Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
9.3. Циклы в электрических цепях 161
Отсюда и из (9.9) получим
dj
L
dt
− f(j),C
= v
32
dv
32
= −j. (9.10)
dt
Введем новую независимую переменную τ = t/L. Тогда система (9.10)
примет вид
dj
=(v
Положим x
L
dτ
= j и x2= v32. Тогда система (9.11) запишется в виде
1
32
где ξ = L/C, а функция f (x
− f (j))L, C
= x2− f (x1),
x
1
x
= −ξx
2
) определяется равенством (9.8).
1
dv
32
= −jL. (9.11)
dτ
1
(9.12)
Проведем исследование фазового портрета системы (9.12). Эта система имеет точку равновесия x
Изобразим на плоскости (x
Пусть число ξ настолько мало, что величиной ξx
кости (кроме непосредственной близости кривой x
пренебречь по сравнению с величиной x
что тогда фазовое поле скоростей (x
= x2=0.
1
) кривую x2= f(x1) (см. рис. 9.5 b).
1,x2
− f(x1). Несложно видеть,
2
−f (x1), −ξx1) имеет почти гори-
2
во всех точках плос-
1
= f (x1))можно
2
зонтальное направление везде, кроме непосредственной близости кривой x
= f(x1). Поэтому фазовый портрет системы (9.12) должен быть
2
таким, как показано на рис. 9.5 b.
Легко видеть, что все начальные условия (кроме нулевого) порождают траектории, которые выходят на предельный цикл ABCD. В точ-
ках, далеких от кривой x
= f(x1), значение x
2
относительно велико;
1
следовательно, фазовая точка быстро приходит в близкую окрестность
этой кривой и затем медленно передвигается вдоль кривой на участках
BC и DA, срываясь с них в конце. Быстрое движение на участках AB
и CD и медленное на участках BC и DA порождают незатухающие колебания «почти разрывной» формы. Колебания такого вида называют
релаксационными.
Таким образом, система (9.12) при малых значениях ξ (т.е. когда L
мало по сравнению с C) имеет предельный цикл, расположенный на
участке ABCD (см. рис. 9.5 b). Отметим, что при ξ =1эта система
является частным случаем уравнения Ван дер Поля
+ ε(x2− 1)x+ x =0,ε>0, (9.13)
x
162 Глав а 9
при ε =1(уравнение Ван дер Поля рассматривалось также в п. 7.4).
Система (9.12) переходит в (9.13), если положить x = x
, ξ =1, ε =1.
1
Уравнение Ван дер Поля (9.13) можно рассматривать как обобщение уравнения гармонического осциллятора (9.7). Осциллятор Ван
дер Поля имеет единственный устойчивый предельный цикл для всех
значений ε.Приε →∞предельный цикл имеет вид, изображенный на
рис. 9.5 b. При ε → 0 предельный цикл приближается к окружности
радиуса 2.
Исследованию системы (9.12) и уравнения (9.13), а также других
близких к ним уравнений (называемых уравнениями Льенара), посвящена обширная литература (см., например, [13] и [14]).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
9.1. Найти предельные циклы и определить их тип у следующих
систем:
a) r
c) r
= r(r − 1)2,ϕ=1,b) r= r(r − 1)3,ϕ=1,
= r(r − 1)(r −2),ϕ=1.
9.2. Покажите, что система
x
=1−x1x2,x
1
2
= x
1
не имеет предельных циклов.
9.3. Нарисовать фазовый портрет автономной системы в соответствии со следующей информацией: имеются устойчивый фокус
и два предельных цикла: один устойчивый и один неустойчивый.
9.4. Показать, что система
x
= x2,x
1
= −x1− ε(x
2
2
− 1)x2,ε 0,
1
эквивалентна уравнению Ван дер Поля (при ε>0) или незатухающему гармоническому осциллятору (при ε =0).
Гла ва 1 0
Дополнение: доказательства
основных теорем
В этой главе приводятся доказательства теоремы 2.3 (Пикара) о существовании и единственности решения задачи Коши и теоремы 2.4
о продолжимости решения задачи Коши.
10.1. Вспомогательные понятия
10.1.1. Метрические пространства
Пусть дано некоторое множество E элементов любой природы (чисел, векторов, матриц, функций и т. п.). Пусть для каждой пары элементов x, y ∈ E определено понятие расстояния между ними, а именно
задана вещественная функция ρ(x, y), удовлетворяющая трем аксио-
мам:
1) ρ(x, y) > 0 для x = y и ρ(x, x)=0;
2) ρ(x, y)=ρ(y, x) (аксиома симметрии);
3) ρ(x, y) ρ(x, z)+ρ(z, y) (аксиома треугольника).
Функцию ρ(x, y) называют метрикой на E. Множество E вместе
с метрикой ρ(x, y) называют метрическим пространством и обозначают (E, ρ). Разумеется, если на множестве E задана другая метри-
(x, y), то получим другое метрическое пространство (E,ρ1).Если
ка ρ
1
метрика ясна из контекста, то говорят просто о метрическом пространстве E.
Пример 10.1. Множество R вещественных чисел вместе с обыч-
ным понятием расстояния между двумя числами x и y, определяемым
164 Глав а 1 0
равенством ρ(x, y)=|x − y|б является, очевидно, метрическим пространством. Отметим, что и, например, множества Q рациональных
чисел и Z целых чисел или любой отрезок [a, b] с таким расстоянием
также являются метрическими пространствами (проверьте это).
Множество R
n
векторов вида x =(x1,...,xn) с расстоянием между
векторами, определяемым равенством
!
"
n
"
ρ(x, y)=
#
k=1
(xk− yk)2,
образует метрическое пространство (проверьте и это).
Сходимость в метрическом пространстве
Напомним, что числовая последовательность x
сходящейся, если существует число x
|x
| <εдля ∀n Nε. В этом случае пишут xn→ x0или lim xn= x0.
n−x0
∈ R такое, что для ∀ε>0 ∃Nε:
0
∈ R называется
n
Это понятие несложно распространить на произвольные метрические
пространства.
Пусть (E,ρ) — метрическое пространство. Последовательность
x
∈ E называется сходящейся, если существует x0∈ E такой, что
n
ρ(x
) → 0. В этом случае пишут xn→ x0или lim xn= x0.
n,x0
Для числовых последовательностей сходимость равносильна следующему свойству, называемому критерием Коши: для того чтобы последовательность x
для ∀ε>0 ∃N
: |xn−xm| <εдля ∀n, m Nε. Ценность критерия Коши
ε
∈ R сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
n
в том, что он не требует знания значения предела последовательности.
Оказывается, в произвольном метрическом пространстве критерий
Коши уже, вообще говоря, не имеет место. В этой связи полезными
являются следующие понятия.
Последовательность x
для ∀ε>0 ∃N
: ρ(xn,xm) <εдля ∀n, m Nε.
ε
∈ E называется фундаментальной, если
n
Метрическое пространство (E, ρ) называется полным, если в нем
каждая фундаментальная последовательность является сходящейся.
Пример 10.2. Очевидно, рассмотренное в примере 10.1 метрическое пространство R вещественных чисел является полным. В то
же время пространство Q рациональных чисел не является полным,
так как, например, последовательность рациональных чисел x
=1, 4,
1
10.1. Вспомогательные понятия 165
x2=1, 41, x3=1, 414, x4=1, 4142, ..., дающих приближения иррационального числа
√
2, является фундаментальной, однако не сходится
в пространстве Q.
10.1.2. Пространство непрерывных функций
Ниже особую роль играет линейное пространство C[a, b], элементами которого служат непрерывные на отрезке [a, b] функции. Если
в C[a, b] посредством равенства
ρ(x, y)= max
|x(t) − y(t)| (10.1)
atb
ввести понятие расстояния между функциями x = x(t) и y = y(t),
то C[a, b] будет не только линейным, но и метрическим пространством.
Проверка соответствующих аксиом метрики не представляет особых
сложностей. Эту метрику обозначают также символом ·
x(t) − y(t)
=max
C
|x(t) − y(t)|. (10.2)
atb
:
C
Лемма 10.1. Метрическое пространство C = C[a, b] является
полным.
Пусть x
для ∀ε>0 ∃N
(t) ∈ C — фундаментальная последовательность, т. е.
n
:
ε
max
|xn(t) − xm(t)| <ε, ∀n,m Nε. (10.3)
atb
При каждом фиксированном t ∈ [a, b] последовательность x
(t) явля-
n
ется обычной числовой последовательностью. Для нее в силу (10.3)
имеем
(t) − xm(t)| <ε, ∀n,m Nε. (10.4)
|x
n
Поэтому числовая последовательность x
ной и, следовательно, согласно критерию Коши последовательность x
(t) является фундаменталь-
n
n
при каждом t сходится к некоторому пределу. Этот предел естественно
зависит от t; обозначим его через x(t).
Лемма будет доказана, если показать, что функция x(t) будет
непрерывной на [a, b] и max
|xn(t) − x(t)|→0 при n →∞.
atb
Фиксируя n в неравенстве (10.4) и переходя затем к пределу
при m →∞, получим:
∀ε>0 ∃N
: |xn(t) − x(t)| ε, ∀n Nε, ∀t ∈ [a, b].
ε
(t)
166 Глав а 1 0
Полученное означает, что последовательность xn(t) на отрезке [a,b]
равномерно сходится к функции x(t),т.е. max
|xn(t) − x(t)|→0 при
atb
n →∞. Из курса математического анализа известно, что предел рав-
номерно сходящейся последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией. Следовательно, x(t) ∈ C[a, b].
Лемма доказана.
10.1.3. Отображения в метрических пространствах
Пусть (E
дому x ∈ E
1
торый y ∈ E
ства E
A : E
в пространство E2, и пишут A : E1−→ E2. Отображение
1
−→ E2называют также оператором, действующим из E1в E2.
1
Если пространства (E
тор A действует в E
Пусть дан оператор A : E
правилу A соответствует y ∈ E
) и (E2,ρ2) — метрические пространства. Если каж-
1,ρ1
по некоторому правилу A однозначно соответствует неко-
, то говорят, что A является отображением простран-
2
) и (E2,ρ2) совпадают, то говорят, что опера-
1,ρ1
.
1
−→ E2и пусть элементу x ∈ E1по
1
. Тогда пишут y = Ax.
2
Пример 10.3. Любую функцию y = f (x), определенную на
множестве вещественных чисел R, можно трактовать как отображение f : R → R.
Если каждой функции x(t) ∈ C[a, b] поставить в соответствие ее
2
квадрат x
на на [a, b], это соответствие можно рассматривать как отображение A:
C[a, b] → C [a, b] так, что Ax(t)=x
цию y(t)=
за известно, что определенный интеграл с переменным верхним пре-
(t), то в силу того, что функция x2(t) также будет непрерыв-
2
(t).
Поставим каждой функции x(t) ∈ C[a, b] в соответствие функ-
t
x(s)ds, a t b. Из курса математического анали-
a
делом является непрерывно дифференцируемой функцией. Поэтому
рассматриваемое соответствие можно рассматривать как оператор A:
C[a, b] → C
1
[a, b] так, что
Ax(t)=
t
x(s)ds, a t b. (10.5)
a
Впрочем, это соответствие можно рассматривать и как оператор A:
C[a, b] → C [a, b]. Операторы вида (10.5) называют интегральными.
10.1. Вспомогательные понятия 167
10.1.4. Неподвижные точки и операторы сжатия
Пусть (E,ρ) — метрическое пространство. Говорят, что оператор A:
E → E имеет неподвижную точку x
, если Ax0= x0.Неподвижные
0
точки оператора A — это решения уравнения
Ax = x. (10.6)
Вопрос о неподвижных точках оператора представляет значительный
интерес при решении многих задач в теории дифференциальных уравнений. При изучении этого вопроса важными являются следующие понятия.
Оператор A : E → E называют сжимающим или оператором
сжатия, если существует q, 0 <q<1, такое, что
ρ(Ax, Ay) qρ(x, y), ∀x, y ∈ E. (10.7)
Число q в этом случае называют коэффициентом сжатия.
Оператор A : E → E называют непрерывным, если из того, что
x
→ x0, следует соотношение Axn→ Ax0.
n
Сжимающий оператор является непрерывным. Действительно,
пусть x
сжимающим, имеем ρ(Ax
→ x0,т.е.ρ(xn,x0) → 0. Отсюда и из того, что A является
n
,Ax0) qρ(xn,x0)→0. Поэтому Axn→Ax0.
n
Пример 10.4. Рассмотрим действующий в пространстве C[0, 1]
интегральный оператор (см. также равенство (10.5))
t
1
Ax(t)=1+
Несложно убедиться в том, что этот оператор имеет неподвижную точку x(t)=e
0,5t
. Покажем, что оператор A : C[0, 1] → C[0, 1] является
x(s)ds, 0 t 1. (10.8)
2
0
сжимающим. Так как метрика в пространстве C[a, b] определяется равенством (10.1), то получим
ρ(Ax, Ay)= max
1
2
max
0t1
0t1
|x(t) − y(t)|
|Ax(t) − Ay(t)| =
1
1
ds =
0
2
1
max
2
0t1
max
|x(t) − y(t)| =
0t1
$
t
$
$
[x(s) − y(s)]ds
$
0
1
2
ρ(x, y).
$
$
$
$
168 Глав а 1 0
Это и означает, что оператор (10.8) является сжимающим с коэффициентом сжатия q =0, 5. Здесь использованы обычные свойства инте-
грала:
$
$
b
$
$
$
a
x(t) dt
$
$
b
$
$
$
|x(t)|dt,
a
b
|x(t)|dt max
a
atb
|x(t)|
b
dt.
a
10.1.5. Принцип сжимающих отображений
Следующее утверждение называют принципом сжимающих отображений.
Теорема 10.1. Пусть (E,ρ) — полное метрическое простран-
ство и A : E → E является оператором сжатия. Тогда A имеет
и притом единственную неподвижную точку.
Доказательство. Ниже запись A
последовательных применений оператора A,т.е.A
Пусть x
= Ax0, x2= Ax1= A(Ax0)=A2x0ит.д.,xn= Ax
x
1
— произвольная точка в пространстве E.Положим
0
Покажем, что полученная последовательность x
n
x будет означать результат n
n
x = AA...A
&' (
%
n
= Anx0.
n−1
является фунда-
n
x.
ментальной. Пусть для определенности m n; тогда
)=ρ(Anx0,Amx0)=ρ)Anx0,A
n,xm
) qn[ρ(x0,x1)+ρ(x1,x2)+... + ρ(x
m−n
q
ρ(x
n
ρ(x0,x
Отсюда и из соотношений ρ(x
)
n
A
)=ρ(Akx0,Akx1) qkρ(x0,x1)
k,xk+1
**
m−n
m−n−1,xm−n
x
0
)] .
получим
*
ρ(x
) qnρ(x0,x1))1+q + q2+ ... + q
n,xm
m−n−1
n
n
q
ρ(x0,x1))1+q + q2+ ... + qk+ ...*= ρ(x0,x1)
Зададимся произвольным ε>0. Из неравенства 0 <q<1 следует
существование натурального числа k
при всех n k
∀n, m k
. Поэтому из (10.9) следует неравенство ρ(xn,xm) <ε,
ε
. Фундаментальность последовательности xnдоказана.
ε
такого, что ρ(x0,x1)
ε
q
1 − q
. (10.9)
n
q
<ε
1 − q
10.1. Вспомогательные понятия 169
В силу полноты пространства E последовательность xn,будучи
фундаментальной, имеет предел, т. е. существует x
x
→ x0. Так как оператор A непрерывен, то Axn→ Ax0.Попо-
n
строению имеем x
к пределу при n →∞, получим равенство x
= Axn; переходя в обеих частях этого равенства
n+1
= Ax0. Существование
0
∈ E такой, что
0
неподвижной точки оператора A доказано.
Докажем единственность неподвижной точки x
тор A имеет еще одну неподвижную точку y
Тогда ρ(x
возможно лишь при ρ(x
)=ρ(Ax0,Ay0) qρ(x0,y0).Таккакq<1, то последнее
0,y0
)=0,т.е.приx0= y0.
0,y0
,т.е.Ax0= x0и Ay0= y0.
0
. Пусть опера-
0
Теорема доказана.
10.1.6. Интегральные уравнения
С дифференциальными уравнениями тесно связаны так называемые интегральные уравнения, когда неизвестная функция входит под
знак интеграла. Примеры таких уравнений:
t
x(τ) dτ +cost =1,
0
t
x(t)=4
1
2
sin 2π(t − s)x(s) ds +1 − x2(t)=0.
0
x(τ)
τ
1
Легко убедиться в том, что решением первого уравнения является
функция x =sint, второго — функция x = t
x =sin2πt (−
π
2
t
π
).
2
dτ + t
2
− 1,
4−t2
, а третьего — функция
Переход от задачи Коши к равносильному
интегральному уравнению
Задача Коши (2.3) может быть сведена к равносильному интегральному уравнению. Это можно осуществить следующим образом.
Пусть задача Коши (2.3) имеет решение x = x(t), определенное на
некотором промежутке [t
− d, t0+ d],гдеd>0. Тогда имеют место
0
соотношения
x
(t)=f[t, x(t)], ∀t ∈ [t0− d, t0+ d], (10.10)
)=x0. (10.11)
x(t
0
170 Глав а 1 0
Интегрируя обе части равенства (10.10), получим
t
x(s)ds =
t
0
t
f[s, x(s)] ds, ∀ t ∈ [t0− d, t0+ d]
t
0
или, с учетом (10.11), — равенство
t
+
x(t)=x
f[s, x(s)] ds, ∀ t ∈ [t0− d, t0+ d], (10.12)
0
t
0
т. е. решение x(t) задачи Коши (2.3) является решением интегрального
уравнения (10.12).
Пусть теперь функция x(t), определенная на промежутке [t
− d, t
гда, во-первых, x(t
+ d], является решением интегрального уравнения (10.12). То-
0
)=x0. Во-вторых, дифференцируя (10.12), полу-
0
0
чим равенство (10.10), т.е. функция x(t) является решением задачи
Коши (2.3).
Таким образом, доказана
Лемма 10.2. Решение x = x(t) задачи Коши (2.3), определен-
ное на промежутке [t
−d, t0+ d], является решением интегрального
0
уравнения (10.12), и, наоборот, решение x = x(t) интегрального уравнения (10.12) является решением задачи Коши (2.3).
10.2. Доказательство теоремы 2.3 (Пикара)
−
Доказательство теоремы будем проводить на основе принципа
сжимающих отображений. Для этого воспользуемся тем, что в силу
леммы 10.2 задача Коши (2.3) равносильна интегральному уравнению (10.12), которое может быть записано в виде операторного уравнения (10.6), т. е. в виде x(t)=Ax(t) с оператором A, который каждой
функции x(t), определенной в окрестности точки t
, ставит в соответ-
0
ствие функцию
t
+
Ax(t)=x
f[s, x(s)] ds. (10.13)
0
t
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]