Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Для нахождения постоянной интегрирования С используем граничное
−
−
ttSt
πυυ
=
=
r
dr
R
υ
r
условие:
Окончательная формула зависимости скорости жидкости от расстояния
r
до оси трубы имеет вид:
жидкости ∆V, протекающего через некоторое сечение за время
этому промежутку времени:
кости цилиндрический слой радиуса r и толщиной
υ
= 0 при
Рис. 10.16
Потоком (расходом жидкости) называют отношение объема
Найдем расход жидкости через сечение трубы. Выделим в жид-
r = R
и получаем:
pp
2
21
.
С
=
=
υ
Скорость жидкости изменяется вдоль радиуса
трубы по параболическому закону от максимального значения на оси трубы:
до нулевой у стенок (рис. 10.16).
υ
макс
ход жидкости в этом слое равен:
R
4
l
η
pp
21
4
l
η
=
∆
Q =
=
2
−
)(
pp
−
21
4
l
η
V
υ
=
∆
∆
rdrdSdQ
. Учитывая (10.18), имеем:
22
).(
rR
(10.18)
2
R
∆
υ
S
.
dr
(рис. 10.17). Рас-
∆
t,
к
pp
−
2
dQ −
=
π
Интегрируя последнее выражение, найдем
расход для всего сечения:
Рис. 10.17
Q
dQQ
∫
0
π
=
8
171
π
==
)(
pp
−
21
l
R
η
21
4
l
η
−
pp
)(2
21
l
4
η
4
(10.19)
22
.)(
rdrrR
RR
∫
0
22
−
rdrrR
)(
или
Последняя формула называется формулой Пуазейля. Расход
жидкости при стационарном течении жидкости в цилиндрической трубе
пропорционален четвертой степени радиуса и разности давления на
единицу осевой длины трубы. Поэтому для перекачки больших объемов вязкой жидкости, какой является, например, нефть, используют трубы
большого диаметра.
Пример 10.3. При создании магистрального трубопровода перекач-
ки нефти используются насосные станции, создающие при производительности 300 м3/ч давление на выходе 3,4 МПа, при требуемом давлении на входе около 0,1 МПа. Рассчитать, на каком расстоянии друг
от друга должны устанавливаться такие станции, чтобы обеспечить поток нефти в 300 м3/ч при диаметре трубы 1 м. Вязкость
нефти принять равной 550 Па⋅с.
Решение. Расстояние можно определить с помощью формулы Пуазейля, если принять, что разность давлений на искомом отрезке трубопровода должна быть равна разности давлений на выходе и входе на-
сосной станции. Из формулы (10.19) получаем:
π
l
=
8
Q
η
4
21
R
)(
pp
−
Подставляя числовые данные, имеем: l = 28,3 км .
.
ВОПРОСЫ
1. Почему для осуществления постоянной скорости течения жидко-
сти в трубе необходимо создавать разность давлений?
2. Каким образом возможно увеличение потока нефти в трубе без
увеличения радиуса трубы и разности давлений на концах трубопровода?
10.9 Ламинарное и турбулентное течение
Различают два основных типа течений жидкостей и газов. Если
движение жидкости плавное и смежные слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, то его называют ламинарным. Характерная особенность ламинарного течения в том, что каждая частица жидкости (газа) движется по гладкой траектории и траектории разных частиц не пересекаются. Именно ламинарное движение можно изображать
172
стационарной картиной линий тока (рис. 10.5). Выведенная выше формула Пуазейля справедлива только для ламинарного движения.
Когда скорость течения превышает определенный предел, зависящий от ряда факторов, течение становится турбулентным. Турбулентное течение характеризуется наличием беспорядочных вихрей.
Жидкость интенсивно перемешивается, в результате чего средняя скорость движения практически одинакова по всему сечению жидкости;
при этом расход жидкости через все сечение значительно меньше, чем
при ламинарном движении. Вихри поглощают огромное количество
энергии, и поэтому в турбулентном течении вязкость оказывается значительно большей.
Ламинарное течение легко отличить от турбулентного, капнув в
движущуюся жидкость немного чернил или краски.
Характер движения жидкости определяется безразмерным чис-
ρυ
лом Рейнольдса:
D
=Re
, (10.20)
η
где
υ
– средняя скорость течения жидкости (газа)
вязкость, D – диаметр трубы. Опыты показывают, что обычно при Re <
2000 течение ламинарное, а при Re > 2000 оно становится турбулент-
ным.
Число Рейнольдса является критерием подобия при моделировании течения жидкости в трубах, каналах и т.п. В старых кинофильмах
морские сражения снимали с использованием уменьшенных макетов
кораблей. При этом волны на поверхности воды казались неправдоподобно крупными, так как число Рейнольдса уменьшалось пропорционально уменьшению размеров кораблей. Для поддержания постоянства числа Рейнольдса необходимо было в соответствующее число раз
уменьшать отношение
подходящими характеристиками.
ρη
, т.е. вместо воды выбирать жидкость с
Пример 10.2. Средняя скорость крови в аорте (r =1 см) пример-
но равна 0,3 м/с. Определить, является ли течение крови ламинарным. Вязкость крови при 37°С равна 4⋅10
–3
1,05⋅103 кг/м3.
ρ
– плотность, η –
Па⋅с, плотность
173
Решение. Для ответа на вопрос найдем число Рейнольдса:
η
ρυ
=
/2Re r
Re = 2⋅1,05⋅103 кг/м3⋅ 0,3 м/с ⋅0,01 м / 4⋅10–3 Н⋅с/м2 кг/м3) = 1575.
Течение будет ламинарным.
ВОПРОСЫ
1. Почему расход жидкости при турбулентном течении гораздо
меньше, чем при ламинарном?
2. Как зависит скорость течения жидкости, при которой возникает
турбулентность, от диаметра трубы? От вязкости жидкости?
10.10 Движение тел в жидкостях и газах
Когда тело движется относительно жидкости (газа), на него действует сила со стороны среды. Эта сила называется силой лобового
сопротивления. Она складывается из сопротивления трения, возникающего вследствие вязкости среды, и силы лобового сопротивления,
возникающего вследствие возникновения турбулентности позади тела
при больших скоростях движения.
Для описания движения тела относительно жидкости или газа
ρυ
вводят еще одно число Рейнольдса
=Re
l
, (10.20)
η
отличающееся от (10.20) тем, что вместо
диаметра трубы стоит характерная длина
тела l. Следует четко различать эти числа;
хотя они и похожи по виду, но относятся к
разным явлениям. При малых
Рис. 10.18
(рис. 10.18) и лобовое сопротивление является чисто сопротивлением
трения. Опытным путем установлено, что сила трения
порциональна скорости объекта:
Значение коэффициента k зависит от размеров и формы тела, а также
от вязкости жидкости (газа).
Сила вязкого трения, действующая на малое сферическое тело
радиуса R в ламинарном потоке, дается формулой Стокса:
кающий тело поток является ламинарным
F
=
k
υ
. (10.21)
v
Re
обте-
F
прямо про-
v
.
174
υ
πη
RFv6
=
2
r
r
Рис. 10.1
9
. (10.21)
Формула Стокса дает возможность определить установившуюся скорость падения шарика в вязкой жидкости. На этом принципе основывается один из методов определения коэффициента динамической вязкости. Формула Стокса используется также при определении размеров
очень мелких частиц методом седиментации (осаждения).
При больших значениях Re в потоке позади тела возникают вихри (рис. 10.19). Вихри уносятся потоком и постепенно затухают. Давле-
ние в вихревой области за телом меньше, чем в невозмущенной среде;
возникает сила сопротивления давления. Эта сила растет уже пропорционально квадрату скорости. Она зависит также от плотности жидко-
сти и площади S сечения тела плоскостью, перпендикулярной к потоку, – ми-
делева сечения:
2
Здесь
С
– безразмерный коэффициент,
х
называемый коэффициентом лобового
сопротивления. Он имеет одно и то же значение для всех тел одинако-
вой формы и одинаково ориентированных относительно потока, и практически не зависит от масштаба тел. Для диска, плоскость которого ориен-
тирована перпендикулярно потоку,
каплевидной формы
С
=
0,04, для легковых автомобилей
х
С
=
1,32, для шара
х
ρυ
SCFxр=
. (10.22)
Сх =
0,24, для тела
Сх =
0,29 ÷ 0,35.
Пример 10.4. Определить максимальную скорость движения
автомобиля мощностью 80 л.с. (58,9 кВт), имеющего площадь миделева сечения 2,5 м2 и коэффициент лобового сопротивления 0,32.
Решение. Мощность, развиваемая двигателем, пропорцио-
υ
нальна скорости движения:
FN =
. Здесь F – сила тяги двигателя, направленная противоположно силе лобового сопротивления, которое в
данном случае определяется по формуле (10.22).
Если пренебречь силами трения в трансмиссии и колесах автомобиля, то при равномерном движении эти силы можно прирав-
175
2
2
r
r
r
N
нять:
υ
вые данные:
ρυ
, откуда
SC
=
x
3
=
υ
⋅⋅
3
2
=
3
109,582
29,15,232,0
⋅⋅
ρυ
SCN
. Подставляем число-
x
==
.км/ч175м/с5,48м/с
Мы полу-
чили немного завышенный результат, так как учли только лобовое
сопротивление воздуха.
Если движущееся тело имеет несимметричную форму, возника-
ет сила, перпендикулярная направлению скорости.
F
F
П
рез
F
ЛС
Рис. 10.20
меньше, чем под ним.
Оптимальная форма крыла найдена Н.Е. Жуковским. Благодаря
наличию острой задней кромки, за крылом образуется разгонный
вихрь, вращающийся, как показано на рис. 10.20, против часовой
стрелки. Разгонный вихрь имеет определенный момент импульса. Однако момент импульса системы "крыло – воздух" должен оставаться
равным нулю, так как внешних моментов сил, действующих на систему,
нет. Поэтому наряду с разгонным вихрем, как показал Жуковский, вокруг крыла возникает окружное движение воздуха, обладающее моментом импульса противоположного направления. Это окружное движение
направлено по часовой стрелке (на рис. не показано) и увеличивает
скорость движения воздуха сверху, одновременно уменьшая ее снизу.
Каплевидная форма крыла позволяет уменьшить силу лобового сопро-
тивления
F
при дозвуковых скоростях движения.
ЛС
В результате несимметричной формы крыла самолета возникает подъемная сила
F
(рис. 10.20), обусловлен-
П
ная тем, что скорость обтекания воздуха над крылом
больше, чем под ним. Как мы
установили в разд. 4, в результате этого давление над крылом
176
ВОПРОСЫ
1. Как зависит сила лобового сопротивления от скорости при лами-
нарном и турбулентном обтекании?
2. В каких методах измерений используется формула Стокса?
3. Какую форму придают телам, движущимся в газе или жидкости,
для уменьшения коэффициента лобового сопротивления?
ЗАДАНИЕ
Определите, как зависит от скорости движения расход бензина (в
литрах на 100 км) у автомобиля, описанного в примере 10.4. Расчет
произведите для 4-5 значений скорости в диапазоне от 40 до 100 км/ч.
Данные о КПД бензинового двигателя, удельной теплоте сгорания и
плотности бензина найдите в справочной литературе или Интернете.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кикоин, И. К. Физика [Текст]: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреж-
дений / И.К. Кикоин. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 1999.
2. Александров, Н. В. Механика [Текст]: учеб. пособие для студ.-заоч.
физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Н. В. Александров, А. Я. Яшкин. - М.:
Просвещение, 1978.
3. Джанколи, Д. Физика [Текст] : в 2-х т. Т.1 / Д. Джанколи; пер. с англ.:
А. С. Доброславского , О. А. Котельниковой , М. А. Сухановой; под
ред. Ю. Г. Рудого. - М.: Мир, 1989.
4. Гершензон, Е. М. Механика [Текст]: учеб. пособие для студ. пед.
вузов / Е. М. Гершензон, Н. Н. Малов, А. Н. Мансуров. - М.:
AcademiA, 2001.
5. Мякишев, Г. Я. Физика [Текст]: учеб. для 11 кл. общеобразоват. уч-
реждений / Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев. - 6-е изд. - М. : Просвеще-
ние, 1999.
6. Бобров, П. П. Компьютерное моделирование и анализ данных с по-
мощью MS EXCEL: учебное пособие / П. П. Бобров; Омск. гос. пед.
ун-т. - Омск: ОмГПУ, 2009.
177
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ......................................................................................... 3
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 4
1.1 Предмет физики. Физика и другие науки ...................................... 4
1.3 Единицы физических величин........................................................ 5
1.4 Размерности и их анализ ................................................................. 6
2 КИНЕМАТИКА ...................................................................................... 7
2.1 Механическое движение. Системы отсчета .................................. 7
2.2 Прямолинейное движение............................................................... 8
2.3 Криволинейное движение ............................................................. 18
2.4 Относительность движения. Преобразования Галилея ............. 28
3 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК...................................... 32
3.1 Задачи и область применимости динамики Ньютона............... 32
3.2 Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета ......... 32
3.3 Понятие силы и массы. Второй закон Ньютона........................... 34
3.4 Третий закон Ньютона .................................................................. 39
3.5 Системы материальных точек. Закон сохранения импульса ..... 41
3.6 Центр масс и закон его движения.................................................. 45
3.7 Движение тел с переменной массой. Реактивное движение ...... 49
3.8 Силы в механике............................................................................ 51
4 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ........................................................................ 57
4.1 Работа и мощность.......................................................................... 57
4.2 Кинетическая и потенциальная энергия ...................................... 59
4.3 Диссипативные силы. Закон изменения и сохранения энергии в
механических системах........................................................................ 65
4.4 Движение под действием консервативных сил........................... 67
5 МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ........................................................... 72
5.1 Поступательное и вращательное движение твердого тела........ 72
5.2 Кинематика вращательного движения......................................... 73
5.3 Основное уравнение динамики вращательного движения....... 77
5.4 Вычисление момента инерции...................................................... 81
5.5 Закон сохранения момента импульса........................................... 83
5.6 Кинетическая энергия вращающегося тела................................. 85
6 НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ................................. 87
6.1 Поступательно движущиеся НИСО ............................................. 87
6.2 Вращающиеся системы отсчета ................................................... 88
6.3 Сила Кориолиса ............................................................................ 89
7 КОЛЕБАНИЯ........................................................................................ 93
178
7.1 Гармонические колебания............................................................. 93
7.2 Скорость и ускорение точки при гармоническом колебании ... 97
7.3 Простейшие колебательные системы и уравнения их движения99
7.4 Энергия гармонического осциллятора....................................... 104
7.5 Затухающие колебания................................................................ 107
7.6 Вынужденные колебания ............................................................ 109
8 УПРУГИЕ ВОЛНЫ ............................................................................ 114
8.1 Волновое движение и его характеристики. ............................... 114
8.2 Энергия упругих волн.................................................................. 121
8.3 Отражение волн. Принцип суперпозиции. Стоячие волны..... 125
8.4 Интерференция волн.................................................................... 130
8.5 Принцип Гюйгенса и его применение для объяснения
отражения, преломления и дифракции волн .................................... 134
9 АКУСТИКА ........................................................................................ 137
9.1 Звуковые волны............................................................................. 137
9.2 Скорость звука .............................................................................. 137
9.3 Избыточное звуковое давление и интенсивность звука ............ 139
9.4 Субъективные характеристики звука......................................... 141
9.5 Эффект Доплера........................................................................... 145
9.6 Звуковые волны большой амплитуды........................................ 147
9.7 Излучение и распространение звука ........................................... 149
10 МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.......................................... 153
10.1 Свойства жидкостей и газов ..................................................... 153
10.2 Гидростатика.............................................................................. 154
10.3 Кинематика жидкости ............................................................... 158
10.4 Динамика идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.......... 160
10.5 Применение уравнения Бернулли............................................. 164
10.6 Импульс жидкостей и газов ...................................................... 166
10.7 Силы внутреннего трения ......................................................... 168
10.8 Течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе. Формула
Пуазейля .............................................................................................. 170
10.9 Ламинарное и турбулентное течение....................................... 172
10.10 Движение тел в жидкостях и газах......................................... 174
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................... 177
179
Учебное издание
Бобров Павел Петрович
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Редактор Г.А. Боброва
Технический редактор А.И. Шестаков
Подписано в печать 24.01.2013. Формат 60 х 84/16
Бумага офсетная. Ризография.
Печ. л. 11,25. уч.-изд. л. 10,9
Тираж 100 экз. Заказ 2301
__________________________________________________
Издательство ОмГПУ: 644099, Омск, наб. Тухачевского, 14
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]