Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
7.1. Постановка вопроса об устойчивости 121
x
6
-
t
t
x(t) ≡ εe
ε
0
x(t) ≡ 0
a
x
6
q
ε
0
x(t) ≡ εe
x(t) ≡ 0
-
−t
t
b
Рис. 7.1
они могут вызвать большие изменения решения при t →∞. Решения,
обладающие таким свойством, в теории дифференциальных уравнений
принято называть неустойчивыми (более точное определение будет дано ниже). Неустойчивые решения особенно много проблем вызывают
с численной точки зрения, так как ошибки округления оказывают такое же влияние, как и изменение начальных условий, и приводят к тому, что интересующее нас решение и рассчитываемое решение могут
существенно различаться.
7.1.3. Пример устойчивого решения
Приведем теперь пример устойчивого решения.
Рассмотрим уравнение
dx
= −x (7.4)
dt
с начальным условием x(0) = 0, которое также имеет нулевое решение
x(t) ≡ 0. Для этого уравнения задача Коши с начальным условием
x(0) = ε будет иметь решение вида x(t, ε)=εe
−t
. Cледовательно, все
решения уравнения (7.4), близкие по начальному условию к решению
x(t) ≡ 0, остаются близкими к нему и при всех t 0 (в данном случае
они даже неограниченно сближаются с нулевым решением при t →∞)
(см. рис. 7.1 b).
В приведенном примере решение x(t) ≡ 0 уравнения (7.3) таково,
что малые погрешности начальных условий могут вызвать лишь малые изменения решения при всех t>0. Решения, обладающие таким
122 Глав а 7
свойством, в теории дифференциaльных уравнений принято называть
устойчивыми (более точное определение будет дано ниже).
7.2. Основные понятия теории устойчивости
В этом разделе формулируются основные понятия теории устойчивости.
7.2.1. Уравнения первого порядка
Устойчивое решение
Пусть правая часть f (t, x) уравнения (7.1) определена и непрерывна при всех t a и |x − x
функция f (t, x) имеет ограниченную частную производную
Пусть, наконец, x = ϕ(t) — это решение задачи Коши, удовлетворяю-
щее начальному условию ϕ(t
при всех t t
.
0
Определение 7.1. Решение x = ϕ(t) уравнения (7.1) называется
устойчивым по Ляпунову
0 такое, что для всякого решения x(t) этого уравнения из неравенства
) − ϕ(t0)| <δ следует оценка |x(t) − ϕ(t)| <εдля всех t t0.
|x(t
0
Другими словами, решение x = ϕ(t) уравнения (7.1) устойчиво по
Ляпунову, если любое другое решение этого уравнения, близкое в начальный момент времени t
к нему при всех t t
Геометрически свойство устойчивости может быть продемонстрировано так, как это показано на рис. 7.2. Множество T
|x − ϕ(t)| <ε} называют ε-трубкой решения ϕ(t),т.е.ε-трубка — это
полоса ширины 2ε, окружающая решение ϕ(t).
Решение x = ϕ(t) уравнения (7.1) устойчиво, если, какой бы узкой
ни была ε-трубка T
(x
− δ, x0+ δ) такой, что любое решение x = x(t) уравнения (7.1),
0
ε
которое в начальный момент t
− δ, x
воположник математической теории устойчивости.
+ δ), содержится в указанной ε-трубке Tεпри всех t t0.
0
1
А. М. Ляпунов — выдающийся русский математик и механик (1857–1918), осно-
| d. Пусть для указанных значений t и x
0
∂f(t, x)
∂x
)=x0,гдеt0>a, причем ϕ(t) определено
0
1
, если для любого ε>0 найдется δ = δ(ε) >
к решению x = ϕ(t), остается близким
0
.
0
= {(x, t):
ε
решения x = ϕ(t),наосиOx найдется интервал
удовлетворяет включению x(t0) ∈ (x0−
0
.
7.2. Основные понятия 123
x
6
x0+ ε
x
x
x
0
0
0
+ δ
x
− δ
− ε
0 t
q
q
qqq
0
q
q
x = x(t)
x = ϕ(t)
q
0
1
-
t
Рис. 7.2
Неустойчивое решение
Естественным образом определяется и понятие неустойчивого решения.
Определение 7.2. Решение x = ϕ(t) уравнения (7.1) называется
неустойчивым, если существует ε
> 0 такое, что, каким бы малым ни
0
было число δ>0, найдется решение x(t) этого уравнения, удовлетворяющее в начальный момент времени t
и для которого в некоторый момент времени t
венство |x(t
) − ϕ(t1)| ε0.
1
неравенству |x(t0) −ϕ(t0)| <δ
0
1>t0
выполнено нера-
Другими словами, решение x = ϕ(t) уравнения (7.1) неустойчиво,
если найдется ε
-трубка T
0
лым ни был интервал (x
в начальный момент t
0
и тем не менее оно в некоторый момент времени t
ε
-трубки T
0
.
ε
0
решения x = ϕ(t) такая, что, каким бы ма-
ε
0
−δ, x0+δ), найдется решение x = x(t), которое
0
удовлетворяет включению x(t0) ∈(x0− δ, x0+δ)
выйдет за пределы
1
Асимптотически устойчивое решение
Во многих случаях устойчивое решение x = ϕ(t) уравнения (7.1)
обладает дополнительным свойством: все решения, близкие к нему
в начальный момент t
при всех t t
, но и неограниченно сближаются с ним при t →∞.
0
времени, не только остаются близкими к нему
0
Этому свойству отвечает понятие асимптотической устойчивости.
Определение 7.3. Решение x = ϕ(t) уравнения (7.1) называет-
ся асимптотически устойчивым, если, во-первых, оно устойчиво по
124 Глав а 7
x
2
6
3
M
Рис. 7.3
3
1
-
-
x
1
Ляпунову и, во-вторых, найдется δ
ния x(t) этого уравнения из неравенства |x(t
> 0 такое, что для всякого реше-
0
) − ϕ(t0)| <δ0следует
0
соотношение
lim
|x(t) − ϕ(t)| =0. (7.5)
t→∞
Рассмотрим снова уравнения (7.3) и (7.4). Проведенные в п. 7.1
рассуждения показывают, что решение x =0уравнения (7.3) является неустойчивым в смысле определения 7.2, а решение x =0уравнения (7.4) является асимптотически устойчивым в смысле определения 7.3.
Замечание 7.1. Соотношение (7.5) означает, что любое решение x(t)
уравнения (7.1), для которого |x(t
) − ϕ(t0)| <δ0, неограниченно сбли-
0
жается с решением x = ϕ(t) при t →∞. В то же время это свойство
еще не означает устойчивость решения x = ϕ(t). Примером является автономная система второго порядка, фазовый портрет которой
изображен на рис. 7.3.
7.2.2. Системы уравнений n-го порядка
Рассмотрим теперь нормальную систему (см. (1.22))
dx
= f(t, x), x ∈ R
dt
n
, (7.6)
где f (t, x) — n-мерная вектор-функция.
Для системы (7.6) несложно сформулировать аналог определений 7.1–7.3. Например, устойчивость по Ляпунову решения x = x
(t)
0
7.2. Основные понятия 125
системы (7.6) определяется следующим образом. Пусть решение x =
(t) определено при всех t a ипустьt0>a;положимx0= x0(t0).
= x
0
Решение x = x
(t) системы (7.6) называют устойчивым по Ляпунову,
0
если для любого ε>0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для всякого
решения x(t) этого уравнения, удовлетворяющего неравенству |x(t
− x
| <δ, выполнена оценка |x(t) −x0(t)| <εдля всех t t0. Здесь
0
знак |·|означает евклидову норму в пространстве R
n
.
0
) −
Понятия устойчивости и неустойчивости естественным образом
распространяются и на скалярные дифференциальные уравнения n-го
порядка вида:
n
d
x
= f(t, x, x,x, ··· ,x
n
dt
(n−1)
). (7.7)
C этой целью уравнение (7.7) сводится к нормальной форме (7.6).
Это можно осуществить, например, так, как это было указано выше
в п. 1.2.3 (см. приведенное на стр. 19 уравнениe (1.24)). Затем устойчивость или неустойчивость решения x = x
(t) уравнения (7.7) определя-
0
ется как устойчивость или неустойчивость соответствующего решения
нормальной системы (1.22).
Пример 7.1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения (1.8) гармонических колебаний (см. п. 4.5):
x
+ ω2x =0. (7.8)
Произведя замену x
= x, x2= x, перейдем (см. приведенный в п. 3.4
1
пример 2.16) от (7.8) к равносильной нормальной системе
x
= x2,
1
x
= −ω2x1,
2
которая записывается в матричной форме:
dx
= Ax,A=
dt
−ω
01
2
0
, x =
x
1
. (7.9)
x
2
Вопрос об устойчивости нулевого решения x =0уравнения (7.8) равносилен вопросу об устойчивости нулевого решения x =0системы (7.9).
Для изучения последнего вопроса найдем решение задачи Коши для системы (7.9) при начальном условии x(0) = x
=(x
) ∈ R2. Матрица A имеет собственные значения λ = ±ωi,
10,x20
,гдеx0=
0
126 Глав а 7
которым отвечают собственные векторы h = h1± ih2,где
h
1
=
1
0
, h2=
0
.
ω
По формуле (5.20) получим решение названной задачи Коши в виде:
x(t)=
x
x
10
20
cos ωt +
−x
/ω
x
20
sin ωt. (7.10)
ω
10
В соответствии с определением 7.1 для анализа устойчивости решения
x =0системы (7.9) зададимся произвольным числом ε>0 и покажем
существование δ = δ(ε) > 0 такого, что если |x
| <δ,то|x(t)| <εпри
0
всех t 0. Действительно, из формулы (7.10) следует неравенство
|x(t)|
x
верное при всех t.Таккак|x
2
+ x
10
| =x
0
2
x
2
20
20
+
ω
2
+ x
10
2
+ x
ω2, (7.11)
10
2
2
<δ,тои|x10|, |x20| δ.
20
Поэтому из (7.11) получим оценку
2
|x(t)| <δ+
δ
+ δ2ω2= δρ,
2
ω
верную при всех t; здесь
ρ =1+
1
ω
2
+ ω
2
.
Следовательно, если в качестве δ выбрать δ = ε/ρ, то неравенство
|x(t)| <εбудет выполнено при всех t 0.
Таким образом, решение x =0системы (7.9) является устойчивым
по Ляпунову. В то же время оно не является асимптотически устойчивым, так как в силу (7.10) очевидно |x(t)| → 0 при t →∞, если x(0) =
=0.
7.3. Признаки устойчивости линейных систем
Исследовать устойчивость, исходя непосредственно из определений, удается редко. Для этого фактически необходимо уметь определять все решения уравнения, что обычно либо крайне сложно, либо
7.3. Устойчивость линейных систем 127
не представляется возможным. Поэтому важны методы исследования
устойчивости, не требующие решения дифференциальных уравнений.
В теории устойчивости решений дифференциальных уравнений разработан ряд эффективных методов, наиболее известными из которых
являются методы А. М. Ляпунова, основанные на построении специальных функций. Они оказались особенно плодотворными при исследовании нелинейных уравнений. С идеями метода функций Ляпунова можно познакомиться, например, в [10] или в [11].
В этом разделе будут приведены признаки устойчивости решений некоторых классов линейных автономных систем, рассмотренных
в главах 4–6. А именно будет изучаться устойчивость нулевых точек равновесия автономных систем. Этот вопрос играет важную роль
в многочисленных приложениях.
7.3.1. Уравнение первого порядка
Рассмотрим сначала простейшее линейное автономное уравнение
первого порядка
dx
= ax, x ∈ R
dt
1
, (7.12)
где a — некоторая постоянная. Решение задачи Коши для этого уравнения при начальном условии x(t
венством x(t)=e
a(t−t0)
x0.Пустьx0=0. Тогда функция x(t) является
)=x0, очевидно, определяется ра-
0
монотонной, причем если a<0, то при t → +∞ она стремится к нулю,
если же a>0, то она стремится к ∞. Наконец, если a =0,тоx(t) ≡ x
Поэтому верна
.
0
Тео рем а 7 .1 . Нулевое решение x(t) ≡ 0 уравнения (7.12) бу-
дет асимптотически устойчивым при a<0, будет неустойчивым
при a>0 и будет устойчивым при a =0.
7.3.2. Линейная автономная система
Автономная система второго порядка
Рассмотрим теперь линейную автономную систему второго порядка
dx
= Ax, x ∈ R
dt
2
, (7.13)
где A — квадратная матрица второго порядка. Общее решение этой системы определяется свойствами собственных значений λ = λ
и λ = λ
1
2
128 Глав а 7
матрицы A (см. п. 5.2), т. е. решениями характеристического уравнения
det(A − λI )=0. (7.14)
Здесь возможны случаи:
S1. λ
S2. λ
S3. λ
и λ2действительные и различные: λ1= λ2;
1
и λ2комплексные; тогда λ
1
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ, причем собственное
1
= α ± iβ;
1,2
значение λ является полупростым;
S4. λ
и λ2действительные и равные: λ1= λ2= λ, причем собственное
1
значение λ не является полупростым.
Выше (см. с. 90) был указан вид общего решения системы (7.13)
во всех этих случаях:
S1. x(t)=C
S2. x(t)=Me
S3. x(t)=C
S4. x(t)=C
где C
,M,m — произвольные постоянные, а h1и h2— собствен-
1,C2
λ1t
e
h1+ C2e
1
αt
[h1sin (βt + m)+h2cos (βt + m)],
eλth1+ C2eλth2=(С1h1+ С2h2)eλt,
1
eλth1+ C2eλt(h1t + h2)=[(С1+ C2t)h1+ С2h2]eλt,
1
λ2t
h2,
ные или присоединенные векторы матрицы A, отвечающие собствен-
ным значениям λ
1
и λ2.
Через Re z будем обозначать действительную часть комплексного числа z. Анализ общего решения системы (7.13) показывает, что
при Re λ
нулю, а при Re λ
< 0 и Re λ2< 0 все решения системы (7.13) стремятся к
1
> 0 или Re λ2> 0 система (7.13) имеет решения,
1
стремящиеся к ∞. Более детальные рассуждения позволяют установить, что верна
Тео рем а 7. 2. Если оба корня характеристического уравнения (7.14)
имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение
x =0системы (7.13) является асимптотически устойчивым. Ес-
ли хотя бы один из этих корней имеет положительную действительную часть, то это решение неустойчиво. Наконец, если один из
этих корней имеет нулевую действительную часть, а действительная часть другого неположительна, то в случаях S1–S3 нулевое решение x =0системы (7.13) является устойчивым, а в случае S4 —
неустойчивым.
7.3. Устойчивость линейных систем 129
Автономная система n-порядка
Рассмотрим теперь автономную систему произвольного n-порядка
dx
= Ax, x ∈ R
dt
n
, (7.15)
где A — квадратная матрица порядка n. Для системы (7.15) можно
провести аналогичные рассуждения, что и для системы (7.13). Поэтому
верен аналог теоремы 7.2, а именно справедлива
Тео рем а 7. 3. Если все собственные значения матрицы A имеют
отрицательные действительные части, то нулевое решение x =0
системы (7.15) является асимптотически устойчивым. Если хотя
бы одно из собственных значений имеет положительную действительную часть, то это решение неустойчиво. Наконец, если одно из
собственных значений имеет нулевую действительную часть и является при этом простым, а действительные части остальных собственных значений отрицательны, то нулевое решение x =0системы (7.15) является устойчивым.
7.3.3. Уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь уравнение второго порядка
x
+ px+ qx =0, (7.16)
где p и q — некоторые числа. Уравнения такого типа изучались в п. 4.4
(см. с. 76). Произведя замену x
= x, x2= x, перейдем от (7.16) к рав-
1
носильной нормальной системе
dx
= Ax,A=
dt
01
−q −p
, x =
x
1
. (7.17)
x
2
Вопрос об устойчивости нулевого решения x =0уравнения (7.16)
равносилен вопросу об устойчивости нулевого решения x =0системы (7.17). Общее решение уравнения (7.16) (см. п. 4.4.1 на с. 76) во
всех случаях содержит экспоненты вида e
стического уравнения
2
λ
+ pλ + q =0. (7.18)
Нетрудно видеть, что det(A − λI)=λ
λt
,гдеλ — корни характери-
2
+ pλ + q, т. е. характеристи-
ческие уравнения (7.14) и (7.18) совпадают. Поэтому общее решение
130 Глав а 7
нормальной системы (7.17) содержит те же экспоненты eλt. Следовательно, для уравнения (7.16) верен полный аналог теоремы 7.2 (сформулируйте его).
На основе теоремы 7.2 совсем просто устанавливается, например, устойчивость нулевого решения уравнения гармонических колебаний (4.37) и асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения затухающих колебаний (4.41) (см. стр. 79). Это следует из того, что характеристическое уравнение λ
2
+ ω2=0(для (4.37)) име-
ет пару простых комплексно-сопряженных собственных значений ±ωi,
а характеристическое уравнение (4.42) (для (4.41)) имеет корни (4.43),
действительные части которых отрицательны.
Пример 7.2. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения
Характеристическое уравнение для (7.19) имеет вид λ
корнями которого служат комплексно-сопряженные числа λ
= −2 −i. Отсюда и из теоремы 7.2 получим, что нулевое решение
и λ
2
+4x+5x =0. (7.19)
x
2
+4λ +5= 0,
= −2+i
1
уравнения (7.19) является асимптотически устойчивым.
7.4. Устойчивость нелинейных систем
В этом разделе рассматривается нелинейная автономная система
dx
= f(x), x ∈ R
dt
1(Rn
в которой f (x) ∈ C
лированную точку равновесия x = x
). Предполагается, что система (7.20) имеет изо-
∗
изучить.
Так же, как и в п. 6.6, отметим, что без ограничения общности
точку равновесия x
∗
системы (7.20) можно считать нулевой, т.е. x∗=0.
Тогда, так же, как и в указанном пункте, получим, что система (7.20)
записывается в виде
dx
= Ax + ϕ(x), x ∈ R
dt
где A — это матрица Якоби вектор-функции f (x), вычисленная в точке x =0,аn-мерная вектор-функция ϕ(x) удовлетворяет соотношению
n
, (7.20)
, устойчивость которой требуется
n
, (7.21)
lim
|x|→0
ϕ(x)
=0. (7.22)
|x|
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]