (или полного отсутствия колебаний при
Минимум наблюдается в точке, до которой разность хода
равна нечетному числу длин полуволн.
131
k
, получаем:
А1 = А
12
( )
. (8.21)
12
+=− ndd
ndd
12
AA −
2)
. (8.20)
и условие
21
имеет вид:
Из выражений (8.20) и (8.21) следует, что геометрическое место
(
)
Линии узлов
точек пространства, характеризующихся максимальными (или минимальными) амплитудами, удовлетворяет условию
т.е. представляет собой поверхность гиперболоида вращения с осью
SS
, фокусами которого являются точки
21
На рис. 8.18 показаны линии пересечения таких гиперболоидов
плоскостью чертежа. Гиперболы, показанные сплошными линиями,это линии максимумов (пучностей), штриховыми – линии минимумов (узлов).
n=2
S
1
n=1
n=0
n= -1
S
2
n= -2
Рис. 8.18
вости распределения максимумов и минимумов в пространстве (например, показанного на рис. 8.18) является постоянство разности фаз колебаний во времени.
Для этого, как видно из (8.18), волны
должны иметь одинаковую частоту и постоянную разность начальных фаз
ϕϕ
−
и источники, удовлетворяющие таким требованиям, называются когерентными.
Точечные источники
Рис. 8.19
S
и
S
.
1
2
Необходимым условием устойчи-
колебаний источников. Волны
21
На рис 8.19 показана картина волн на поверхности воды,
возбуждаемых двумя маленькими
шариками, синхронно качающимися в сосуде с водой вверх и вниз.
В результате интерференции
кольцевых волн от двух источников наблюдается распространение
волн с наибольшей амплитудой
вдоль линий пучностей. На поверхности воды четко выделяются
линии узлов, где колебания практически отсутствуют.
constdd =−
12
,
132
Пример 8.2. Определить длину волны на поверхности воды,
если одна из точек, расположенных на линии максимумов n =1
(рис. 8.18), удалена от первого источника на расстояние
и от второго – на расстояние
d
=13 см.
2
d
=10 см
1
Решение. Условие максимума (8.20) при n =1 имеет вид:
λ
=−12dd
, откуда λ = (13-10) см = 3 см.
ВОПРОСЫ
1. В чем состоит принцип суперпозиции?
2. Каким требованиям должны удовлетворять источники волн, чтобы
в результате их наложения получалась устойчивая картина интерференции?
3. Почему линии узлов и пучностей в картине интерференции волн на по-
верхности воды являются гиперболами?
4. С какой разностью фаз приходят волны в точку наблюдения, если раз-
ность расстояний до синфазно колеблющихся источников составляет а)
б) –2
λ
?
5. Как изменится картина интерференции (рис. 8.18) при изменении
скорости распространения волн?
ЗАДАНИЯ
1. Расстояние между источниками (рис. 8.18), испускающими волны
с λ= 2 см, равно 5 см. Определить максимально возможную разность
хода двух волн, необходимую для получения максимума.
2. При интерференции волн от двух точечных источников одна из
линий минимумов проходит точно по оси симметрии интерференционной картины (т.е. расстояния от каждой из ее точек до источников
равны друг другу). Определить разность фаз колебаний источников.
λ
;
133
8.5 Принцип Гюйгенса и его применение для объяснения
∆
+
∆
t
Рис. 8.
20
отражения, преломления и дифракции волн
Гюйгенсом был сформулирован принцип, основная идея которо-
го заключается в следующем: каждая точка фронта волны (волновой
поверхности) является самостоятельным (вторичным) источником
сферических волн, огибающая которых дает новое положение волнового фронта (волновой поверхности).
На рис. 8.20 показано,
как построением огибающей
можно найти волновую поверхность в момент времени
tt
, если известна волновая поверхность в момент
времени t, для случаев
плоской (а) и сферической
(б) волн. На линии, являю-
а
как от источников, проводятся кольцевые волны, проходящие за время
∆
t
одинаковые расстояния. Огибающая этих кольцевых волн дает но-
вое положение волнового фронта. Следует отметить, что вторичные
источники при отсутствии препятствий излучают волны только "вперед",
т.е. в ту часть пространства, в которую распространяется волна. На
рис. 8.20в показан случай прохождения плоской волны через малое
отверстие, имеющее размер, ненамного превышающий длину волны.
Фронт волны вблизи границы препятствия искривляется, и волна заходит в область геометрической тени. Это явление огибания волнами
препятствий называется дифракцией.
Применим принцип Гюйгенса к объяснению преломления волн.
Пусть на границу раздела двух сред с разными значениями скорости
распространения
б
υ
и
υ
1
в
падает плоская волна (рис. 8.21). Угол α
2
щейся "срезом" волновой
поверхности, выбирается
несколько точек, из которых,
134
∆
AB
AB
β
A
B
C
D
β
υ
1
υ
2
α
α
Рис. 8.
21
l
1
l
2
верхность АС достигнет границы раздела в точке В (пройдя расстояние l1), сферическая волна, возбужденная во второй среде из точки А,
уже имеет вид полусферы радиусом l2. Волновую поверхность во вто-
рой среде можно получить, проведя поверхность, касательную ко всем
вторичным волнам, испущенным из точек, лежащих на границе раздела
между точками А и В.
Поскольку скорости распространения волны в первой среде
второй среде
Из
υ
различны, то отрезки
2
АВС и ∆АВD имеем:
sin =
α
между падающим лучом и
перпендикуляром к границе
раздела называют углом па-
дения.
В т. А в момент достижения границы раздела
волновой поверхностью АС
во второй среде возбуждается сферическая волна. За
время t, пока волновая по-
tl
υ
=
и
11
l
1
, и
sin =
β
tl
υ
=
неодинаковы.
22
l
2
.
υ
и во
1
Угол β называют углом преломления. Отношение синуса угла па-
дения к синусу угла преломления равно:
sin
sin
Полученное выражение называют законом преломления. Таким
образом, волна, проходя границу раздела, изменяет направление движения. Если волна переходит в среду с меньшей скоростью распространения, то угол преломления меньше угла падения.
Плоскость, в которой лежат падающий и преломленный лучи, а
также перпендикуляр к границе раздела называют плоскостью падения
(на рис. 8.21 она совпадает с плоскостью чертежа).
Аналогичным образом можно построить волновую поверхность
для отраженной волны. Сферическая волна, возбужденная в точке
l
α
β
υ
1
1
l
2
.
==
υ
2
А
и
135
распространяющаяся в первой сре-
граница
раздела
де, будет иметь ту же скорость
α α'
Рис. 8.22
ВОПРОСЫ
1. В чем состоит принцип Гюйгенса?
2. В чем заключается явление дифракции?
3. Почему местонахождение приемной антенны в микрорайоне с
многоэтажной застройкой сильно влияет на прием телевизионного сигнала (
λ
= 5 м) и никак не сказывается на приеме средневолновой ра-
диостанции (λ = 300 м)?
4. Объясните, почему волна, падающая на границу раздела двух
сред, может полностью от нее отражаться, если скорость во второй
среде больше, чем в первой. Примените закон преломления к такому
случаю (например,
ЗАДАНИЕ
Волна, двигаясь по поверхности воды водоема со скоростью
1,56 м/с, попадает на мелководье, где она начинает двигаться со скоростью 1,1 м/с. Определить угол преломления, если угол падения равен 30°.
/
= 2, λ = 60°).
υ
υ
2
1
поэтому угол между отраженным лучом
α
'
и перпендикуляром к границе
раздела (угол отражения) по модулю будет равен углу падения
8.22).
α
υ
(рис.
1
,
136
9 АКУСТИКА
9.1 Звуковые волны
Упругие волны, распространяющиеся в газах, называют звуком,
если частота колебаний имеет пределы от 20 Гц до 20 кГц. Именно в
этом диапазоне частот человеческое ухо с небольшими индивидуальными отклонениями воспринимает звук. Люди старше 50 лет начинают
хуже слышать высокие частоты, и верхний предел их диапазона слышимости может понизиться до 10 кГц и даже ниже.
Волны с частотой ниже 20 Гц называют инфразвуком. Источниками инфразвука являются землетрясения, удары грома, извержения
вулканов, а также волны, возникающие при вибрациях тяжелого технического оборудования. Воздействие инфразвуковых волн может приводить к вредным последствиям для человеческого организма. Эти низкочастотные волны вызывают резонансные явления, сопровождающиеся раздражением внутренних органов человека. Кроме того, инфразвук вызывает у человека необъяснимое ощущение опасности.
Волны с частотой выше 20 кГц называют ультразвуком. Многие
животные могут воспринимать ультразвуковые частоты. Например, собаки могут слышать звуки высотой до 50 кГц, а летучие мыши – до 100
кГц. Ультразвуковые волны имеют широкое применение в медицине и
других областях науки и техники.
В узком смысле акустикой называют учение о звуке, хотя в настоящее время акустика занимается упругими волнами любой частоты,
распространяющимися в любой среде.
9.2 Скорость звука
Под воздействием источника звука в воздухе распространяются
области сжатия и разрежения. Скорость звука υ можно определить так
же как и скорость продольной волны. Подставив в формулу (8.7) выра-
F
жение для модуля Юнга, получим:
упругости, возникающая в деформированном теле, ρ – плотность газа.
υ
упр
−=
, где
F
– сила
llS
∆ρ
упр
137
Знак минус в этой формуле означает, что направление силы упругости
VpdV
RT
противоположно направлению деформации (как и в законе Гука). Для
волн в газах мы можем заменить
SF
на избыточное давление ∆p,
упр
возникающее при сжатии газа, а линейную деформацию
объемную деформацию
газе сжатие газа происходит лишь в одном направлении – направлении
распространения. Получаем
VV∆
, так как при распространении волны в
∆
υ
VVр
−=
.
ll∆
– на
ρ∆
Для нахождения связи между изменением давления ∆p и изменением объема
Ньютон предположил, что процессы сжатия и разрежения происходят
изотермически и получил выражение, дающее заниженное значение
скорости звука. На самом деле эти процессы в звуковой волне происходят так быстро, что области сжатии и разрежения не успевают обмениваться теплом, поэтому их можно считать адиабатическими.
Связь давления и объема при этом процессе дается уравнением
pVγ = const
ференцируя это уравнение по V, получаем:
Заменив в выражении для скорости конечные разности дифференциалами, и использовав последнее выражение, получаем:
∆V
необходимо воспользоваться газовыми законами.
, где γ – показатель адиабаты (для воздуха
dp
−=
γ
= 1,4). Диф-
γ
(9.1)
р
γυ
=
. (9.2)
ρ
Из этого уравнения неясно, как скорость зависит от состояния газа, так
как при увеличении давления возрастает и плотность газа. Применив
m
уравнение Менделеева - Клапейрона
ключенного в объеме
V
, µ – молярная масса, R = 8.31 Дж/(моль⋅К) – газовая
138
pVµ=
, где m – масса газа, за-
RTpV
m
(молярная) постоянная и Т – температура, найдем:
ставив последнее выражение в (9.2), получим:
RT
=
γυ
. (9.3)
ρ
µ
. Под-
==
µ
Видно, скорость звука в газе зависит только от температуры, так
как остальные величины, входящие в формулу, являются константами
для данного газа. Так как для воздуха µ = 29⋅10–3 кг/моль, то при
Т
= 273 К скорость звука равна 331 м/с.
ВОПРОСЫ
1. Почему распространение звука нужно описывать адиабатиче-
ским процессом?
2. Какие доказательства можно привести в пользу того, что ско-
рость распространения звука в воздухе в основном не зависит от частоты?
3. Какова главная причина того, что скорость распространения зву-
ка в водороде меньше, чем в воздухе?
ЗАДАНИЯ
1. Звук грома дошел до наблюдателя через 5 с после удара молнии.
Определить, на каком расстоянии от наблюдателя ударила молния.
Температура воздуха 27 °С.
2. Вычислить скорость звука в гелии при температуре 27 °С.
9.3 Избыточное звуковое давление и интенсивность звука
В гармонической звуковой волне в каждой точке среды смещения и скорости частиц среды, а также деформации (сжатия и разрежения) изменяются по закону синуса или косинуса. Изменения давления,
вызванные звуковой волной, накладываются на атмосферное давление. Эти изменения давления называют избыточным звуковым давле-
нием. Установим связь между избыточным давлением, скоростями частиц и интенсивностью волны.
139
В плоской продольной звуковой волне малое относительное
VdVdx
dx
ξ
смещение
х
можно связать с относительным изменением объема
dξ/dx
слоя газа вдоль направления распространения волны
dV/V.
Для этого
выделим в среде цилиндрический объем высотой
оснований x и
косыми линиями). Смещение частиц
ных x (см. рис. 8.8).
Если в некоторый момент времени смещение основания x будет
равным ξ, то смещение основания
х
(9.1) можно записать в виде
Дифференцируя по х уравнение для смещения (8.3), получаем:
ξ
+dξ
х+∆x
Рис. 9.1
∆
x
и произвольной площадью S (на рис. 9.1 заштрихован
ξ
в волне будет разным для раз-
x+∆x
будет
рассматриваемый цилиндр удлинится на ве-
личину
∆ξ.
Этому удлинению соответствует
увеличение объема на величину
относительное удлинение равно относитель-
ному изменению объема:
Переходя к дифференциалам, получаем:
d
ξ
=
С учетом последнего выражения формулу
dp
∆
x
с координатами
ξ+∆ξ
.
Следовательно,
∆V.
Ясно, что
ξ
. (9.4)
d
ξ
γρ
−=
. (9.5)
VVх ∆=∆∆
.
d
dx
Подставляя в (9.5), имеем
Выразим
Множитель перед косинусом есть амплитуда избыточного давления:
140
γ
р
А
ωξ
cos
υ
γρ
А
dp cos
x
ω
ω
υ
.
−−=
t
υ
x
t
ω
x
−=
tАdp cos
ωωρυ
υ
.
−=
υ
. (9.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]