Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
4.6. Линейные уравнения n-го порядка 81
4.6. Линейные уравнения n-го порядка
Вернемся к рассмотрению общей ситуации: к линейным уравнениям n-го порядка (4.1)–(4.2) и (4.3)–(4.4).
Построение общего решения уравнений (4.1)–(4.2) требует знания
какой-либо фундаментальной системы решений однородного уравнения (4.2). Допустим, что мы каким-либо способом нашли n решений
(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) этого уравнения. В каком случае они образуют
ϕ
1
фундаментальную систему решений, т. е. эта система функций линейно
независима?
Ответ на этот вопрос содержится в теореме 4.1: для этого достаточно, чтобы определитель Вронского W (t) системы функций ϕ
···, ϕ
(t) был отличен от нуля хотя бы в одной точке. Оказывается,
n
в нашем случае это не только достаточное, но и необходимое условие.
Другими словами, верна
Тео рем а 4 . 6. Для того чтобы система решений ϕ
(t) однородного уравнения (4.2) была фундаментальной, необходимо
ϕ
n
и достаточно, чтобы определитель Вронского W (t) этой системы решений был отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a, b].
Достаточность следует из теоремы 4.1. Необходимость для случая
n =2доказана в лемме 4.3. Общий случай доказывается по той же
схеме.
4.6.1. Формула Остроградского–Лиувилля
(t), ϕ2(t),
1
(t), ϕ2(t), ···,
1
Важную роль при изучении свойств решений уравнений (4.1)
и (4.2) играет формула Остроградского–Лиувилля
W (t)=W(t
выражающая определитель Вронского W (t) через коэффициент p
)exp
0
⎛
⎝
−
t
t
0
p1(t) dt
⎞
⎠
, (4.44)
(t)
1
уравнения (4.2) при производной (n − 1)-го порядка и через значение W (t
) в любой точке t0.
0
Из формулы (4.44) вытекает
Следствие 4.1. Если определитель Вронского W(t) системы реше-
ний ϕ
(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) однородного уравнения (4.2) не равен нулю
1
хотя бы в одной точке отрезка [a, b], то он не равен нулю во всех
точках этого отрезка.
Отсюда и из теоремы 4.6 получим другое
82 Глав а 4
Следствие 4.2. Пусть функции ϕ1(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) образуют на
отрезке [a, b] фундаментальную систему решений однородного уравнения (4.2). Тогда определитель Вронского W (t) этой системы функций
не равен нулю во всех точках отрезка [a, b].
Доказательство формулы Остроградского–Лиувилля
Для доказательства формулы (4.44) следует продифференциро-
вать определитель (4.6). Известно, что производная от определителя
равна сумме n определителей, получающихся из исходного определителя последовательными заменами элементов 1-й, 2-й и т. д. строк их
производными. Так как все такие определители, кроме последнего, равны нулю, то получим
n
.
.
.
(t)
(t)
(t)
(n−2)
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(t)
n
.
.
.
(n−1)
n
.
(t), p
n
(t)
(t)
(t),
n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
,
⎥
⎥
⎦
⎡
ϕ
(t) ϕ2(t) ··· ϕn(t)
1
W
(t)=det
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(n−2)
ϕ
1
ϕ
ϕ
(n)
1
(t) ϕ
1
.
.
.
(t) ϕ
(t) ϕ
(t) ··· ϕ
2
.
.
.
(n−2)
(t) ··· ϕ
2
(n)
(t) ··· ϕ
2
.
.
.
(n−2)
n
(n)
n
Умножая теперь первые n −1 строк соответственно на p
···, p
(t) и прибавляя затем их к последней строке, получим в силу
2
дифференциального уравнения (4.2):
т. е. W
⎡
⎢
⎢
W
(t)=det
(t)=−p1(t)W (t) или W(t)+p1(t)W (t)=0. Отсюда и из фор-
⎢
⎢
⎢
⎣
(t) ϕ2(t) ··· ϕn(t)
ϕ
1
−p
ϕ
1
ϕ
(n−2)
1
ϕ
(t) ϕ
1
.
.
.
(t) ϕ
(n−1)
(t) −p1ϕ
1
(t) ··· ϕ
2
.
.
.
(n−2)
(t) ··· ϕ
2
(n−1)
(t) ··· −p1ϕ
2
.
.
.
мулы Коши (3.34) получим требуемую формулу (4.44).
4.6.2. Общее решение уравнения с постоянными
коэффициентами
В заключительной части главы скажем несколько слов относительно общего решения однородного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами. Такие уравнения при n =2детально изучались в п. 4.4.
Здесь отметим лишь следующее.
4.6. Линейные уравнения n-го порядка 83
Характеристическим уравнением для однородного уравнения (4.4)
будет алгебраическое уравнение n-й степени:
n
λ
+ p1λ
n−1
+ ··· + p
λ + pn=0. (4.45)
n−1
Это уравнение может иметь от одного до n различных корней, которые могут быть действительными или комплексными, кратными или
простыми. Каждая из этих ситуаций приводит к своей формуле общего решения дифференциального уравнения (4.4). Например в случае,
когда характеристическое уравнение (4.45) имеет ровно n различных
действительных корней λ
, ··· ,λn, общее решение дифференциального
1
уравнения (4.4) имеет вид
x(t)=C
λ1t
e
1
+ ··· + Cne
λnt
.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Являются ли линейно независимыми следующие системы
функций:
(a) t, t − 1; (b) t
2
, 2t2;(c) t, t2,t3;(d)sin2t, cos2t, 1.
4.2. Покажите, что функции
ϕ
1
(t)=
2
t
,t 0,
0,t 0,
ϕ
(t)=
2
0,t 0,
2
t
,t 0
образуют линейно независимую систему на любом отрезке [−a, a],
при этом их вронскиан является нулевым: W (t) ≡ 0.
4.3. Методом вариации произвольных постоянных решить урав-
нение
Указание: сначала показать, что фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения x
функции x
4.4. Найдите общие решения уравнений:
(a) x
(b) x
4.5. Найдите решения следующих задач Коши:
(a) x
(b) x
=1и x2= t2.
1
− 5x+6x =0;
+2x+ x =0.
− x =0,x(0) = 1,x(0) = 2;
− 2x+2x =0,x(0) = 1,x(0) = 2.
4.6. Найдите общее решение уравнения x
1
−
x
=3t.
x
t
−x
/t =0образуют
− 4x+4x = t2.
Гла ва 5
Линейные системы
Основным объектом изучения в настоящей главе будут нормальные системы порядка n вида
dx
= Ax, x ∈ R
dt
n
, (5.1)
где A — квадратная матрица, x = x(t) — искомая вектор-функция.
Будут обсуждаться вопросы построения решений системы (5.1).
В большей части главы речь будет идти о системах второго порядка
dx
= Ax, x ∈ R
dt
2
, (5.2)
или в развернутом виде — о системах дифференциальных уравнений
x
= a11x1+ a12x2,
здесь a
1
x
= a21x1+ a22x2;
2
— некоторые действительные постоянные,
ij
A =
a
a21a
11a12
22
, x =
x
x
1
. (5.4)
2
(5.3)
Выбор систем второго порядка вызван единственно стремлением упростить изложение. Аналоги приводимых в этой главе построений верны
и для систем более высокого порядка.
5.1. Вспомогательные сведения
В этом пункте приводятся некоторые вспомогательные понятия
и факты из курса линейной алгебры (см., например, [4]).
5.1. Вспомогательные сведения 85
5.1.1. Собственные значения и собственные
векторы матриц
Пусть A — квадратная матрица порядка n вида
⎤
1n
⎥
2n
⎥
, (5.5)
.
⎦
.
.
.
.
nn
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a
11a12
... a
a21a22... a
.
.
.
.
.
... a
.
.
a
n1an2
где a
— действительные числа.
kj
Число λ (действительное или комплексное) называют собственным значением матрицы A, если найдется ненулевой вектор h ∈ Z
такой, что
Ah = λh. (5.6)
При этом вектор h называют собственным вектором матрицы A, от-
вечающим собственному значению λ. Непосредственно из этого определения следует, что если λ — действительное собственное значение
матрицы A, то соответствующий собственный вектор можно выбрать
в пространстве R
n
.
Пусть λ — комплексное собственное значение матрицы A.Тогда
соответствующий собственный вектор h является элементом простран-
n
ства Z
тельные числа и x, y ∈ R
. Далее, так как λ = α + iβ и h = x + iy,гдеα и β — действи-
n
, то равенство (5.6) примет вид
A(x + iy)=(α + iβ)(x + iy), (5.7)
или, в действительной форме, — вид
Ax = αx − βy,
Ay = αy + βx
(5.8)
Пример 5.1. Рассмотрим матрицы
A =
7 −2
41
,B=
−10
01
. (5.9)
n
Матрица A имеет собственные значения λ
отвечают собственные векторы
1
=
h
1
, h
2
=
2
=3и λ2=5, которым
1
1
.
1
86 Глав а 5
Матрица B имеет комплексные собственные значения λ1= i и λ2= −i,
которым отвечают собственные векторы
h
1
=
1
, h2=
i
1
.
−i
5.1.2. Свойства собственных значений и векторов
Отметим следующие свойства собственных значений и векторов
матриц.
Если λ1и λ2– два различных действительных собственных зна-
1
чения матрицы A, то соответствующие им собственные векторы
, h2∈ Rnявляются линейно независимыми.
h
1
2
Если λ = α + iβ — комплексное собственное значение матрицы A
и h = x + iy — соответствующий собственный вектор, то число
λ = α − iβ также будет собственным значением матрицы A иему
будет отвечать собственный вектор
и
h линейно независимы.
h = x−iy, при этом векторы h
5.1.3. Кратность и порядок собственных значений
Уравнение (5.6) равносильно уравнению
(A − λI )h =0, (5.10)
где I — единичная матрица. Поэтому число λ является собственным
значением матрицы A тогда и только тогда, когда уравнение (5.10)
имеет ненулевое решение h. Уравнение (5.10) — это система линейных
алгебраических уравнений. Она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
det(A − λI )=0. (5.11)
Другими словами, для нахождения всех собственных значений матрицы A достаточно решить уравнение (5.11), называемое характеристи-
ческим. Но левая часть этого уравнения представляет собой многочлен порядка n. В силу основной теоремы алгебры получим, что матрица (5.5) имеет не более n различных собственных значений.
Пусть λ — собственное значение матрицы A и h — соответствую-
щий собственный вектор. Нетрудно видеть, что при любом (действительном или комплексном) ненулевом числе α вектор αh также будет
5.1. Вспомогательные сведения 87
собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному значе-
нию λ. Поэтому естественно среди всех собственных векторов матрицы A выделять только линейно независимые между собой.
Кратностью собственного значения λ матрицы A называют крат-
ность корня λ алгебраического уравнения (5.11).
Порядком собственного значения λ матрицы A называют макси-
мальное число линейно независимых собственных векторов этой матрицы, отвечающих собственному значению λ.
Для любых квадратных матриц порядок любого собственного значения не превосходит его кратности.
Собственное значение λ матрицы A называют простым, если его
порядок и кратность равны 1,иполупростым, если его порядок и кратность совпадают.
Пусть A — квадратная матрица второго порядка и λ — действительное собственное значение матрицы A, которое не является полупростым. Тогда найдутся два линейно независимых вектора h
, h2∈ R
1
такие, что
= λh1,Ah2= λh2+ h1. (5.12)
Ah
1
2
Вектор h
смысле, что вектор h
называют присоединенным вектором матрицы A (в том
2
«присоединен» к собственному вектору h1).
2
Пример 5.2. Рассмотрим матрицы
P =
51
05
,A=
30
03
,B=
12
04
.
Матрица P имеет единственное собственное значение λ =5, кратность
которого равна 2, а порядок равен 1; это собственное значение не является полупростым. Матрица A также имеет единственное собственное
значение, а именно λ =3, но это собственное значение является полу-
простым: порядок и кратность его равны 2. Матрица B имеет простые
собственные значения λ =1и λ =4.
5.1.4. Собственные значения и жордановы формы
Пусть A — квадратная матрица второго порядка и λ
1,λ2
–ееполупростые собственные значения. Тогда существует квадратная матрица Q второго порядка такая, что det Q =0(т.е. матрица Q имеет
88 Глав а 5
обратную Q−1), причем
QAQ
−1
=
λ
1
0 λ
0
. (5.13)
2
Пусть теперь квадратная матрица A второго порядка имеет соб-
ственное значение λ, которое не является полупростым. Тогда существует квадратная матрица Q второго порядка такая, что det Q =0,
причем
QAQ
−1
λ 1
=
. (5.14)
0 λ
Матрицы (5.13) и (5.14) называют жордановыми формами матри-
цы A. Знание собственных значений матрицы A второго порядка, их
порядков и кратностей позволяет, таким образом, построить жорданову форму матрицы.
5.2. Общее решение нормальной системы
Вернемся к основной задаче этой главы — изучению системы (5.2).
Эта система (5.3) является частным случаем рассмотренной в п. 2.7
нормальной системы (2.24). Поэтому из приведенного в указанном
пункте определения 2.11 (см. стр. 45) следует, что общее решение системы (5.2) зависит от двух произвольных постоянных. В этом и следующем пунктах будет описана структура общего решения системы (5.2).
5.2.1. Комплексные решения линейных систем
Выше теория дифференциальных уравнений рассматривалась только для вещественнозначных функций: это либо явно оговаривалось,
либо подразумевалось. Например, в главе 2 при изучении основного
уравнения (2.1):
dx
= f(t, x) (5.15)
dt
предполагалось, что переменная x (и, естественно, переменная t) принимает только вещественные значения, а функция f (t, x) является ве-
щественнозначной. Совершенно так же в этой главе предполагается,
что элементы матрицы A линейной системы (5.1) являются веществен-
ными числами.
5.2. Решение нормальной системы 89
Вместе с тем многие задачи (как теории, так и практики) приводят
к необходимости рассмотрения комплекснозначных решений дифференциальных уравнений. Такое рассмотрение особенно важно и в то же
время наиболее естественно применительно к линейной системе (5.1) и,
в частности, системе (5.2).
Система (5.1) может иметь не только действительные, но и
комплексные решения. Действительно, если, например, вектор-функции x(t) и y(t) с действительными компонентами являются решениями названной системы, то, очевидно, вектор-функция z(t)=x(t)+iy(t)
(уже с комплексными компонентами) также служит решением этой системы в следующем естественном смысле:
z
(t)=x(t)+iy(t)=Ax(t)+iAy(t)=Az(t).
Обратно, комплекснозначную вектор-функцию z(t) естественно объ-
явить решением линейной системы (5.1), если вещественная и мнимая
ее части, т. е. вектор-функции x(t)=Rez(t) и y(t)=Imz(t), являют-
ся решениями этой системы. Поэтому теорию линейных систем (5.1)
можно (и, как выяснится ниже, полезно) изучать в общей постановке, включив в нее возможность комплекснозначных решений. Именно
в такой постановке и будем ниже изучать указанную теорию.
5.2.2. Фундаментальная система решений и общее решение
системы
Пусть ϕ(t) и ψ(t) — вектор-функции:
ϕ(t)=
(t)
ϕ
1
(t)
2
,ψ(t)=
ϕ
(t)
ψ
1
ψ
(t)
2
с, вообще говоря, комплекснозначными компонентами. Так же, как
ивп.4.3.2, определяется понятие линейной независимости вектор-функций ϕ(t) и ψ(t). Далее, так же, как и в указанном пункте, вводится
понятие фундаментальной системы решений системы (5.2). А именно
две вектор-функции ϕ(t) и ψ(t) образуют фундаментальную систему
решений системы (5.2), если, во-первых, каждая из них является решением этой системы и, во-вторых, они линейно независимы. Наконец,
также,какивтеореме4.4, устанавливается, что общее решение системы (5.2) записывается в виде
x(t)=C
ϕ(t)+C2ψ(t), (5.16)
1
90 Глав а 5
где ϕ(t) и ψ(t) — это фундаментальная система решений системы (5.2),
и C2— произвольные постоянные (комплексные, если вектор-фун-
а C
1
кции ϕ(t) и ψ(t) являются комплекснозначными).
Система (5.2) имеет нулевое решение x =0. Ненулевые решения
системы (5.2) будем искать в виде
λt
x(t)=e
h, (5.17)
где h ∈ Z
чим λe
2
и λ — некоторое число. Подставляя (5.17) в (5.2), полу-
λt
h = eλtAh или равенство Ah = λh, т.е. для существования
у системы (5.2) ненулевого решения (5.17) необходимо и достаточно,
чтобы вектор h был собственным вектором матрицы A,аλ — соответствующим собственным значением. Матрица A имеет второй порядок
и, следовательно, имеет ровно два собственных значения. Возможны
следующие случаи:
S1. λ
S2. λ
S3. λ
и λ2действительные и различные: λ1= λ2;
1
и λ2комплексные;
1
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ, причем собственное
1
значение λ является полупростым;
S4. λ
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ, причем собственное
1
значение λ не является полупростым.
Рассмотрим последовательно все эти случаи.
Cлучай S1: действительные и различные
собственные значения
Собственным значениям λ
ственные векторы h
, h2∈ R2, являющиеся линейно независимыми.
1
Тогда вектор-функции e
λ1t
и λ2матрицы A соответствуют соб-
1
λ2t
h1и e
h2образуют фундаментальную си-
стему решений. Поэтому общее решение системы (5.2) в рассматриваемом случае записывается в виде
где C
x(t)=C
и C2— произвольные постоянные.
1
λ1t
e
1
h1+ C2e
λ2t
h2, (5.18)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]