Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
6.5. Системы второго порядка 111
A1
-
q
1
y
2
6
?
U
y
)
1
-
i
K
6
A2
i
)
y
2
6
6
K
y
1
1
-
-
q
U
?
-
3
s
y
2
6
6
]
y
1
k
-
+
^
?
A3
Рис. 6.5
A3) λ
< 0 и λ2> 0. В этом случае e
1
λ1t
→ 0 и e
λ2t
→ +∞ при t → +∞
и фазовый портрет системы (6.20) имеет вид, изображенный на
рис. 6.5 A3. Такой фазовый портрет называется седлом.
Cлучай комплексных собственных значений
В п. 5.1 отмечалось, что в этом случае собственные значения λ
и λ2комплексно-сопряжены относительно друг друга: λ2= λ1.
Пусть λ
= α + iβ, тогда λ2= α − iβ. Далее, в том же пункте от-
1
мечалось существование невырожденной матрицы Q такой, что верно
равенство (6.21). Произведя в (6.13) замену (6.19), перейдем к системе (6.20), в которой B — матрица (6.21). Несложно показать, что тогда
общее решение (5.20) системы (6.13) перейдет в общее решение системы (6.20) вида
1
y(t)=e
где
здесь K
g(t)=
и K2— произвольные действительные постоянные. Ясно,
1
K
−K
что g (t) — периодическая вектор-функция с периодом T =
αt
g(t), (6.23)
cos βt + K2sin βt
1
sin βt + K2cos βt
1
;
2π
.Ре-
β
шение (6.23) системы (6.20) при t → +∞ стремится к нулю, если α<0,
стремится к ∞, если α>0, и является периодическим, если α =0.
Соответствующие фазовые портреты изображены на рис. 6.6 и называются устойчивым фокусом, неустойчивым фокусом и центром соответственно.
112 Глав а 6
s
s
α<0
s
y
2
6
k
k
y
k
-
1
α>0
k
k
y
k
k
y
k
2
s
k
s
6
s
-
y
1
2
s
6
s
s
-
y
1
α =0
Рис. 6.6
Случай полупростого собственного значения
В п. 5.1 (см. формулу (5.13) на стр. 88) отмечалось, что в этом
случае существует невырожденная матрица Q, для которой
def
= QAQ−1=
B
λ 0
. (6.24)
0 λ
Произведя в (6.13) замену (6.19), перейдем к системе (6.20), в которой B — матрица (6.24). Тогда общее решение (5.22) системы ((6.13)
перейдет в общее решение системы (6.20) вида
C
1
y(t)=
λt
, (6.25)
e
C
2
где C
и C2— произвольные действительные постоянные. Реше-
1
ние (6.25) системы (6.20) при t → +∞ стремится к нулю, если λ<0,
истремитсяк∞, если λ>0 (напомним, что предполагается выполненным условие (6.16) и, следовательно, λ =0). Соответствующие фазовые
портреты изображены на рис. 6.7 и называются (так же как и в случае S1) устойчивым узлом и неустойчивым узлом соответственно.
Случай неполупростого собственного значения
В п. 5.1 (см. формулу (5.14) на стр. 88) отмечалось, что в этом
случае существует невырожденная матрица Q, для которой
def
= QAQ−1=
B
λ 1
. (6.26)
0 λ
6.5. Системы второго порядка 113
λ<0
3
H
y
2
6
A
?
^s
A
H
A
H
A
6
H
+
H
k
H
A
]
A
-
y
1
λ>0
H
A
+
y
2
A
]k
H
A
6
6
A
^
?
H
s
3
A
-
A
H
H
H
-
y
1
Рис. 6.7
λ<0
y
2
q
6
q
q
-
i
i
i
-
y
1
λ>0
y
2
1
6
1
1
-
)
)
)
-
y
1
Рис. 6.8
Произведя в (6.13) замену (6.19), перейдем к системе (6.20), в которой B — матрица (6.26). Тогда общее решение (5.23) системы (6.13)
перейдет в общее решение системы (6.20) вида
y(t)=
C
1
+ C2t
C
2
λt
, (6.27)
e
где C
и C2— произвольные действительные постоянные. Реше-
1
ние (6.27) системы (6.20) при t → +∞ стремится к нулю, если λ<0,
истремитсяк∞, если λ>0. Соответствующие фазовые портреты
изображены на рис. 6.8 и называются (так же как и в случаях S1 и S3)
устойчивым узлом и неустойчивым узлом.
6.5.5. Фазовые портреты произвольных линейных систем
Таким образом, качественное поведение любой линейной автоном-
ной системы с одной точкой равновесия определяется конечным чис-
114 Глав а 6
h
1
y
2
6
h
+
2
6
3
1
-
q
?
-
y
1
i
-
)
Рис. 6.9
лом фазовых портретов канонических систем (6.20), к которым посредством замены переменных (6.19) переходит произвольная линейная автономная система (6.13).
Определение 6.4. Две автономные системы вида (6.13), фазовые портреты канонических систем которых одинаковы, называются
качественно эквивалентными.
Фазовый портрет самой системы (6.13) можно получить путем деформации имеющегося фазового портрета канонической системы на
основе обратной замены x = Q
−1
y.
Пример 6.4. Рассмотрим систему (6.13), в которой A — матри-
ца (5.9) (см. приведенный на с. 85 пример 5.1). Матрица A имеет соб-
ственные значения λ
векторы
=3и λ2=5, которым отвечают собственные
1
h
1
=
1
, h
2
1
=
2
.
1
В рассматриваемом примере система попадает под случай S1. Поэтому
фазовый портрет соответствующей канонической системы имеет вид,
изображенный на рис. 6.5 A2. Несложные рассуждения показывают,
что фазовый портрет самой системы (6.13) является неустойчивым узлом и имеет вид, изображенный на рис. 6.9.
Изображенные на рис. 6.9 прямые линии — это прямые, содержащие векторы h
и h2соответственно.
1
6.6. Фазовые портреты нелинейных систем
Рассмотрим теперь нелинейную автономную систему второго порядка
dx
= f(x), x ∈ R
dt
2
, (6.28)
6.6. Нелинейные системы 115
где
при этом для простоты предположим, что функции f
определены и непрерывно дифференцируемы во всей плоскости R
x =
x
x
1
, f(x)=
2
f
1(x1,x2
f
2(x1,x2
)
)
,
1(x1,x2
) и f2(x1,x2)
2
.
В силу леммы 6.1 точки равновесия системы (6.28) определяются
как решения уравнения
f(x)=0, (6.29)
т. е. системы уравнений
f
1(x1,x2
f
2(x1,x2
Пусть уравнение (6.29) имеет изолированное решение x = x
∗
f(x
)=0и в пространстве R2существует круг T с центром в точке x
такой, что f (x) =0при x ∈ T и x = x∗.
Без ограничения общности, решение x
∗
т. е. x
ну y = x − x
= f(y + x
которое равносильно уравнению (6.28). По построению имеем g(0) =
= f (x
=0. Действительно, если x∗=0, то, произведя в (6.28) заме-
∗
, получим y= x= f(x)=f(y + x∗). Полагая g(y)=
∗
), получим уравнение
dy
= g(y), y ∈ R
dt
∗
)=0, т. е. система (6.31) имеет нулевое решение y =0, которое,
очевидно, является изолированным.
Таким образом, состояние равновесия x
∗
т. е. x
=0. Тогда числа x1= x2=0являются решением системы (6.30).
По формуле Тейлора функции f
= x2=0представимы в виде
ки x
1
)=0,
)=0.
j(x1,x2
(6.30)
∗
,т.е.
∗
можно считать нулевым,
2
, (6.31)
∗
будем считать нулевым,
) (j =1, 2) в окрестности точ-
∗
∂f
f
j(x1,x2
где функции h
)=x
j(x1,x2
j
(0, 0) + x
1
∂x
1
) «малы» по отношению к остальным слагаемым,
а именно выполняются соотношения
hj(x1,x2)
lim
+x
2
2
→0
2
x
+ x
1
2
x
1
∂f
j
(0, 0) + hj(x1,x2),
2
∂x
2
=0,j=1, 2.
2
2
116 Глав а 6
Тогда система (6.28) записывается в виде
в котором
dx
= Ax + ϕ(x), x ∈ R
dt
f
(0, 0) f
1x
f
2x
1
1
(0, 0) f
A =
1x
2x
(0, 0)
2
(0, 0)
2
2
, (6.32)
, (6.33)
а вектор-функция ϕ(x) «мала» по отношению к первому слагаемому,
а именно:
ϕ(x)
|x|
=0.
lim
|x|→0
Матрицу (6.33) называют матрицей Якоби вектор-функции f (x),
вычисленной в точке x =0.
Правая часть системы (6.32) такова, что в окрестности нулевой
точки x
му следует ожидать, что в малой окрестности точки x
= x2=0основную роль играет первое слагаемое Ax. Поэто-
1
= x2=0фазо-
1
вый портрет нелинейной системы (6.28) «близок» к фазовому портрету
линейной системы
dx
= Ax, x ∈ R
dt
2
, (6.34)
которая называется линеаризованной системой, соответствующей (6.28)
в начале координат. В качественной теории дифференциальных уравнений устанавливается (см., например, [12]), что этот факт действительно имеет место для случая, когда матрица A невырожденна (т. е.
det A =0), причем нулевая точка равновесия системы (6.34) не должна
быть типа «центр» (см. рис. 6.6 случай α =0).
Таким образом, в достаточно общих предположениях фазовый
портрет нелинейной автономной системы вида (6.28) в окрестности точки равновесия x
∗
«близок» к фазовому портрету линеаризованной системы (6.34), матрица A в правой части которой представляет собой
матрицу Якоби (6.33) вектор-функции f (x), вычисленную в точке x =
∗
.
= x
Пример 6.5. Рассмотрим нелинейную автономную систему
= x1+ x2,
x
1
=sinx1.
x
2
(6.35)
6.6. Нелинейные системы 117
Несложно видеть, что она имеет счетное число точек равновесия вида
= nπ, x2= −nπ, n =0, ±1, ±2, ···. Определим типы этих точек
x
1
равновесия.
Рассмотрим сначала точку равновесия x
=0,x2=0.Поформуле
1
Тейлора функция sin x в окрестности нулевой точки представима в виде
sin x = x + ε(x),гдеε(x)/x → 0 при x → 0. Тогда система (6.35)
записывается в виде (6.32) при
A =
11
10
,ϕ(x)=
ε(x
0
.
)
1
Простой подсчет показывает, что собственные значения матрицы A
действительны и имеют разные знаки. Поэтому нулевая точка равновесия рассматриваемой системы (6.35) имеет тип «седло».
Рассмотрим теперь точку равновесия x
к новым переменным y
= x1−π и y2= x2+π, получим новую систему,
1
нулевая точка равновесия которой соответствует точке x
= π, x2= −π. Переходя
1
= π, x2= −π
1
исходной системы. Проведя для новой системы аналогичные рассуждения, получим, что точка x
= π, x2= −π системы (6.35) имеет тип
1
«неустойчивый фокус». Несложно видеть, что тогда точки равновесия
x
= nπ, x2= −nπ системы (6.35) при четных n имеют тип «седло»,
1
а при нечетных n — имеют тип «неустойчивый фокус».
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Найти точки равновесия следующих автономных уравнений:
(a) x
= x +1; (b) x= x − x3;
=sin(x2); (d) x= x2+1.
(c) x
6.2. Определите характер точек равновесия (аттрактор, репеллер или шунт) уравнений (a)–(c), приведенных в задаче 6.1(см. с. 117),
и построить фазовые портреты каждого из этих уравнений.
6.3. Какие из приведенных ниже дифференциальных уравнений
имеют одинаковый фазовый портрет:
=2x;(b) x= x3− 4x;(c) x=
(a) x
x ln |x|,x=0,
0,x=0
118 Глав а 6
6.4. Сколько различных качественных типов фазовых портретов существует на фазовой прямой для дифференциального уравнения с тремя точками равновесия?
6.5. Найти точки равновесия следующих автономных систем:
(a)
x
= x1(1 − x2),
1
x
= −x2(2 − x1),
2
(c)
x
=sinx2,
1
=cosx1.
x
2
(b)
x
1
x
2
= x2,
= −sin x1,
6.6. Изобразить фазовые портреты систем
(d)
(b)
x
x
x
= x1− x2,
1
= x1+ x2,
x
2
= x2,
1
= −x1.
2
(a)
x
x
(c)
= x1+ x2,
1
= x1,
2
x
= x2,
1
= x1,
x
2
6.7. Изобразите фазовый портрет системы, если известно, что
он имеет
(a) две точки равновесия: седло и устойчивый узел;
(b) три точки равновесия: седло и два устойчивых узла.
6.8. Какие точки равновесия и какого типа имеет система
x
= −x1+ x2,
1
x
2
=1− e
x
1
.
Гла ва 7
Элементы теории устойчивости
Одним из центральных вопросов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и ее многочисленных приложений является проблема устойчивости решений. Понятие устойчивости широко используется, например, в механике для описания такого типа равновесия
системы, что если к ней приложить малые возмущения, то система
остается вблизи исходного состояния равновесия произвольно долго.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений понятие устойчивости относится уже не только к состоянию равновесия, но и к произвольному решению уравнения. В этой главе обсуждаются некоторые
вопросы элементарной теории устойчивости.
7.1. Постановка вопроса об устойчивости решений
7.1.1. Устойчивость и непрерывная зависимость от
начальных данных
Пусть математическая модель какого-либо процесса описывается
дифференциальным уравнением
dx
= f(t, x), (7.1)
dt
удовлетворяющим условиям теоремы 2.3 существования и единственности решения задачи Коши. Пусть x(t) — какое-либо интересующее нас
решение, удовлетворяющее начальному условию x(t
ленное при всех t t
Коши
В реальности значение x
. Другими словами, пусть x(t) — решение задачи
0
x
= f(t, x),
x(t
)= x0.
0
может быть известно лишь с некоторой
0
)=x0и опреде-
0
(7.2)
погрешностью. Поэтому возникает естественный вопрос о том, будет
120 Глав а 7
ли система иметь решение, близкое к x(t) при t t0, если в начальный
момент t = t
она была близка к состоянию x0.
0
Вопрос о том, будет ли малому изменению начальных данных задачи Коши (7.2) соответствовать малое же изменение ее решения, уже
обсуждался в п. 2.4.1 и на него в условиях теоремы 2.6 (см. стр. 38)
уже был дан положительный ответ. С одной, правда, существенной
оговоркой: речь идет о непрерывной зависимости решения задачи Коши (7.2) от начальных данных на фиксированном конечном временном
промежутке |t − t
| <h. В поставленном же выше вопросе речь идет
0
о непрерывной зависимости решения задачи Коши (7.2) от начальных
данных на бесконечном полуинтервале t ∈ [t
, ∞). Это и есть вопрос
0
об устойчивости решения дифференциального уравнения.
7.1.2. Пример неустойчивого решения
Ответ на поставленный вопрос об устойчивости решений может
быть как положительным, так и отрицательным. Сначала приведем
пример неустойчивости.
Рассмотрим уравнение
dx
= x (7.3)
dt
с начальным условием x(0) = 0. Ясно, что решением этой задачи Коши
будет нулевая функция x(t) ≡ 0.
Так как для уравнения 7.3 выполнены условия теоремы 2.3, то
в силу теоремы 2.6 решение x(t) ≡ 0 непрерывно зависит от начальных
данных на любом конечном интервале t ∈ [0,T] равномерно по t.Более
точно, пусть начальное условие изменилось на малую величину ε так,
что оно приняло вид x(0) = ε. Тогда решением соответствующей задачи
Коши будет функция x(t, ε)=εe
начальных данных соответствует малое же изменение ее решения (не
больше чем на εe
T
).
t
. Поэтому малому (на ε) изменению
Если теперь рассматривать вопрос о непрерывной зависимости решения x(t) ≡ 0 от начальных данных на бесконечном полуинтервале t 0, то, так как при любом сколь угодно малом ε>0 решение
x(t, ε)=εe
t
стремится к бесконечности при t →∞, говорить о том, что
малому (на ε) изменению начальных данных соответствует малое же
изменение ее решения на всем бесконечном полуинтервале t 0,уже
не приходится. Это просто неверно (см. рис. 7.1 a).
В приведенном примере решение x(t) ≡ 0 уравнения (7.3) тако-
во, что, какими бы малыми ни были погрешности начальных условий,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]