Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
Readln;
End.
8.6. Программы численных расчетов 151
Begin
Writ e ln (XX[I]:15:6);
End;
Полученные с помощью приведенной программы значения x
pr
приближенного решения задачи Коши (8.27) с точностью до пяти знаков
после запятой совпадают с соответствующими значениями x
точного
т
решения. Сравнение полученных результатов с таблицей 8.1 подтверждает тот факт, что метод Рунге–Кутта (8.17) существенно точнее, чем
метод Эйлера (8.12).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Постройте интерполяционный многочлен Лагранжа p(t)
второй степени, удовлетворяющий соотношениям: p(0) = 0, p(1) = 1,
p(2) = −2.
8.2. Выпишите функцию ϕ(t,x) из (8.19) для метода Рунге–
Кутта (8.17).
8.3. Запишите метод Рунге–Кутта (8.17) для нормальных си-
стем вида (8.26).
8.4. Примените программу EILER к задаче x
x(0) = 1 сшагомh =0, 1 и сравните с точным решением x = e
= −x, 0 t 1,
−t
.
8.5. Проверьте результаты расчетов, приведенных в табли-
цах 8.1 и 8.2.
8.6. Составьте программу для метода Хьюна (8.15) и примените
ее к задаче (8.27). Сравните результаты.
8.7. Составьте программу для метода Адамса–Башфорта второго порядка (8.22). Для вычисления недостающего стартового значения x
воспользуйтесь методом Хьюна (8.15). Решите по вашей
1
программе задачу (8.27). Сравните полученные результаты с результатами, приведенными в таблице 8.2.
8.8. На основе программы RUNGE составьте программу для метода Рунге–Кутта (8.17). Примените эту программу для решения
нелинейной системы
x
=0.25x − 0.01xy,
= −y +0.01xy,
y
(8.28)
152 Глав а 8
удовлетворяющей начальному условию x(0) = 80 и y(0) = 30 на интервале [0, 15] с числом отрезков разбиения N =50.
Система (8.28) описывает динамику популяции двух видов, взаимодействующих по типу «хищник–жертва» (см. п. 1.1 на с. 14).Эта
система имеет точку равновесия x
= 100 и y0=25типа «центр»
0
(см. приведенный на стр. 112 рис. 6.6).
Гла ва 9
Приложения: задача о предельных
циклах
Важнейшую роль как в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, так и в ее многочисленных приложениях играет понятие
предельного цикла автономных систем, т. е. изолированных периодических решений, отличных от состояний равновесия. Такими решениями
обычно описываются незатухающие периодические процессы в различных физических, механических, биологических и др. системах. Указанное понятие характерно только для нелинейных систем. В настоящей главе рассматривается задача о предельных циклах для нелинейных автономных систем второго порядка. Приводятся иллюстративные
примеры из теории электрических цепей.
9.1. Понятие о предельных циклах
Рассмотрим автономную систему второго порядка
dx
= f(x), x ∈ R
dt
где правая часть f(x) для простоты будет считаться ограниченной
и непрерывно дифференцируемой во всей плоскости R
В теореме 6.3 (см. стр. 102) отмечалось, что траектории системы (9.1) могут быть трех типов: точки равновесия, периодические решения (циклы) и непериодические решения. Основной практический
интерес представляют точки равновесия и циклы, так как именно им
обычно и отвечают фактические режимы функционирования реальных систем. Точки равновесия автономных систем рассматривались
в пп. 6.4–6.6. Здесь нас будут интересовать периодические решения.
2
, (9.1)
2
.
154 Глав а 9
В п. 6.5 приводилась ситуация, когда у автономной системы вида (9.1) возникают циклы: если эта система линейна, т. е. имеет вид
x
= Ax, то у нее при условии, что det A =0и x = 0 является точкой
равновесия типа «центр», вся фазовая плоскость R
2
целиком заполнена
циклами (см. изображенный на с. 112 рис. 6.6 — случай a =0).
Естественен вопрос о возможности ситуации, когда система (9.1)
в некоторой области имеет только один цикл. Оказывается, такая ситуация возможна, причем только для нелинейных систем.
Пример 9.1. Рассмотрим нелинейную автономную систему
⎧
⎨
x
= −x2+ x
1
⎩
x
= x1+ x
2
Покажем, что эта система имеет в точности один цикл x
1 −
x
2
x
1
1
1 −
2
2
1
+ x
+ x
2
2
2
,
2
2
+ x
1
2
2
(9.2)
=1.
Сначала отметим, что эта система имеет единственную точку равновесия x
= x2=0. Действительно, в силу леммы 6.1 точки равно-
1
весия — это корни системы уравнений, получаемых приравниванием
правой части системы (9.2) к нулю. Получаемая же система уравнений
имеет только один корень x
= x2=0.
1
Заметим далее, что система (9.2) имеет периодическое решение
x
=cost, x2=sint, которому на фазовой плоскости R2отвечает цикл
1
2
2
+ x
x
1
=1. Поэтому остается показать, что система (9.2) не имеет
2
других периодических решений (естественно, отличных от точки равновесия x
Перейдем от x
венств x
= x2=0).
1
= r cos ϕ и x2= r sin ϕ.Тогдаr =x
1
и x2к полярным координатам посредством ра-
1
2
1
2
+ x
и ϕ =arctg(x2/x1).
2
Дифференцируя последние равенства по t, получим, что система (9.2)
в полярных координатах записывается в виде
r
= r(1 − r),ϕ=1, (9.3)
2
при этом циклу x
1
2
+ x
=1системы (9.2) отвечает решение r ≡ 1,
2
ϕ = t системы (9.3). Пусть r = r(t) и ϕ = ϕ(t) — произвольное решение
системы (9.3) такое, что r(0) =1и r(0) =0. Тогда, если 0 <r(0) < 1,
то величина r
но, функция r(t) будет монотонно возрастающей, т. е. соответствующие
траектории — это раскручивающиеся спирали (вспомним, что ϕ
(t) при всех t 0 будет положительной и, следователь-
=1),
приближающиеся к окружности r =1. Аналогично, если r(0) > 1,то
соответствующие траектории — это скручивающиеся спирали, приближающиеся к окружности r =1. Соответствующий фазовый портрет
изображен на рис. 9.1 a.
9.2. Критерии существования цикла 155
x
2
6
x
1
-
3
3
3
a
b
x
2
6
x
1
-
Рис. 9.1
Пусть x = ϕ(t) — периодическое решение системы (9.1) и K —со-
ответствующий цикл на фазовой плоскости R
Определение 9.1. Множество K
ε-трубкой цикла K; здесь ρ(x, K)=min
ε
y∈K
2
. Пусть дано число ε>0.
= {x : ρ(x, K) <ε} называют
|x −y|,т.е.ρ(x, K ) — расстоя-
ние от точки x до ближайшей точки цикла K.
Пример ε-трубки цикла изображен на рис. 9.1 b.
Определение 9.2. Периодическое решение x = ϕ(t) называют
предельным циклом системы (9.1), если найдется ε-трубка цикла K
такая, что в ней не содержится других циклов системы (9.1).
Примером предельного цикла является решение x
=cost, x2=sint
1
системы (9.2).
Существует три типа предельных циклов:
• устойчивый предельный цикл (или аттрактор), когда траекто-
рии навиваются на предельный цикл с обеих сторон при t → +∞
(см. рис. 9.2 a);
• неустойчивый предельный цикл (или репеллер), когда траекто-
рии — спирали, удаляющиеся от предельного цикла при t → +∞
(см. рис. 9.2 b);
• полуустойчивый предельный цикл, когда траектории с одной сто-
роны навиваются на предельный цикл, а с другой — удаляются от
него при t → +∞ (см. рис. 9.2 c).
Рассмотренный в примере 9.1 предельный цикл является, очевид-
но, устойчивым.
9.2. Критерии существования предельного цикла
Предельные циклы произвольных автономных систем, естествен-
но, не всегда можно обнаружить путем перехода к полярной систе-
156 Глав а 9
y
6
N
3
-
x
a
y
6
+
x
-
M
b
y
6
+
x
-
c
Рис. 9.2
ме координат (как это было в примере 9.1) или путем прямого решения дифференциальных уравнений. Поэтому важны критерии, которые позволяют, не решая самих дифференциальных уравнений, все же
получать информацию об областях фазового пространства, где могут
содержаться предельные циклы. Имея такую информацию, можно затем пытаться строить предельные циклы какими-либо приближенными
способами, например, с привлечением численных методов.
В общей постановке вопрос о предельных циклах является весьма
сложным. Особенно сложным является этот вопрос для автономных
систем третьего и более высоких порядков, хотя и здесь известно много
результатов (см., например, [13, 14]).
Случай автономных систем второго порядка вида (9.1) более изу-
чен. Это связано со спецификой автономных систем второго порядка,
состоящей в том, что замкнутая линия на плоскости делит эту плоскость на две несвязные части, чего нет в пространствах высшей размерности.
9.2.1. Теория Пуанкаре–Бендиксона
Основу методов исследования предельных циклов на плоскости со-
ставляет теория Пуанкаре–Бендиксона. Приведем некоторые ее поло-
жения (соответствующие доказательства можно найти, например, в [8]
или в [9]).
. Если система (9.1) имеет предельный цикл K, то в области, охва-
1
тываемой замкнутой линией K , лежит по крайней мере одна точка
равновесия системы.
2
. Пусть в фазовой плоскости R2имеется замкнутая область G,вко-
торой нет точек равновесия системы (9.1). Пусть все траектории,
9.3. Циклы в электрических цепях 157
начинающиеся при t =0в G, остаются там и при t>0.Тогда
в области G имеется по крайней мере один предельный цикл системы (9.1), причем любая отличная от цикла траектория в области G
при t → +∞ приближается к некоторому предельному циклу.
3
.Пустьx = x(t) — решение системы (9.1), определенное при всех t,
и K — соответствующая траектория на фазовой плоскости R
Пусть точка x
ности моментов t
траектория K содержит точку x
∗
∈ R2такова, что для некоторой последователь-
→∞выполнено соотношение x(tn) → x∗.Если
n
∗
,тоK является либо предельным
циклом, либо точкой равновесия.
Положения 1
или отсутствия предельного цикла. В частности, из положения 1
–3
одновременно являются и критериями наличия
следует, что у системы (9.1) в данной области Ω, ограниченной некоторой
замкнутой линией, заведомо нет предельных циклов, если в этой области отсутствуют точки равновесия системы.
Пример 9.2. Применим теорию Пуанкаре–Бендиксона для задачи о предельных циклах системы (9.2). Эта система, как было показано
в примере 9.1, имеет единственную точку равновесия x
значим через D замкнутую кольцеобразную область, границей которой
служат окружности x
границе x
2
2
+x
=1/4 изобразить фазовое поле скоростей системы (9.2),
1
2
2
1
+ x
2
=1/4 и x
2
2
1
2
+ x
=4. Если на внутренней
2
= x2=0. Обо-
1
то несложно видеть, что в каждой точке этой границы вектор скорости
будет направлен внутрь области D. Аналогично устанавливается, что
на внешней границе x
2
2
+ x
=4вектор скорости также будет направ-
1
2
лен внутрь области D. Это означает, что все траектории системы (9.2),
начинающиеся при t =0в D, остаются там и при t>0. Следовательно,
в силу положения 2
мы (9.2), которым, как показано в примере 9.1 (см. с. 154), является
окружность x
2
1
0
в области D существует предельный цикл систе-
2
+ x
=1.
2
2
.
9.3. Предельные циклы в электрических цепях
В этом разделе в качестве приложения рассматриваются задачи,
возникающие в теории электрических цепей (см., например, [1, 14]).
9.3.1. Краткие сведения из теории электрических цепей
Приведем некоторые необходимые понятия из теории электрических цепей. Электрическая цепь — это набор «элементов цепи», обра-
158 Глав а 9
R L
C
Рис. 9.3
зующих замкнутую схему. Мы будем рассматривать типы элементов,
изображенных на рис. 9.3 и называемых соответственно сопротивле-
нием R, индуктивностью L и конденсатором C.
Электрическую цепь можно рассматривать как набор «узлов»,
между которыми вмонтированы элементы цепи. Если элементы цепи
находятся между узлами n и m цепи, то мы связываем с ним разность
потенциалов (или напряжение) v
и силу тока jnm.
nm
Разность потенциалов удовлетворяет закону Кирхгофа для потенциалов: сумма разностей потенциалов для любого замкнутого контура
равна нулю.
Токи удовлетворяют закону Кирхгофа для токов: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него.
Пусть элемент цепи находится между узлами n и m.Тогда:
• если этот элемент — индуктивность L,то
dj
= L
nm
dt
;
v
nm
• если элемент — конденсатор C,то
dv
nm
= j
C
dt
nm
;
• если элемент — сопротивление R, то либо
v
= jnmR (закон Ома),
nm
в этом случае сопротивление называют омическим, либо
v
= f(jnm),
nm
где f (j) — нелинейная функция.
9.3. Циклы в электрических цепях 159
2
R
13
j
L
C
B
13
2
j
C
L
(a)(b)
Рис. 9.4
Ниже, если не оговорено противное, рассматриваются омические
сопротивления.
9.3.2. Уравнение колебательного контура
Рассмотрим RLC–цепь, изображенную на рис. 9.4 a.
В силу закона Кирхгофа для токов в каждом элементе RLC–цепи
должно быть одинаковое значение тока, которое обозначим через j.
Далее, в силу закона Кирхгофа для потенциалов, получим
v
+ v23+ v31=0. (9.4)
12
Законы для отдельных элементов RLC–цепи дают
Положим v = v
Полагая далее x
2
где ω
=(LC)−1и 2k = R/L. Систему (9.6) несложно записать в виде
0
v
= jR, v31= L
12
; тогда из (9.4) и (9.5) получим
23
j
dv
=
,
C
dt
= v и x2= v= j/C, получим систему
1
= x2,
x
1
x
= −ω
2
dj
dt
dj
=
dt
2
x1− 2kx2,
0
dv
,C
dt
− jR − v
L
23
= j. (9.5)
.
(9.6)
одного уравнения второго порядка
+2kx+ ω
x
2
x =0, (9.7)
0
где положено x = x
.
1
160 Глав а 9
v
6
j
-
-
a
b
x
q
AB
-
2
6
-
CD
-
-
x
1
q
Рис. 9.5
Уравнение (9.7) называют уравнением гармонического осциллято-
ра. Это уравнение уже встречалось при выводе уравнений малых колебаний маятника (см. п. 4.5). Поэтому, проведя те же рассуждения, что
и в п. 4.5, придем к тому, что при заданных L и C напряжение на конденсаторе будет периодически колебаться без затухания (если R =0),
осуществлять затухающие колебания (если 0 <R<2
чезнет без колебаний (если R 2
L/C).
L/C) или ис-
9.3.3. Осциллятор Ван дер Поля
Рассмотрим теперь модифицированную RLC-цепь, изображенную
на рис. 9.4 b, в предположении, что вместо омического сопротивления R
рассматривается элемент B. Предполагается, что связь между током
и напряжением vBв этом элементе определяется функцией vB=
j
B
= f(j
),гдеf(j) — некоторая нелинейная функция.
B
Пусть B — нелинейный резистор, для которого функция f(j) (так
называемая вольт-амперная характеристика) изображается в виде кривой на рис. 9.5a.
В этом случае характеристика f (j) может быть аппроксимирована
функцией
f(j)=j
1
2
j
− 1. (9.8)
3
Для составления дифференциальной модели рассматриваемой цепи удобно вместо переменной v
линейной модели) рассматривать переменную v
(как это было в рассмотренной выше
23
= −v23. Тогда вме-
32
сто (9.4) получим уравнение
v
− v32+ v31=0. (9.9)
12
Далее, вместо (9.5) получим
= f(j),v31= L
v
12
dj
,C
dt
dv
dt
32
= −j.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]