Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
5.2. Решение нормальной системы 91
Случай S2: комплексные собственные значения
Положим λ = λ
вектор. Тогда λ
2
при этом векторы h и
и h ∈ Z2— соответствующий λ собственный
1
= λ и h — соответствующий λ собственный вектор,
h линейно независимы. Поэтому общее решение
системы (5.2) в рассматриваемом случае записывается в виде
где C
x(t)=C
и C2— произвольные комплексные постоянные. Решение (5.19)
1
eλth + C2eλth, (5.19)
1
является комплексным. Для выделения действительного общего решения представим λ и h в виде равенств λ = α + iβ и h = h
+ ih2,гдеα
1
и β — действительная и мнимая части комплексного числа λ,аh
и h2— векторы из пространства R2, представляющие действительную
и мнимую части комплексного вектора h. Подставляя эти равенства
в (5.19) и выделяя действительную часть, после несложных преобразований получим формулу, определяющую общее решение системы (5.2)
в действительной форме:
αt
[(K1h1+ K2h2)cosβt +(K2h1− K1h2)sinβt], (5.20)
и K2— произвольные действительные постоянные. Реше-
где K
x(t)=e
1
ние (5.20) может быть также записано в виде
αt
x(t)=Me
[h1sin (βt + m)+h2cos (βt + m)], (5.21)
где M и m — произвольные действительные постоянные (убедитесь
в справедливости равенств (5.20) и (5.21)).
1
Cлучай S3: полупростое собственное значение
Полупростому собственному значению λ отвечают два линейно
независимых собственных вектора h
, h2∈ R2. Поэтому общее реше-
1
ние системы (5.2) в рассматриваемом случае записывается в виде
где C
x(t)=C
и C2— произвольные постоянные.
1
eλth1+ C2eλth2=(C1h1+ С2h2)eλt, (5.22)
1
Cлучай S4: неполупростое собственное значение
В этом случае найдутся два линейно независимых вектора h
∈ R2такие, что выполняются равенства (5.12). Простой подсчет
h
2
,
1
92 Глав а 5
показывает, что общее решение системы (5.2) записывается в виде
x(t)=C
где C
eλth1+ C2eλt(h1t + h2)=[(C1+ C2t)h1+ C2h2]eλt, (5.23)
1
и C2— произвольные постоянные.
1
Пример 5.3. Найти общее решение уравнения
dx
= Bx, x ∈ R
dt
2
, (5.24)
где B — матрица, определенная вторым из равенств (5.9). В рассмотренном на с. 85 примере 5.1 было отмечено, что матрица B имеет соб-
ственные значения λ
векторы
= i и λ2= −i, которым отвечают собственные
1
h
1
=
1
, h
i
1
=
2
. (5.25)
−i
Поэтому общее решение системы (5.24) записывается в виде (5.19) или
в виде
где C
сто h
x(t)=C
и C2— произвольные комплексные постоянные. Подставляя вме-
1
и h2их значения (5.25) и выделяя из полученного выражения
1
eith1+ C2e
1
−it
h2,
действительную часть, получим представление для действительного
общего решения уравнения (5.24) в виде
x(t)=
α
cos t + α2sin t
1
sin t + α2cos t
−α
1
, (5.26)
где α
и α2— произвольные действительные постоянные.
1
5.3. Матричная экспонента и формула Коши
для решения системы уравнений
Выше изучался вопрос о построении общего решения системы (5.2)
второго порядка. Рассмотрим теперь задачу Коши для системы порядка n,т.е.задачу
где x
∈ Rn— заданный вектор.
0
= Ax,
x
x(t
)= x0,
0
(5.27)
5.3. Матричная экспонента и формула Коши 93
Указанную задачу можно решать двумя способами. Первый способ
состоит в том, чтобы выписать общее решение системы (5.2) и согласовать его с начальным вектором x
при t = t0. Например, если требуется
0
найти решение x(t) системы (5.24), удовлетворяющее начальному условию x(0) = (2, −3), то, полагая в общем решении (5.26) t =0, получим
значения постоянных: α
=2и α2= −3. Подставляя теперь эти значе-
1
ния в формулу (5.26), получим искомое решение.
Второй способ состоит в привлечении так называемой матричной
экспоненты. Остановимся на этом понятии более детально.
5.3.1. Понятие матричной экспоненты
По аналогии со степенным рядом для экспоненты e
2
3
x
x
e
=1+x +
для произвольной квадратной матрицы A определим матричную экс-
поненту e
At
как матрицу, вычисляемую посредством равенства:
At
= I + At +
e
x
2!
(At)
2!
+
+ ··· ,
3!
2
+
3
(At)
+ ··· , (5.28)
3!
x
:
где I — единичная матрица того же порядка, что и матрица A.
В курсе линейной алгебры устанавливается факт сходимости ряда
(5.28) для любой матрицы A и любого числа t. Известны и другие эк-
вивалентные равенству (5.28) определения матричной экспоненты, позволяющие строить матрицу e
At
без привлечения рядов. Укажем один
из таких способов.
Вычисление матричной экспоненты для
простых матриц
Отметим сначала, что для многочлена p(x)=a
+ a
xnпонятие матрицы p(A) вводится естественным образом:
n
p(A)=a
I + a1A + a2A2+ ··· + anAn.
0
x+a2x2+···+
0+a1
Пусть теперь f (x) — какая-либо произвольная непрерывная функция переменной x и A — квадратная матрица. Определим понятие
функции f(A) от матрицы A следующим образом. Пусть A — про-
стая матрица, т. е. все ее собственные значения являются простыми и,
94 Глав а 5
следовательно, она имеет ровно n различных собственных значений λ1,
, ··· ,λn. Положим f(A)=L(A),гдеL(x) — интерполяционный мно-
λ
2
гочлен
1
такой, что его значения в точках λjсовпадают со значениями
функции f (x):
)=f(λj),j=1, 2, ··· ,n.
L(λ
j
Многочлен L(x) имеет степень не выше n − 1 и его можно строить различными способами, например, по формуле интерполяционного многочлена Лагранжа (см. приведенную на с. 136 формулу (8.3)).
Можно показать, что приведенное определение функции f(A) кор-
ректно, т. е. не зависит от выбора интерполяционного многочлена L(x).
Построение матрицы e
схеме. Рассмотрим функцию f(x)=e
At
теперь можно проводить по следующей
xt
, считая, что t — параметр.
Построим интерполяционный многочлен L(x) так, чтобы выполнялись
равенства
Наконец, положим e
L(λ
At
= L(A).
)=e
j
λjt
,j=1, 2, ··· ,n.
Отметим, что приведенная схема может быть распространена
с простых матриц на произвольные (см. [4]).
Пример 5.4. Рассмотрим матрицу
A =
6 −1
. (5.29)
32
Ее собственные значения равны λ
=3и λ2=5. Так как порядок n
1
матрицы A равен 2, то интерполяционный многочлен L(x) имеет сте-
пень 1, т. е. его можно искать в виде L(x)=a
+ a1x. В соответствии
0
с описанной выше схемой для определения неизвестных коэффициентов a
систему
Из этой системы получим a
матричная экспонента e
и a1следует рассмотреть уравнения L(3) = e3tи L(5) = e5t,т.е.
0
+3a1= e3t,
a
0
a
+5a1= e5t.
0
1
3t
(5e
=
0
At
равна eAt= a0I + a1A или
3 −1
1
At
e
1
Понятие интерполяционного многочлена вводится ниже в п. 8.1.2 главы 8.
5t
e
=
3 −1
2
2
−3e5t), a1=
1
3t
e
+
2
−11
−33
1
5t−e3t
(e
2
). Поэтому
. (5.30)
5.4. Решение неоднородной системы 95
5.3.2. Формула Коши
Ряд (5.28) можно дифференцировать:
dt
d
At
= A +
e
2(At)A
2!
+
3(At)
3!
Справедлива
Тео рем а 5 .1. Вектор-функция
x(t)=e
A(t−t0)
является решением задачи Коши (5.27).
Доказательство.
= Ix
= x0. Во-вторых, дифференцируя вектор-функцию (5.32) и ис-
0
Действительно, во-первых, x(t
пользуя при этом (5.31), получим
(t)=Ae
x
A(t−t0)
x0= Ax(t).
2
A
+ ··· = Ae
x
0
At
. (5.31)
)=e0x0=
0
(5.32)
Теорема доказана.
Равенство (5.32) называют формулой Коши для решения задачи (5.27). Формула Коши играет важную роль в многочисленных задачах теории дифференциальных уравнений и ее приложений. Применения этой формулы будут продемонстрированы ниже при решении
нелинейных задач.
5.4. Решение задачи Коши для неоднородной
системы
В заключение этой главы рассмотрим неоднородную систему
dx
= Ax + f (t), x ∈ R
dt
с квадратной матрицей A порядка n и n-мерной вектор-функцией f (t),
компоненты f
(t) которой непрерывны.
j
Будем искать решение задачи Коши для системы (5.33), т. е. решение x(t) системы (5.33), удовлетворяющее начальному условию
)=x0, (5.34)
x(t
0
где x
∈ Rn— заданный вектор. Справедлива
0
n
, (5.33)
96 Глав а 5
Тео рем а 5.2 . Решение задачи Коши (5.33)–(5.34) представляет-
ся в виде
t
x(t)=e
A(t−t0)
x0+
t
0
A(t−s)
e
f(s) ds, (5.35)
В справедливости теоремы 5.2 несложно убедиться непосредственным подсчетом (покажите это).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Найдите собственные значения и собственные векторы мат-
риц
(a) A =
1 −1
24
;(b) B =
34
4 −3
.
5.2. Пусть λ
— собственное значение матрицы A и h — соот-
0
ветствующий собственный вектор. Покажите, что h является собственным вектором и для матрицы A + pI при любом p (здесь I —
единичная матрица). Найдите соответствующее собственное значение.
5.3. Решите уравнение
где A =
34
4 −3
dx
= Ax, x ∈ R
dt
.
2
,
5.4. Найдите решение задачи Коши
где A =
2 −1
−12
, x
dx
= Ax, x(0) = x
dt
1
=
0
.
0
,
0
5.5. Найдите решение задачи Коши (5.33)–(5.34),еслиA —мат-
рица (5.29), t
=0, x0=0и f (t)=[2t, t]т.
0
Указание: воспользуйтесь формулами (5.30) и (5.35).
Гла ва 6
Автономные системы и их фазовые
портреты
В этой главе рассматривается один из важнейших классов дифференциальных уравнений — так называемые автономные уравнения. Такими уравнениями описываются объекты, законы функционирования
которых не меняются с течением времени. Приводится геометрическая
интерпретация решений автономных уравнений в так называемом фазовом пространстве. Изучаются некоторые классические задачи для
систем, описываемых автономными уравнениями.
6.1. Основные понятия
6.1.1. Автономные уравнения и системы
Рассмотрим приведенную на стр. 19 нормальную систему (1.22)
дифференциальных уравнений. Если в правые части этой системы не
входит независимая переменная t, то такая система называется авто-
номной. В противном случае система (1.22) называется неавтономной.
Другими словами, автономными являются системы вида
dx
dt
где
x =
⎤
⎡
x
1
⎥
⎢
.
.
⎦
⎣
.
x
n
Например, уравнение x
первого порядка, а система
f
f
+ x
− x
n
, (6.1)
1(x1
n(x1
2
2
2
2
,
, ··· ,xn)
.
.
.
, ··· ,xn)
⎤
⎥
. (6.2)
⎦
= f(x), x ∈ R
⎡
1
2
= x
= x
⎢
⎣
2
1
2
1
, f(x)=
= x2−1 является автономным уравнением
x
x
(6.3)
98 Глав а 6
является автономной системой второго порядка. Система (6.3) записывается в виде (6.1) при
x
1
x =
, f(x)=
x
2
В то же время, например, уравнение x
x
x
= x+sint является неавтоном-
2
1
2
1
2
+ x
2
. (6.4)
2
− x
2
ным.
Ниже будем считать выполненным предположение:
П1. Правая часть системы (6.1) определена во всем пространстве R
и непрерывно дифференцируема по своим аргументам в каждой
точке этого пространства.
n
Предположение П1 гарантирует, что при начальном условии x(t
= x
∈ Rnсуществует единственное решение x(t) системы (6.1), опре-
0
деленное в некоторой окрестности значения t = t
. Это следует из тео-
0
)=
0
ремы Пикара (см. стр. 45).
6.1.2. Инвариантность решений автономных систем
Важной характеристикой автономных систем является свойство их
решений оставаться таковыми при произвольных сдвигах по времени.
Другими словами, решения автономных систем обладают свойством
инвариантности (т. е. неизменности) по отношению к сдвигам по времени. А именно справедлива
Тео рем а 6. 1 . Пусть x = ϕ(t) — решение автономной системы (6.1). Тогда для любого постоянного C функция x = ϕ(t + C) также является решением системы (6.1).
Доказательство.
стемы (6.1), то выполнено тождество ϕ
Так как функция x = ϕ(t) — решение си-
(t) ≡ f[ϕ(t)]. Зададимся произвольным числом C и определим функцию ψ(t)=ϕ(t + C).Тогда
получим
т. е. функция ψ(t) является решением системы (6.1). Теорема доказана.
(t)=ϕ(t + C)=f[ϕ(t + C)] = f[ψ(t)],
ψ
Неавтономные уравнения указанным в теореме 6.1 свойством инвариантности решений по отношению к сдвигам по времени не обладают. Например, уравнение x
=cost имеет решение x =sint. Однако
функция x =sin(t + C) будет решением указанного уравнения только
при C =2πk,гдеk — целое число.
6.2. Траектории и фазовые пространства 99
Следствие 6.1. Пусть x = ϕ(t) и x = ψ(t) — два решения автономной системы (6.1) такие, что ϕ(t
)=x0и ψ(t2)=x0,гдеt2>t1.
1
Иначе говоря, пусть решения ϕ(t) и ψ(t) в различные моменты времени t
нено тождество ψ(t) ≡ ϕ(t −t
и ψ(t) «движутся» в пространстве R
и t2проходят через одну и ту же точку x0∈ Rn. Тогда выпол-
1
+ t1). Другими словами, решения ϕ(t)
2
n
по одному пути, при этом
решение ψ(t) отстает во времени («запаздывает») от решения ϕ(t)
на величину t
− t1.
2
Доказательство.
= ϕ(t−t
) является решением системы (6.1). Далее, по построению
1+t0
выполнены равенства x(t
В силу теоремы 6.1 вектор-функция x(t)=
)=ϕ(t0)=x0и ψ(t1)=x0. Поэтому из тео-
1
ремы 2.1 существования и единственности решения задачи Коши для
системы (6.1) получим тождество x(t) ≡ ψ(t), что и означает справедливость следствия 6.1.
6.2. Траектории и фазовые пространства
Напомним, что интегральной кривой (см. п. 1.2), соответствующей
решению x(t) дифференциального уравнения x
называется график функции x = x(t) в пространстве
n+1
R
= {(t,x): t ∈ R1, x ∈ Rn}.
Например, для уравнения x
соответствующей решению x = e
= x,гдеx ∈ R1, интегральной кривой,
t
, является график функции x = e
в двумерном пространстве R2переменных x и t.
В случае автономных систем удобна другая геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений.
6.2.1. Траектории автономных систем
Пусть x = x(t) — решение автономной системы (6.1). При изменении переменной t вектор-функция x(t) принимает различные значения
в пространстве R
сывает в пространстве R
траекторией решения x(t) в R
n
. В силу непрерывности вектор-функция x(t) опи-
n
некоторую кривую. Эту кривую называют
n
.
Внимание! Понятие траектории решения не следует путать с понятием интегральной кривой, которая описывает график решения x = x(t)
в пространстве R
n+1
переменных x ∈ Rnи t ∈ R1.
= f (t, x),гдеx ∈ Rn,
t
100 Глав а 6
x
2
6
x
1
6
R
x
1
-
1
-
t
x
2
a
b
Рис. 6.1
Пример 6.1. Рассмотрим автономную систему
= x2,
x
1
x
2
= −x1,
(6.5)
одним из решений которой является вектор-функция
sin t
x =
Несложно увидеть, что траекторией, соответствующей решению (6.6),
является расположенная в плоскости R
ность x
2
2
+ x
=1. В то же время интегральная кривая названного ре-
1
2
шения расположена в трехмерном пространстве переменных (x
. (6.6)
cos t
2
переменных (x1,x2) окруж-
1,x2
,t)
и представляет собой бесконечную спираль (см. рис. 6.1).
Траектории автономных и неавтономных систем:
основные различия
Конечно, определение траектории решения x(t) как кривой, которую описывает в пространстве R
переменной t, можно отнести не только к автономной системе x
но и к неавтономной системе x
n
указанное решение при изменении
= f (t, x). Есть, однако, существенное
= f(x),
различие между свойствами траекторий автономных и неавтономных
систем. А именно траектории автономных систем обладают свойством,
выраженным в следующей теореме и которым не обладают траектории
неавтономных систем.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]