Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
1.1. Модельные задачи 11
ее решениями, как известно, являются первообразные, семейство которых образует неопределенный интеграл
y =f(x) dx + C. (1.2)
Задача об изменении температуры тела
Пусть материальное тело, температура которого равна θ
мент времени t
ру T
, при этом θ0>T0. Требуется найти закон θ = θ(t), по которому
0
помещено в среду, имеющую постоянную температу-
0
,вмо-
0
изменяется температура тела в зависимости от времени t.Изкурсафизики известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности θ−T
производной
уравнением
, и так как скорость в математической постановке выражается
0
dθ
, то искомый закон описывается дифференциальным
dt
dθ
= −k(θ − T
dt
), (1.3)
0
где k>0 — некоторый коэффициент пропорциональности.
Второй закон Ньютона
Классический второй закон Ньютона описывается уравнением
F = mw,гдеF — сила, действующая на материальное тело массы m,
а w — ускорение, получаемое телом. Пусть ось Ox направлена вдоль
движения тела; тогда закон движения x = x(t) связан с ускорением w
2
x
равенством w =
d
. Если требуется найти перемещение x тела под
2
dt
действием силы F , то придем к дифференциальному уравнению
2
d
x
m
= F. (1.4)
2
dt
Уравнение гармонических колебаний
Рассмотрим (см. рис. 1.1 a) идеализированную модель маятниковых часов, состоящую из стержня длиной l и гири массой m на его
конце (масса стержня считается пренебрежимо малой по сравнению
с массой гири). Если гирю отклонить на угол ϕ от вертикального положения и затем отпустить, то гиря начнет колебательное движение,
вывод уравнения которого приводится ниже.
12 Глав а 1
a
A
A
A
ϕ
A
l
R
AK
A
A
C
A
A
s
m
q
0
D
P
?
-
x
b
A
A
A
ϕ
A
l
R
AK
A
A
C
A
A
*s
m
F
P
?
-
c
x
q
0
D
Рис. 1.1
Гирю можно рассматривать как материальную точку m в плоскости переменных x и y. Положение точки m в каждый момент времени t полностью определяется ее проекцией на ось x. Согласно второму
закону Ньютона уравнение движения точки m в указанной проекции
описывается дифференциальным уравнением
2
d
x
=Fx, (1.5)
m
2
dt
правая часть которого — это алгебраическая сумма проекций на ось x
всех действующих на точку m сил. На точку m действуют три силы:
вес гири P = mg, реакция стержня R и сила трения F
; здесь g —
c
вектор ускорения свободного падения (см. рис. 1.1 b).
Ясно, что модули P и R векторов P и R связаны равенством R = P cosϕ. Поэтому уравнение (1.5) примет вид
2
d
x
m
= −Rsin ϕ + Fccos ϕ = −P cos ϕ sin ϕ + Fccos ϕ,
2
dt
или, учитывая равенство P = mg,—вид
2
d
x
= −g cos ϕ sin ϕ +
2
dt
1
cos ϕ. (1.6)
F
c
m
Рассмотрим малые колебания маятника. В этом случае можно считать, что sin ϕ ≈ ϕ и cos ϕ ≈ 1.ПустьD совпадает с проекцией x точки m,т.е.OD = x. Очевидно, что OD = l sin ϕ; поэтому sin ϕ = x/l.
Подставляя последнее равенство, а также приближенное соотношение
1.1. Модельные задачи 13
cos ϕ ≈ 1 в уравнение (1.6), получим, что в случае малых отклонений
маятника от вертикальной оси уравнение его движения примет вид
2
g
l
x −
1
=0. (1.7)
F
c
m
d
x
+
2
dt
Предположим, что сила трения F
пренебрежимо мала по сравне-
c
нию с остальными действующими на точку m силами (см. рис. 1.1 a).
В этом случае уравнение (1.7) примет вид
2
d
x
+ ω2x =0, (1.8)
2
dt
в котором следует положить
ω =
g
. (1.9)
l
Уравнение (1.8) является классическим примером уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Оно описывает колебательные процессы во многих природных явлениях и его называют уравнением гармонических колебаний. Более детально уравнения (1.7) и (1.8)
будут рассмотрены ниже в разделе 4.5.
Указанные примеры приводили к одному дифференциальному
уравнению с одной неизвестной функцией. Приведем теперь примеры
задач, приводящих к системам дифференциальных уравнений, в которых искомыми являются две или более функций.
Снова о втором законе Ньютона
Второй закон Ньютона F = mw можно также рассматривать как
задачу о нахождении перемещения x искоростиx
воздействием силы F .Положимx
и x
= x2, то получим систему
1
= x и x2= x.ТаккакF = mx
1
= x2,
x
1
x
= F/m.
2
тела массы m под
(1.10)
Ясно, что если x
функция x(t)=x
= x1(t) и x2= x2(t) — решение системы (1.10), то
1
(t) будет решением уравнения mx= F.
1
14 Глав а 1
Модель «хищник–жертва»
В динамике биологических популяций известна модель «хищник–
жертва». Рассматривается биологическое сообщество, содержащее два
вида, один из которых «хищники», а другой — их добыча, называемая
«жертвой» (например, волки и зайцы).
Пусть x
ответственно. Естественно, их численность меняется во времени, т.е.
x
= x1(t) и x2= x2(t).Тогдаx
1
пуляций. Нам удобно рассматривать отношения
и x2— численность популяций жертв и хищников со-
1
(t) и x
1
(t) — скорости изменения по-
2
x
x
x
1
2
и
,означающие
x
1
2
скорость изменения популяции, приходящееся на единицу особи.
Популяция жертв будет расти в отсутствие хищников; естествен-
x
но предположить, что это выражается линейным законом
1
= a,
x
1
где a>0. Однако наличие хищников уменьшает рост популяции
жертв, причем чем больше популяция хищников, т. е. чем больше x
тем меньше скорость возрастания популяции жертв. Поэтому в предыдущее уравнение следует ввести поправку, добавив слагаемое −bx
где b>0 — коэффициент «кровожадности» хищников. В результате по-
x
1
лучим уравнение
шается в отсутствие жертв:
пенсирует это уменьшение, что приводит к уравнению
= a−bx2. Аналогично популяция хищников умень-
x
1
x
2
= −c,гдеc>0. Наличие жертв ком-
x
2
x
2
= −c + dx1.
x
2
Таким образом, модель «хищник–жертва» приводит к системе
уравнений
x
= ax1− bx1x2,
1
= −cx2+ dx1x2,
x
2
(1.11)
называемой системой Вольтерра–Лотка.
,
2
,
2
1.2. Основные понятия теории
дифференциальных уравнений
Ниже при рассмотрении дифференциальных уравнений независимая переменная будет, как правило, обозначаться через t (как, например, в уравнениях (1.3)–(1.8)). Это оправдано тем, что в огромном
многообразии приложений теории обыкновенных дифференциальных
1.2. Основные понятия 15
уравнений роль независимого переменного часто играет время t; такие
уравнения описывают эволюционные процессы, т. е. процессы, меняющиеся во времени.
Для обозначения производных, наряду с обозначениями вида
dx
dt
2
x
d
,
, ··· ,
2
dt
n
x
d
,
n
dt
будут использоваться сокращенные обозначения
2
dx
x
,x
=
dt
x
d
=
, ··· ,x
2
dt
(n)
n
x
d
=
.
n
dt
1.2.1. Понятие дифференциального уравнения
Выше в п. 1.1 был рассмотрен ряд задач, приводящих к различным
дифференциальным уравнениям. Придадим понятию дифференциального уравнения более строгий смысл.
Определение 1.1. Дифференциальными уравнениями называют
такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких независимых переменных, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их производные. Если производные
берутся по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; если же в уравнении встречаются производные
по более чем одной переменной, то уравнение называют уравнением
в частных производных.
Примерами обыкновенных дифференциальных уравнений являются уравнения (1.1), (1.3) и (1.4), а примерами систем дифференциальных уравнений являются системы (1.10) и (1.11). В качестве примера уравнения в частных производных можно привести так называемое
уравнение Пуассона
∂
∂x
2
2
u
u
∂
+
2
∂y
2
= P(x, y),
описывающее формы прогиба u = u(x, y) тонких пластин под влиянием
нагрузки P (x, y).
В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения, при этом почти всегда для краткости слово
«обыкновенные» будет опускаться, т. е. будет говориться «дифференциальное уравнение» или просто «уравнение».
16 Глав а 1
1.2.2. Основные виды дифференциальных уравнений
Обсудим более детально понятия дифференциального уравнения
и систем дифференциальных уравнений. Начнем с рассмотрения скалярных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, в которых искомой является одна функция.
Дифференциальное уравнение n-го порядка
Скалярные дифференциальные уравнения могут содержать производные разных порядков. Например, уравнения (1.1) и (1.3) содержат
производные только первого порядка, а уравнения (1.4) и (1.8) — производные второго порядка. В этой связи полезно следующее понятие.
Определение 1.2. Дифференциальным уравнением n-го порядка
называется уравнение
(n)
=0, (1.12)
Ft, x, x
, ··· ,x
где F — заданная функция n +2 переменных, t — независимая переменная, x — искомая функция, x
предполагается, что производная x
(n)
, ··· ,x
(n)
— ее производные. При этом
(t) действительно входит в уравнение (1.12) (остальные производные, сама функция x иаргументt
могут не участвовать в уравнении).
Ниже всюду, где не оговаривается противное, будет предполагаться, что независимая переменная t, искомая функция x(t),атакже
функция F , входящие в уравнение (1.12), являются вещественными.
Рассмотренные выше уравнения (1.1) и (1.3) являются дифференциальными уравнениями первого порядка; дифференциальными уравнениями второго порядка являются уравнения (1.4) или (1.8) и, например, уравнение
− x =sint. (1.13)
x
Уравнения первого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
F (t, x, x
)=0, (1.14)
где F — заданная функция трех переменных, t — независимая переменная, x — искомая функция.
1.2. Основные понятия 17
Во многих случаях уравнение (1.14) может быть записано в виде
одного или нескольких уравнений типа
dx
= f(t, x), (1.15)
dt
где f (t, x) — некоторая функция двух переменных.
Например, уравнение (x
ренциальным уравнениям вида (1.15): x
)2
− t2− x2=0приводит к двум диффе-
=√t2+ x2и x= −√t2+ x2.
Дифференциальное уравнение (1.15) называется разрешенным от-
носительно производной или уравнением в нормальной форме. Таковыми, например, являются уравнения (1.1) и (1.3).
Уравнения относительно дифференциалов
Отметим, что уравнение (1.15) может быть также записано в виде
dx − f (t, x)dt =0 (1.16)
и рассматриваться как соотношение относительно дифференциалов dx
и dt. В теории дифференциальных уравнений, наряду с (1.16), часто
рассматривается более общее уравнение
P (t, x)dx + Q(t,x)dt =0, (1.17)
где P (t, x) и Q(t, x) — некоторые функции двух переменных. Такая форма дифференциального уравнения называется «симметричной» в том смысле, что величины t и x входят в нее симметрично;
она особенно удобна в задачах, когда неважно или неизвестно, что от
чего зависит (x от t или наоборот).
Для решения уравнения (1.17) необходимо решать два дифференциальных уравнения вида (1.15), а именно уравнения:
= −
Q(t, x)
P (t, x)
, (1.18)
dx
dt
= −
P (t, x)
Q(t, x)
, (1.19)
dt
dx
решениями которых будут соответственно функции x = x(t) и t = t(x).
При этом, однако, необходимо помнить следующее. Решения уравнений (1.18) и (1.19) могут содержать не все решения исходного уравнения (1.17), так как они получены при молчаливом предположении,
18 Глав а 1
что P(t, x) =0(для (1.18)) или Q(t, x) =0(для 1.19). Поэтому необходимо также рассматривать уравнения Q(t, x)=0и P (t, x)=0(не
являющиеся дифференциальными), анализируя которые можно найти
остальные решения уравнения (1.17). Некоторые уравнения вида (1.17)
будут рассмотрены ниже.
1.2.3. Системы уравнений
Рассмотрим теперь системы дифференциальных уравнений с несколькими неизвестными функциями x
(t),x2(t), ··· ,xn(t). Примером
1
такой системы является система Вольтерра–Лотка (1.11).
В общем случае определение системы дифференциальных уравнений достаточно громоздко. Ограничимся понятием системы n дифференциальных уравнений первого порядка относительно n неизвестных
функций x
где F
1
переменная. При этом, естественно, предполагается, что производные
x
, ··· ,x
1
(t),x2(t), ··· ,xn(t):
1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
F
(t, x1,x
1
F
(t, x1,x
n
,x2,x
1
,x2,x
1
, ··· ,xn,x
2
.
.
.
, ··· ,xn,x
2
)=0,
n
)=0,
n
(1.20)
, ··· ,Fn— заданные функции 2n+1 переменных, t — независимая
действительно входят в систему (1.20).
n
Нормальные системы уравнений
Системы дифференциальных уравнений бывают разного вида.
Наиболее распространенными являются системы
⎧
x
= f1(t, x1, ··· ,xn),
⎪
1
⎨
.
.
⎪
⎩
где t — независимая переменная, x
, ··· ,fn— функции n +1 переменного. Таковыми, например, явля-
f
1
.
x
= fn(t, x1, ··· ,xn),
n
, ··· ,xn— неизвестные функции,
1
(1.21)
ются системы (1.10) и (1.11).
Определение 1.3. Система (1.21) называется нормальной систе-
мой дифференциальных уравнений, а число n — порядком системы.
1.2. Основные понятия 19
Систему (1.21) удобно рассматривать в векторном виде:
dx
= f(t, x), x ∈ R
dt
n
, (1.22)
где обозначено
x =
⎡
x
1
⎢
.
.
⎣
.
x
n
⎤
⎥
, f(t, x)=
⎦
⎡
(t, x1, ··· ,xn)
f
1
⎢
⎣
f
(t, x1, ··· ,xn)
n
⎤
.
.
.
⎥
. (1.23)
⎦
Представление системы (1.21) в виде (1.22) по форме совпадает с уравнением первого порядка (1.15) с одной неизвестной функцией x(t). Это позволяет достаточно просто переформулировать и доказывать для векторной системы (1.22) многие факты, верные для скалярного уравнения (1.15).
Отметим, что скалярное дифференциальное уравнение
(n)
x
= ft, x, x, ··· ,x
(n−1)
(1.24)
преобразуется к системе нормального типа (1.21), если положить
= x, x2= x, ··· ,xn= x
x
1
Тогда, учитывая равенство x
ную систему
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
x
x
1
n−1
n
= f (t, x1,x2, ··· ,xn), получим нормаль-
n
= x2,
.
.
.
= xn,
= f (t, x1, ··· ,xn).
(n−1)
.
(1.25)
Пример 1.1. Рассмотрим уравнение
2
d
x
+ ω2x =0, (1.26)
2
dt
где ω>0. Уравнение (1.26) — это уравнение гармонических колеба-
ний (1.8) (см. стр. 13).
20 Глав а 1
Уравнение (1.26) при помощи замены x1= x, x2= xсводится
к следующей нормальной системе двух уравнений первого порядка:
x
= x2,
1
x
= −ω2x1.
2
(1.27)
Пример 1.2. Рассмотрим играющее важную роль в последующих
построениях линейное уравнение n-го порядка
(n)
+ p1(t)x
x
где p
(t), ··· ,pn(t),f(t) — некоторые непрерывные функции. Систе-
1
(n−1)
+ ··· + p
(t)x+ pn(t)x = f (t), (1.28)
n−1
ма (1.25) для уравнения (1.28) имеет вид
dx
= A(t)x + f (t), (1.29)
dt
где
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
.
.
.
0
f(t)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
A(t)=
⎡
01 0... 0
00 1... 0
⎢
⎢
.
⎢
.
.
⎢
⎣
00 0... 1
−p
(t) −p
n
.
.
.
n−1
(t) −p
.
.
.
n−2
.
.
.
.
.
.
(t) ... −p1(t)
⎤
⎥
⎥
⎥
, f (t)=
⎥
⎦
1.2.4. Решение дифференциального уравнения
.
Решение дифференциального уравнения может определяться поразному, в зависимости от поставленных задач. В настоящем пособии
основным будет следующее
Определение 1.4. Решением дифференциального уравнения (1.12)
на отрезке a t b называется функция x(t) ∈ C
F [t, x(t),x
(t), ··· ,x
(n)
(t)] ≡ 0,a t b. (1.30)
n
[a, b] такая, что
Это определение естественным образом распространяется и на
уравнения первого порядка, и на системы дифференциальных уравнений. В частности, для нормальной системы (1.22) имеет место следующее
Определение 1.5. Решением системы (1.22) на отрезке a t b
называется вектор-функция
x(t)=(x
(t), ··· ,xn(t)) (1.31)
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]