Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Формула (3.28) называется формулой Циолковского. Оценим величину
(
)
(
)
−
=
максимально достижимой скорости. Требования к конструкции ракеты
ограничивают отношение
составлять 3 км/с, следовательно
Эта величина меньше, чем первая космическая скорость (см. пример
3.7), поэтому для получения более высоких скоростей используются многоступенчатые ракеты, идею о которых впервые высказал К.Э Циолковский.
υ
к
max
100≤
mm
к
. Скорость вылета газов может
.
км/с9,6км/с3,23км/с10ln3
=⋅==
3.8 Силы в механике
В механике наиболее существенную роль играют силы гравитации, силы упругости и силы трения. Силы упругости возникают при
деформации тел. В соответствии с законом Гука (справедливым при
малых деформациях) сила, действующая со стороны деформированного тела, пропорциональна величине деформации. При одномерной де-
формации
где х - удлинение тела, k - коэффициент пропорциональности (жест-
кость).
Гравитационное взаимодействие – универсальное взаимодействие между всеми телами в природе. В соответствии с законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном, две материальные точки с
массами
тягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обрат-
но пропорциональной квадрату расстояния между ними:
где– G=6.67⋅10
одинаковый для всех тел).
симметрией (например шаров), тогда
центрами. Силу, действующую на тело
сти Земли или другого небесного тела, называют силой тяжести. Выражение (3.30) можно записать в виде:
m1 и m2,
Эта же формула справедлива для всех тел со сферической
расположенные на расстоянии
–11 м3
/кг⋅с – гравитационная постоянная (коэффициент,
kxF
, (3.29)
r
друг от друга, при-
12
mm
21
GF =
2,1
, (3.30)
2
r
12
r
– это расстояние между их
12
m1,
находящееся на поверхно-
51
R
=
с
с
с
m
где
2
Gg =
2
, (3.31)
gmF11=
- ускорение свободного падения на поверхности шара
массой
падающего тела (это мы уже обсуждали в разделе (3.3)).
m
, и радиусом R. Видно, что ускорение g не зависит от массы
2
Пример 3.7. Определить скорость движения искусственного
спутника Земли на низкой круговой орбите (первую космическую
скорость).
Решение. При движении по круговой орбите с постоянной по
модулю скоростью спутник имеет только нормальную составляющую ускорения
а
. Так как центростремительная сила созда-
n
ется силой тяжести, то второй закон Ньютона можно записать в
виде:
mm
Зс
.
2
R
З
R
–
З
Здесь
Gam =
nс
m
и
mЗ –
c
массы спутника и Земли, соответственно,
радиус Земли (предполагается, что радиус низкой орбиты мало
отличается от радиуса Земли). Можно получить (полагая, что величина g одна и та же на поверхности Земли и на низкой орби-
те):
Весом тела называют силу, с которой тело, находящееся в поле
силы тяжести, действует на опору или подвес. Вес всегда приложен к
другому телу, которое служит опорой. В соответствии с третьим законом Ньютона опора в свою очередь действует на тело с равной по величине и противоположно направленной силой. Эта сила называется
силой реакции опоры. Если тело не имеет ускорения (точнее, вертикальной составляющей), то это означает, что сила реакции опоры равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести. Если
вертикальная составляющая ускорения не равна нулю, то не равна
. Из формулы
ga
n
м
8,9104.6
36
109,7
2
имеем
Ra
/
υ
=
n
км
м
.
8
≈×=⋅⋅=V
=
υ
3
gR
или:
52
нулю и векторная сумма сил тяжести и реакции опоры. Эти величины
r
−=−
=
1
−
=
r
x
r
связаны вторым законом Ньютона.
Если в поле силы тяжести тело свободно падает (т.е. не испытывает действия других сил, кроме силы тяжести), то вес отсутствует,
так как нет опоры. Такое состояние называют невесомостью. В этом
состоянии нет силы реакции опоры, и тело не деформировано, тогда
как следствием наличия веса является деформация тела, вызванная
силой реакции опоры. Именно как деформацию своего тела субъективно ощущает свой вес человек. Изменение веса всегда приводит к изменению деформации.
Пример 3.8. В неподвижном лифте тело массой m =1 кг, под-
вешенное на пружине, вызывает ее деформацию на величину
x
= 4 см. С каким уско-
1
рением будет двигаться лифт (и тело в нем),
F
y
если деформация пружины: а) увеличилась
до
x
=5 см? б) уменьшилась до
2
x
=2 см? в)
2
уменьшилась до нуля?
gm
Рис. 3.9
Решение. На тело, подвешенное к потол-
ку лифта, действуют две силы: сила тяжести
и сила упругости пружины (рис.3.9). Эти
gm
силы действуют вдоль оси, которую мы направили вниз. При этом
второй закон Ньютона будет иметь вид:
. При а1 = 0 получаем:
y
.
/ xmgk =
1
Найдем ускорение
kxmgFmgma
а
при деформации
2
Подставляя найденное значение k, имеем
Откуда:
ga 25,0,1
2
x
2
−=
x
1
−=
2
x
:
2
2
(направлено вверх);
ga
kxmg =
mgmgma −=
, откуда
kxmgma
x
2
.
x
1
.
22
53
ТР
r
F
r
ga 5,0,1
3
x
3
−=
x
1
3
(направлено вниз);
ga
=
ga =
4
Силы сухого трения возникают при непосредственном соприкосновении двух тел; они приложены к этим телам в соответствии с
третьим законом Ньютона и направлены по касательной к поверхности
контакта.
Трение покоя существует между телами при отсутствии их взаимного перемещения. Сила трения покоя всегда противоположна
внешней силе и равна ей по модулю (рис.3.10), пока внешняя сила не
превысит некоторого порогового значения, при котором начинается
скольжение. Это пороговое значение, называют максимальной силой
F
Рис. 3.10
прижимающей тело к поверхности. Прижимающая сила, перпендикулярная поверхности, равна по модулю силе реакции опоры N. Тогда
сила трения может быть выражена как
x
4
−=
,1
x
1
(свободное падение).
ga
4
трения покоя.
Когда тело скользит по поверхности другого тела, то на него действует
сила трения скольжения, при прочих равных условиях пропорциональная силе,
, (3.32)
NF
µ
=
тр
где µ - коэффициент трения, зависящий от материала и состояния поверхностей соприкасающихся тел; для трения скольжения он обычно
несколько меньше, чем для трения покоя.
Силы вязкого или жидкого трения возникают при движении тела
в жидкости или газе. При малой скорости движения сила вязкого трения
пропорциональна скорости (и направлена в противоположную сторону):
,
υ
rF
−=
тр
где
r
– коэффициент трения, зависящий от свойств жидкости или газа,
от размеров, формы и состояния поверхности тела. Вязкое трение по-
54
коя отсутствует (если
r
α
−−=
α
α
(
)
αµα
+−=
α
r
r
y
x
r
r
r
r
2
существенно меньше силы сухого трения, поэтому для уменьшения
трения в различных механизмах используют смазку.
Подробнее о силах в механике можно прочитать в [1,2].
υ
=0, то и
F
=0). Силы вязкого трения обычно
тр
Пример 3.9. Два тела массой
веревкой, перекинутой через блок (3.11). Коэффициент трения
скольжения между телом и наклонной плоскостью µ =0,25. Требуется найти ускорение системы, если угол наклона α =30. Мас-
N
F
му, изображая все действующие на них силы, в том числе и силу
трения, прикладываем их к одной точке. Сила реакции опоры на-
правлена перпендикулярно поверхности, сила трения
воположна предлагаемому направлению перемещения. Направим
оси координат для первого тела так, чтобы ось х была направлена
вдоль наклонной плоскости, а ось у – перпендикулярно ей.
Второй закон Ньютона в координатной форме будет иметь
вид:
тр
Рис. 3.11
y
F
n
gm
1
α
cos
gmNam
−=
111
F
gm
n
,
m
=2 кг и
1
a
2
m
=5 кг соединены
2
сами веревки и блока, а
также трением в блоке
пренебречь.
Решение. Тела в
данной задаче можно
рассматривать как материальные точки, поэто-
F
проти-
тр
.
sin
gmFFxam
111
трн
Здесь
екции силы тяжести на координатные оси ох и оу, соответственно.
Поскольку составляющая ускорения ау =0, то
55
- сила натяжения веревки,
F
н
Используя (3.29), записываем:
111
н
gm
1
1
gmFxam
gm
1
gmN =
1
, тогда
αµ
cos
gmFтр=
.cossin
и
sin
cos
cos
- про-
.
α
У второго тела ускорение и приложенные силы направлены
=
=
()(
)
(
)
+
−
αµα
вдоль одной прямой, поэтому второй закон Ньютона можно записать в форме:
222
.
Fgmam −=
н
Полагая
(веревку считаем нерастяжимой) и, ре-
aaxa
21
шая совместно два последних уравнения, имеем:
+−−= gmagmam
cossin
.
21
или
121
gmgm
a
=
12
mm
+
αµα
cossin
Подстановка числовых значений дает а = 5,1 м/с2.
ВОПРОСЫ
1. Если тело в поле силы тяжести не имеет вертикальной состав-
ляющей ускорения, то какая еще сила (кроме силы тяжести) действует
на него - вес тела или сила реакции опоры?
2. Какую природу имеет сила реакции опоры: гравитационную, тре-
ния или упругости?
3. Какое из тел (и почему) легче привести в движение (пусть даже с
очень малой скоростью): корабль или железнодорожный вагон? Масса
вагона обычно меньше массы корабля.
ЗАДАНИЯ
1. На какой высоте ускорение свободного падения вдвое меньше,
чем на поверхности Земли?
2. Определите вес тела человека массой 70 кг, находящегося в движущемся лифте, если лифт: а) поднимается с ускорением 0,3 м/с; б)
опускается с ускорением 0,4 м/с.
3. Лыжник начал спуск по склону, имеющему угол 30° с горизонтом.
Считая коэффициент трения равным 0,1, найдите ускорение лыжника.
56
4 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
F
v
r
v
r
F
r
r
α
=
F
r
r
F
v
r
1
(
)
s
F
1
α
=
r
F
v
α
4.1 Работа и мощность
При элементарном перемещении тела, к которому приложена
сила (рис. 4.1), величина элементарной работы определяется как
rdFA
=
скалярное произведение векторов
и
:rd
δ
(4.1)
или
где α – угол между векторами
2
rd
1
Рис. 4.1
отрицательной или равной нулю, если
ремещении тела из положения 1 в положение 2 может быть найдена
путем интегрирования выражений (4.1) или (4.2).
Формула (4.3) справедлива при любой зависимости FS от дуговой координаты S. Работа может быть вычислена аналитически или
графически в зависимости от того, как задана функция
гично тому, как мы определяли перемещение по заданной скорости в
разделе 2.2). В том случае если проекция FS постоянна, ее можно вынести за знак интеграла:
элементарный путь,
тора
алгебраическая: в зависимости от угла между век-
торами она может быть как положительной, так и
на направление
2
=
dsFА
s
∫
2
∫
αδ
cos
s
⊥
rd
. (4.3)
)(
12
dsFFdrA
==
, (4.2)
s
rd
и
,
– проекция век-
cosFF
rd
.
Работа - величина
.
Полная работа при пе-
(анало-
s
SFSSFdsFА
∆=−==
sss
rddsv=
–
или
где S – пройденный путь.
57
, (4.4)
cosFSА
Если на тело действуют несколько сил F
F
r
r
rrrvv
r
υ
r
r
=
r
r
r
r
r
r
, F2, ..., F
1
,то работа
N
равнодействующей силы
т.е. равна сумме работ сил F
Величина работы измеряется в джоулях. 1 Дж = 1 Н⋅м.
Учитывая, что
υ
стью. Отсюда следует, что мощность можно определить по формуле
Мощность определяет быстроту совершения работы. Единица измерения – ватт. 1 Вт = 1 Дж/с.
Пример 4.2. Определить работу внешней силы по растяже-
нию пружины с жесткостью k = 200 Н/м из свободного состояния
(х = 0) до х =3 см (х – величина деформации).
Решение. Для медленного (без ускорения) растяжения пружины необходимо, чтобы внешняя сила
цу пружины, была бы равна по модулю и противоположна по
направлению упругой силе деформации:
NdtdtFdA ==
, где величина
при перемещении
21
, F2, ..., F
1
dtrd
,
выражение (4.1) можно представить в виде:
, на этом перемещении.
N
υ
FN =
. (4.5)
rd
будет равна:
,
rdFrdFrdFdA
+++= ...
N
называется мощно-
dtdAN =
F
, приложенная к кон-
вн
упрвн
==
.
kxFF
Так как сила
имеем:
ВОПРОСЫ
1. Может ли совершаемая работа быть равной нулю, хотя тело пе-
ремещается и к нему приложена отличная от нуля сила?
2. Как определить работу силы, если зависимость силы от коорди-
наты задана графически и является кривой линией?
58
F
параллельна перемещению, то согласно (4.2)
вн
xx
1
0
1
∫∫
0
x
1
1
2
1
2
====
0
2
2
,
xkxkdxxkdxxkА
3. К двум пружинам равной жесткости приложены одинаковые силы.
1
1
1
Над какой пружиной (с большей или меньшей жесткостью) будет совершена большая работа?
ЗАДАНИЯ
1. Вычислить работу по перемещению санок на расстояние 100 м,
если человек действует на них с силой 20 Н, направленной под углом
30° к горизонту.
2. Положите в стакан с водой деревянный брусок. Определите, ка-
кую работу нужно совершить, чтобы с помощью тонкой спицы опустить
брусок на дно стакана.
4.2 Кинетическая и потенциальная энергия
Понятие энергии является одним из наиболее важных в физике.
В рамках механики невозможно дать строгого и полного определения
энергии, и мы ограничимся простым представлением о механической
энергии как способности совершать работу. Конечно же, это определение не применимо ко всем другим видам энергии, в частности, к
энергии теплового движения, но вполне достаточно для механического
движения.
Наш повседневный опыт показывает, что движущиеся тела могут
совершать работу, и поэтому можно говорить, что они обладают энергией. Энергию движущегося тела называют кинетической энергией.
Кинетическая энергия тела измеряется работой сил, изменяющих скорость тела от
υ
до нуля. Вычислим работу, которую может со-
вершить тело массой m, движущееся со скоростью
ряется со вторым телом, совершает над ним работу и останавливает-
ся. В качестве примера рассмотрим ударник (рис. 4.2), забивающий
сваю. Будем считать, что при ударе в течение некоторого времени на
сваю действует постоянная сила
, где
∆
SFА ∆=
В соответствии с 3-м законом Ньютона сила
S – перемещение сваи до полной остановки ударника.
F
. Эта сила совершит работу
υ
, если оно соуда-
0
F
равна по модулю си-
59
ле
2
2
1
v
r
r
r
2
2
m
2
2
2
r
1
r
2
r
∆
F
, действующей на ударник:
, а последняя может быть
FF
−=
найдена с помощью 2-го закона Ньютона:
Ускорение может быть определено через пройденный путь и соответствующее изменение скорости. Из (2.12) имеем:
Откуда
υ
0
m
2
, тогда работа, совершенная над вторым те-
SmF ∆−= 2
υ
02
лом (сваей), равна:
Итак, мы убедились, что тело, движу-
F
щееся со скоростью
остановки работу, равную,
S
нетическая энергия этого тела равна:
К =
m
F
или
P
K
=
.
amF
=
υ
2
υ
mSFА =∆−=
02
υ
,
совершит до полной
2
, т.е. ки-
2
υ
m
0
2
υ
(4.6а)
2
. (4.6б)
2
Sa ∆−= 2
0
.
2
Рис. 4.2
Справедливость выражения кинетиче-
ской энергии через импульс P мы предоставляем подтвердить читателю.
Энергия, как и работа, измеряется в джоулях.
Для того чтобы сообщить телу кинетическую энергию (или увеличить ее), нужно совершить над этим телом работу. Если тело массой
m двигалось прямолинейно со скоростью
скорости
щую всех сил) F , направленную вдоль скорости. При этом на пути ∆S
будет совершена работа
Здесь мы использовали формулу (2.12).
υ
к телу необходимо приложить силу (или равнодействую-
2
Последнее выражение преобразуется к следующему:
2
A −=
2
υ
, то для его ускорения до
1
2
2
mSmaSFA ∆
=∆=∆=
2
υυ
mm
1
. (4.7)
−
υυ
1
2
S
∆
2
.
S
,
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]