Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
1.3. Геометрическая интерпретация 21
такая, что xk(t) ∈ C1[a, b] для всех k =1, 2, ··· ,n, и удовлетворяющая
на этом отрезке системе (1.22), т. е. при подстановке в (1.22) вместо x
вектор-функции (1.31) получим тождество.
То, что решения дифференциального уравнения (1.12) или системы (1.22) определяются на отрезке [a, b], не принципиально. Вместо отрезка [a, b] можно, например, рассматривать любой промежуток (a, b),
(a, b] или [a, b), а также всю числовую ось.
Простая проверка показывает, что, например, на всей числовой оси
функция θ(t)=e
−kt
+ T0является решением уравнения (1.3), а функ-
ция x(t)=−0.5sint — решением уравнения (1.13). Уравнение (1.8)
имеет решения x(t)=sinωt и x(t)=cosωt.
Не всякое дифференциальное уравнение имеет решение. Например, уравнение (x
ства [x
(t)]2 0.
Дифференциальное уравнение может иметь ровно одно решение; например, уравнение (x
)2
+1= 0 не имеет решений; это следует из неравен-
)2+x2
=0 имеет только нулевое реше-
ние x(t) ≡ 0.
Наконец, дифференциальное уравнение может иметь бесконечно много решений. Например, уравнение (1.3), наряду с решением
θ(t)=e
−kt
+ T0, имеет также решения вида θ(t)=Ce
−kt
+ T0,гдеC —
произвольная постоянная. Уравнение (1.13), наряду с решением x(t)=
= −0.5sint, имеет также решения вида x(t)=C
где C
и C2— произвольные постоянные. Уравнение (1.1), как это до-
1
et+ C2e−t− 0.5sint,
1
казывается в курсе математического анализа, для любой непрерывной
функции f (x) имеет бесконечно много решений вида (1.2), где C —
произвольная постоянная. Уравнение (1.5) имеет бесконечно много решений вида x(t)=C
sin ωt + C2cos ωt.
1
Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются нахождение решений уравнений и исследование их свойств. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Проинтегрировать
дифференциальное уравнение — это значит найти те или иные его решения.
1.3. Геометрическая интерпретация уравнений
первого порядка
В этом параграфе будет дана геометрическая интерпретация скалярного дифференциального уравнения первого порядка (1.15).
22 Глав а 1
x
P
6
P
m
q
p
0
!
!
!
α
-
t
Ω
x
6
!L
!
!
M
0
!
x
q
0
!
!
x = x(t)
!
!
!
ab
t
0
Ω
-
t
ab
Рис. 1.2
1.3.1. Интегральные кривые
Для наглядного геометрического представления уравнения (1.15)
введем в рассмотрение координатную плоскость P переменных t и x
(см. рис. 1.2 a).
Функция f (t, x) в правой части уравнения (1.15) может быть опре-
делена не для всех значений аргументов t и x или, говоря геометрическим языком, не во всех точках плоскости P , а лишь в точках некоторого множества Ω ⊂ P . Будем для определенности предполагать, что
множество Ω является областью.
1
Определение 1.6. Пусть x = x(t) — это решение уравнения (1.15).
Функция x = x(t) в плоскости P будет изображаться в виде некоторой
кривой, проходящей в области Ω. Эта кривая называется интегральной
кривой (см. рис. 1.2 b).
Пусть M
0(t0,x0
) ∈ Ω так, что x0= x(t0), т. е. точка M0расположена на кривой x = x(t).ПустьL — это касательная к кривой x = x(t),
проведенная в точке M
лу производной выполняется равенство tg α = x
образованный касательной L сосьюt.Нотаккакx = x(t) —эторешение уравнения (1.15), то x
(см. рис. 1.2 b). По геометрическому смыс-
0
(t0)=f[t0,x(t0)]. Поэтому tg α = f (t0,x0).
(t0),гдеα —угол,
Другими словами, в каждой точке области Ω значения функции f(t, x)
1
Множество Ω ⊂ Rnназывают открытым, если любая его точка x0является
внутренней для Ω,т.е.вΩ входит и некоторый шар T(x
диуса r с центром в точке x
его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в Ω. Связное
открытое множество называют областью.
. Множество Ω называют связным, если любые две
0
,r) положительного ра-
0
1.3. Геометрическая интерпретация 23
x
x
6
’
M
q
α
t
-
t
@
@
@
@
@
@
@
@
x
6
P
B
A
B
A
B
B
A
A
B
B
B
A
A
B
B
−1.5 −1a−0.500.511.5
B
A
B
A
P
t
-
b
Рис. 1.3
определяют направление касательной к интегральной кривой уравнения (1.15).
Пример 1.3. Рассмотрим уравнение
dx
=2t. (1.32)
dt
В каждой точке (t, x) значения функции f(t, x)=2t определяют на-
правление касательной к интегральной кривой уравнения (1.32), так
что угол между касательной и осью 0x определяется из равенства
tg α =2t (см. рис. 1.3 a). Решениями уравнения (1.32) являются
функции x = t
2
+ C,гдеC — произвольная постоянная. Поэтому
интегральными кривыми уравнения (1.32) будет семейство парабол
(см. рис. 1.3 b). Эти параболы таковы, что в каждой их точке M(t, x)
угловой коэффициент касательной MT равен tg α =2t.
1.3.2. Поле направлений и изоклины
Проведем через каждую точку (t, x) ∈ Ω отрезок единичной длины
таким образом, чтобы середина его лежала в точке (t, x), а направление
составляло с осью t угол α,гдеtg α = f(t, x) (см. рис. 1.4 a).
Полученную картину называют полем направлений, определенным
уравнением (1.15). Поле направлений обладает тем важным свойством,
что направление касательной в каждой точке интегральной кривой совпадает с направлением поля в этой точке.
При построении поля направлений полезно использовать так называемые изоклины.
24 Глав а 1
P
a
x
6
x
α
t
t
-
P
b
x
6
t
-
Рис. 1.4
Определение 1.7. Кривая, в каждой точке которой наклон поля
направлений, определенного уравнением (1.15), один и тот же, называется изоклиной этого уравнения.
Непосредственно из этого определения следует, что уравнения изоклин имеют вид
f(t, x)=k, (1.33)
где k — некоторое число. При заданном значении k уравнение (1.33)
определяет кривую (изоклину), в каждой точке которой наклон поля
направлений равен k, т.е. касательные ко всем интегральным кривым
уравнения (1.15), пересекающим эту изоклину, образуют с осью t угол α
так, что tg α = k.
Поле направлений и изоклины позволяют получить информацию
о поведении интегральных кривых (и, следовательно, решений) уравнения (1.15). Построив поле направлений и изоклины, можно приближенно изобразить интегральные кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля (см. рис. 1.4 b). Такой способ
приближенного построения интегральных кривых называют методом
изоклин.
Пример 1.4. Методом изоклин построить приближенно поле интегральных кривых уравнения (1.32). Изоклины для этого уравнения
определяются соотношением 2t = k,т.е.имислужатпрямыеt = k/2
(см. рис. 1.3 a).
При этом на прямой t = k/2 наклон поля направлений будет равен k (например, на прямой t =1/2 наклон поля направлений равен 1,
т. е. касательные ко всем интегральным кривым, пересекающим эту
1.3. Геометрическая интерпретация 25
прямую, образуют с осью t угол π/4). Рис. 1.3 a позволяет прибли-
женно изобразить поле интегральных кривых. Несложно видеть, что
ими будут параболы (см. рис. 1.3 b).
Выше предполагалось, что функция f(t, x) определена и, следова-
тельно, конечна в каждой точке области Ω. Допустим теперь, что для
некоторой точки (t
) ∈ Ω имеем f (t, x) →∞при (t, x) → (t0,x0).
0,x0
В этом случае, наряду с уравнением (1.15), можно рассмотреть уравнение
dt
dx
=
1
, (1.34)
f(t, x)
используя которое можно изобразить поле направлений уравнения (1.15)
в окрестности точки (t
); очевидно, в точке (t0,x0) поле будет иметь
0,x0
направление, параллельное оси 0x.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Выясните, являются ли решениями данных дифференциаль-
ных уравнений указанные функции:
a) tx
c) x
=2x, x =5t2; b) x= x +2e3t,x= e3t+ et;
= x2+ t2,x=1/t; d) x+ x =0,x=3sint −cos t.
1.2. Дифференциальное уравнение
2t(x
e
− 1)2− x4=0
привести к уравнениям вида (1.15). Является ли функция x = e
шением этого уравнения?
1.3. Изобразите в плоскости (t, x) поле направлений, определенных
дифференциальным уравнением x
= x2. Какие линии в этой плоско-
сти являются изоклинами указанного уравнения?
1.4. Методом изоклин построить приближенно поле интеграль-
ных кривых для указанных ниже дифференциальных уравнений:
a) x
= −t; b) x=1+x2; c) x= −
t
.
x
t
ре-
Гла ва 2
Задача Коши и теоремы
существования
Приведенные в п. 1.2.4 примеры показывают, что дифференциальное уравнение может не иметь решений, может иметь несколько решений или иметь бесчисленное множество решений. Возникают естественные вопросы, во-первых, об условиях, при которых данное дифференциальное уравнение имеет решение, и, во-вторых, об описании совокупности всех решений уравнения (если, конечно, решения существуют).
В этой главе указанные вопросы обсуждаются для дифференциальных
уравнений первого порядка.
2.1. Понятие задачи Коши
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка вида (1.15), т. е. уравнение
dx
= f(t, x). (2.1)
dt
Пусть в уравнении (2.1) f(t, x) — это функция двух переменных t и x, определенная в некоторой области Ω (см. рис. 1.2).
Пусть (t
Определение 2.1. Задачей Коши для дифференциального урав-
нения (2.1) называется задача нахождения решения x = x(t) этого
уравнения, определенного в некоторой окрестности точки t
творяющего начальному условию
0,x0
) ∈ Ω.
и удовле-
0
)=x0. (2.2)
x(t
0
Указанное решение (если оно существует) называют решением задачи
Коши.
2.2. Теоремы существования и единственности 27
Задачу Коши для уравнения (2.1) удобно записывать в виде системы
x
)= x0.
x(t
0
= f(t, x),
(2.3)
Геометрически задача Коши (2.3) означает, что требуется найти
интегральную кривую дифференциального уравнения (2.1), проходящую через точку (t
). Другими словами, из всего многообразия ре-
0,x0
шений дифференциального уравнения (2.1) задача Коши выделяет решение, проходящее через точку (t
0,x0
).
Пример 2.1. Рассмотрим вновь задачу об изменении температуры тела, приводящую к уравнению (1.3). Из физических соображений
ясно, что если нам известна начальная температура θ(t
в некоторый момент времени t
и известен общий закон изменения тем-
0
)=θ0тела
0
пературы, т. е. уравнение (1.3), то можно однозначно определить, как
будет изменяться температура тела в зависимости от времени t при
. В математической постановке для этого следует найти решение
t t
0
задачи Коши
Как было отмечено выше, уравнение θ
нечно много решений вида θ(t)=Ce
= −k(θ − T0),
θ(t
θ
)=θ0.
0
= −k(θ − T0) имеет беско-
−kt
+ T0,гдеC — произволь-
(2.4)
ная постоянная. Среди них есть и решение задачи Коши (2.4), для
нахождения которого следует определить постоянную C из равенства
Ce
−kt
0
+ T0= θ0. Отсюда получим C = e
kt
0
(θ0− T0). Поэтому решение
задачи (2.4) имеет вид
θ(t)=e
kt
0
(θ0− T0)e
−kt
+ T0. (2.5)
2.2. Теоремы существования и единственности
решения задачи Коши
Основным в задаче Коши является вопрос о том, существует ли
решение этой задачи и если существует, то единственно ли оно. Этот
вопрос представляет исключительно важный интерес как для самой
теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных
приложений. Если доказать, что решение задачи Коши существует и
единственно, то исследователь приобретает уверенность в том, что он
28 Глав а 2
находится в правильном направлении. Часто доказательства теорем
существования и единственности решения задачи Коши являются конструктивными, т. е. дают метод построения решения.
Теоремы существования и единственности особенно важны для
дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями каких-либо реальных явлений или процессов. Такие уравнения не
могут быть полностью адекватными соответствующим явлениям или
процессам и, следовательно, из существования решения реальной задачи (будь она физической, химической, биологической или другой) еще
не следует существование решения соответствующей математической
задачи. Именно поэтому при изучении математической модели следует
доказывать теоремы существования и единственности.
Теоретически для задачи Коши (2.3) возможны три взаимоисключающие ситуации:
1) задача Коши (2.3) не имеет решения;
2) существует h>0 такое, что в интервале |t − t
| <hопределе-
0
но решение x = x(t) задачи Коши (2.3) и не существует другого
решения, определенного в том же интервале;
3) для любого h>0 найдется положительное h
тервале |t − t
| <h0 h задача Коши (2.3) имеет более одного
0
h такое, что в ин-
0
решения.
Определение 2.2. Будем говорить, что задача Коши (2.3) имеет
единственное решение, если для нее реализуется случай 2). В против-
ном случае, т. е. в случаях 1) или 3), говорят, что в точке (t
0,x0
) на-
рушена единственность решения задачи Коши. При этом в случае 1)
задача Коши (2.3) вовсе не имеет решения, а в случае 3) имеет более
одного решения.
2.2.1. Теорема Пеано
Фундаментальную роль в теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений играет следующая теорема существования решения задачи Коши. В этой теореме Ω представляет собой некоторую область
в плоскости переменных t и x (ограниченную или неограниченную).
Теорема 2.1 (Пеано). Пусть f(t, x) ∈ C (Ω). Тогда для любой
точки (t
определенное в некоторой окрестности точки t
) ∈ Ω существует решение x = x(t) задачи Коши (2.3),
0,x0
.
0
2.2. Теоремы существования и единственности 29
Подчеркнем тот факт, что решение x = x(t), существующее в усло-
виях теоремы 2.1, определено лишь в некоторой (может быть, малой)
окрестности точки t
. Например, решением уравнения x=1+x2сна-
0
чальным условием x(0) = 0 является функция x =tgt, определенная
π
лишь при t ∈ (−
π
,
) (это уравнение обсуждается также в приме-
2
2
ре 2.15 на с. 35).
В условиях теоремы 2.1 может существовать более одного решения
задачи Коши, т. е. в точке (t
) может быть нарушена единствен-
0,x0
ность решения этой задачи. Соответствующий пример будет указан
ниже на с. 33.
2.2.2. О единственности решения задачи Коши
Для того чтобы обеспечить не просто существование, но еще
и единственность решения задачи Коши, необходимо потребовать больше, чем непрерывность функции f(t, x). Оказывается, необходима
большая гладкость функции f (t, x) по переменной x. В частности, един-
ственность обеспечивается дифференцируемостью этой функции по x.
А именно верна
Тео рем а 2 .2 . Пусть f(t, x) ∈ C(Ω) и функция f(t, x) имеет в об-
ласти Ω непрерывную по t и x частную производную
для любой точки (t
) ∈ Ω задача Коши (2.3) имеет единственное
0,x0
∂f(t, x)
∂x
. Тогда
решение.
Можно ли ослабить требование дифференцируемости функ-
ции f(t, x) по x в теореме 2.2? Можно, но не слишком сильно. Нельзя ограничиться требованием только непрерывности, т. к. мы вернемся
к условиям теоремы 2.1, когда, как было уже отмечено выше, задача
Коши может иметь более одного решения. Поэтому ослабление требования дифференцируемости следует искать лишь в направлении свойств,
которые «хуже», чем дифференцируемость, но «лучше», чем непрерывность. Свойства такого рода приводятся в следующем пункте.
Условие Липшица
В теории дифференциальных уравнений важную роль играют не
только непрерывные и гладкие функции, но и функции, удовлетворяюшие условию Липшица.
30 Глав а 2
Определение 2.3. Пусть заданная в некотором промежутке (от-
резке [a, b] или интервале (a, b), конечном или бесконечном) функция ϕ(x) удовлетворяет неравенству
|ϕ(x) − ϕ(y)| K|x − y| (2.6)
для любых x, y ∈ (a, b), где постоянная K>0 не зависит от x и y.Тогда
говорят, что функция ϕ(x) на этом промежутке удовлетворяет условию
Липшица, а соотношение (2.6) называют неравенством Липшица.
Легко показать (полезно убедиться в этом самостоятельно), что
если функция ϕ(x) на некотором промежутке удовлетворяет условию
Липшица, то там она будет непрерывной. Дифференцируемость же не
гарантирована. Например, функция ϕ(x)=|x| всюду удовлетворяет
неравенству Липшица (покажите это), однако при x =0она не имеет
производной ϕ
(x). В то же время дифференцируемость функции на
отрезке [a, b] означает, что она удовлетворяет условию Липшица (покажите и это).
Обозначим через C
[a, b] линейное пространство функций, удо-
L
влетворяющих на отрезке [a, b] условию Липшица. Тогда имеют место
включения
1
[a, b] ⊂ CL[a, b] ⊂ C[a, b]. (2.7)
C
Определение 2.3 легко переносится и на функции многих перемен-
ных. Ограничимся функциями двух переменных.
Определение 2.4. Пусть функция f(t, x) удовлетворяет неравен-
ству
|f(t, x) − f (t, y)| K|x − y| (2.8)
для любых точек (t, x), (t, y) ∈ Ω, где постоянная K>0 не зависит от
t, x, y. Тогда говорят, что функция f (t, x) в области Ω удовлетворяет
условию Липшица по переменной x, а само неравенство (2.8) называют
неравенством Липшица.
Здесь верны те же замечания, что были указаны для определения 2.3. В частности, если функция f(t, x) в области Ω удовлетворяет
условию Липшица по переменной x, то она будет непрерывной по x
при каждом t таком, что (t, x) ∈ Ω. Дифференцируемость по x при
этом не гарантирована. Если же функция f(t, x) дифференцируема по
переменной x при каждом
область
1
), то эта функция в области Ω удовлетворяет условию Липши-
t таком, что (t, x) ∈ Ω (здесь Ω — замкнутая
ца по переменной x.
1
Точку x0называют предельной точкой множества M ⊂ Rn, если найдется после-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]