Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
7.4. Устойчивость нелинейных систем 131
Таким образом, вопрос об устойчивости нулевой точки равновесия
системы (7.20) равносилен вопросу об устойчивости нулевого решения
системы (7.21). Для нелинейной автономной системы (7.21) верна
Тео рем а 7. 4. Если все собственные значения матрицы A имеют
отрицательные действительные части, то нулевое решение x =0системы (7.21) является асимптотически устойчивым. Если хотя бы
одно из собственных значений имеет положительную действительную часть, то это решение неустойчиво.
С доказательством теоремы 7.4 можно познакомиться, например, в [10].
Теорема 7.4 определяет свойства устойчивости точки равновесия
нелинейной системы (7.20) по характеристикам ее линейной части
в окрестности этой точки. В этом смысле утверждения типа теоремы 7.4 в теории устойчивости составляют основу метода исследования
устойчивости по первому (линейному) приближению.
Пример 7.3. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения Ван дер Поля (см. также п. 9.3):
y
+(y2− 1)y+ y =0. (7.23)
Для решения поставленной задачи перейдем от (7.23) к нормальной
системе, введя новые переменные x
систему
или
где
A =
= x2,
x
1
x
= −x1+(1− x
2
= Ax + ϕ(x), (7.24)
x
01
−11
,ϕ(x)=
= y и x2= y. Тогда получим
1
2
)x
2
1
−x
0
.
2
x
2
1
Устойчивость нулевого решения уравнения (7.23) определяется (см.
п. 7.2.2) как устойчивость нулевого решения системы (7.24). Система (7.24) — это система вида (7.21), при этом нелинейность ϕ(x) удовлетворяет соотношению (7.22). Собственные значения матрицы A равны
√
+ i
3
,λ
2
=
2
1
λ
=
1
2
√
− i
3
.
2
1
2
Поэтому из теоремы 7.4 получим, что нулевое решение системы (7.24)
является неустойчивым. Следовательно, неустойчивым является и нулевое решение y =0уравнения (7.23).
132 Глав а 7
P
P
P
Xy
X
P
X
x
v
P
X
X
P
X
P
θ
X
P
X
?
z
Рис. 7.4
Пример 7.4. (Уравнения полета планера.) Рассмотрим полет планера (или птицы) в предположении, что его плоскость симметрии в любой момент совпадает с вертикальной плоскостью (см. рис. 7.4).
Пусть v — вектор скорости центра инерции планера, θ — угол между скоростью v и горизонтальной прямой. Тогда уравнения полета планера могут быть описаны уравнениями (см. [11])
y
= −sin θ −ay2,
θ
=(− cos θ + y2)/y,
(7.25)
в которых y = v/b; здесь a и b — некоторые положительные постоянные,
определяемые коэффициентами лобового сопротивления и подъемной
силы.
Система (7.25) имеет точку равновесия
y
0
1
=
√
4
,θ0= −arctg a, (7.26)
2
1+a
соответствующую нисходящему прямолинейному движению с постоянной скоростью. Для исследования устойчивости решения (7.26) вычислим матрицу Якоби правой части системы (7.25) в точке (7.26). Указанная правая часть определяется функциями
2
y
.
(y,θ)=−sin θ −ay2,f2(y,θ)=
f
1
− cos θ + ay
Поэтому искомая матрица Якоби — это матрица
⎤
∂f
1
1
∂θ
⎥
,
⎦
∂f
2
2
∂θ
A =
⎡
∂f
∂y
⎢
⎣
∂f
∂y
7.4. Устойчивость нелинейных систем 133
элементы которой вычисляются в точке (7.26). После несложных выкладок получим равенство
1
1+a
a
1+a
⎤
2
⎥
.
⎦
2
A =
⎡
2a
−
√
4
⎢
1+a
⎣
2
2 −
−
√
√
4
Простой подсчет показывает, что оба собственных значения матрицы A
при любом a>0 имеют отрицательные вещественные части. Поэтому из теоремы 7.4 следует, что точка равновесия (7.26) системы (7.25)
является асимптотически устойчивой. Следовательно, асимптотически
устойчивым будет и нисходящее прямолинейное движение планера.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Исследовать на устойчивость нулевое решение x =0уравне-
ний:
(a) x
=0; (b) x= −2x.
7.2. Показать (по определению) устойчивость нулевого решения
системы
x
1
x
2
=4x2,
= −x1.
7.3. Исследуйте на основе теоремы 7.3 устойчивость нулевого ре-
шения систем, приведенных в задаче 6.6(см. с. 118).
7.4. Исследуйте на основе теоремы 7.4 устойчивость нулевого ре-
шения системы (a), приведенной в задаче 6.5(см. с. 118).
Гла ва 8
Основы численных методов
Дифференциальные уравнения, решения которых удается найти
аналитически, составляют весьма узкий класс в многообразии дифференциальных уравнений. Огромное большинство задач, представляющих практический интерес, приводит к дифференциальным уравнениям, аналитическое решение которых не представляется возможным.
В ситуации, когда невозможно или крайне сложно определить
«точное» решение дифференциального уравнения, обычно прибегают
к тем или иным способам приближенного построения решения. В настоящей главе рассматривается несколько основных методов численного построения решений задачи Коши, т. е. методов, основанных на
переходе от непрерывной задачи к дискретной модели, которая затем
решается с применением вычислительной техники.
8.1. Вводные понятия
В этом разделе приводится ряд вспомогательных понятий теории конечно-разностных методов и теории интерполяции (см., например, [7]).
8.1.1. Сетки и сеточные функции
Пусть на числовой оси 0t дан отрезок a t b, который, как
обычно, будем обозначать через [a, b]. Для целого числа N 2 зададим
на отрезке [a, b] множество точек t
a = t
0<t1
Множество точек {t
из этого множества — узлом или узловой точкой.
, ··· ,tN} называют сеткой, а каждую точку t
0,t1
, ··· ,tNтак, что
0,t1
< ···<tN= b. (8.1)
k
8.1. Вводные понятия 135
0
t
1
ab
t
j
t
j+1
-
t
tt
N
-sqqqqqs
h
Рис. 8.1
Хотя неравномерное разбиение отрезка [a, b] не ведет к каким-либо
особым трудностям, для простоты изложения всюду ниже будут рассматриваться сетки, узловые точки которых делят отрезок [a, b] на равные части. Тогда если обозначить через h расстояние между узловыми
точками, то получим
b − a
h =
N
= a + kh (k =0, 1, ··· ,N). (8.2)
,t
k
Число h называют шагом сетки.
На рис. 8.1 изображена описанная выше сетка.
Функцию x(t), областью определения которой является какая-
нибудь сетка на числовой оси, называют сеточной функцией.
Ясно, что сеточная функция x(t), определенная на сетке (8.1), мо-
жетбытьзаданаввиде(N +1)-мерного вектора (x
что x(t
)=xj, или в виде таблицы
j
t t0t1··· t
x(t) x0x1··· x
, ··· ,xN) так,
0,x1
N
N
Также ясно, что любая функция x(t), определенная на всем отрез-
ке [a, b], по данной сетке (8.1) порождает сеточную функцию, принимающую в узлах t
Пример 8.1. Числа t
задают на отрезке [0, 1] сетку с шагом h =0.1. Пусть дана функ-
ция x(t)=t
2
. Она порождает сеточную функцию, значения которой
значения x(tk).
k
0
=0,t1=0.1, ··· ,t9=0.9,t10=1
определяются равенствами
x(t
)=0,x(t1)=0.01, ··· ,x(t9)=0.81,x(t10)=1.
0
Эта сеточная функция может быть задана также в виде вектора
(0, 0.01, 0.04, ··· , 0.81, 1).
8.1.2. Интерполирование функций
Пусть дан набор узловых точек t
, ··· ,tN(не обязательно распо-
0,t1
ложенных равномерно) и соответствующий набор чисел x
0,x1
,...,xN.
136 Глав а 8
Задача интерполяции состоит в построении такой непрерывной функции ϕ(t), которая удовлетворяет равенствам
)=xj,j=0, 1, ··· ,N.
ϕ(t
j
При этом ϕ(t) называют аппроксимирующей функцией.
Существует много типов аппроксимирующих функций. Особый
интерес среди них представляют полиномы (многочлены), т. е. функции вида
p(t)=a
+ a1t + a2t2+ ··· + antn,
0
где a
, ··· ,an— некоторые числа.
0,a1
Основной результат полиномиальной интерполяции дает
Лемма 8.1. Если узлы t
бора чисел x
, x1, ···, xNсуществует единственный полином p(t)
0
, ··· ,tNразличны, то для любого на-
0,t1
степени не выше N такой, что
)=xj,j=0, 1, ··· ,N.
p(t
j
Многочлен, о существовании которого говорится в лемме 8.1, может быть задан разными формулами. Ограничимся здесь приведением
формулы для интерполяционного многочлена Лагранжа:
N
p(t)=
Lj(t)xj, (8.3)
j=0
где
L
)(t − t1) ···(t − t
(t)=
j
(tj− t0)(tj− t1) ···(tj− t
0
j−1
j−1
)(t − t
)(tj− t
) ···(t − tN)
j+1
) ···(tj− tN)
j+1
. (8.4)
(t − t
Пусть теперь дана некоторая непрерывная функция f (t), задан-
ная на отрезке [a, b] и, может быть, за его пределами. Пусть известны значения f (t
точках t
0,t1
),f(t1), ··· ,f(tN) этой функции в некоторых узловых
0
, ··· ,tNотрезка [a, b]. Пусть, наконец, p(t) — интерполя-
ционный полином степени N, определенный указанными значениями
функции f(t). Естественен вопрос о близости функций f(t) и p(t) (как
на отрезке [a, b], так и за его пределами). Ответ на этот вопрос может
дать следующая
8.2. Численное решение задачи Коши 137
Лемма 8.2. Пусть f (t) ∈ C
f(t) − p(t)=
(t − t
N+1
[a, b]. Тогда
)(t − t1) ···(t − tN)
0
(N +1)!
(
f
N +1)(ξ), (8.5)
где ξ — некоторая точка интервала, содержащего a, b и t.
Пример 8.2. Пусть f (t) — непрерывная на отрезке [0, 1] функция,
причем известны ее значения в трех точках: f (0) = 3,f(0, 5) = −1
и f(1) = −2. Определить интерполяционный многочлен p(t), аппроксимирующий функцию f (t). Оценить погрешность аппроксимации на
отрезке [0, 1], если дополнительно известно, что функция f(t) имеет
производную f
(t) так, что |f
(t)| 1 для любого t ∈ [0, 1].
Для построения интерполяционного многочлена воспользуемся
формулой (8.3). Сначала определим многочлены (8.4):
(t)=2(t −0, 5)(t − 1),L1(t)=−4t(t − 1),L2(t)=2t(t − 0, 5).
L
0
Тогда искомый интерполяционный многочлен определится равенством
p(t)=3L
(t) − L1(t) − 2L2(t)=6t2− 11t +3.
0
Для оценки погрешности воспользуемся леммой 8.2. После несложных
выкладок получим
max
|f(t) − p(t)|
0t1
1
72√3
< 0,01.
8.2. Численное решение задачи Коши
8.2.1. Приближенное сеточное решение
Рассмотрим задачу Коши
= f(t, x)
x
x(a)= x
где для простоты будем считать, что x ∈ R
ное уравнение является скалярным. Пусть, далее, также для простоты,
функция f (t, x) определена и непрерывно дифференцируема при всех
значениях t и x. Тогда в силу теоремы 2.2 задача Коши (8.6) имеет
единственное решение.
, (8.6)
0
1
, т. е. дифференциаль-
138 Глав а 8
x
6
q
x(t1)
qq
x
1
x
qqq
0
t
0
q
x(t)
q
q
q
t
1
q qqq
t
N−1tN
q
t
-
Рис. 8.2
Точное решение x(t) задачи Коши (8.6) представляет собой непрерывную функцию, определенную в некоторой окрестности числа a.
Пусть для ясности изложения она определена при всех t ∈ [a, b],
где b>a. Зададим на отрезке [a, b] некоторую сетку (8.1). Тогда точное
решение x(t) порождает сеточную функцию
x(t
),x(t1), ··· ,x(tN), (8.7)
0
за которой сохраним обозначение x(t) (см. рис. 8.2).
Подчеркнем еще раз, что значения x(t
) (кроме x(t0)=x0) счита-
k
ются неизвестными.
В основе численных методов приближенного построения решения x(t) задачи Коши (8.6) лежит тот или иной способ приближенного
построения значений x(t
), т. е. приближенного построения сеточной
k
функции (8.7). Другими словами, вместо (8.7) (которая нам фактически неизвестна) строится другая сеточная функция
x
, ··· ,xN, (8.8)
0,x1
значения x
для x(t
точным решением. По степени близости приближений x
ям x(t
k
которой в узлах tkсетки объявляются приближенными
k
): x(tk) ≈ xk, а сама функция называется приближенным се-
k
к значени-
k
) искомого решения x(t) задачи Коши (8.6) в узлах tkсетки
судят о точности численного метода.
Построенную сеточную функцию (8.8) можно аппроксимировать
некоторой непрерывной кривой p(t) (например, интерполяционным
многочленом Лагранжа (8.3)), которая будет приближенным решением
исходной задачи Коши (8.6).
8.2. Численное решение задачи Коши 139
8.2.2. Ошибка дискретизации
Пусть x(t) — точное решение задачи Коши (8.6), определенное
при t ∈ [a, b] и порождающее на сетке (8.1) сеточную функцию (8.7).
Пусть, далее, числа (8.8) задают приближенное сеточное решение.
Определение 8.1. Величину
E(h)= max
|xk− x(tk)| (8.9)
1kN
называют глобальной ошибкой дискретизации.
Конечно, найти точное значение глобальной ошибки дискретизации E(h) можно лишь при условии, что нам известно точное решение x(t). Но оно обычно неизвестно (иначе зачем тогда все эти построения). Поэтому стремятся не найти, а оценить ошибку E(h) исходя из
каких-либо общих свойств задачи.
Интуитивно ясно: метод должен быть таковым, что при уменьшении шага h ошибка (8.9) также должна уменьшаться, причем должно
выполняться соотношение
lim
E(h)=0.
h→0
Ниже используются следующие понятия. Пусть f (h) — непрерывная функция, определенная при h>0.Пустьm — некоторое положи-
тельное число.
Говорят, что
f(h)=O(h
(читается: f(h) равна «О» большое от h
положительное число M такое, что |f (h)| M|h|
m
) при h → 0
m
при h → 0), если найдется
m
при всех достаточно
малых значениях |h|.
Говорят, что
f(h)=o(h
(читается: f(h) равна «о» малое от h
m
) при h → 0
m
при h → 0), если
Например, функция f (h)=h
f(h)=O(h
2
) при h → 0 и соотношению f (h)=o(h) при h → 0.
lim
h→0
f(h)
=0.
m
h
3
+4h2удовлетворяет соотношению
140 Глав а 8
x
x(t
x
k+1
k+1
x
k
6
)
ABC
tkt
D
q
q
q
qqq
k+1
L
x = x(t)
t
-
Рис. 8.3
Пусть снова x(t) — точное решение задачи Коши (8.6) и числа (8.8) — приближенное сеточное решение, определенное каким-либо
численным методом.
Определение 8.2. Говорят, что численный метод имеет поря-
док m, если глобальная ошибка дискретизации (8.9) удовлетворяет со-
отношению E(h)=O(h
m
) при h → 0.
Ясно, что чем больше значение m, тем более точным является численный метод. Ниже изучаются некоторые численные методы решения
задачи Коши (8.6), при этом сначала рассматриваются простые методы, имеющие низкий порядок, затем изучаются методы более высокого
порядка.
8.3. Одношаговые методы
8.3.1. Метод Эйлера
Простейшей численной схемой является метод Эйлера. В основе
этого метода лежат следующие геометрические соображения (см. также п. 1.2). Пусть x(t) – это решение дифференциального уравнения
= f(t, x), проходящее через точку xkпри t = tk,т.е.x(tk)=xk(см.
x
рис. 8.3).
Пусть требуется приближенно вычислить значение x(t
Обозначим через L касательную к интегральной кривой x = x(t),
проведенную в точке A(t
кой, что tg α = x
(tk)=f(tk,xk). Из рис. 8.3 видно, что в качестве
приближенного значения для x(t
торое легко вычисляется, если известны числа t
).ТогдаL образует с осью 0t угол α та-
k,xk
) можно выбрать число x
k+1
, t
k
и xk. А именно
k+1
k+1
).
k+1
,ко-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]