Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
Тогда комплексную амплитуду
A
De
0
ω
ω
k
ω
k
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ω
k
k
/
A ==
– модуль комплексной амплитуды (действительная амплитуда), а фаза
определяется выражением (7.33).
висимость A от
F
0
Q
i
−
ϕ
0
На рис. 7.13 показана амплитудно-частотная характеристика (за-
A
mF
0
ˆ
ϕ
i
0
, где
Ae
Ω
) для трех разных значений затухания. Видно, что
A
1
F
0
2
3
0
резонансом. Выражение для резонансной частоты (7.35) можно получить, если взять производную по частоте
ния в (7.34) и приравнять ее нулю.
Максимум амплитуды смещения приходится на частоту, несколько меньшую, чем
существенно.
Найдем, чему равна амплитуда при резонансе. Полагая
ωΩ
≈
рез
0
Ω
рез
Рис. 7.13
, однако при малом затухании это различие не
0
, подставим это значение Ω в (7.34). Получим:
ˆ
можно записать в виде:
/
mF
==
D
( )
m
амплитуда вынужденных колебаний сильно зависит от разности частот вынуждающей
силы
ний
(кривая 1) рост амплитуды при
приближении к
значительным и достигает максимума при
рез
Ω
F
00
2
22
4
+−
Ω
и собственных колеба-
. При малом затухании
0
ω
2
−=
0
Это явление называется
от подкоренного выраже-
(7.34)
22
ΩβΩω
оказывается
0
22
βωΩ
. (7.35)
A
где
F
=
m
2
⋅
Q
– добротность.
0
βω
=
0
kF
/
0
m
2
⋅
βω
0
/
0
==
2
β
111
FkF
0
Q
.т.е.
A
рез
0
Q
=
, (7.36)
k
При выводе формулы (7.36) использованы полученные ранее
0
0
(
)
≈
Ω
0
ω
Ω
=
2
π
(
)
(
)
(
)
ϕ
соотношения (7.19) и (7.29б). Для сравнения найдем амплитуду колебаний вдали от резонанса, например при
значении вынуждающей силы). Подставляя это значение в (7.33), имеем:
F
Амплитуда колебаний при резонансе в Qраз больше, чем смещение под действием постоянной силы. Соотношение (7.36) справедливо
лишь при малом затухании, когда выполняется условие
На рис. 7.13 кривая 1 построена для Q= 7,5, кривая 2 дляQ= 2,5 и
кривая 3 дляQ= 1.
Рассмотрим фазовые соотношения. Поскольку внешняя сила
представлена нами с нулевой начальной фазой, то начальная фаза
( )
A
0 ==
0
m
ω
Ω
= 0 (т.е. при постоянном
F
0
.
k
ωΩ
≈
рез
.
смещения
сительно вынуждающей силы. Анализируя выражение (7.33) для фазо-
вого сдвига, получаем, что при малых частотах вынуждающей силы
0
0
π/
2
–π
значений затухания
растание амплитуды при резонансе. Нетрудно догадаться, что увеличение энергии осциллятора происходит за счет работы вынуждающей
112
ϕ
в выражении (7.31) есть фазовый сдвиг смещения отно-
0
незначителен и сдвиг фаз.
0
ω
0
β
1
β
2
Рис. 7.14
График зависимости
Выясним, за счет какой энергии происходит значительное воз-
Ω
При
β
>
β
2
1
(
tg
ϕ
0
означает, что колебания смещения
отстают по фазе на угол
лебаний вынуждающей силы. При
>>
противофазе
Ωϕ
приведен на рис. 7.14 для двух
0
.
ββ
>
12
(т.е. вблизи резонанса
∞→
) угол
ϕ
π
−=
0
2/
ωΩ
колебания происходят в
0
πϕ
−=
.
. Это
от ко-
силы. На первый взгляд кажется странным, что при резонансе колеба-
2
π
ния смещения и силы происходят не в одинаковой фазе, а со сдвигом
π
на
−
. Однако величина и знак работы определяются произведени-
ем силы на перемещение, а перемещение за какой-либо малый отрезок времени при колебательном движении и смещение (расстояние от
положения равновесия) - это разные величины. Элементарное (бесконечно малое) перемещение всегда направлено так же, как и скорость. А вот колебания скорости и вынуждающей силы при резонансе
происходят в одинаковой фазе.
Действительно, как мы показали в разделе 7.2, колебания скорости опережают колебания смещения на фазовый угол
образом, векторы, соответствующие колебаниям силы и скорости, при
резонансе имеют одинаковое направление, т.е.сила и скорость достигают максимальных значений одновременно. При этом вынуждающая
сила развивает максимальную мощность (см.(4.5)), и энергия осциллятора резко возрастает.
ВОПРОСЫ
1. От чего зависит амплитуда, частота и фаза вынужденных ко-
лебаний?
2. Как изменяется вид амплитудно-частотной характеристики при
увеличении затухания? Как при этом изменяется вид фазо-частотной
характеристики?
. Таким
2/
ЗАДАНИЯ
1. Получите уравнение движения осциллятора под действием вы-
нуждающей силы при отсутствии трения и выведите выражения для:
а) амплитуды колебаний; б) сдвига фаз между колебаниями силы и
смещения. Постройте графики зависимости этих величин от частоты
вынуждающей силы.
2. Показать, что при резонансе источник вынуждающей силы разви-
вает максимальную мощность.
113
8 УПРУГИЕ ВОЛНЫ
0
8.1 Волновое движение и его характеристики.
Волнами называют процесс распространения колебаний в среде.
Рассмотрим процесс передачи колебаний в системе связанных нитями
одинаковых математических маятников (рис. 8.1). Если привести в колебательное движение крайний маятник, то колебания вначале передадутся соседнему, а затем и другим маятникам.
Процесс распространения колебаний
ускорится, если увеличить связь между маятниками, опустив связывающую нить ближе
к грузам. Нетрудно также выяснить влияние
массы на скорость распространения колебаний – чем больше масса каждого маятника, тем меньше скорость распространения
Рис. 8.1
определяется лишь свойствами самой среды и чаще всего не зависит
от таких параметров колебаний, как амплитуда и частота. В некоторых
средах скорость волны зависит от частоты колебаний (такое явление
называется дисперсией). Но эта зависимость от частоты обусловлена
тем, что свойства среды различны при различных частотах.
Рис. 8.2
начинают двигаться вверх. Таким образом, формируется "горб" волны.
Затем рука, держащая конец шнура, двигается вниз, и участки шнура из
верхней точки горба опускаются в исходное положение. Но участки
шнура, лежащие впереди горба, уже получили импульс и двигаются
вверх, пока не достигнут верхней точки, а затем под действием тех участков шнура, через которые горб уже прошел, начинают опускаться.
колебаний. Скорость волны, таким образом,
Проследим за прохождением отдельного волнового импульса в шнуре (рис. 8.2).Его
можно возбудить в шнуре резким
движением руки вверх и вниз.
х
Рука тянет конец шнура вверх, и
эта сила передается соседним
участкам шнура, которые тоже
114
Таким образом, горб, сформированный у конца шнура, начинает дви-
(
)
жение вдоль него. Это движение импульса после его возбуждения обусловлено двумя причинами: инертностью отдельных участков шнура и
силами взаимодействия между ними.
Если немного увеличить натяжение шнура и, следовательно, силу взаимодействия между отдельными участками, то скорость импульса увеличится. Если мы будем проводить опыты с разными шнурами (с разной массой на единицу длины), то можем найти, что ско-
рость волны в шнуре (струне) зависит от силы натяжения F и от мас-
сы на единицу длины µ следующим образом:
F
=
. (8.1)
υ
µ
Эта формула может быть выведена с помощью законов динамики. См., например, [3].
Сделаем важное замечание. Распространение волн не связано с
переносом вещества. Формула (8.1) описывает скорость движения импульса возбуждения, ("горба") вдоль шнура или цепочки маятников, но
не скорость движения отдельных частиц шнура или маятников, колеблющихся около положения равновесия (последняя является функцией
времени и определяется соотношениями (7.12) или (7.13). Это справедливо для любых типов волн: сами волны могут распространяться в
среде на большие расстояния, тогда как отдельные частицы этой среды совершают лишь ограниченное движение.
Волны, распространяясь в среде, вовлекают в колебательное
движение множество точек. В этом движении имеется определенный
порядок, согласованность. Найдем вид математической зависимости, с
помощью которой можно определить положение любой частицы в любой момент времени.
Пусть крайняя точка струны или шнура (рис. 8.2) совершает движение так, что ее смещение от положения равновесия есть некоторая
функция времени:
Пусть эта функция описывает движение точки при формировании "горба". Если горб распространяется в сторону положительных
то в некоторую точку с координатой x этот импульс придет с запаздыванием, обусловленным временем, необходимым для прохождения
t
ξξ
=
. (8.2)
x
,
115
этого расстояния, и участок с координатой x совершит колебание, по-
υ
=
ω
ξ
=
(
)
υωξ
−
=
)
πυπυω
υ
λ
=
добное тому, которое совершил участок с координатой 0, но в более
поздний момент времени t. Если форма горба не изменяется при его
распространении, то в точке x осуществится полное повторение функции (8.2), но через время
/xt
. Это означает, что аргумент фун-
x
кции должен иметь вид
ны в точку x (запаздывание).
Большое значение в теории и практике имеют гармонические
бания в вертикальном направлении по закону
торой точке xколебания частиц шнура будут описываться соотноше-
нием:
называемым уравнением волны. Это уравнение позволяет определить
смещение любой точки с координатой x в любой момент времени t.
Из (8.3) видно, что амплитуда колебаний одинакова во всех точках шнура, что справедливо при отсутствии затухания.
Уравнению волны можно придать другой вид:
где введено волновое число:
Рис. 8.3
ωξ
−
t
υ
ω
−=
υ
x
, где
– время распространения вол-
υ
волны, в которых частицы колеблются по
закону синуса или
косинуса.
держащая шнур, (рис.
8.3) совершает коле-
sin
/sin xtA
, (8.3)
(
ω
sinsin
, (8.4)
kxtAxtA −=
22
(8.5)
===Tk
Если рука,
tA
, то в неко-
λ
и длина
– расстояние, на которое распространяется волна за время одного
периода.
волны:
(8.6)
T
116
Таким образом, волна описывается функцией нескольких пере-
(
)
(
)
λλλλ
менных: времени и координат (в данном случае одной координатой –
x). Уравнения (8.3) и (8.4) справедливы также для плоских волн, распро-
страняющихся вдоль оси х.
Если зафиксировать координату
дет описывать колебание точки с этой координатой
фиксировать время
уравнение (8.4) будет описывать смещение разных точек как функ-
ξξξξ
tt =
,т.е. сделать "мгновенный снимок", то
0
T
a
ξξξξ
c
d
б
Рис. 8.4
ны как расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в
одинаковых фазах. На рис. 8.4б мы можем показать длину волны не
только как расстояние между гребнями или впадинами, но и между любыми последовательными точками с одинаковым смещением и одинаковыми по направлению скоростями движения, например между точка-
ми с и d. Обе эти точки в волне, распространяющейся вправо, в данный
момент времени имеют скорость, направленную вверх.
В рассмотренных выше случаях при распространении волны
вдоль шнура участки шнура колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Такие волны называют
поперечными
. Существуют и продольные волны, в которых частицы
x = x
t
t = t
x
xx =
, то уравнение (8.4) бу-
0
x
. Если за-
0
цию их координат в
данный фиксированный
0
момент времени. На
рис. 8.4а показан период (длительность одного
колебания), а на рис.
8.4б – длина волны
(пространственный пе-
0
риод). Поскольку за
время одного периода
фаза колебания изменяется на 2π, то можно
определить длину вол-
117
колеблются вдоль направления волны, т.е. в том же направлении, в
∆
=
ε
поперечная волна
продольная волна
Рис. 8.
5
котором распространяется волна.
Поскольку фазы колебаний частиц, разделенных некоторым расстоянием различны (т.е. если одна частица в некоторый момент времени движется вправо, то другая влево), то участки среды, по которым
движется продольная волна, деформированы в направлении волны. На
отдельных участках частицы сближаются друг с другом - это области
сжатия, на других удаляются друг от друга - это области разрежения.
Если однородную среду схематически изобразить в виде параллельных полосок (рис. 8.5), то в продольной волне существуют области
сжатия и разрежения, тогда как в поперечной волне – области деформации сдвига. В твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. В жидкостях и газах могут распростра-
няться только продольные
невозмущенная среда
отсутствует деформация сдвига).
Скорости продольных и поперечных волн определяются из выра-
волны, так как благодаря
текучести этих сред при
сдвиге слоев жидкости или
газа относительно друг
друга в поперечном направлении возвращающей
силы не возникает (т.е.
жений, аналогичных (8.1) и имеющих вид:
стержне определяется из выражения:
где ρ - плотность материала стержня, Е – модуль упругости (модуль
Юнга). Модуль Юнга определяется соотношением
ная деформация, возникающая при действии усилия (S – площадь по-
118
силаупругая
=
υ
.
инертность
В частности, скорость продольной волны в длинном сплошном
E
υ
=
, (8.7)
ρ
р
E =
, где
ε
SFр /=
– усилие, прилагаемое к стержню, а
ll/
– относитель-
перечного сечения, l –длина стержня, F – приложенная сила,
>
солютное удлинение).
Скорость поперечной волны определяется выражением:
N
υ
, (8.8)
=
∆
l
– аб-
ρ
где N - модуль сдвига, характеризующий упругость материала к деформации сдвига. Подробнее о деформации сдвига см. в [2].
Поскольку всегда
меньше скорости продольных волн. Геофизики, исследуя распрост-
ранение сейсмических волн, заметили, что поперечные волны не проходят сквозь Землю в диаметральном направлении. Это позволило им
сделать вывод о наличии у Земли жидкого ядра.
Примером продольной волны является звуковая волна в газе.
Существуют волны третьего типа, поверхностные волны, распространяющиеся вдоль границы раздела двух сред. Одним из примеров таких волн являются волны на поверхности воды. Эти волны не являются ни чисто поперечными, ни чисто продольными. Каждая частица
движется по эллипсу, т.е. участвует как в поперечном, так и в продольном движении.
Волны, которые распространяются вдоль прямой линии (в струне, стержне и т.п.), описываются одной координатой и называются од-
номерными. Поверхностные волны являются двухмерными. Волны,
распространяющиеся от источника во всех направлениях, являются
трехмерными.
Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц, еще не
начавших колебаться, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называют волновой
поверхностью. Для гармонических волн волновой фронт является одной из волновых поверхностей. В трехмерной среде волны могут быть
плоскими (фронт – плоскость), сферическими (фронт – сфера), цилиндрическими (фронт – цилиндрическая поверхность) и т.д. Направление,
в котором распространяется волна, называется лучом
средах луч перпендикулярен волновой поверхности.
NE
, то скорость поперечных волн всегда
. В изотропных
119
Для поперечных волн вводят понятие плоскости колебаний -
колебаний
Плоскость
колебаний
плоскости, содержащей луч, и направление колебаний частиц (рис. 8.6).
Если эта плоскость не меняет своего положения во времени, то
волна называется плоскополяризованной (или линейно поляризован-
Направление
Рис. 8.6
понимая под ним отклонение любой физической величины (координаты, давления, плотности и т.д.) от равновесного значения.
ВОПРОСЫ
1. Объясните различие между скоростью волны и скоростью дви-
жения частиц в волне. Зависят ли эти величины от амплитуды колебаний?
2. Объясните понятия периода и длины волны. В каких единицах
измеряются эти величины?
3. Как изменяется скорость волны в струне гитары при увеличении
ее натяжения?
4. Какого типа волны возбуждаются в тонком металлическом
стержне, если ударить по его концу молотком: а) сбоку; б) в торец?
В каком случае фронт волны быстрее дойдет до противоположного
края стержня?
5. Можно ли для продольной волны определить плоскость колебаний?
ной). Волны различной
физической природы подчиняются одинаковым
математическим законо-
луч
мерностям. В дальнейшем мы будем характеризовать волну "обоб-
щенным" смещением ξ,
ЗАДАНИЯ
1. Определите скорость волны на поверхности воды, если гребни
волн проходят мимо буя каждые 4 с, а расстояние между гребнями 6,2 м.
2. Определите скорость распространения волны в струне массой
2 кг, длиной 1 м, которая натянута с силой 200 Н.
3. Используя часы с секундной стрелкой, оцените скорость распространения возбужденного рукой импульса в длинном шнуре.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]