Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
6.2. Траектории и фазовые пространства 101
Тео рем а 6. 2. Пусть выполнено предположение П1. Тогда через каждую точку пространства R
n
проходит одна и только одна
траектория, которой отвечает бесчисленное множество решений автономной системы (6.1), отличающихся друг от друга «сдвигом» по
времени t.
Доказательство.
странства R
n
. В силу предположения П1 существует единственное решение x(t) задачи Коши x
рой окрестности значения t =0. Поэтому через точку x
Пусть x
= f (x), x(0) = x0, определенное в некото-
∈ Rn— произвольная точка про-
0
∈ Rnпроходит
0
по крайней мере одна траектория системы (6.1), отвечающая указанному решению.
Пусть x = ϕ(t) и x = ψ(t) — два различных решения автономной
системы (6.1). Если они в различные моменты времени t
через одну и ту же точку x
∈ Rn, то в силу следствия 6.1 этим реше-
0
ниям отвечает одна и та же траектория в пространстве R
стороны, если эти решения не имеют общих точек в пространстве R
то их траектории не пересекаются.
Неавтономные системы свойством, указанным в теореме 6.2, не
обладают. Рассмотрим, например, неавтономное уравнение x
и два его различных решения x =sint и x =1+sint. Их траектории
располагаются в пространстве R
1
, причем траекторией первого, оче-
и t2проходят
1
n
. С другой
=cost
n
видно, будет отрезок −1 x 1, а второго — отрезок 0 x 2.Хотя
эти траектории различны, они пересекаются.
6.2.2. Фазовые портреты автономных систем
,
Таким образом, пространство R
n
заполнено траекториями систе-
мы (6.1), причем эти траектории взаимно не пересекаются.
Определение 6.1. Пространство R
n
называют фазовым про-
странством автономной системы (6.1), а общую картину расположе-
ния траекторий — фазовым портретом системы. Фазовые портреты
автономных систем определяют так называемое качественное поведе-
ние решений системы.
Примеры фазовых портретов автономных систем будут приведены
в следующих пунктах.
Наряду с фазовым портретом автономной системы в простран-
n
стве R
можно изображать так называемое фазовое поле скоростей
системы. С этой целью заметим, что правая часть f(x) системы (6.1) —
102 Глав а 6
это вектор-функция со значениями в пространстве Rn. Поэтому в каждой точке x
этой точки. С другой стороны, вектор f(x
(t) решения x0(t), вычисленного в момент времени t = t0, такого,
сти x
0
что x
0(t0
∈ Rnможно построить вектор f(x0), выходящий из
0
) равен вектору скоро-
0
)=x0. Поэтому векторное поле f (x) естественно называть фа-
зовым полем скоростей системы (6.1).
Связь между приведенными геометрическими интерпретациями
системы (6.1) заключается в том, что скорость движения точки по траектории в фазовом пространстве в каждый момент времени совпадает
с фазовой скоростью, заданной в той точке пространства, где в этот
момент находится движущаяся точка.
6.3. Точки равновесия и циклы
Прежде чем переходить к изучению фазовых портретов некоторых
классических автономных систем, отметим следующее важное утверждение.
Тео рем а 6. 3. Решение x(t) автономной системы (6.1) может
быть только одного из следующих типов:
a) постоянное, для которого x(t) ≡ x
b) периодическое, для которого найдется число T>0(период)
такое, что x(t + T ) ≡ x(t) и x(t
) = x(t2) для 0 t1<t2<T;
1
c) непериодическое, при этом x(t
Доказательство.
Действительно, пусть решение x(t) систе-
мы (6.1) не является ни постоянным, ни периодическим. Тогда оно,
конечно, является непериодическим и остается лишь убедиться в том,
что x(t
бы такие t
выполнено тождество x(t) ≡ x(t − t
периодическим с периодом T = t
ложению.
) = x(t2) при t1= t2. В предположении противного нашлись
1
, t1<t2,чтоx(t1)=x(t2). Тогда в силу следствия 6.1
1,t2
2
− t1> 0, что противоречит предпо-
2
при некотором x0∈ Rn;
0
) = x(t2) для t1= t2.
1
+ t1), т. е. решение x(t) является
Определение 6.2. Траектории, соответствующие решениям указанных в теореме 6.3 типов, называются соответственно точкой рав-
новесия (неподвижной точкой), замкнутой траекторией (циклом)
и незамкнутой траекторией.
Среди всех траекторий особо важное значение имеют точки равновесия и циклы, которым обычно и отвечают установившиеся режимы
функционирования многих реальных систем.
6.4. Уравнения первого порядка 103
Отметим следующее утверждение, позволяющее выделять точки
равновесия автономной системы (6.1) без предварительного построения
его решений.
Лемма 6.1. Для того чтобы точка x
∈ Rnбыла точкой равно-
0
весия автономной системы (6.1), необходимо и достаточно выполнение равенства f(x
Доказательство.
новесия системы (6.1), т. е. постоянная вектор-функция x
)=0.
0
Необходимость. Пусть x
∈ Rn— точка рав-
0
(t) ≡ x0яв-
0
ляется решением этой системы. Тогда, с одной стороны, получим
(t) ≡ f[x0(t)] ≡ f (x0);
x
0
с другой стороны, x
(t) ≡ 0. Поэтому f (x0)=0. Необходимость дока-
0
зана.
Достаточность. Пусть f (x
Имеем
т. е. функция x
доказана.
(t) ≡ x0является решением системы (6.1). Лемма
0
x
(t) ≡ 0=f(x0) ≡ f [x0(t)],
0
)=0. Рассмотрим функцию x0(t) ≡ x0.
0
Из леммы 6.1 следует, что точки равновесия автономной системы (6.1) совпадают с решениями уравнения
n
f(x)=0, x ∈ R
не являющегося дифференциальным уравнением.
Например, дифференциальное уравнение x
ки равновесия x
уравнения x
≡ 1 и x2≡−1, получаемые как решения скалярного
1
2
−1=0, а уравнение x= x2+1 не имеет точек равновесия.
Автономная система (6.3) имеет единственную точку равновесия x
и x
≡ 0.
2
, (6.7)
= x2−1 имеет две точ-
≡ 0
1
6.4. Фазовые портреты уравнений
первого порядка
6.4.1. Отсутствие периодических решений
В этом пункте рассматриваются автономные уравнения вида
dx
= f(x),x∈ R
dt
т. е. скалярные дифференциальные уравнения. Справедлива
1
, (6.8)
104 Глав а 6
Тео рем а 6.4 . Решение x(t) автономного уравнения (6.8) может
быть только либо точкой равновесия, либо непериодическим.
Доказательство.
В силу теоремы 6.3 достаточно установить,
что непостоянное решение уравнения (6.8) не может быть периодическим. Действительно, пусть x(t) — какое-либо непостоянное решение
уравнения (6.8). Возможны два случая: либо решение x(t) определено
не при всех t, либо оно определено при всех t ∈ (−∞, ∞). В первом
случае оно не может быть периодическим.
Рассмотрим второй случай: пусть решение x(t) определено при
всех t ∈ (−∞, ∞).Тогдаf [x(t)] =0ни в какой точке t; в противном
случае в силу леммы 6.1 решение x(t) должно быть точкой равновесия,
что противоречит предположению о непостоянстве решения. Таким образом, f [x(t)] =0ни в какой точке t. В силу предположения П1 (см.
стр. 98) функция f [x(t)] непрерывна. Поэтому либо f [x(t)] > 0 при
всех t, либо f [x(t)] < 0 при всех t.Таккак
x(t) ≡ f [x(t)],товпервом
случае функция x(t) строго возрастает, во втором — убывает, т. е. не
является периодической.
Следствие 6.2. Если x(t) — непостоянное решение уравнения (6.8),
то оно при всех t является либо монотонно возрастающей функцией
(если при каком-то t
вающей функцией (если при каком-то t
выполнено f [x(t0)] > 0), либо монотонно убы-
0
выполнено f[x(t0)] < 0).
0
Справедливость этого следствия была установлена при доказательстве теоремы 6.4.
6.4.2. Построение фазовых портретов
Перейдем непосредственно к построению фазовых портретов автономного уравнения (6.8). Так как в нем переменная x принимает числовые значения, т. е. x ∈ R
1
, то фазовым пространством этого уравнения
является числовая ось. Правила изображения фазового портрета здесь
таковы:
1) на оси 0x изображаются все точки x
, в которых f (x0)=0;всо-
0
ответствии с леммой 6.1 они будут точками равновесия уравнения (6.8);
2) если f(x
∗
) =0для какого-то x∗∈ R1, то в силу следствия 6.2.
решение x(t) уравнения (6.8), проходящее в некоторый момент t
∗
6.4. Уравнения первого порядка 105
x
6
qq
0
tx
- -
-
0
ab
Рис. 6.2
через точку x
∗
ли f (x
∗
(x(t∗)=x∗), является монотонно возрастающей (ес-
) > 0) или монотонно убывающей (если f (x∗) < 0) функци-
ей. Поэтому на оси 0x в такой точке траекторию решения удобно
изображать в виде стрелки, направление которой совпадает с положительным (отрицательным) направлением оси 0x, если f(x
∗
) < 0).
(f(x
∗
) > 0
Пример 6.2. Изобразить интегральные кривые и фазовый порт-
рет уравнения
x
= x3. (6.9)
Уравнение (6.9) легко интегрируется. Его общим решением будут
функции
x(t)=
2(t + C)
− 1
,x(t)=−
2(t + C)
− 1
, (6.10)
определенные при t<−C; здесь C — произвольная постоянная. Кроме
того, уравнение (6.9) имеет нулевое решение x(t) ≡ 0. Поэтому интегральные кривые уравнения (6.9) имеют вид, приведенный на рис. 6.2 a.
Из формул (6.10), определяющих общее решение уравнения (6.9),
следует, что точка равновесия у этого уравнения одна: это x
=0(впро-
0
чем, последнее следует и из леммы 6.1 и того факта, что правая часть
уравнения (6.9) обращается в ноль только при x =0). Учитывая теперь,
что при x<0 правая часть уравнения (6.9) принимает отрицательные
значения, а при x>0 — положительные значения, получим, что фазовый портрет рассматриваемого уравнения имеет вид, приведенный на
рис. 6.2 b.
106 Глав а 6
ss
- -
−11
Рис. 6.3
xx
- --
ss
x
ab
0
- -
x
-
x
0
x
x
cd
0
-
Рис. 6.4
s
x
0
x
-
-s
Пример 6.3. Изобразить фазовый портрет уравнения
x
= x2− 1. (6.11)
Ясно, что числа x = ±1 — это точки равновесия уравнения (6.11) и других точек равновесия это уравнение не имеет. Разобьем ось 0x на три
составляющих интервала (−∞, −1), (−1, 1) и (1, ∞). На каждом из этих
интервалов функция f(x)=x
2
− 1 сохраняет знак. Поэтому фазовый
портрет уравнения (6.11) имеет вид, приведенный на рис. 6.3.
Из рис. 6.3 видно, что если x
ния (6.11), которое в какой-то момент времени находится в точке x
дет далее при возрастании времени стремиться к −1, если же −1<x
то решение x(t) будет также стремиться к −1, наконец, если x
< −1, то решение x(t) уравне-
0
> 1,то
0
,бу-
0
<1,
0
решение x(t) будет стремиться к +∞.
6.4.3. Основные виды фазовых портретов
В силу следствия 6.2. каждое непостоянное решение уравнения (6.8) является либо возрастающим при всех t, либо убывающим при
всех t. Пусть это уравнение имеет конечное число точек равновесия.
Тогда, очевидно, может существовать только конечное число различных фазовых портретов. Например, в случае одной точки равновесия
x
существует ровно четыре возможных варианта фазовых портретов
0
уравнения (6.8): эти варианты приведены на рис. 6.4 (a–d).
В случае a точку равновесия называют аттрактором,вслучаеd —
репеллером,вслучаяхb и c — шунтом.
6.5. Системы второго порядка 107
В частности, фазовый портрет уравнения (6.9) соответствует случаю рис. 6.4 d, а точка равновесия x
=0является репеллером.
0
Таким образом, качественное поведение любого автономного уравнения с фиксированным числом точек равновесия определяется конечным числом фазовых портретов.
Определение 6.3. Два дифференциальных уравнения вида (6.8)
с равным числом точек равновесия одинакового характера, расположенных в одинаковом порядке на фазовой прямой, называют каче-
ственно эквивалентными.
Например, уравнение (6.9) и уравнение x
= x − 1 качественно эквивалентны, так как каждое из этих уравнений имеет по одной точке
равновесия (точки x
=0и x0=1соответственно) одинакового харак-
0
тера (типа репеллер).
6.5. Фазовые портреты систем второго порядка
6.5.1. Линейные автономные системы второго порядка
Исследование фазовых портретов автономных систем второго порядка начнем с систем, описываемых линейными дифференциальными
уравнениями вида (см. также п. 5.2)
= a11x1+ a12x2,
x
1
= a21x1+ a22x2,
x
2
где a
— некоторые действительные постоянные.
ij
Систему (6.12) удобно представлять в векторной форме
(6.12)
где
A =
dx
= Ax, x ∈ R
dt
a
11a12
a21a
22
, x =
2
, (6.13)
x
1
. (6.14)
x
2
6.5.2. Точки равновесия систем второго порядка
Изучение системы (6.13) начнем с ее точек равновесия. Одна такая
точка очевидна — это нулевая точка
0
x =
. (6.15)
0
108 Глав а 6
Покажем, что справедлива
Лемма 6.2. Пусть
det A =0. (6.16)
Тогда нулевая точка (6.15) является единственной точкой равновесия
системы (6.13).
Доказательство.
мы (6.13) существовала ненулевая точка равновесия x =(x
Докажем от противного. Если бы у систе-
),то
10,x20
в силу леммы 6.1 получили бы, что система линейных уравнений
+ a12x2=0,
a
11x1
a
21x1
имела бы ненулевое решение x
+ a22x2=0
= x10и x2= x20. Из курса линей-
1
(6.17)
ной алгебры следует, что в таком случае определитель линейной системы (6.17) должен быть равен нулю, что противоречит условию (6.16).
Ниже условие (6.16) будет считаться выполненным и, следовательно, нулевая точка (6.15) является единственной точкой равновесия системы (6.13). Фазовые портреты автономной системы (6.13) будут изучаться в окрестности этой точки равновесия.
6.5.3. Замена переменных и фазовые портреты
В силу теоремы 6.3 отличные от точки равновесия (6.15) решения
системы (6.13) будут непостоянными: либо периодическими, либо непериодическими. Допустим, что фазовый портрет системы (6.13) нами
уже построен. Пусть, далее, имеется другая автономная система
dx
= Bx, x ∈ R
dt
где B — некоторая квадратная матрица порядка 2, причем det B =0
и у систем (6.13) и (6.18) «схожее» расположение на фазовой плоскости периодических и непериодических траекторий (более точно свойство «схожести» будет описано ниже). Тогда естественно, так же как
и в п. 6.4 (см. определение 6.3), говорить, что такие системы качествен-
но эквивалентны.
Пусть Q — квадратная матрица второго порядка, причем Q невы-
рожденна, т.е. det Q =0. Тогда матрица Q обратима, т. е. существует
2
, (6.18)
6.5. Системы второго порядка 109
обратная матрица Q−1. Перейдем в (6.13) от переменной x к переменной y посредством равенства
2
. (6.19)
Тогда x = Q
y = Qx, x, y ∈ R
−1
y.Пустьx = x(t) — некоторое решение системы (6.13);
тогда, дифференцируя равенство y(t)=Qx(t), получим
y
= Qx= QAx = QAQ−1y.
Другими словами, замена (6.19) переводит систему (6.13) к виду
где B = QAQ
−1
dy
= By, y ∈ R
dt
.
2
, (6.20)
Ясно, что при замене (6.19) нулевая точка равновесия (6.15) системы (6.13) перейдет в нулевую точку равновесия y =0системы (6.20),
при этом других точек равновесия у системы (6.20) не появится. Далее,
периодические решения x(t) (если они имеются) системы (6.13) перейдут в периодические решения y(t)=Qx(t) системы (6.20), а непериодические решения системы (6.13) перейдут в соответствующие непериодические решения системы (6.20). Поэтому фазовые портреты автономных систем (6.13) и (6.20) должны быть схожими: один получается
из другого некоторой невырожденной деформацией.
В качественной теории дифференциальных уравнений указанный
факт строго доказывается: автономные системы (6.13) и (6.20) качественно эквивалентны. Это утверждение позволяет переходить от задачи изучения фазовых портретов произвольных автономных систем
вида (6.13) к задаче изучения фазовых портретов некоторых простейших автономных систем, называемых каноническими. Ниже приводятся фазовые портреты основных канонических систем.
6.5.4. Фазовые портреты канонических систем
Общее решение системы (6.13) было изучено в главе 5. При этом
были получены формулы (5.18)–(5.23), описывающие общее решение
в зависимости от свойств собственных значений λ
В силу условия (6.16) ни одно из собственных значений λ
и λ2матрицы (6.14).
1
1
и λ
матрицы (6.14) не может быть нулевым. Действительно, если бы, например, λ
=0, то уравнение (5.11) имело бы решение λ =0,т.е.вы-
1
полнялось бы равенство det A =0, что противоречит условию (6.16).
2
110 Глав а 6
Так же, как и в главе 5, замечаем, что возможен только один из
случаев:
S1. λ
S2. λ
S3. λ
и λ2действительные и различные: λ1= λ2;
1
и λ2комплексные;
1
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ, причем собственное
1
значение λ является полупростым;
S4. λ
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ, причем собственное
1
значение λ не является полупростым.
Рассмотрим последовательно все эти случаи.
Cлучай действительных и различных
собственных значений
В п. 5.1 (см. формулу (5.13) на стр. 88) отмечалось, что в этом
случае существует невырожденная матрица Q, для которой
def
B
= QAQ−1=
λ
1
0 λ
0
. (6.21)
2
Произведя в (6.13) замену (6.19), перейдем к системе (6.20), в которой B — матрица (6.21). Несложно видеть, что тогда общее решение
(5.18) системы (6.13) перейдет в общее решение системы (6.20) вида
λ1t
e
1
, (6.22)
λ2t
где C
C
y =
C2e
и C2— произвольные постоянные. Фазовый портрет систе-
1
мы (6.20) определяется общим решением (6.22). Здесь возможны следующие случаи, связанные со знаками чисел λ
A1) λ
< 0 и λ2< 0. В этом случае e
1
λ1t
→ 0 и e
и λ2:
1
λ2t
→ 0 при t → +∞
и фазовый портрет системы (6.20) имеет вид, изображенный на
рис. 6.5 A1. Такой фазовый портрет называется устойчивым уз-
лом.
A2) λ
> 0 и λ2> 0. В этом случае e
1
λ1t
→ +∞ и e
λ2t
→ +∞
при t →+∞ и фазовый портрет системы (6.20) имеет вид, изображенный на рис. 6.5 A2. Такой фазовый портрет называется
неустойчивым узлом.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]