Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
3.6. Уравнения Бернулли и Риккати 61
y
6
B
M
q
y
0
P
x
0
0
Рис. 3.1
Условие задачи приводит к уравнению
-
x
2
.
0
Переобозначая y = y
y
− y(x0)x0= y
0
, x = x0и считая, что x =0, получим уравнение
0
Бернулли
y = −
1
2
y
.
x
−1
, получим ли-
1
−
y
x
Произведя в полученном уравнении замену u = y
нейное уравнение u
+
семейство функций u =
1
x
1
u =
, общим решением которого является
x
1
(C + x). Поэтому решением поставленной
x
задачи будет семейство функций
x
y =
x + C
.
Очевидно, решением задачи будет и полуось 0x: y =0(x =0).
3.6.2. Уравнение Риккати
Уравнением Риккати называют уравнение первого порядка с квадратичной правой частью:
dx
dt
= p(t)x
2
+ q(t)x + r(t), (3.43)
62 Глав а 3
где p(t) ∈ C(a, b), q(t) ∈ C(a, b) и r(t) ∈ C (a, b) (−∞ a<b ∞).
При p(t) ≡ 0 или r(t) ≡ 0 уравнение (3.43) превращается соответственно в линейное уравнение или уравнение Бернулли. Поэтому при рассмотрении уравнения Риккати обычно предполагают, что функции p(t)
и r(t) являются ненулевыми.
Так как правая часть уравнения (3.43) является непрерывной по
t ∈(a, b) и дифференцируемой по x ∈ (−∞, ∞), то в силу теоремы 2.2 за-
дача Коши для этого уравнения с любым начальным условием x(t
= x
при t0∈ (a, b) имеет единственное решение, определенное в неко-
0
торой окрестности t
. В силу этого уравнение Риккати не имеет особых
0
0
)=
решений; все его решения являются частными.
Уравнение (3.43) в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Оно интегрируется, например, в случае, когда p(t), q(t) и r(t) являются
постоянными или когда p(t)=aϕ(t), q(t)=bϕ(t) и r(t)=cϕ(t).
3.7. Уравнения, допускающие понижение порядка
Во многих случаях дифференциальное уравнение n-го порядка
F (t, x, x
,x
, ··· ,x
(n)
)=0 (3.44)
можно свести к уравнению более низкого порядка путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы таких уравнений. При этом ограничимся для простоты рассмотрением уравнений
второго порядка, а именно рассмотрим уравнения вида
,x
F (t, x
и
F (x, x
)=0 (3.45)
,x
)=0, (3.46)
т. е. уравнения, в которые либо не входит искомая функция, либо независимая переменная t.
3.7.1. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию
Рассмотрим сначала уравнение (3.45). Положим y = x
y
= xи, следовательно, уравнение (3.45) преобразуется к уравнению
первого порядка
F (t, y, y
)=0. (3.47)
.Тогда
3.7. Уравнения, допускающие понижение порядка 63
Пусть y = y(t) — какое-либо решение уравнения (3.47); тогда, учитывая равенство y = x
, найдем решение исходного уравнения (3.45)
в виде
x =y(t) dt + C,
где C — произвольная постоянная.
Пример 3.8. Решить уравнение второго порядка
x
= x2+1.
Так ка к x не входит явно в уравнение то полагая y = x
уравнение y
переменными. Разрешая его, получим y =tg(t + C
= y2+1, которое является уравнением с разделяющимися
).Таккакx= y,
1
, получим
то получим общее решение задачи
где C
x =tg(t + C
и C2— произвольные постоянные.
1
) dt + C2= −ln |cos(t + C1)| + C2,
1
3.7.2. Уравнения, не содержащие явно независимую
переменную
Рассмотрим теперь уравнение (3.46). Будем считать в этом уравнении x независимой переменной, а x
от x,т.е.x
= p(x),гдеp(x) — некоторая функция.
— искомой функцией, зависящей
Так как
2
dp(x)
x
d
т. е. x
=
2
dt
= p·x, то уравнение (3.46) преобразуется к уравнению первого
dxdxdt
,
порядка
F (x, p,
dp
)=0. (3.48)
dx
Пусть p = p(x) — какое-либо решение уравнения (3.48); тогда, учиты-
вая равенство p(x)=
из равенства
dx
, найдем решение исходного уравнения (3.46)
dt
dx
= t + C,
p(x)
где C — произвольная постоянная.
64 Глав а 3
Пример 3.9. Решить уравнение второго порядка
2
x
+2xx=0.
Положим x
2
ние p
имеем x
= p(x).Тогдаx= pp и, следовательно, получим уравне-
+2xpp =0.Отсюдаp =0или p +2xp=0. В первом случае
=0,т.е.x = C. Второй случай сводится к двум уравнениям
с разделяющимися переменными, первым из которых является урав-
нение p +2x
dp
=0. Решая это уравнение, получим второе уравнение
dx
C
dx
dt
1
=
,
√
x
из которого найдем общее решение задачи (решите последнее уравнение).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Решите уравнения:
(a) tx
− x = x3; (b) txx=1−t2.
3.2. Решите уравнения:
x/t
x
+
;(b)(t − x)xdt −t
t
(a) x
3.3. Решите уравнения:
(a)(3t
= e
2
+6tx2)dt +(6t2x +4x3)dx =0;
(b)(t + x)dt +(t +2x)dx =0.
x
3.4. Решите уравнение x
3.5. Найдите решения следующих задач Коши:
(a) tx
(b) x
+ x −et=0,x(2) = 1;
− x tg t =
1
,x(0) = 0.
cos t
= t.
−
t
2
dx =0.
Гла ва 4
Линейные уравнения
Теория линейных уравнений является важнейшей и наиболее развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений.
Она имеет многочисленные приложения в задачах физики, механики,
астрономии, техники, биологии, экономики и других областях. Теория
линейных уравнений полезна в качестве первого приближения и при
анализе нелинейных задач.
Простейший класс линейных дифференциальных уравнений первого порядка x
удается решить в квадратурах.
В этой главе рассматриваются линейные уравнения более высоких
порядков, а также системы линейных уравнений. Основным объектом
изучения будут линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
где p
(t), ··· ,pn(t) и f(t) — некоторые функции. Такие уравнения
1
при n 2 далеко не всегда можно решить в квадратурах. Уравнение (4.2) называют однородным, а уравнение (4.1) — неоднородным.
Ниже коэффициенты p
стоты будем считать определенными и непрерывными на отрезке [a, b]
функциями, т. е. будем считать, что p
Частным случаем уравнений (4.1) и (4.2) являются линейные урав-
нения n-го порядка с постоянными коэффициентами
+p(t)x = q(t) был рассмотрен в п. 3.5. Такие уравнения
(n)
x
x
+ p1(t)x
(n)
(n)
x
x
+ p1(t)x
+ p1x
(n)
+ p1x
(n−1)
+ ··· + p
(n−1)
+ ··· + p
(t), ··· ,pn(t) и f (t) этих уравнений для про-
1
(n−1)
+ ··· + p
(n−1)
+ ··· + p
(t)x+ pn(t)x = f (t), (4.1)
n−1
(t)x+ pn(t)x =0, (4.2)
n−1
(t),f(t) ∈ C[a, b].
j
x+ pnx = f (t), (4.3)
n−1
x+ pnx =0. (4.4)
n−1
66 Глав а 4
4.1. Вспомогательные сведения
В этом пункте приводятся некоторые вспомогательные понятия
и факты, связанные со свойствами систем функций.
4.1.1. Понятие линейной независимости функций
Пустьданасистемаизn непрерывных на отрезке [a, b] функций ϕ
вают линейно независимой на отрезке a t b, если из тождества
(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t).
1
Определение 4.1. Систему функций ϕ
α
(t)+α2ϕ2(t)+···+ αnϕn(t) ≡ 0,t∈ [a, b],
1ϕ1
(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) назы-
1
где α
α
=0, ···, αn=0. В противном случае систему функций ϕ1(t), ϕ2(t),
2
···, ϕ
, ··· ,αn— некоторые постоянные, следуют равенства α1=0,
1,α2
(t) называют линейно зависимой.
n
Пример 4.1. Функции ϕ
(t)=sint, ϕ2(t)=cost и ϕ3(t)=sint +
1
+cost образуют линейно зависимую систему, так как выполняется тож-
дество α
= −1, т.е. при некоторых α1,α2и α3, не все из которых равны нулю.
α
3
Пример 4.2. Функции ϕ
(t)+α2ϕ2(t)+α3ϕ3(t) ≡ 0, например, при α1=1,α2=1,
1ϕ1
(t)=1,ϕ1(t)=t, ϕ2(t)=t2, ··· ,ϕn(t)=t
0
образуют линейно независимую систему на любом отрезке a t b.
Действительно, если бы они были линейно зависимыми на некотором
отрезке a t b, то нашлись бы числа α
, ··· ,αn, из которых по
0,α1
меньшей мере одно ненулевое, такие, что
1+α1t + α2t2+ ··· + αntn≡ 0,t∈ [a, b]. (4.5)
α
0
Левая часть последнего тождества — это многочлен. Так как по предположению этот многочлен является ненулевым, то в силу основной
теоремы алгебры он не может иметь более n корней, что противоречит
тождеству (4.5).
Пример 4.3. Система функций ϕ
(t)=e
ϕ
n
knt
,гдеki= kjпри i = j, линейно независима на любом
(t)=e
1
k1t
,ϕ2(t)=e
k2t
, ··· ,
отрезке a t b. Ограничимся установлением справедливости этого факта для случая n =2. В предположении противного получили
бы существование двух чисел α
рых ненулевое, и таких, что α
и α2, по крайней мере одно из кото-
1
k1t
e
1
+ α2e
k2t
≡ 0 на некотором отрезке
n
4.1. Вспомогательные сведения 67
a t b. Пусть для определенности α1=0. Тогда получим
α
2
(k2−k1)t
e
−
α
1
чего не может быть, так как слева, в силу предположения k
находится либо непостоянная функция (если α
функция (если α
2
=0).
≡ 1,
=0), либо нулевая
2
1
= k2,
4.1.2. Определитель Вронского
Непосредственная проверка линейной независимости системы функций часто сопряжена с трудностями того или иного характера. В случае дифференцируемых функций проверка указанного свойства может
быть существенно облегчена. С этой целью введем следующее понятие.
Определение 4.2. Определителем Вронского или вронскианом
системы функций ϕ
W (t)=det
(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) называют определитель
1
⎡
ϕ
(t) ϕ2(t) ··· ϕn(t)
1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(n−1)
ϕ
1
ϕ
ϕ
(t) ϕ
1
(t) ϕ
1
.
.
.
(t) ϕ
(t) ··· ϕ
2
(t) ··· ϕ
2
.
.
.
(n−1)
2
.
.
.
(t) ··· ϕ
(n−1)
n
⎤
⎥
(t)
n
⎥
⎥
(t)
n
.
.
.
. (4.6)
⎥
⎥
⎦
(t)
Важную роль в задачах проверки линейной независимости системы функций ниже играет
Тео рем а 4. 1. Пусть вронскиан W(t) системы функций ϕ
(t), ···, ϕn(t) отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a, b].
ϕ
2
1
(t),
Тогда эта система линейно независима.
Справедливость этой теоремы вытекает из следующего утверждения.
Лемма 4.1. Если система функций ϕ
(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) ли-
1
нейно зависима на [a, b],тоихвронскианW (t) тождественно равен
нулю на [a, b].
Доказательство.
Ограничимся рассмотрением случая n =2.
В этом случае вронскиан (4.6) имеет вид
W (t)=det
ϕ
ϕ
(t) ϕ2(t)
1
(t) ϕ
1
. (4.7)
(t)
2
68 Глав а 4
Пусть функции ϕ1(t) и ϕ2(t) на отрезке [a, b] образуют линейно зависимую систему. Тогда одну из функций можно линейно выразить через другую. Пусть для определенности функцию ϕ
выразить через ϕ
(t), т. е. выполняется тождество ϕ1(t) ≡ kϕ2(t) при
2
(t) можно линейно
1
некоторой постоянной k. Подставляя это равенство в формулу (4.7),
получим требуемый результат.
Отметим, что теорема 4.1 необратима (см. приводимую ниже задачу 4.2).
4.2. Линейные однородные уравнения
Уравнения (4.1) и (4.2) не всегда удается решить в квадратурах.
Поэтому важно знать общие свойства решений таких уравнений.
4.2.1. Общее и частное решения
Прежде всего приведем понятия общего и частного решений уравнений (4.1) и (4.2) (см. также раздел 2.5).
Определение 4.3. Общим решением уравнения (4.1) (уравне-
ния (4.2)) на отрезке [a, b] называют зависящую от произвольных постоянных C
, C2, ···, Cnфункцию x(t, C1, ··· ,Cn) такую, что:
1
1) при произвольных C
, ···, Cnона на отрезке [a, b] является реше-
1
нием уравнения (4.1) (уравнения (4.2));
2) для любой точки (t
такие, что решение x(t, C1, ··· ,Cn) удовлетворяет начальному
C
n
условию x(t
, ··· ,Cn)=x0.
0,C1
) (t0∈ [a, b], x0∈ R) найдутся C1, ···,
0,x0
4.2.2. Фундаментальная система решений
Важным является следующее понятие.
Определение 4.4. Фундаментальной системой решений одно-
родного уравнения (4.2) на отрезке [a,b] называют любую линейно
независимую систему определенных на этом отрезке решений ϕ
(t), ···, ϕn(t) уравнения.
ϕ
2
1
(t),
Понятие фундаментального решения позволяет дать полное описание общих решений однородного уравнения (4.2).
4.3. Линейные уравнения второго порядка 69
Тео рем а 4 . 2. Пусть функции ϕ1(t), ϕ2(t), ···, ϕn(t) образуют
фундаментальную систему решений однородного уравнения (4.2).Тогда функция
x(t)=C
где C
, C2, ···, Cn— произвольные постоянные, является общим ре-
1
(t)+C2ϕ2(t)+···+ ϕn(t), (4.8)
1ϕ1
шением уравнения (4.2).
Доказательство этой теоремы и более детальное изучение приведенных понятий будет приведено ниже для случая n =2.
4.3. Линейные уравнения второго порядка
Для простоты изложения, а также с учетом многочисленных приложений значительная часть этой главы посвящена изучению линейных уравнений второго порядка, т.е. изучению уравнений
x
+ p(t)x+ q(t)x =0, (4.9)
x
+ p(t)x+ q(t)x = f(t), (4.10)
где p(t),q(t) и f (t) — некоторые функции так, что p(t),q(t),f(t) ∈ C [a, b].
Все свойства, факты и утверждения, приводимые в этой главе для
уравнений второго порядка, без особых проблем (естественно, с соответствующими изменениями в формулировках) переносятся и на уравнения n-го порядка. Некоторые замечания относительно уравнений n-
го порядка приводятся ниже в п. 4.6.
4.3.1. Задача Коши
Уравнения (4.9) и (4.10) удобно записывать в следующей краткой
форме:
Lx(t)=0, (4.11)
Lx(t)=f(t), (4.12)
где выражение Lx(t) определяется соотношением
Lx(t)=x
(t)+p(t)x(t)+q(t)x(t). (4.13)
Соотношение (4.13) можно рассматривать как отображение или
оператор, действующий в различных классах функций. Например, если
70 Глав а 4
коэффициенты p(t) и q(t) являются непрерывными на отрезке a t b
функциями, т.е. p(t),q(t),f(t) ∈ C[a, b], то равенство (4.13) определяет
правило, по которому каждой функции x(t) ∈ C
ветствие функция Lx(t) ∈ C[a, b]. Таким образом, в указанном случае
определен оператор L : C
2
[a, b] → C [a, b].
2
[a, b] ставится в соот-
Задача Коши для уравнения (4.10) формулируется в виде:
Lx(t)=f(t),x(t
где t
∈ [a, b] и x0,x1— некоторые заданные числа. Другими словами,
0
для заданных t
, x0и x1требуется найти решение x(t) уравнения (4.10),
0
удовлетворяющее начальным условиям x(t
)=x0,x(t0)=x1, (4.14)
0
)=x0,x(t0)=x1. Анало-
0
гично формулируется задача Коши для уравнения (4.9).
Если ввести в рассмотрение новые переменные x
= x и x2= x,
1
то от уравнения (4.10) можно перейти к равносильной нормальной системе двух уравнений первого порядка
= x2,
x
1
= −q(t)x1− p(t)x2+ f (t),
x
2
так что если x(t) — это решение уравнения (4.10), то вектор-функция
(x(t),x
функция (x
= x
(t)) будет решением системы (4.15), и, наоборот, если вектор-
(t),x2(t)) — это решение системы (4.15), то функция x(t)=
(t) будет решением уравнения (4.10).
1
1
(4.15)
Для нормальной системы (4.15) выполнены все условия теоремы 2.3 и, следовательно, задача Коши (4.14) имеет и притом единственное решение.
4.3.2. Свойства решений
В этом разделе будут указаны общие свойства решений уравнений (4.9) и (4.10).
Свойства решений однородного уравнения
Укажем сначала некоторые свойства определенного равенством (4.13)
оператора L. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 4.2. Пусть x(t),x
(t),x2(t) ∈ C2[a, b] и k — постоянная.
1
Тогда справедливы равенства
L[kx(t)] = kLx(t),L[x
(t)+x2(t)] = Lx1(t)+Lx2(t). (4.16)
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]