Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
4.3. Линейные уравнения второго порядка 71
Доказательство. Ограничимся доказательством первого из равенств (4.16); второе доказывается аналогично. Из (4.13) получим
L[kx(t)] = [kx(t)]
(t)+kp(t)x(t)+kq(t)x(t)=kLx(t),
= kx
что и требовалось доказать.
+ p(t)[kx(t)]+ q(t)kx(t)=
Из леммы 4.2 вытекает следующая
Тео рем а 4 .3 . Если функции x(t),x
(t),x2(t) ∈ C2[a, b] являются
1
решениями однородного уравнения (4.9) и k — постоянная, то функции x
(t)+x2(t) и kx(t) также будут решениями указанного уравне-
1
ния.
Фундаментальная система решений
Вернемся к рассмотрению однородного уравнения (4.9) (или (4.11)).
Определение 4.4 для этого уравнения формулируется в виде:
фундаментальной системой решений уравнения (4.9) на отрезке [a, b] называют любые два его определенных на отрезке [a, b] линейно
независимых решения ϕ
(t) и ϕ2(t).
1
Пример 4.4. Дифференциальное уравнение
2
d
x
+ x =0 (4.17)
2
dt
имеет фундаментальную систему решений x =sint и x =cost.Дей-
ствительно, во-первых, каждая из этих функций является решением
уравнения (4.17) и, во-вторых, указанные функции линейно независимы.
Важную роль играет следующая
Лемма 4.3. Если функции ϕ
(t) и ϕ2(t) на отрезке [a, b] образу-
1
ют фундаментальную систему решений однородного уравнения (4.9),
то определенный равенством (4.7) их вронскиан W (t) является ненулевым: W (t) =0 для любого t ∈ [a, b].
Доказательство.
такое, что W (t
)=0. Рассмотрим систему уравнений
0
В предположении противного найдется t
∈[a, b]
0
C
C
)+C2ϕ2(t0)=0,
1ϕ1(t0
ϕ
(t0)+C2ϕ
1
1
(t0)= 0
2
(4.18)
72 Глав а 4
относительно неизвестных C1и C2.ТаккакW (t0)=0, то определитель системы (4.18) равен нулю. Из курса линейной алгебры известно, что тогда эта система имеет ненулевое решение C
∗
. Функция x(t)=C
= C
2
∗
ϕ1(t)+C
1
∗
ϕ2(t) по построению является ре-
2
1
= C
∗
и C2=
1
шением однородного уравнения (4.9); так как при этом выполнены равенства x(t
)=0и x(t0)=0, то в силу теоремы 2.1 существования
0
и единственности решения задачи Коши должно быть выполнено тождество x(t) ≡ 0.Ноx(t) не является нулевой функцией по построению.
Полученное противоречие доказывает лемму.
4.3.3. Теоремы о структуре общих решений
Структура решений однородного уравнения
Следующее утверждение описывает структуру общего решения однородного уравнения (4.9).
Тео рем а 4. 4. Пусть функции ϕ
(t) и ϕ2(t) образуют фундамен-
1
тальную систему решений однородного уравнения (4.9). Тогда функция
(t)+C2ϕ2(t), (4.19)
1ϕ1
где C
x(t)=C
и C2— произвольные постоянные, является общим решением
1
уравнения (4.9).
Доказательство.
Тот факт, что функция (4.8) при любых C
и C2является решением уравнения (4.9), следует из леммы 4.2. Остается показать, что любое решение x(t) уравнения (4.9) представимо в виде (4.8) при некоторых C
уравнения (4.9). Определим числа x
и C2.Пустьx(t) — какое-нибудь решение
1
= x(t0) и x1= x(t0). Рассмотрим
0
систему уравнений
C
C
относительно неизвестных C
тель W (t
следует, что тогда система (4.20) имеет единственное решение C
и C2= C
) этой системы отличен от нуля. Из курса линейной алгебры
0
∗
.Положимy(t)=C
2
)+C2ϕ2(t0)=x0,
1ϕ1(t0
ϕ
(t0)+C2ϕ
1
1
и C2. В силу леммы 4.3 определи-
1
∗
ϕ1(t)+C
1
(t0)= x
2
∗
ϕ2(t). Функция y(t) по постро-
2
1
1
(4.20)
= C
ению является решением уравнения (4.9) и, кроме того, выполнены
равенства y(t
)=x0и y(t0)=x1. Тогда в силу теоремы 2.1 существо-
0
вания и единственности решения задачи Коши должно быть выполнено
тождество y(t) ≡ x(t), что и требовалось доказать.
1
∗
1
4.3. Линейные уравнения второго порядка 73
Структура решений неоднородного уравнения
Сформулируем теперь утверждение, описывающее структуру общего решения неоднородного уравнения (4.10).
Тео рем а 4. 5. Общее решение неоднородного уравнения (4.10) за-
писывается в виде
x(t)=x
(t) — общее решение однородного уравнения (4.9) и x1(t) —част-
где x
0
(t)+x1(t), (4.21)
0
ное решение неоднородного уравнения (4.10).
Справедливость теоремы 4.5 непосредственно следует из теоремы 4.4 и приведенного на с. 68 определения 4.3 общего решения уравнения (4.10).
Пример 4.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
x
d
+ x = t. (4.22)
2
dt
В рассмотренном на с. 71 примере 4.4 отмечалось, что соответствующее
однородное уравнение (4.17) имеет фундаментальную систему решений
в виде x =sint и x =cost. Поэтому в силу теоремы 4.4 общим решени-
ем однородного уравнения (4.17) будет функция x = C
где C
и C2— произвольные постоянные. Далее, нетрудно заметить,
1
sin t + C2cos t,
1
что частным решением неоднородного уравнения (4.22) будет, например, функция x = t. Тогда в силу теоремы 4.5 общим решением неоднородного уравнения (4.22) будет функция x = C
sin t + C2cos t + t.
1
4.3.4. Метод вариации произвольных постоянных
В приложениях теоремы 4.5 важно уметь находить частные решения неоднородного уравнения (4.10). В этом пункте описывается общая
схема построения таких решений, называемая методом вариации про-
извольных постоянных.
Пусть функции x = ϕ
(t) и x = ϕ2(t) на интервале a t b обра-
1
зуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (4.9).
Тогда в силу теоремы 4.4 общим решением этого уравнения будет функция x = C
(t)+C2ϕ2(t).
1ϕ1
Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4.10)
в виде
x(t)=α
(t)ϕ1(t)+α2(t)ϕ2(t), (4.23)
1
74 Глав а 4
где α1(t) и α2(t) — некоторые неизвестные функции переменного t.Дру-
гими словами, частное решение неоднородного уравнения (4.10) ищется в том же виде, что и общее решение однородного уравнения (4.9),
однако при этом вместо постоянных C
ции α
(t) и α2(t).
1
Для нахождения неизвестных функций α
и C2рассматриваются функ-
1
(t) и α2(t) необходимы
1
какие-либо соотношения. Первым таким соотношением будем считать
условие
(t)ϕ1(t)+α
α
1
(t)ϕ2(t)=0; (4.24)
2
целесообразность этого условия будет видна из дальнейшего.
Второе соотношение получим из естественного требования, чтобы
функция (4.23) была решением уравнения (4.10). Продифференцировав дважды функцию (4.23) (используя при этом условие (4.24)), получим
x
(t)=α1(t)ϕ
(t)=α1(t)ϕ
x
(t)+α2(t)ϕ
1
Подставляя значения x(t),x
(t)+α2(t)ϕ
1
(t)+α
2
(t),x(t) в уравнение (4.10), получим по-
(t)ϕ
1
(t),
2
(t)+α
1
(t)ϕ
2
2
(t).
сле группировки
α
(t)Lϕ1(t)+α2(t)Lϕ2(t)+α
1
1
(t)ϕ
(t)+α
1
(t)ϕ
(t)=f(t), (4.25)
2
2
где L — оператор (4.13). Но функции x = ϕ
(t) и x = ϕ2(t) являются
1
решениями однородного уравнения (4.11). Поэтому первые два слагаемых в (4.25) тождественно равны нулю. Следовательно,
α
(t)ϕ
(t)+α
1
1
(t)ϕ
(t)=f(t). (4.26)
2
2
Таким образом, функция (4.23) будет решением уравнения (4.10), если
функции α
т. е. системе
(t) и α2(t) удовлетворяют системе уравнений (4.24) и (4.26),
1
α
(t)ϕ1(t)+α
1
(t)ϕ
α
1
1
(t)+α
(t)ϕ2(t)= 0,
2
(t)ϕ
(t)=f(t),
2
2
(4.27)
определитель которой есть определитель Вронского линейно независимых решений x = ϕ
отличен от нуля всюду на интервале a t b. Решая эту систему
как линейную алгебраическую систему относительно неизвестных α
(t), находим единственным образом α
и α
2
(t) и x = ϕ2(t) уравнения (4.9) и, следовательно,
1
(t)=ψ1(t) и α
1
(t)=ψ2(t),
2
(t)
1
4.3. Линейные уравнения второго порядка 75
где ψ1(t),ψ2(t) — известные функции. Отсюда, интегрируя, найдем
(t) и α2(t):
α
1
(t)=ψ1(t)dt, α2(t)=ψ2(t)dt.
α
1
Подставляя эти выражения в (4.23), получим частное решение уравнения (4.10).
Пример 4.6. Найти общее решение дифференциального уравнения
2
d
x
+ x =
2
dt
1
. (4.28)
sin t
В примере 4.4 было отмечено, что общим решением соответствующего
однородного уравнения (4.17) будет функция x = C
где C
и C2— произвольные постоянные. В соответствии с методом
1
sin t + C2cos t,
1
вариации произвольных постоянных частное решение уравнения (4.28)
будем искать в виде x(t)=α
(t)sint+α2(t)cost. Система (4.27) в нашем
1
примере имеет вид
(t)sint + α
α
1
α
(t)cost − α
1
(t)cost =0,
2
(t)sint =1/ sin t.
2
Отсюда получим
(t)=
cos t
sin t
,α
2
(t)=−1,
α
1
или, интегрируя:
(t)=ln|sin t|,α2(t)=−t.
α
1
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения (4.28) будет, например, функция
x(t)=ln|sin t|sin t − t cos t.
Общим же решением уравнения (4.28) в соответствии с теоремой 4.5
будет функция
sin t + C2cos t +ln|sin t| sin t −t cos t,
1
где C
x(t)=C
и C2— произвольные постоянные.
1
76 Глав а 4
4.4. Уравнения с постоянными коэффициентами
Особый интерес в приложениях вызывает частный случай линейных уравнений второго порядка (4.9) и (4.10), когда коэффициенты p(t)
и q(t) не зависят от переменной t, являясь константами, т. е. когда указанные уравнения имеют вид
x
+ px+ qx =0, (4.29)
+ px+ qx = f(t), (4.30)
x
где p и q — некоторые числа, а f(t) — непрерывная функция.
В отличие от уравнений (4.9) и (4.10), уравнения (4.29) и (4.30)
всегда интегрируемы в квадратурах.
4.4.1. Общее решение однородного уравнения
Будем искать решения однородного уравнения (4.29) в виде x = e
где λ — постоянная. Подставляя эту функцию в (4.29), полу-
λt(λ2
чим e
поэтому функция x = e
+ pλ + q)=0. Но функция eλtнигде не обращается в нуль;
λt
будет решением уравнения (4.29), если чис-
ло λ будет удовлетворять алгебраическому уравнению
2
+ pλ + q =0. (4.31)
λ
Уравнение (4.31) называют характеристическим уравнением для урав-
нения (4.29).
Квадратное уравнение (4.31) имеет два корня λ
и λ2.Возможны
1
следующие случаи:
S1. λ
S2. λ
S3. λ
и λ2действительные и различные: λ1= λ2;
1
и λ2комплексные;
1
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ.
1
λt
,
Рассмотрим каждый из возможных случаев отдельно.
Случай действительных и различных корней
Пусть сначала корни λ
являются действительными и различными: λ
В этом случае легко видеть, что частными решениями уравнения (4.29) будут, например, функции x = e
и λ2характеристического уравнения (4.31)
1
1
λ1t
= λ2.
и x = e
λ2t
. Эти функ-
ции линейно независимы (см. приведенный на с. 66 пример 4.3) и,
4.4. Уравнения с постоянными коэффициентами 77
следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения (4.29). Тогда в силу теоремы 4.4 общее решение уравнения (4.29)
записывается в виде
x(t)=C
λ1t
e
1
+ C2e
λ2t
, (4.32)
где C
и C2— произвольные постоянные.
1
Случай комплексных корней
Пусть теперь корни λ
и λ2характеристического уравнения (4.31)
1
являются комплексными с ненулевыми мнимыми частями.
Из формул для корней квадратных уравнений с действительными
коэффициентами легко видеть, что если эти корни являются комплексными, то они попарно сопряжены
1
,т.е.λ1= λ2. Поэтому корни λ
и λ2имеют вид λ1= α + iβ и λ2= α − iβ,гдеα и β — некоторые
действительные числа. Непосредственным подсчетом можно убедиться в том, что частными решениями уравнения (4.29) будут, например,
функции x = e
αt
cos βt и x = eαtsin βt. Так же как и в рассмотренных
на с. 66 примерах 4.2 и 4.3, можно показать, что эти функции линейно
независимы. Следовательно, в силу теоремы 4.4 общее решение уравнения (4.29) записывается в виде
αt
x(t)=e
где C
и C2— произвольные постоянные.
1
В частности, если корни λ
ния (4.31) являются чисто мнимыми, т. е. λ
уравнения (4.29) являются периодическими с периодом T =
x(t)=C
(C1cos βt + C2sin βt), (4.33)
и λ2характеристического уравне-
1
cos βt + C2sin βt.
1
= ±iβ, то все решения
1,2
2π
β
:
1
Случай действительных и равных корней
Пусть, наконец, корни λ
ния (4.31) являются действительными и равными: λ
1
В курсе высшей алгебры доказывается более общее утверждение. Комплексные
корни многочленов P(z)=a
ентами «живут» парами: если многочлен P (z) имеет комплексный корень z = α+iβ,
то он имеет и комплексно-сопряженный корень
0+a1
и λ2характеристического уравне-
1
z + a2z2+...+anznс действительными коэффици-
z = α − iβ.
1
= λ2.
78 Глав а 4
В этом случае одно частное решение уравнения (4.29) очевидно:
это функция x = e
в том, что в качестве второго частного решения можно взять функцию x = te
λ1t
λ1t
. Непосредственным подсчетом можно убедиться
. Несложно видеть, что выбранные частные решения являются линейно независимыми и, следовательно, в силу теоремы 4.4
общее решение уравнения (4.29) записывается в виде
где C
x(t)=C
и C2— произвольные постоянные.
1
λ1t
e
1
+ C2te
λ1t
λ1t
= e
(C1+ C2t), (4.34)
4.4.2. Общее решение неоднородного уравнения
Неоднородное уравнение (4.30) можно интегрировать методом вариации произвольных постоянных, используя при этом общее решение
однородного уравнения (4.29), схема построения которого приведена
выше. Ограничимся приведением примера.
Пример 4.7. Найти общее решение дифференциального уравнения
Характеристическое уравнение для (4.35) имеет вид λ
корнями которого служат комплексно-сопряженные числа λ
и λ
= −2 − i. Отсюда и из формулы (4.33) получим общее решение
2
x
+4x+5x =5t2+8t +2. (4.35)
2
+4λ +5= 0,
= −2+i
1
для однородного уравнения в виде
x(t)=e
−2t
(C1cos t + C2sin t) ,
где C
неоднородного уравнения (4.35) является функция x = t
и C2— произвольные постоянные. Одним из частных решений
1
2
(это проверяется простой подстановкой). Поэтому в соответствии с теоремой 4.5
общим решением уравнения (4.35) будет функция
x(t)=e
−2t
(C1cos t + C2sin t)+t2.
4.5. Пример: уравнение малых колебаний маятника
Выше в п. 1.1 (см. стр. 11) было рассмотрено уравнение малых
колебаний маятника (1.7):
2
g
d
x
+
2
dt
l
x −
1
F
=0, (4.36)
c
m
4.5. Пример: малые колебания маятника 79
которое в случае малой силы трения Fcприводит к уравнению гармонических колебаний (1.8):
2
x
d
+ ω2x =0, (4.37)
2
dt
где положительная постоянная ω определяется равенством
g
ω =
. (4.38)
l
Уравнения (4.36) и (4.37) являются классическими примерами
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Изучим
их общие решения.
4.5.1. Случай отсутствия силы трения
Рассмотрим сначала уравнение гармонических колебаний (4.37).
Для определения его общего решения составим характеристическое
уравнение λ
2
+ ω2=0, корнями которого является пара чисто мнимых
чисел λ = ±ωi. Поэтому общее решение уравнения (4.37) определяется
равенством (4.33), которое в рассматриваемом случае имеет вид
где C
x(t)=C
и C2— произвольные постоянные.
1
cos ωt + C2sin ωt, (4.39)
1
Таким образом, при отсутствии силы трения малые колебания маятника m описываются уравнением (4.37), в котором ω — число (4.38),
а сами колебания — это периодические движения, определяемые функцией (4.39). При этом число (4.38) определяет частоту колебаний и их
период, равный
2π
Постоянные C
и C2в решении (4.39) могут быть определены, если
1
заданы начальные условия x(t
T =
)=x0и x(t0)=x
0
. (4.40)
ω
, т.е. если известны
0
начальное положение и начальная скорость маятника.
Пример 4.8. Определить период и частоту малых колебаний маятника при отсутствии силы трения (см. рис. 1.1a), если длина стержня l =1м. Подставляя значения l =1миg =9, 81m/c
лу (4.38), получим значение частоты малых колебаний ω =
=3, 1321c
−1
. Затем из формулы (4.40) получим значение периода ко-
2
вформу-
√
9, 81c−1=
лебаний T =2, 0061c.
80 Глав а 4
4.5.2. Колебания при наличии силы трения
Рассмотрим теперь уравнение (4.36) с учетом силы трения F
c
(см.
рис. 1.1b). Из физических соображений ясно, что эта сила пропорциональна скорости движения маятника: чем больше скорость, тем больше сила трения. Так как скорость движения маятника m определяется
производной x
, то естественно считать, что Fc= −kx,гдеk — положительный коэффициент пропорциональности. Тогда уравнение (4.36)
примет вид
k
x
x
+
+ ω2x =0, (4.41)
m
где ω — число (4.38). Характеристическое уравнение для (4.41) имеет
вид
k
2
λ
+
m
λ + ω
2
=0, (4.42)
корни которого — это числа
= −
k
2m
±
λ
1,2
2
k
− ω2. (4.43)
2
4m
Возможны две ситуации:
1) k<2mω;2)k 2mω.
Случай 1) соответствует ситуации, когда сила трения не очень велика. В этом случае корни (4.43) характеристического уравнения (4.42)
являются комплексно-сопряженными и равны λ
α = −
k
2m
и β =
ω2−
2
k
. Поэтому движения маятника в рассмат-
2
4m
= α ± βi,где
1,2
риваемом случае описываются функцией (4.33), и так как α<0,то
они являются затухающими колебаниями, стремясь к положению равновесия x =0.
Случай 2) соответствует ситуации, когда сила трения значительна.
В этом случае корни (4.43) характеристического уравнения (4.42) явля-
ются действительными: λ
= α ± β,гдеα = −
1,2
k
2m
и β =
k
4m
2
2
− ω2.
Поэтому движения маятника в рассматриваемом случае описываются
функцией (4.32), и так как λ
< 0, то маятник не совершает никаких
1,2
колебаний, а сразу же переходит в равновесное состояние x =0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]