Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
2.2. Теоремы существования и единственности 31
Тео рем а П икар а
С целью ослабления условия дифференцируемости функции f (t, x)
по x в теореме 2.2 воспользуемся включениями (2.7). Оказывается, теорема 2.2 останется верной и в том случае, когда условие дифференцируемости функции f (t, x) заменяется более слабым требованием —
условием Липшица.
Следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши является одной (наряду с теоремой 2.1) из важнейших теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теорема 2.3 (Пикар). Пусть f(t, x) ∈ C(Ω), причем функ-
ция f (t, x) удовлетворяет условию Липшица по переменной x:
|f(t, x) − f (t, y)| K|x − y| (2.9)
для любых точек (t, x), (t, y) ∈ Ω, где постоянная K>0 не зависит
от t, x, y. Тогда для любой точки (t
) ∈Ω задача Коши (2.3) имеет
0,x0
единственное решение.
Теорема 2.2 является следствием теоремы 2.3, так как в ее условиях
выполнены и условия теоремы 2.3. Действительно, пусть выполнены
условия теоремы 2.2. Тогда:
1) для точки (t
) ∈ Ω (учитывая, что она является внутренней
0,x0
для области Ω) выберем замкнутый круг T с центром в указанной
точке такого радиуса, чтобы T ⊂ Ω;
2) в замкнутом круге T функция f(t, x) удовлетворяет неравенству
Липшица (2.9) по переменной x, и, следовательно, в этом круге
выполнены все условия теоремы 2.3.
Геометрически теорема 2.1 означает, что в ее условиях через каж-
дую точку (t
) ∈ Ω проходит по крайней мере одна интегральная
0,x0
кривая данного уравнения, а в условиях теорем 2.2 и 2.3 — в точности
одна интегральная кривая.
Ниже (см. главу 10) из трех приведенных теорем 2.1–2.3 мы огра-
ничимся приведением доказательства только теоремы 2.3.
довательность xk→ x0, при этом xk∈ M и xk= x0. Множество всех предельных
точек множества M обозначают символом M
тым, если M
замыкание множества замкнуто. Пусть Ω ⊂ R
называют замкнутой областью.
⊂ M. Замыканием множества M называют множество M = M ∪M;
. Множество M называют замкну-
n
— область (см. с. 22). Множество Ω
32 Глав а 2
Пример 2.2. Рассмотрим уравнение
dx
= ax, (2.10)
dt
где a — некоторое число. Правая часть уравнения (2.10) имеет
вид f(t, x)=ax и, следовательно, удовлетворяет всем условиям теоремы 2.3 во всей плоскости P переменных t и x. Поэтому через каждую
точку этой плоскости проходит единственное решение уравнения (2.10).
Несложно убедиться в том, что каждое такое решение может быть получено из формулы x = Ce
ствительно, во-первых, при любом C функция x = Ce
нием уравнения (2.10). Во-вторых, если (t
ние уравнения (2.10), удовлетворяющее начальному условию ϕ(t
= x
, то решения x = ϕ(t) и x = C0eat,гдеC0= x0e
0
at
,гдеC — произвольная постоянная. Дей-
) ∈ P и x = ϕ(t) — реше-
0,x0
at
является реше-
−at
0
, имеют одина-
)=
0
ковые начальные условия. В силу теоремы 2.3 эти решения совпадают.
Пример 2.3. Рассмотрим задачу Коши
= x2+ t2,
x
x(0) = 0.
(2.11)
Очевидно, что все условия теоремы 2.3 во всей плоскости P переменных t и x выполнены. Поэтому задача (2.11) имеет единственное решение. Отметим, что уравнение x
= x2+ t2не имеет решений в элемен-
тарных функциях.
Пример 2.4. Рассмотрим уравнение
dx
= |x|, (2.12)
dt
правая часть которого при x =0не дифференцируема. В то же время несложно видеть, что функция f (t, x)=|x| удовлетворяет условию
Липшица на всей числовой прямой с постоянной L =1. Поэтому зада-
ча Коши для уравнения (2.12) с начальным условием x(t
)=0имеет
0
и притом единственное решение (очевидно, этим решением является
функция x(t) ≡ 0).
2.3. Замечания к теоремам существования
и единственности
2.3.1. Нарушение условия единственности решения
Сравнение условий теорем 2.1 и 2.3 показывает, что единствен-
ность решения задачи Коши (2.3) обеспечивается условием Липши-
2.3. Основные замечания 33
ца (2.9) или более сильным предположением о существовании и непре-
рывности частной производной
∂f(t, x)
∂x
. Эти предположения можно
ослабить, хотя отказаться от них полностью нельзя, что показывает
следующий пример.
Пример 2.5. Рассмотрим уравнение
√
3
правая часть f(t, x)=
dx
dt
√
3
x2которого определена и непрерывна при
x2, (2.13)
=
всех x. Поэтому в силу теоремы 2.1 уравнение (2.5) при любом начальном условии x(t
)=x0имеет решение. В то же время так как здесь
0
∂f(t, x)
∂x
2
=
,
√
3
3
x
то второе условие теоремы 2.3 нарушается при x =0. Покажем, что
это влечет нарушение единственности решения задачи Коши для рассматриваемого дифференциального уравнения.
Нетрудно убедиться в том, что функция x =
1
(t + C)
27
3
,гдеC —
произвольная постоянная, является решением уравнения (2.13). Кроме
того, это уравнение, очевидно, имеет нулевое решение x(t) ≡ 0. Поэтому
задача Коши для уравнения (2.13) при начальном условии x(t
)=0
0
имеет бесконечно много решений, в частности, такие решения:
x(t) ≡ 0,x(t)=
1
27
(t − t
)3,x(t)=
0
0,t t
1
(t − t0)3,t>t0,
27
,
0
и т. п. Другими словами, через каждую точку оси t проходит более
одной интегральной кривой, и, следовательно, в точках этой оси нарушается единственность решения задачи Коши для уравнения (2.13).
2.3.2. Об особых случаях задачи Коши
В теоремах 2.1 и 2.3 предполагается, что функция f(t, x) опре-
делена и конечна в каждой точке области Ω. Если же в некоторой
34 Глав а 2
точке (t0,x0) функция f (t, x) не определена и при этом выполнено соотношение f (t, x) →∞при (t,x) → (t
), то вместо (2.1) можно
0,x0
рассмотреть уравнение
dt
dx
=
1
f(t, x)
и искать решение t = t(x), удовлетворяющее начальному условию t(x
)=t0. Функция t = t(x) может позволить найти реше-
0
ние x = x(t) (возможно, не одно) исходного уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию x(t
функции x(t) выполнено соотношение x(t) → x
)=x0в предельном смысле: для
0
при t → t0.
0
Пример 2.6. Рассмотрим уравнение
dx
1
=
. (2.14)
x
dt
Правая часть этого уравнения не определена при x =0. Поэтому рас-
сматривать задачу Коши для уравнения (2.14) с начальным условием x(0) = 0 в обычном смысле нельзя.
Для отыскания решения x(t) уравнения (2.14), удовлетворяющего
начальному условию x(0) = 0 в предельном смысле (т. е. такого, что
x(t) → 0 при t → 0), рассмотрим уравнение
dt
= x
dx
и будем искать его решение t = t(x) при начальном условии t(0) = 0.
В силу теоремы 2.3 последняя задача имеет единственное решение, ко-
2
торое несложно получить в явном виде: t =
определяет и притом сразу два искомых решения уравнения (2.14):
√
x = ±
2t, определенных при t>0.
x
. Полученная функция
2
2.3.3. О продолжимости решений задачи Коши
В условиях теорем 2.2 и 2.3 задача Коши (2.3) имеет единственное
решение в том смысле, что в некотором интервале |t −t
| <hопреде-
0
лено решение x = x(t) этой задачи и не существует другого решения,
определенного в том же интервале. Возникает естественный вопрос
о том, насколько большим может оказаться значение h, т. е. насколько
«долго» можно двигаться вдоль решения x = x(t) при увеличении или
уменьшении t.
2.4. Зависимость решений от параметров 35
Решение x = x(t), разумеется, не может быть определено при всех
(t t0), если функция f(t, x) по переменной t определена лишь
t t
0
в ограниченном промежутке t
даже если функция f (t, x) определена при всех x и всех t t
t<t0+ T (t0− T<t t0). Но
0
,это
0
еще не значит, что решение задачи Коши (2.3) будет определено при
всех t t
.
0
Пример 2.7. Рассмотрим задачу Коши
x
=1+x2,x(0) = 0, (2.15)
для которой, очевидно, во всей плоскости переменных (t, x) выполнены условия теоремы 2.2 и, следовательно, задача имеет единственное
решение, определенное в некоторой окрестности точки t =0.Прямая
проверка показывает, что этим решением будет функция x =tgt иэто
решение определено лишь в интервале −π/2 <t<π/2.
В следующем утверждении говорится о наибольшем интервале,
в котором можно определить решение задачи Коши (2.3).
Тео рем а 2.4 . Пусть правая часть f (t, x) задачи Коши (2.3)
определена при всех x и всех t t
, непрерывна по t и удовлетво-
0
ряет условию Липшица (2.9). Тогда решение x(t) задачи Коши (2.3)
бывает только одним из двух видов:
1) решение x(t) определено при всех t t
;
0
2) существует конечное T>0 такое, что решение x(t) определено
при всех t
t<t0+ T и |x(t)|→∞при t → t0+ T .
0
Доказательство теоремы 2.4 вынесено в главу 10.
2.4. Зависимость решения задачи Коши от
начальных данных и параметров
2.4.1. Постановка вопроса
До сих пор мы считали начальные данные задачи Коши (2.3), т.е.
значения t
данные, то естественен вопрос о том, будет ли малому изменению начальных данных соответствовать малое же изменение решения. Этот
вопрос особенно важен с точки зрения приложений дифференциальных уравнений. В задачах прикладного характера начальные данные
и x0, фиксированными. Если теперь изменить начальные
0
36 Глав а 2
обычно известны лишь приближенно, с некоторой погрешностью. Например, начальная температура θ
тела в модели (1.3) может быть из-
0
вестна лишь приближенно и поэтому закон θ = θ(t), по которому изменяется температура тела в зависимости от времени t, также может
быть определен лишь с некоторой погрешностью. Поэтому важно выяснить, при каких условиях малые погрешности не приведут к сильному
изменению решения.
В математической постановке указанный вопрос может быть сфор-
мулирован в следующем виде. Пусть существует h>0 такое, что задача Коши (2.3) для каждой фиксированной пары начальных значений (t
в интервале |t −t
от t,ноиотt
) ∈ Ω имеет единственное решение x = x(t), определенное
0,x0
| <h. Это решение, естественно, зависит не только
0
и x0, так что правильнее писать x = x(t, t0,x0).Тогда
0
вопрос о том, будет ли малому изменению начальных данных задачи Коши (2.3) соответствовать малое же изменение ее решения, будет
равносилен вопросу о том, является ли функция x = x(t, t
рывной по переменным t
и x0. Ниже будет показано, что в условиях
0
0,x0
) непре-
теоремы Пикара 2.3 на этот вопрос может быть дан положительный
ответ.
2.4.2. Теорема о зависимости решения от параметров
Прежде чем исследовать вопрос зависимости решений дифферен-
циальных уравнений от начальных данных, мы исследуем более общий
вопрос о зависимости решений от параметров. В приложениях дифференциальные уравнения обычно зависят от параметров. Например,
уравнение (1.3) содержит параметры k и T
, а уравнение (1.8) — пара-
0
метр ω. Различные значения параметров приводят к различным дифференциальным уравнениям. Поэтому важно, особенно с практической
точки зрения, знать, будет ли малому изменению параметров соответствовать малое же изменение решения уравнения.
С целью изучения этого вопроса рассмотрим дифференциальное
уравнение
dx
= f(t, x, λ), (2.16)
dt
правая часть которого зависит не только от t и x, но и от некоторого параметра λ. Как обычно, будем предполагать, что пара переменных (t, x)
функции f (t, x, λ) может принимать свои значения в некоторой области Ω (см. приведенный на стр. 22 рис. 1.2). Относительно параметра λ
2.4. Зависимость решений от параметров 37
предположим для простоты, что он принимает свои значения в некотором отрезке λ ∈ [λ
ластью определения функции f (t, x, λ) является следующее множество
в пространстве R
3
:
]. Другими словами, будем считать, что об-
1,λ2
Δ=Ω×[λ
Пусть (t
ния (2.16):
0,x0
] ≡{(t, x, λ): (t, x) ∈Ω,λ1 λ λ2}.
1,λ2
,λ) ∈ Δ. Рассмотрим задачу Коши для уравне-
= f (t, x, λ),
x
)= x0.
x(t
0
(2.17)
Решение задачи Коши (2.17) (если, конечно, оно существует) зави-
ситотпараметра:x = x(t, λ).
Следующее утверждение называют теоремой о непрерывной зави-
симости решения задачи Коши от параметров.
Тео рем а 2. 5 . Пусть f(t, x, λ) ∈ C(Δ), причем функция f (t, x, λ)
вобластиΔ удовлетворяет условию Липшица по переменной x:
|f(t, x
для любых точек (t, x
висит от t, x
бой точки (t
, x2и λ. Тогда существует h>0 такое, что для лю-
1
) ∈ Ω задача Коши (2.17) имеет единственное реше-
0,x0
ние x = x(t,λ), определенное по t в интервале |t−t
это решение непрерывно на отрезке [λ
,λ) − f (t, x2,λ)| L|x1− x2| (2.18)
1
,λ), (t, x2,λ) ∈ Δ, где постоянная L>0 не за-
1
| <h, причем по λ
0
1,λ2
].
Эта теорема доказывается по той же схеме, что и доказательство
теоремы Пикара 2.3 (см. главу 10).
2.4.3. Теорема о зависимости решения от начальных данных
Вернемся к вопросу о зависимости решения задачи Коши (2.3) от
начальных данных t
и x0.Пусть(t0,x0) ∈ Ω и предположим, что для
0
задачи Коши (2.3) выполнены условия теоремы Пикара 2.3. Тогда для
каждой фиксированной пары (t
задача Коши (2.3) имеет единственное решение x = x(t, t
ленное в интервале |t −t
| <h0. Из этого еще не следует, что найдется
0
общее h>0 такое, что при любом выборе пары (t
ющее решение x = x(t, t
) будет определено на интервале |t−t0| <h.
0,x0
) ∈ Ω существует h0> 0 такое, что
0,x0
0,x0
) ∈Ω соответству-
0,x0
), опреде-
Пример 2.8. В примере 2.7 было отмечено, что решение задачи
Коши (2.15) определено лишь в интервале −π/2 <t<π/2: им является
38 Глав а 2
функция x =tgt. Используя этот факт, рассмотрим семейство задач
Коши
=1+x2,x(tn)=tgtn,n=1, 2, ··· ,
x
π
где t
=
n
1
. Решением каждой задачи является, очевидно, та
−
n
2
же функция x =tgt, и это решение определено лишь в интервале
−π/2 <t<π/2, и если говорить об интервалах вида |t − t
1
то максимальным будет интервал |t −t
| <hn=
n
.Таккакh
n
не найдется общего h>0 такого, что при любом выборе пары (t
∈ (−π/2,π/2)) соответствующее решение x = x(t,t0,x0) будет опре-
(t
0
делено на интервале |t − t
| <h.
0
| <h,
n
→ 0,то
n
0,x0
Таким образом, вообще говоря, не следует ожидать, что областью
определения функции x = x(t,t
|t −t
| <h, (t0,x0) ∈ Ω}. Однако если сузить область изменения на-
0
чальных данных t
и x0, то это уже будет так. При этом имеет место
0
) будет множество вида {(t, t0,x0):
0,x0
следующее утверждение, называемое теоремой о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных.
Тео рем а 2. 6 . Пусть для задачи Коши (2.3) выполнены усло-
вия теоремы Пикара 2.3. Тогда существует h>0 иобластьΩ
0
⊂ Ω
такие, что задача Коши (2.3) для каждой фиксированной пары начальных значений (t
= x(t, t
x = x(t, t
), определенное в интервале |t − t0| <h, причем функция
0,x0
) будет непрерывной функцией начальных данных t0и x
0,x0
) ∈ Ω0имеет единственное решение x =
0,x0
вобластиΩ0равномерно относительно переменной t ∈ (t0−h, t0+ h).
)
0
Доказательство этой теоремы проводится путем сведения к тео-
реме 2.5 о непрерывной зависимости решения от параметров, причем
роль параметров играют t
и x0.
0
Пример 2.9. Рассмотрим вновь вопрос об изменении температу-
ры нагретого тела, приводящий к задаче Коши (2.4). Правая часть
уравнения θ
= −k(θ − T0) непрерывно зависит от параметров k и T
и удовлетворяет условию Липшица по переменной θ с константой K>0
равномерно по всем k ∈ [−K, K] иполюбымT
. Поэтому в силу теоре-
0
мы 2.5 решение задачи Коши (2.4) непрерывно зависит от параметров k
. Оно же в силу теоремы 2.6 непрерывно зависит от начальных дан-
и T
0
ных t
выше формулы (2.5) решения задачи Коши (2.4): θ(t)=e
и θ0.
0
Впрочем, все сказанное следует и непосредственно из полученной
kt
0
(θ0−T0)e
−kt
0
+
2.5. Общее решение и общий интеграл 39
+ T0, правая часть которого является непрерывной функцией как па-
раметров k и T
, так и начальных данных t0и θ0.
0
2.5. Общее решение и общий интеграл
дифференциального уравнения
2.5.1. Общее решение
В условиях теорем 2.1 и 2.3 уравнение (2.1) имеет бесконечно много
решений. Действительно, в условиях этих теорем через каждую точку (t
уравнения (2.1). Выберем произвольную точку (t
точку проходит какая-либо интегральная кривая x = ϕ
ния (2.1). Выберем теперь точку (t
гральной кривой x = ϕ
гральная кривая x = ϕ
бесчисленное множество различных интегральных кривых и, следовательно, решений уравнения (2.1).
нечно много решений, подтверждают и рассмотренные на с. 23 и с. 32
примеры 1.3, 2.2 и 2.5. В этих примерах множество решений дифференциального уравнения может быть описано введением произвольной
постоянной C. Оказывается, такой подход применим и в общей ситуации.
ко одна интегральная кривая уравнения (2.1) (например, для уравнения (2.1) в области Ω выполнены условия теоремы 2.3).
) ∈ Ω проходит по крайней мере одна интегральная кривая
0,x0
) ∈ Ω, не лежащую на инте-
(t); через точку (t2,x2) проходит другая инте-
1
(t). Продолжая этот процесс, можно получить
2
2,x2
) ∈ Ω; через эту
1,x1
(t) уравне-
1
Тот факт, что дифференциальное уравнение может иметь беско-
Пусть через каждую точку (t
) ∈ Ω проходит одна и толь-
0,x0
Определение 2.5. Общим решением дифференциального урав-
нения (2.1) в области Ω называется семейство функций x = x(t, C ),
зависящих от произвольного постоянного C так, что:
1) при каждом допустимом значении C функция x = x(t,C) является
решением уравнения (2.1);
2) для любой точки (t
шение x=x(t, C
) удовлетворяет начальному условию x(t0,C0)=x0.
0
) ∈ Ω найдется постоянная C0такая, что ре-
0,x0
Геометрически общее решение x = x(t, C) представляет собой се-
мейство интегральных кривых на плоскости (t, x): при различных значениях C будем получать различные интегральные кривые и, наоборот,
40 Глав а 2
каждая интегральная кривая определяется функцией x = x(t, C) при
некотором значении C.
Пусть требуется найти значение C
щего решения. Для этого необходимо решить уравнение x(t
из условия 2 определения об-
0
,C)=x
0
относительно C. Решая его и подставляя найденное значение C = C
в формулу общего решения x = x(t, C), получим искомое решение x =
= x(t,C
).
0
Замечание 2.1. Понятие общего решения дифференциального уравнения тесно связано с областью Ω, в которой рассматривается правая часть уравнения. Для одного и того же уравнения при различных
областях Ω будут получаться различные общие решения.
Пример 2.10. Рассмотрим снова уравнение (2.10). Покажем, что
общим решением этого уравнения во всей плоскости P переменных t и x
является функция x = Ce
at
. Действительно, во-первых, так как правая часть этого уравнения во всей плоскости P удовлетворяет условиям
теоремы 2.3, то через каждую точку этой плоскости P проходит одна
и только одна интегральная кривая уравнения. Во-вторых, при всех
значениях C функция x = Ce
Наконец, если мы хотим определить решение, проходящее через точку (t
дем C = C
в виде x = x
) ∈ P , то, решая уравнение Ce
0,x0
0
= x0e
a(t−t0)
e
0
−at
0
, и, следовательно, искомое решение записывается
.
at
является решением уравнения (2.10).
at
0
= x0относительно C,най-
Пример 2.11. Рассмотрим уравнение
0
0
x
dx
dt
, (2.19)
=
t
правая часть которого определена при ненулевых t. Покажем, что
функция x = Ct (t =0) является общим решением этого уравнения
в области
Ω={(t, x):0<t<∞, −∞ <x<∞}.
Действительно, во-первых, в этой области все условия теоремы 2.3 выполнены и, следовательно, через каждую ее точку проходит единственная интегральная кривая уравнения (2.19). Далее, при каждом значении C функция x = Ct (t =0) является решением уравнения (2.19).
Наконец, для любой точки (t
что решение x = C
очевидно, C
=
0
t удовлетворяет начальному условию x(t0)=x0;
0
x
0
.
t
0
) ∈ Ω найдется постоянная C0такая,
0,x0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]