Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
М. Г. Юмагулов
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ:
ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Допущено советом по прикладной математике и информатике УМО
по классическому университетскому образованию для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по специальности 010200 «Прикладная математика и информатика»
и направлению 510200 «Прикладная математика и информатика»
Москва Ижевск
20
УДК 517.9
ББК 22.161.6
Юмагулов М. Г.
Обыкновенные дифференциальные уравнения: теория и приложения. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2019. — 182 с.
Учебное пособие посвящено изложению теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В нем рассмотрены методы интегрирования часто
встречаемых в приложениях дифференциальных уравнений, приведены начальные сведения из качественной теории дифференциальных уравнений
и теории устойчивости, рассмотрены численные методы решения дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено роли дифференциальных
уравнений для математического моделирования различных процессов.
Пособие предназначено студентам, обучающимся по математическим и
техническим специальностям. Теория излагается достаточно подробно и доступно для студентов с различным уровнем математической подготовки. Изложение сопровождается поясняющими примерами, каждая глава снабжена
задачами и упражнениями.
ISBN 978-5-4344-0763-2 ББК 22.161.6
c
Юмагулов М. Г., 2019
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2019
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие ............................. 8
Некоторые используемые обозначения ............ 9
Гла в а 1 . Введение в теорию дифференциальных уравне-
ний ................................. 10
1.1. Модельныезадачи....................... 10
1.2. Основныепонятия....................... 14
1.2.1. Понятие дифференциального уравнения . . . . . . 15
1.2.2. Основные виды дифференциальных уравнений . . 16
1.2.3. Системыуравнений .................. 18
1.2.4. Решение дифференциального уравнения . . . . . . 20
1.3. Геометрическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Интегральные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Поле направлений и изоклины . . . . . . . . . . . . 23
Гла в а 2 . Задача Коши и теоремы существования .... 26
2.1. ПонятиезадачиКоши .................... 26
2.2. Теоремы существования и единственности . . . . . . . . . 27
2.2.1. ТеоремаПеано..................... 28
2.2.2. О единственности решения задачи Коши . . . . . . 29
2.3. Основныезамечания ..................... 32
2.3.1. Нарушение условия единственности решения . . . 32
2.3.2. Об особых случаях задачи Коши . . . . . . . . . . 33
2.3.3. О продолжимости решений задачи Коши . . . . . 34
2.4. Зависимость решений от параметров . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1. Постановкавопроса.................. 35
2.4.2. Теорема о зависимости решения от параметров . . 36
2.4.3. Теорема о зависимости решения от начальных дан-
ных ........................... 37
2.5. Общее решение и общий интеграл . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1. Общеерешение..................... 39
4 Оглавление
2.5.2. Частноерешение.................... 41
2.5.3. Общийинтеграл .................... 41
2.6. Особые решения и огибающие . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.1. Особыерешения .................... 42
2.6.2. Огибающая семейства решений . . . . . . . . . . . 43
2.7. ЗадачаКошидлясистем................... 43
2.7.1. Случай нормальных систем . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.2. Случай уравнения n-гопорядка........... 45
Гла в а 3 . Уравнения, интегрируемые в квадратурах ... 49
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . 50
3.2. Однородныеуравнения.................... 51
3.3. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . 53
3.4. Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1. Интегрирующий множитель вида μ = μ(t) ..... 56
3.4.2. Интегрирующий множитель вида μ = μ(x) .... 56
3.5. Линейные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . 57
3.5.1. Решение неоднородного уравнения . . . . . . . . . 58
3.6. Уравнения Бернулли и Риккати . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.1. УравнениеБернулли ................. 59
3.6.2. УравнениеРиккати .................. 61
3.7. Уравнения, допускающие понижение порядка . . . . . . . 62
3.7.1. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию 62
3.7.2. Уравнения, не содержащие явно независимую
переменную....................... 63
Гла в а 4 . Линейные уравнения ................. 65
4.1. Вспомогательныесведения.................. 66
4.1.1. Понятие линейной независимости функций . . . . 66
4.1.2. Определитель Вронского . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1. Общееичастноерешения .............. 68
4.2.2. Фундаментальная система решений . . . . . . . . . 68
4.3. Линейные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . 69
4.3.1. ЗадачаКоши...................... 69
4.3.2. Свойстварешений................... 70
4.3.3. Теоремы о структуре общих решений . . . . . . . . 72
4.3.4. Метод вариации произвольных постоянных . . . . 73
4.4. Уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . 76
Оглавление 5
4.4.1. Общее решение однородного уравнения . . . . . . 76
4.4.2. Общее решение неоднородного уравнения . . . . . 78
4.5. Пример: малые колебания маятника . . . . . . . . . . . . 78
4.5.1. Случай отсутствия силы трения . . . . . . . . . . . 79
4.5.2. Колебания при наличии силы трения . . . . . . . . 80
4.6. Линейные уравнения n-гопорядка ............. 81
4.6.1. Формула Остроградского–Лиувилля . . . . . . . . 81
4.6.2. Общее решение уравнения с постоянными коэффи-
циентами ........................ 82
Гла в а 5 . Линейные системы .................. 84
5.1. Вспомогательныесведения.................. 84
5.1.1. Собственные значения и собственные
векторыматриц .................... 85
5.1.2. Свойства собственных значений и векторов . . . . 86
5.1.3. Кратность и порядок собственных значений . . . . 86
5.1.4. Собственные значения и жордановы формы . . . . 87
5.2. Решение нормальной системы . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.1. Комплексные решения линейных систем . . . . . . 88
5.2.2. Фундаментальная система решений и общее реше-
ниесистемы ...................... 89
5.3. Матричная экспонента и формула Коши . . . . . . . . . . 92
5.3.1. Понятие матричной экспоненты . . . . . . . . . . . 93
5.3.2. ФормулаКоши..................... 95
5.4. Решение неоднородной системы . . . . . . . . . . . . . . . 95
Гла в а 6 . Автономные системы и их фазовые портреты .97
6.1. Основныепонятия....................... 97
6.1.1. Автономные уравнения и системы . . . . . . . . . 97
6.1.2. Инвариантность решений автономных систем . . . 98
6.2. Траектории и фазовые пространства . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1. Траектории автономных систем . . . . . . . . . . . 99
6.2.2. Фазовые портреты автономных систем . . . . . . . 101
6.3. Точки равновесия и циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4. Уравненияпервогопорядка ................. 103
6.4.1. Отсутствие периодических решений . . . . . . . . 103
6.4.2. Построение фазовых портретов . . . . . . . . . . . 104
6.4.3. Основные виды фазовых портретов . . . . . . . . . 106
6.5. Системы второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Оглавление
6.5.1. Линейные автономные системы второго порядка . 107
6.5.2. Точки равновесия систем второго порядка . . . . . 107
6.5.3. Замена переменных и фазовые портреты . . . . . . 108
6.5.4. Фазовые портреты канонических систем . . . . . . 109
6.5.5. Фазовые портреты произвольных линейных систем 113
6.6. Нелинейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Гла в а 7 . Элементы теории устойчивости .......... 119
7.1. Постановка вопроса об устойчивости . . . . . . . . . . . . 119
7.1.1. Устойчивость и непрерывная зависимость от на-
чальныхданных.................... 119
7.1.2. Пример неустойчивого решения . . . . . . . . . . . 120
7.1.3. Пример устойчивого решения . . . . . . . . . . . . 121
7.2. Основныепонятия....................... 122
7.2.1. Уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.2. Системы уравнений n-го порядка . . . . . . . . . . 124
7.3. Устойчивость линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3.1. Уравнение первого порядка . . . . . . . . . . . . . 127
7.3.2. Линейная автономная система . . . . . . . . . . . . 127
7.3.3. Уравнение второго порядка . . . . . . . . . . . . . 129
7.4. Устойчивость нелинейных систем . . . . . . . . . . . . . . 130
Гла в а 8 . Основы численных методов ............. 134
8.1. Вводныепонятия ....................... 134
8.1.1. Сеткиисеточныефункции.............. 134
8.1.2. Интерполирование функций . . . . . . . . . . . . . 135
8.2. ЧисленноерешениезадачиКоши.............. 137
8.2.1. Приближенное сеточное решение . . . . . . . . . . 137
8.2.2. Ошибкадискретизации................ 139
8.3. Одношаговыеметоды..................... 140
8.3.1. МетодЭйлера ..................... 140
8.3.2. МетодыРунге–Кутта ................. 143
8.4. Многошаговыеметоды .................... 144
8.4.1. Методы Адамса–Башфорта . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.2. Методы Адамса–Моултона . . . . . . . . . . . . . . 146
8.5. Численные методы для систем . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.6. Программы численных расчетов . . . . . . . . . . . . . . 147
8.6.1. Программы для метода Эйлера . . . . . . . . . . . 147
8.6.2. Программы для метода Рунге–Кутта . . . . . . . . 149
Оглавление 7
Гла в а 9 . Приложения: задача о предельных циклах . . . 153
9.1. Понятие о предельных циклах . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.2. Критерии существования цикла . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2.1. Теория Пуанкаре–Бендиксона . . . . . . . . . . . . 156
9.3. Циклы в электрических цепях . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3.1. Краткие сведения из теории электрических цепей 157
9.3.2. Уравнение колебательного контура . . . . . . . . . 159
9.3.3. Осциллятор Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . . 160
Глава 10. Дополнение ...................... 163
10.1.Вспомогательныепонятия .................. 163
10.1.1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . 163
10.1.2. Пространство непрерывных функций . . . . . . . . 165
10.1.3. Отображения в метрических пространствах . . . . 166
10.1.4. Неподвижные точки и операторы сжатия . . . . . 167
10.1.5. Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . 168
10.1.6. Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.2. Доказательство теоремы Пикара . . . . . . . . . . . . . . 170
10.2.1. Выбор подходящего метрического пространства . 171
10.2.2. Свойства интегрального оператора . . . . . . . . . 172
10.2.3. Завершение доказательства теоремы . . . . . . . . 173
10.3. Доказательство теоремы о продолжимости . . . . . . . . 174
Ответыкзадачам.......................... 175
Литература .............................. 178
Предметный указатель ...................... 179
Предисловие
Предлагаемое читателю учебное пособие посвящено изложению
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие предназначено студентам, обучающимся по математическим, физико-математическим и техническим специальностям.
Основная цель пособия — дать по возможности целостное представление о предмете и методах общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В нем рассмотрены методы интегрирования часто встречаемых в приложениях дифференциальных уравнений,
приведены начальные сведения из качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, рассмотрены численные методы решения дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено роли дифференциальных уравнений для математического моделирования различных процессов. При изложении материала сочетаются
фундаментальная и прикладная направленность.
Предполагается, что читатель знаком с начальными понятиями
математического анализа и линейной алгебры. Тем не менее ряд необходимых фактов для удобства формулируется и иллюстрируется непосредственно в тексте пособия. Изложение сопровождается поясняющими примерами и рекомендациями, каждая глава снабжена задачами
и упражнениями, самостоятельное решение которых будет способствовать усвоению и закреплению пройденного материала.
Надеюсь, что настоящее пособие будет полезным при изучении общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и ее приложений.
Я глубоко признателен М. Гарафутдинову за квалифицированное
редактирование и техническую помощь при подготовке пособия.
Некоторые используемые
обозначения
R — множество вещественных чисел.
C — множество комплексных чисел.
n
— n-мерное линейное вещественное пространство.
R
n
Z
— n-мерное линейное комплексное пространство.
|x| — длина вектора x =(x
,r) — шар радиуса r>0 с центром в точке x0∈ Rn.
T (x
0
C[a, b] — линейное пространство непрерывных на отрезке
a t b функций.
k
[a, b] — линейное пространство функций, имеющих в каждой
C
точке отрезка a t b все непрерывные производные до k-го порядка
включительно.
C(M) — линейное пространство непрерывных в каждой точке мно-
жества M ⊂ R
k
(M) — линейное пространство функций y = f(x1, ··· ,xn),име-
C
n
функций n переменных y = f(x1, ··· ,xn).
ющих в каждой точке множества M ⊂ R
производные до k-го порядка включительно.
, ··· ,xn) ∈ Rn.
1,x2
n
все непрерывные частные
Гла ва 1
Введение в теорию
дифференциальных уравнений
В этой вводной главе рассматриваются постановки некоторых задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, а также обсуждаются основные понятия теории обыкновенных дифференциальных
уравнений: вводятся понятия дифференциального уравнения и его решения, дается геометрическая интерпретация уравнений.
1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Одним из основных математических понятий является понятие
дифференциального уравнения, т. е. уравнения для отыскания функций, производные (или дифференциалы) которых удовлетворяют некоторым соотношениям. К дифференциальным уравнениям приводят не
только многие математические задачи, но и моделирование огромного многообразия реальных явлений и процессов. Укажем некоторые из
них.
Задача нахождения первообразной
К уравнениям относительно производной искомой функции приводит одна из основных задач математического анализа — задача нахождения первообразной функции: требуется найти функцию y = F(x),
производная F
словами, требуется решить дифференциальное уравнение
(x) которой равна заданной функции f (x).Другими
dy
= f(x); (1.1)
dx
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]