Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
ленного объема, совпадает по направлению с направлением переме-
=
(
)
∆−=∆−∆=
∆
υ
υ
∆
=
ρ
2
2
2
2
щения жидкости и будет совершать положительную работу, сила же
SpF
будет совершать отрицательную работу, так как она проти-
222
воположна перемещению. С учетом (10.6) получаем выражение для общей
работы:
VpptSptSpA
(10.8)
21222111
Приравнивая (10.7) и (10.8), учитывая, что
Vm
и сокращая на
∆
V,
2
ρυ
получаем
ждать, что следующее выражение справедливо в любом сечении:
оно получено для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, вязкость которых не очень велика.
гаемое р называют статическим давлением. На практике статическое
давление измеряют неподвижным манометром, у которого плоскость
отверстия манометрической трубки (см. рис. 10.8) расположена параллельно
линиям тока. Из уравнения (10.9) статическое давление можно выразить так:
:
Так как сечения
Последнее уравнение называется уравнением Бернулли. Хотя
Члены левой части уравнения (10.9) имеют свои названия. Сла-
2
ρ
S
и
1
ρυ
22
S
выбраны произвольно, то можно утвер-
2
2
ρ
ρυ
Слагаемое
казывает, на какую величину уменьшилось статическое давление
вследствие движения жидкости. Слагаемое
лическим давлением, показывает, насколько уменьшается статическое
давление при поднятии трубки на высоту h.
ρυ
2
2
, называемое динамическим давлением, по-
2
ρυ
1
ρ
.
constpgh =++
2
. (10.10)
ghconstp
ρ
−−=
ρgh,
.
pghpgh ++=++
11
(10.9)
называемое гидрав-
Пример 10.1. В отопительную систему дома вода поступает
под давлением 4,0 атм со скоростью 0,5 м/с. Если в подвале вода
161
поступает в трубу диаметром 5 см, то каковы скорость течения и
м/с
2
2
(
)
)
ρ
+
2
υ
υ
υ
давление в трубе диаметром 2,5 см на пятом этаже, расположенном на 15 м выше?
Решение. Сначала с помощью уравнения (10.5) найдем ско-
рость:
ные, получим:
или
/SSυυ=
2112
2
мощью уравнения Бернулли:
ставив численные значения, получим
Рассмотрим некоторые следствия из уравнения Бернулли.
1. Если трубка тока имеет постоянное сечение, а следовательно,
и постоянную скорость потока (причем неважно, движется поток по горизонтальной или наклонной трубке), то уравнение Бернулли примет
вид:
Откуда следует, что распределение статического давления будет таким
же, как в покоящейся жидкости (см.(10.4), т.е. оно выше в точках, которые
расположены ниже.
Сумму
(10.11) следует, что в трубке тока постоянного сечения гидростатическое давление одинаково по всей трубке.
2. Для горизонтальной трубки тока (h –
нулли примет вид:
ghp
называют гидростатическим давлением. Из
(
ρ
ρυ
2
. Подставив числовые дан-
/rrυυ=
21212
. Давление определим с по-
25,2/5,05
=⋅=
2
112
5
.
.Па104,1
⋅=p
2
. (10.11)
hhgpp −=−
1221
const
) уравнение Бер-
2
constp =+
, (10.12)
2
. Под-
2/
υυρρ
−+∆−= hgpp
2
откуда следует, что давление меньше в тех точках, где скорость боль-
ше (т.е там, где сечение меньше).
Этот закон хорошо подтверждается на
опыте. Если трубу, по которой течет
жидкость, снабдить впаянными в нее
3
открытыми трубками – манометрами
2
(рис. 10.8), то можно наблюдать распределение давления вдоль трубы. В
р1,
р2,
2
р3,
υ
1
р2,
Рис. 10.8
162
узких местах трубы, где выше скорость течения жидкости, высота столба в манометрической трубке меньше. Это означает, что в этих местах
давление меньше.
Явление уменьшения давления в потоке при увеличении скорости используется в технике (водоструйный насос, пульверизатор, автомобильный карбюратор и др.). Аналогичное явление имеет место при
полете самолета. Воздушный поток, обтекая выпуклую верхнюю поверхность крыла с большей скоростью, чем нижнюю, создает подъемную силу.
Сумму, стоящую слева от знака равенства (10.9), называют пол-
ным давлением. Для горизонтальной трубки полное давление выражается левой частью уравнения (10.12). Таким образом, в любом месте
горизонтально расположенной трубки тока полное давление остается неизменным. Если трубка имеет еще и постоянное сечение, то
скорость течения (в силу неразрывности струй) будет всюду одинакова,
и, следовательно, статическое давление р должно быть неизменным по
всей трубке.
3. Если скорость потока велика, то статическое давление, выражаемое формулой (10.10), внутри жидкости может оказаться отрицательным; при этом жидкость будет находиться под действием растягивающих сил. В реальных жидкостях, содержащих растворенные газы,
происходит нарушение непрерывности потока и образуется область,
заполненная пузырьками, внутри которых находятся газ и пары жидкости. Это явление называют кавитацией. Возникновение кавитации существенно влияет на характер движения жидкости, и уравнение Бернулли становится непригодным.
Кавитация возникает вблизи минимальных сечений трубок, а
также в поршневом насосе, когда давление за поднимающимся поршнем понижается до нуля. Кавитация имеет также место при обтекании
различных тел быстрым потоком жидкости: подводных крыльев, гребных винтов и т. д.
Образование кавитации при обтекании тел вызывает их разрушение. Образовавшиеся в области низких давлений пузырьки газа и
пара при дальнейшем перемещении попадают затем в область больших давлений и схлопываются, вызывая возникновение ударных волн.
163
ВОПРОСЫ
2
2
1. Как зависит статическое давление в жидкости от скорости ее течения?
2. Под действием каких сил изменяется энергия выделенного объ-
ема жидкости при изменении площади сечения трубы?
3. Почему струя воды из крана сужается книзу?
4. Почему суда, движущиеся параллельными курсами, не должны
приближаться друг к другу?
5. В каких случаях может возникать кавитация?
10.5 Применение уравнения Бернулли
Рассмотрим, как на практике можно измерять различные давления в жидкости. Измерение статического давления мы рассмотрели в
предыдущем параграфе.
Поместим в поток движущегося газа или жидкости изогнутую манометрическую трубку (рис. 10.9) с входным отверстием (трубку Пито).
Рассмотрим тонкую трубку тока, упирающуюся в сечение трубки Пито.
На большом удалении от трубки Пито в невозмущенном потоке полное
2
давление равно
ρυ
. Непосредственно перед отверстием в т. А
+p
скорость жидкости равна нулю и полное давление равно
полное давление одинаково в любых сечениях, получаем:
2
ρυ
+= pp
A
мерять полное давление.
. Присоединив к трубке Пито манометр, мы можем из-
р
. Поскольку
А
К манометру
А
Рис. 10.9 Рис. 10.10
164
Комбинация трубки Пито с манометрической трубкой, измеряю-
2
1
υ
Рис. 10.11
щей статическое давление р (рис. 10.10), называется трубкой Прандтля. Давление на срезе левой трубки равно полному давлению, а на
срезе правой – статическому давлению р. U-образный манометр измеряет разность давлений, равную динамическому давлению
зная которое, можно определить скорость течения жидкости.
S1,
υ
h
S2,
2
Далее, учтем, что скорость перемещения
скорости
нулли для указанных сечений будет иметь вид:
υ
и ее можно положить равной нулю. Тогда уравнение Бер-
2
1
h
2
ρ
ρυ
1
Обычно трубку Прандтля помещают в обтекаемый корпус и используют на судах и самолетах для измерения скорости по отношению к воде или
воздуху.
Применим уравнение Бернулли
к задаче истечения жидкости из малого
отверстия. Рассмотрим сосуд с отверстием (рис. 10.11) как трубку тока.
Учтем, что в сечениях
одинаковы и равны атмосферному.
υ
в сечении
1
2
2
.
ghgh
ρ
+=
2
S
и
S
1
S
много меньше
1
2
ρυ
давления
2
2
,
Отсюда находим скорость
υ
где
1. Как располагается входное сечение измерительной трубки в
жидкости при измерении: а) статического давления; б) полного давления?
2. Поясните, почему скорость вытекания жидкости из малого отверстия определяется по такой же формуле, как и скорость свободно падающего тела.
hhh −=
. Выражение (10.13) носит название формулы Торричелли.
21
ВОПРОСЫ
υ
истечения жидкости:
2
, (10.13)
gh2
=
2
165
ЗАДАНИЕ
υ
∆=∆
∆=∆
υ
ρ
∆=∆
ρ
t
r
r
r
r
r
r
Р
r
∆
F
r
Струя воды из крана сужается книзу. Найдите зависимость диаметра струи от расстояния до крана, считая заданными скорость воды в
момент вытекания из крана и диаметр отверстия крана.
10.6 Импульс жидкостей и газов
К жидкостям и газам применим закон сохранения и изменения
импульса. Проиллюстрируем его применение на некоторых примерах.
1. Реакция вытекающей струи. Струя жидкости, вытекающая из
отверстия со скоростью
mP
, где
∆
t
; S – площадь отверстия. Тогда уносимый импульс определится из
выражения:
υ
(рис. 10.11), уносит за время
tSm
– масса жидкости, вытекающей за время
2
tSР ∆=∆
υρ
.
∆
t
импульс
Используя формулу (10.13), получаем:
Рассматривая жидкость и сосуд как замкнутую систему, мы мо-
жем применить закон сохранения импульса. В соответствии с этим законом сосуд получает от вытекающей жидкости импульс, равный
Следовательно, вытекающая жидкость действует на сосуд с силой
Р
∆
F
−=
Sgh
ρ
2−=
, (10.14)
2
tSghР
.
–∆Р
∆
направленной противоположно скорости вытекающей струи (горизонтально).
Эту силу называют силой реакции струи. Если сосуд поместить
на тележку, то он придет в движе-
S
1
υ
1
Р
2
Р
υ
–
r
1
2
υ
1
S
2
Рис. 10.12
ние, представляющее собой реактивное движение.
2. Течение жидкости по изо-
гнутой трубе. Рассмотрим трубу
υ
постоянного сечения, в которой
2
установился поток идеальной жидкости (рис. 10.12). Рассмотрим
объем жидкости, заключенный между сечениями S
разрывности струи скорости в этих
и S2. В силу не-
1
.
166
сечениях по модулю будут одинаковы и равными
r
r
∆
υ
ρ
r
r
r
r
rrv
r
r
r
v
t
(
)
r
r
r
r
r
Р
r
∆
r
r
υ
r
r
r
r
F
r
время ∆t в этот объем через сечение
tS
, обладающая импульсом
через сечение
S
вытечет жидкость такой же массы, которая унесет
2
S
втечет масса жидкости, равная
1
υυρ
tSР ∆=
11
υυυ
==
. За
21
. За это же время
импульс
Изменение импульса жидкости, заключенной между сечениями
S
и
S
, за время
1
2
Следовательно, стенки трубы будут действовать на жидкость с
силами, результирующая которых равна
По третьему закону Ньютона результирующая сил, с которыми
жидкость действует на стенки трубы между сечениями S1 и S2, равна
Эта сила называется силой реакции текущей жидкости. Как вид-
но из рис. 10.12, сила
Если труба изогнута под прямым углом, то
большая сила реакции
υ
–
2
α
/2
r
S
υ
1
Рис. 10.12
υυρ
tSР ∆=
∆
t
будет равно:
F
1
1
α
S
2
, отличающийся от первого по направлению.
22
tSSSРРP ∆−=−=−=∆ )()(
υυυρυυρυυρ
.
122212
r
∆
P
= S
F
∆
r
направлена противоположно вектору
r
2
2υρSFr=
υ
2
имеет место, когда труба меняет
направление движения воды на противоположное.
трубе радиуса R = 10 см, изогнутой под углом α = 120° со скоростью 3,18 м/с. Определить силу,
действующую на стенку трубы.
трубы везде одинаково, то можно
rr
( )
υυυρ
−=
.
12
υυυρ
−=−= SFF
. (10.15)
21
2
2
υρ
SF
=
r
Пример 10.2. Вода течет по
Решение. Так как сечение
.
. Наи-
167
воспользоваться формулой (10.15):
(
)
r
r
r
()(
)
r
r
2
z
∆
∆
υ
∆
разности скоростей равен (см. рис. 10.12):
, тогда сила реакции по модулю равна:
2/cos2
=−
21
RFr=
αυυυ
α
22
υρπ
.
cos2
r
υυυρ
−= SF
. Модуль
21
Подстановка численных значений дает:
ВОПРОСЫ
1. Формула (10.15) получена для установившегося потока идеаль-
ной жидкости. Как эти свойства потока и идеальность жидкости учитывались при выводе этой формулы?
2. Как зависит сила реакции струи от угла изгиба трубы?
3. Где в технике используется реакция струи?
10.7 Силы внутреннего трения
Реальные жидкости и газы обладают вязкостью и сжимаемостью. Если сжимаемостью жидкостей во многих случаях можно пренебречь, то вязкость, или внутреннее трение, играет заметную роль в движении реальных жидкостей.
Силы вязкости возникают при относительном движении слоев
жидкости (газа). Они приложены к слоям жидкости и действуют по касательной к ним. Рассмотрим следующий опыт. Разместим в жидкости
две параллельных пластины
F
ТР
z
F
ТР
Рис. 10.13
зывает, что для поддержания постоянной скорости, на верхнюю пластину нужно действовать с постоянной силой
вие этой силы уравновешивается равной по величине и противополож-
но направленной силой трения.
большой площади, отстоящих
друг от друга на небольшом рас-
стоянии
пластина удерживается на месте, верхняя движется равномер-
но со скоростью ∆υ. Опыт пока-
F
=317,7 Н.
r
(рис. 10.13). Нижняя
F.
Очевидно, что дейст-
168
На опыте установлено, что сила трения пропорциональна площади
z
dz
∆
υ
υ∆
слоев S и величине
υ
z∆∆
:
η
F
=
ТР
S
. (10.16)
∆
Величину
порциональности
сти или просто вязкостью. В СИ вязкость измеряется в Н⋅с/м2 или
Па⋅с. Используется также единица пуаз (пз). 1 пз = 0,1 Н⋅с/м2. Вязкость
зависит от природы и состояния жидкости (в частности температуры).
Формула (10.16) называется формулой Ньютона.
Вязкость газов в сотни раз меньше вязкости жидкостей. Вязкость
зависит от температуры: в жидкостях с повышением температуры вязкость
уменьшается, в газах — увеличивается. Значение η при температуре 18°С у
воды составляет 0,11 Па⋅с, у глицерина 150 Па⋅с, у воздуха 1,8⋅10
Нижняя пластина на рис. 10.13 также подвержена действию силы трения, и для поддержания ее на месте необходимо приложить противоположно направленную внешнюю силу. Движущаяся верхняя пластина увлекает за собой непосредственно прилегающий слой жидкости.
Этот слой действует на нижележащий так, что все слои жидкости между пластинами вовлекаются в движение. В свою очередь неподвижный
слой жидкости, непосредственно прилегающий к нижней пластине,
z
∆
z
Рис. 10.14
z∆∆
υ
нужно пользоваться его пределом:
z∆∆
υ
называют градиентом скорости. Коэффициент про-
η
называется коэффициентом динамической вязко-
тормозит движение вышележащего слоя, тот –
следующего вышележащего и т.д. При этом ско-
рость разных слоев в направлении z меняется по
линейному закону (рис. 10.14).
Если скорости слоев изменяются с рас-
стоянием нелинейно, то вместо отношения
zd ∆
υ
. Тогда формула
–3
Па⋅с.
d
υ
F
=
Ньютона примет вид:
ВОПРОСЫ
1. Что такое градиент скорости?
2. Что такое коэффициент динамической вязкости?
169
ТР
η
.S
(10.17)
10.8 Течение вязкой жидкости по цилиндрической
=−−
dr
dr
−
трубе. Формула Пуазейля
При стационарном течении в трубе постоянного радиуса R все
слои жидкости движутся равномерно. Ввиду цилиндрической симмет-
рии слои жидкости представляют собой цилиндрические трубки. Скорости различных слоев изменяются от максимального значения на оси
трубы до нулевого у стенок.
Мысленно выделим в потоке жидкости цилиндрический элемент
радиуса r, расположенный вдоль оси (рис. 10.15). На основания цилиндра действуют силы нормального давления, а на боковые поверхности
– силы внутреннего трения, касательные к боковой поверхности. При
стационарном течении сумма дей-
F
R
r
p
ТР
1
p
2
l
Рис. 10.15
где S – площадь основания. Сила трения пропорциональна боковой
поверхности цилиндра и градиенту скорости:
ствующих сил равна нулю. Если
давление на основание считать
одинаковым по всему сечению (т.
е. пренебречь гидростатическим
давлением), то условие стационарности потока можно записать в
виде:
FSpSp
21
ТР
υ
F
ТР
d
η
,0
rl
π
2−=
(знак
минус взят потому, что скорость течения слоев уменьшается с увеличением переменной r).
Выразив площади через размеры цилиндра, получаем:
d
( )
pp
)(
Отсюда
ния:
170
d
−=
υ
21
rdr
l
η
2
−=
υ
rpp
, а после интегрирования этого выраже-
)(
pp+−
21
4
l
η
υ
η
l
221+−
2
.
.
Сr
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]