Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия механики. Учебное пособие
.pdf
тельно другого? Иными словами, нужно найти скорость авто-
r
r
r
r
rrr
(
)
1
υ
r
2
r
1
r
2
r
υ
r
а
мобиля 1 в системе отсчета, связанной с автомобилем 2.
υ
υ
=V
Решение. Используем соотношение (2.30). Скорость автомобиля
1 в неподвижной системе отсчета
υυ
=
. Система отсчета, связанная
1
с автомобилем 2, движется со скоростью
'
б
υυ
=
Рис. 2.15
относительной скорости:
tg
=
1. В чем состоит относительность движения?
2. Если одна система движется прямолинейно и равномерно отно-
сительно другой, то какие характеристики движения тела в этих системах будут одинаковыми: а) координаты, б) скорости, в) ускорения?
3. Изобразить траекторию Луны относительно: а) Земли, б) Солнца.
1. Пассажир перемещается по палубе корабля поперек направле-
ния его движения со скоростью 5 км/ч. Скорость корабля относительно
берега 10 км/ч. Чему равна скорость пассажира относительно берега?
2. Чтобы пересекать реку перпендикулярно течению, моторная лодка, имеющая в стоячей воде скорость 8 км/ч, должна направляться под
углом 30° относительно заданной траектории движения. Какова скорость течения? Чему равна результирующая скорость лодки относительно берега?
,
υυα
22
ВОПРОСЫ
ЗАДАНИЯ
45,1tg ==
αα
автомобиля 1 в этой движущейся
системе:
Соответствующая тройка векто-
ров изображена на рис. 2.14б. Модуль
'
0
.
υυυ
+=
21
υ
=V
. Искомая скорость
2
.
υυυ
−=
21
22
υ
=+=
,м/c1,14м/с1010'
31
3 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
3.1 Задачи и область применимости динамики
Ньютона
Раздел механики, в котором устанавливается связь между движением тела и причинами, которые вызвали или изменили это движение, называется динамикой.
Основой решения задач динамики являются законы, установленные Ньютоном на основе обобщения накопленных до него экспериментальных фактов. Законы Ньютона подтверждаются экспериментально. Все следствия из них хорошо согласуются с данными опыта. До
конца XIX века механика Ньютона была образцом физической теории.
В ней широко используется математический аппарат. Методы механики широко применяются в технике.
Границы применимости классической механики были установлены в начале XX века. Механика Ньютона справедлива лишь при скоростях, много меньших скорости света и для масс, больших массы атома.
В этих пределах она и в наше время является мощной теорией, используемой при расчете различных механизмов и даже при расчете
орбит космических кораблей.
Все задачи динамики можно свести к двум типам:
1) прямая задача - по известным взаимодействиям и начальным
условиям определить, как движется тело (т.е. найти кинематический
закон движения);
2) обратная задача - по известному кинематическому закону
движения тела определить взаимодействия.
3.2 Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
На протяжении около двух тысячелетий господствовало воззрение Аристотеля на причины движения, которое заключалось в том, что
для поддержания движения тела с постоянной скоростью необходимо
воздействие со стороны других тел. По Аристотелю, естественное состояние тел – покой, который наступает после прекращения этого воздействия.
32
Анализируя большое число опытных фактов, Галилей смог прийти к выводу о том, что если на тело не действуют другие тела, то оно
продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для этого ему удалось
вообразить экспериментально недостижимую ситуацию отсутствия трения и поставить трение в ряд других взаимодействий между телами.
Этот вывод Галилея четко сформулировал Ньютон и включил в
систему трех основных законов динамики. В формулировке Ньютона
первый закон гласит:
Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и
прямолинейного движения, пока и поскольку воздействие со стороны
других тел не побуждает его изменить это состояние.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения называется инертностью, поэтому первый
закон Ньютона часто называют законом инерции.
Следует отметить, что первый закон Ньютона (как и остальные)
справедлив лишь для материальных точек, а для реальных тел лишь в
случае их поступательного движения. Важность утверждения, которое
Ньютон выделил в отдельный закон, заключается в определении так
называемых инерциальных систем отсчета. Первый закон Ньютона
выполняется только в инерциальных системах, он же является пробным камнем для определения, является ли система отсчета инерциальной или нет.
Инерциальными называются системы отсчета, относительно
которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость
постоянной, если на него не действуют другие тела (или действие
других тел скомпенсировано). Иногда говорят короче: инерциальными
называют такие системы отсчета, в которых выполняются законы Ньютона.
Как следует из преобразований Галилея (2.31), ускорение во
всех системах, движущихся относительно друг друга прямолинейно и
равномерно, оказывается одинаковым. Если тело движется без ускорения в одной из таких систем, то и в других ускорение равно нулю.
Таким образом, если найти одну инерциальную систему, то все
другие, которые движутся относительно ее прямолинейно и равномерно, будут инерциальными.
33
ВОПРОСЫ
−
=
rrr
rrr
r
1. Какой причиной объясняется падение пассажиров в резко тормо-
зящем вагоне?
2. При автомобильных авариях иногда у водителей и пассажиров
бывают повреждения шеи. Это случается, когда пострадавший автомобиль испытывает сильный толчок сзади. Объясните, почему кажется,
что при этом голова жертвы откидывается назад.
3. Почему на практике тело, предоставленное самому себе, обычно
не сохраняет сколь угодно долго свою скорость?
3.3 Понятие силы и массы. Второй закон Ньютона
Из опыта известно, что изменение характера движения всегда
вызывается взаимодействием между телами. Другим результатом
взаимодействия тел является деформация – изменение формы тела.
Деформация возникает при любом взаимодействии независимо от того,
движется тело или нет. Величина деформации зависит от свойств тела, а
также от величины взаимодействия, которую принято характеризовать силой.
Силой называют количественную характеристику взаимодействия тел. В соответствии с возможными результатами взаимодействия
ее можно измерить двумя путями:
а) по деформации эталонного тела (например пружинного динамометра);
б) по ускорению эталонного тела.
Как показал Гук, в известных пределах наблюдается прямая
пропорциональная зависимость между силой F и величиной деформации
x
. Для стержня или пружины эта зависимость имеет вид:2
Сила является вектором; чтобы ее задать, необходимо указать
ее модуль, направление и точку приложения. Сила, приложенная к
телу, всегда действует со стороны другого тела или силового поля.
На опыте был установлен принцип суперпозиции: если к одной и
.kxF
той же точке приложены несколько сил
эквивалентно действию одной силы, равной векторной сумме:
+++= ...
21
2
Подробнее см. раздел 3.8.
FFF
,...,
, то их действие
N
21
FFFF
. (3.1)
N
34
Сила
F
r
m
Под действием одной и той же силы тела получают разные ускорения, т.е. они обладают разной инертностью. Мерой инертности является масса. Отношение масс двух разных тел равно обратному отношению ускорений, сообщаемых этим телам одинаковыми силами:
С помощью этого соотношения можно измерять лишь отношение
масс, но не саму массу. Для измерения массы в СИ введен эталон цилиндр из иридиевого сплава, хранящийся в Севре (близ Парижа). По
определению масса этого эталона равна единице – одному килограмму. С достаточной для практики точностью можно считать, что массой в
1 кг обладает 1 дм3 чистой воды при 15° С.
На практике измерять массу с помощью измерения ускорения не
всегда удобно. Поэтому для этой цели используют другой опытный
факт – в одной и той же точке земного шара все тела падают с одинаковым ускорением. Это объясняется тем, что сила тяжести пропорциональна массе.
Измерение массы через силу тяжести называют взвешиванием.
Здесь масса выступает не как мера инертности тела, а как мера его
гравитационных свойств. Хотя нет никаких теоретических соображений, объясняющих пропорциональность инертной и гравитационной
масс (в СИ эти массы равны), измерения, проведенные к настоящему
времени с очень высокой точностью, показали, что это действительно
так. Принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс является фундаментальным законом природы.
Итак, на опыте было установлено, что при одинаковой массе ускорение, получаемое телами, пропорционально действующей на них
силе (а
∼
называется результирующей, или равнодействующей.
a
m
m
2
1
2
. (3.2)
=
a
1
F), а при одинаковой действующей силе ускорение обратно
пропорционально массе (
но записать:
где
К – некоторый коэффициент, зависящий от выбора системы еди-
ниц.
a∼1/m
). Сопоставляя эти соотношения, мож-
F
Ka =
,
35
Если единицы всех трех величин выбирать независимо, то К
=
r
r
m
rrr
1
1
r
r
2
2
r
r
r
r
rrr
r
rrr
r
m
m
m
m
m
будет размерной величиной. Удобнее, конечно, положить К = 1, но тогда единицу измерения одной из трех величин нужно устанавливать из
связи
силу определяют через второй закон Ньютона, который, учитывая векторный характер силы и ускорения, записывают в виде:
Единицей силы в СИ является ньютон, который определяют как силу,
сообщающую телу единичной массы (1 кг) ускорение, равное единице
(1 м/с2). 1Н=1кг⋅1м/с2 = 1 кг⋅м/с2.
Если на тело одновременно действуют несколько сил, то в соответствии с принципом суперпозиции (3.1) ускорение, получаемое телом
равно
При независимом действии N сил тело получит N независимых
В СИ независимо определяют массу и ускорение, а
./ mFa
amF
=
. (3.3)
FFF
+++
r
a
=
...
21
n
.
ускорений
действии
вают еще принципом независимого действия сил.
Второй закон Ньютона при решении ряда задач удобнее представить в координатной форме, поскольку результирующую силу можно
разложить на составляющие. Например, в декартовой системе координат:
Проецируя векторное уравнение (3.3) на оси координат, получим
три скалярных уравнения:
При плоском движении тела по заданной траектории удобно
спроектировать (2.3) на касательную и нормаль к траектории:
Второй закон Ньютона называют основным уравнением динамики материальной точки, поскольку он позволяет определить ускоре-
36
=
,
mFa
=
+++= ...
21
a
F
a
=
τ
,…
mFa
. Поэтому принцип суперпозиции назы-
aaaa
n
++=
F
x
=
x
τ
a
,
=
kFjFiFF
.
zyx
,
a
=
y
F
n
=
n
, а при их совместном
mFa
nn
F
y
,
. (3.5)
F
a
x
=
z
, (3.4)
ние при заданной силе и массе. Если еще заданы и начальные условия
=
R
(
)
r
r
dt
r
m
(скорость и координата), то можно определить закон изменения скорости и кинематическое уравнение движения.
Пример 3.1. На шнуре длиной R = 2 м в горизонтальной плос-
кости описывает окружность (рис. 3.1) шарик массой 0,25 кг, де-
лая 1 оборот в секунду. Найти силу, действующую со стороны шнура на шарик.
Решение. Поскольку движение шарика яв-
ляется плоским, можно применить второй за-
R
r
υ
r
a
n
r
F
n
кон Ньютона в форме (3.5). Так как модуль
0
Рис. 3.1
равно
пользуя уравнение кинематики (2.23)
скорости шарика не изменяется, его тангенциальное ускорение равно нулю, а нормальное
, где Fn – сила со стороны шнура на шарик. Ис-
mFа
nn
2
υ
, где
υ
a
=
n
= 2πRn
, а n
– число оборотов в единицу времени, имеем:
.
H20H25,0240 =⋅⋅=nF
Запись второго закона Ньютона в форме (3.3) предполагает, что
масса материальной точки есть величина постоянная. Но в ряде случаев масса движущегося тела меняется (взлетающая ракета; поливочная
машина; микрочастица, разгоняющаяся до субсветовых скоростей). Для
этих случаев используют другую запись второго закона с использованием понятия импульса тела, как произведения массы тела на его
скорость:
υ
mP =
Тогда второй закон Ньютона можно записать в виде:
v
F
=
Первая производная от импульса тела по времени равна приложенной к нему силе (равнодействующей всех сил).
. (3.6)
Pd
. (3.7)
n
2
RmnF
2π=
37
,
При постоянной массе из (3.7) получаем обычную формулу:
dt
r
r
υ
r
r
r
(
)
rrr
()(
)
121
2
r
r
r
r
1
2
υ
υ
r
r
−
1
r
2
r
1
r
1
2
r
r
F
v
2
r
а б а
ϕ
ϕ
d
mF
Формулировка второго закона в виде (3.7) предполагает, что измене-
ние импульса происходит не только за счет изменения скорости, но и за
счет изменения массы.
Уравнение (3.7) можно переписать в виде:
=
r
am
==
.
dtFPd
, (3.8)
где произведение
Конечное изменение импульса тела можно найти путем интегрирования левой и правой частей этого выражения. При постоянной дей-
ствующей силе имеем:
Изменение импульса тела определяется произведением силы
на время ее действия (импульсом силы). В случае постоянной массы
выражение (3.9) принимает вид:
Пример 3.2. Шайба массой 0,2 кг, пущенная со скоростью
10 м/с, ударяется о бортик под углом ϕ = 45° к его нормали и от-
υ
υ
тика.
Решение. Импульс силы
dtF
Рис. 3.2
называют элементарным импульсом силы
ttFPP −=−
. (3.9)
1212
υυ
υυ
−
υ
υ
−
tF∆
находим из соотношения (3.10).
. (3.10)
ttFm −=−
скакивает под прямым
углом к первоначальному направлению (рис.
3.2а) с той же скоростью. Определить импульс силы, действующей
на шайбу со стороны бор-
Сила направлена так же, как и вектор разности
38
(рис. 3.2б).
Модуль этого вектора равен:
r
r
1
(
)
rrr
r
. Мо-
2cos2
υϕυυυ
==−
1112
дуль импульса силы:
ВОПРОСЫ
1. В чем заключается принцип независимого действия сил?
2. Если ускорение тела равно нулю, то значит ли это, что на него не
действует ни одна сила?
3. На тело действует одна единственная сила. Может ли ускорение
тела равняться нулю? Может ли тело иметь скорость, равную нулю?
4. Почему в начале движения нужно сильнее нажимать на педаль
велосипеда, чем при движении с постоянной скоростью?
5. Груз подвешен к потолку на тонкой нити так, что ее остаток свеши-
вается ниже груза. Если человек дернет за свешивающийся конец, то в
каком места порвется нить - ниже груза или выше его? Что произойдет,
если нить растягивать медленно?
ЗАДАНИЯ
1. Согласно упрощенной модели сердца при каждом сокращении около 20 г крови ускоряется от скорости 0,25 м/с до скорости 0,35 м/с за
время 0,1 с. Какова величина силы, развиваемой сердечной мышцей?
2. Человек прыгает с высоты 4,7 м. При ударе о землю он сгибает
колени, и его тело тормозится на пути примерно 0,7 м. Если масса туловища (без массы ног) равна 48 кг, то каковы:
а) скорость человека перед тем, как его ноги коснутся земли?
б) сила, с которой ноги человека действуют на туловище при торможении?
3. Импульс частицы дается выражением
зависит от времени сила, действующая на частицу?
mtF =∆
или
2
υ
∆
2
Нс
41.1102.0 ⋅⋅=tF
. Как
kjitP
9,36,24
−−=
3.4 Третий закон Ньютона
Как мы уже говорили, на опыте было установлено, что сила,
приложенная к любому телу, возникает в результате воздействия другого тела. Ньютоном было осознано, что ситуация не может быть односторонней, и сформулирован третий закон.
39
Всякий раз, когда одно тело действует с некоторой силой на
21
12
r
r
r
r
r
12
r
21
r
12
r
r
r
другое, со стороны второго тела на первое действует сила, равная
по модулю и противоположная по направлению:
FF
−=
(3.11)
F
F
Иногда этот закон сокращенно формулируют так: "Сила
действия равна по модулю и
противоположна по направлению силе противодействия" или
еще короче: "действие равно
противодействию". При исполь-
Рис. 3.3.
зовании таких формулировок
для избежания путаницы следу-
ет помнить, что силы "действия" и "противодействия" приложены к разным телам. Отметим, что эти силы имеют одну природу – либо обе упругие, либо обе гравитационные и т.п.
Третий закон Ньютона хорошо иллюстрируется многими примерами (приведенными, например, в [3]). Изображенные на рис. 3.3 фигуристы подтягиваются друг к другу с одинаковыми по модулю силами,
независимо от того, кто из них тянет к себе веревку.
При недопонимании смысла третьего закона возникает ряд кажущихся парадоксов, например: лошадь и телега действуют друг на
друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, следовательно, система не может тронуться с места, поскольку
силы компенсируют друг друга. Этот вывод неправилен, так как не рас-
смотрено взаимодействие лошади и земли. На рис. 3.4 изображен аналогичный
пример. Человек толкает тележку, оттал-
1
F
2
киваясь ногой от земли с силой
F
31
этом земля действует на него с силой
. При
F
13
.
F
13
F
31
3
Если эта сила больше силы
вующей на человека со стороны тележки,
Рис.3.4
40
F
12
, дейст-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]