Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
10.2. Доказательство теоремы Пикара 171
10.2.1. Выбор подходящего метрического пространства
Выберем сначала то метрическое пространство, на котором будет
рассматриваться оператор (10.13) и будет применяться принцип сжимающих отображений.
Пусть (t
что точка (t
то f(t, x) ∈ C(Ω
) ∈ Ω; тогда найдется замкнутая область Ω0⊂ Ω такая,
0,x0
) является внутренней для Ω0.Таккакf (t, x) ∈ C(Ω),
0,x0
) и, следовательно, функция f(t, x) ограничена на Ω0,
0
т. е. найдется K>0 такое, что
|f(t, x)| K, ∀ (t, x) ∈ Ω
. (10.14)
0
Зададимся числом d>0 исходя из требований:
1) P ⊂ Ω
; здесь P — прямоугольник:
0
P = {(t,x): |t − t
0
| d, |x − x0| Kd}.
2) Ld < 1; здесь L — постоянная из условия Липшица (2.9).
Смысл этих требований прояснится ниже.
Пусть задача Коши (2.3) имеет решение x = x(t), определенное
при |t − t
замкнутой области Ω
| d и такое, что его график (t, x(t)) не выходит за пределы
0
,т.е.(t, x(t)) ∈ Ω0при |t − t0| d. Покажем, что
0
тогда график (t, x(t)) не выходит за пределы прямоугольника P ,т.е.
имеет место неравенство |x(t) −x
| Kd при |t − t0| d.
0
Действительно, так как задача Коши (2.3) равносильна решению
интегрального уравнения (10.12), то получим (считая для определенности, что t ∈ [t
|x(t) − x
Здесь использованы включение (t, x(t)) ∈ Ω
+ d]):
0,t0
|
0
max
s∈[t0,t0+d]
$
t
$
$
$
f[s, x(s)] ds
$
$
t
0
$
$
$
$
$
$
t
|f[s, x(s)]|·|t −t0| Kd.
t
|f[s, x(s)]|ds
0
для ∀ t ∈ [t0,t0+d] инера-
0
венство (10.14).
Обозначим через E метрическое пространство непрерывных функций x(t), определенных при |t − t
с метрикой
ρ(x
1,x2
)= max
| d и таких, что |x(t) −x0| Kd,
0
|t−t0|d
|x1(t) − x2(t)|.
172 Глав а 1 0
Другими словами,
E = {x(t): x(t) ∈ C[t
Покажем, что E является полным пространством. Пусть {ϕ
− d, t0+ d], |x(t) − x0| Kd}.
0
(t)} —
n
фундаментальная последовательность в E. Тогда она является фундаментальной и в пространстве C[t
ство полно, то существует функция ϕ
что ρ(ϕ
n,ϕ0
) → 0.
− d, t0+ d]. Так как это простран-
0
(t) ∈ C[t0− d, t0+ d] такая,
0
Полнота пространства E будет установлена, если показать, что
ϕ
(t) ∈ E, т.е. если показать, что |ϕ0(t) − x0| Kd при |t − t0| d.
0
Действительно, при |t − t
|ϕ
(t) − x0| |ϕ0(t) − ϕn(t)| + |ϕn(t) − x0| ρ(ϕn,ϕ0)+Kd.
0
Отсюда и из того, что ρ(ϕ
(t) − x0| Kd.
|ϕ
0
| d имеем (учитывая, что ϕn(t) ∈ E):
0
) → 0, следует нужное неравенство
n,ϕ0
10.2.2. Свойства интегрального оператора
Укажем некоторые свойства определенного равенством (10.13)
оператора A, необходимые в дальнейших построениях.
Пусть число d>0 выбрано так, как это указано на с. 171. Тогда:
1) Оператор A действует из E в E,т.е.A : E → E.
2) Оператор! A: E → E является сжимающим.
Докажем свойство 1. Пусть ϕ(t) ∈ E. Требуется показать, что тогда функция
Aϕ(t)=x
+
0
t
f[s, ϕ(s)] ds
t
0
определена и Aϕ(t) ∈ E.
Так ка к ϕ(t) ∈ E, то функция ϕ(t) непрерывна на промежутке [t
− d, t0+ d] иееграфик(t, ϕ(t)) при |t − t0| d не выходит
0
за пределы прямоугольника P ⊂ Ω
⊂ Ω. Отсюда и из включения
0
f(t, x) ∈ C(Ω) следует, что сложная функция f[t, ϕ(t)] определена
t
и непрерывна при |t − t
рывна при |t − t
0
| d. Поэтому и функция
0
f[s, ϕ(s)] ds непре-
t
0
| d как интеграл с переменным верхним пределом
от непрерывной функции.
10.2. Доказательство теоремы Пикара 173
Для доказательства включения Aϕ(t) ∈ E остается установить, что
при |t −t
| d будет выполнено |Aϕ(t) − x0| Kd. Имеем, учитывая
0
неравенство (10.14):
|Aϕ(t) − x
0
| =
$
t
$
$
$
f[s, ϕ(s)] ds
$
$
t
0
$
t
$
$
$
|f[s, x(s)]|ds
$
$
t
0
max
s∈[t0−d,t0+d]
|f[s, x(s)]|·|t −t0| Kd.
Свойство 1 доказано.
Докажем свойство 2. Пусть ϕ
ρ(Aϕ
,Aϕ2)= max
1
$
t
$
$
=max
|t−t0|d
max
|t−t0|d
Ld max
$
{f[s, ϕ1(s)] − f [s, ϕ2(s)] ds
$
$
t
0
|f[t, ϕ1(t)] − f [t, ϕ2(t)]|
|t−t0|d
|ϕ1(t) − ϕ2(t)| = Ldρ(ϕ1,ϕ2).
(t),ϕ2(t) ∈ E; тогда
1
|t−t0|d
|Aϕ1(t) − Aϕ2(t)| =
t0+d
t
0
$
$
$
$
$
$
ds
Здесь учтено неравенство Липшица (2.9). Отсюда и из условия, что
Ld < 1, следует справедливость свойства 2.
10.2.3. Завершение доказательства теоремы
Приведенные рассуждения показывают, что для определенного равенством (10.13) оператора A в пространстве E выполнены все условия
теоремы 10.1 о существовании неподвижной точки сжимающего оператора. Поэтому оператор A : E → E имеет и притом единственную
неподвижную точку x(t) ∈ E. Тогда функция x(t), определенная на
промежутке |t − t
| d, будет единственным решением интегрального
0
уравнения (10.12) и, следовательно, в силу леммы 10.2 — единственным
решением задачи Коши (2.3).
Теорема доказана.
174 Глав а 1 0
10.3. Доказательство теоремы 2.4
Пусть решение x(t) задачи Коши (2.3) не является решением первого вида, указанным в теореме 2.4, т. е. оно не может быть определено
при всех t t
может быть определено при t
доказательства теоремы остается доказать, что |x(t)|→∞ при t→t
В предположении противного существуют M>0 и последователь-
ность t
t
k
t t0+2T, |x| 2M}.
0
Так как f(t, x) ∈ C(Ω
найдется K>0 такое, что
Зададимся числом d>0 исходя из требований:
1) Kd M ;
2) 2d T ;
3) Ld < 1;
здесь L — постоянная из условия Липшица (2.9). Первые два требова-
ния означают (покажите это!), что при t
ние P
⊂ Ω0; здесь Pk— прямоугольник:
k
Отметим, что выбор значения d не связан со значениями k.
Так как t
будет выполнено неравенство t
t
t0+
k
же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 2.3 (см. с. 172–173).
Тогда получим, что задача Коши
имеет единственное решение x(t), определенное на промежутке t
+ d. Но по построению имеем неравенство tk+ d>t0+ T , которое
t<t
k
противоречит предположению о том, что решение задачи Коши (2.3)
и, следовательно, задачи (10.15) не может быть продолжено за преде-
+ T .
лы t
0
Теорема доказана.
. Обозначим через T супремум величин t1таких, что x(t)
0
t<t0+ t1.ТаккакT конечно, то для
0
0
+T .
, tk→ t0+ T,такие,что|x(tk)| M .ПоложимΩ0= {(t, x):
), то функция f (t, x) ограничена на Ω0,т.е.
0
|f(t, x)| K, ∀ (t, x) ∈ Ω
k
= {(t,x): |t − tk| d, |x − xk| Kd}.
P
k
→ t0+ T возрастая, то, начиная с некоторого номера k,
k
T
. Зафиксируем какой-нибудь такой номер k и повторим те
2
+ T − tk<dи тем более неравенство
0
= f(t, x),
x
x(t
)= x
k
k
t0+
.
0
T
выполнено включе-
2
(10.15)
k
Ответы к задачам
Глава 1
1.1) (a) да; (b) да; (c) нет; (d) да.
1.2) x
Глава 2
2.2) Ω={(t, x): x2+ t2< 1}.
2.3) да; при C = π/4.
Глава 3
3.1) (a) Ct√1+x2= x и x =0;(b)x2+ t2=lnCt2.
=1±x2e−t.Нет.
3.2) (a) x = −t ln ln
3.3) (a) x
3.4) x = Ct+ t
3.5) (a) x =
4
+ t3+3t2x2= C;(b)x2+ tx + t2/2=C.
2
.
t
e
− e2+2
t
C
;(b)x =
t
;(b)x =
t
ln Ct
t
cos t
.
.
Глава 4
4.1) (a) да; (b) нет; (c) да; (d) нет.
4.3) x = C
4.4) (a) x = C
+ C2t2+ t3.
1
e2t+ C2e3t;(b)x = e−t(C1+ C2t).
1
176 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
t
−t
− e
4.5) (a) x =
4.6) x =(C
3e
2
+ C2t)e2t+
1
;(b)x = e
2
+4t +3
2t
−t
(cos t +sint).
.
8
Глава 5
1
−2
2
, h2=
1
, h
5.1) (a) λ1=3,λ2=2, h1=
(b) λ
=5,λ2= −5, h1=
1
1
=
2
−2
.
−1
1
.
5.2) λ = λ
5.3) x = C
5.4) x =
5.5) x =
+ p.
0
e
1
1
t
e
2
5t
e
2
5t
1
1
+
1
− 5t −1
10
+ C
1
e
2
1
−5t
e
2
1
3t
−1
1
e
−
1
−2
.
3t
− 3t −1
18
.
1
.
3
Глава 6
6.1) (a) x = −1;(b)x =0, ±1;(c)x = ±√nπ, n ∈ Z;
(d) нет.
6.2) (a) репеллер; (b) аттрактор (x = ±1), репеллер (x =0); (c)
репеллер (x =
аттрактор (x =
6.3) b и c.
6.4) 16.
6.5) (a) (0, 0) и (2, 1);(b)(nπ, 0), n ∈ Z;
(2m +1)π
(c) (
2
√
nπ, n —четно; x = −√nπ, n — нечетно;),
√
nπ, n — нечетно; x = −√nπ, n —четно).
,nπ), n ∈ Z.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 177
6.6) (a) седло; (b) неустойчивый фокус; (c) седло; (d) центр.
Качественно эквивалентны системы (a) и (c).
6.8) Точка равновесия: x
= x2=0— устойчивый фокус.
1
Глава 7
7.1) (a) устойчиво, но не асимптотически; (b) асимптотически
устойчиво.
7.3) (a) неустойчиво; (b) неустойчиво; (c) неустойчиво;
(d) устойчиво.
7.4) Неустойчиво.
Глава 8
8.1) p(t)=−2t2+3t.
Глава 9
9.1) (a) r =1(полуустойчивый); (b) r =1(неустойчивый);
(с) r =1(устойчивый), r =2(неустойчивый).
Литература
[1] Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М.:
УРСС, 2003. — 208 с.
[2] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —
Москва–Ижевск: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая
динамика», 2000. — 368 с.
[3] Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям. — Москва–Ижевск: Редакция журнала «Регулярная
и хаотическая динамика», 2004. — 540 с.
[4] ЛанкастерП. Теория матриц. — М.: Наука, 1983. — 328 с.
[5] Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. — Минск: Вышэйшая школа, 1974. — 768 с.
[6] Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Санкт-
Петербург: Специальная литература, 1996. — 372 с.
[7] Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифферен-
циальных уравнений. — М.: Наука, 1986. — 288 с.
[8] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: Наука, 1970. — 279 с.
[9] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1982. — 332 с.
[10] Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука,
1971. — 288 с.
[11] Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчи-
вости. — М.: Мир, 1980. — 300 с.
[12] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир,
1970. — 436 с.
[13] Чезари Л. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: Мир, 1964. — 478 с.
[14] Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Качественная теория с приложениями. — М.: Мир, 1986. — 243 с.
Предметный указатель
Автономная система, 97
Аппроксимирующая функция, 136
Асимптотически устойчивое реше-
ние, 124
Аттрактор, 106
Вольтерра–Лотка система, 14
Глобальная ошибка дискретизации,
139
Дифференциальное
— уравнение, 15
— уравнение n-го порядка, 16
Задача Коши, 26
Замкнутая траектория (цикл), 102
Изоклина, 24
Интегральная кривая, 22
Интегрирование дифференциально-
го уравнения, 21
Интегрирующий множитель, 55
Интерполяционный многочлен
Лагранжа, 136
Качественно эквивалентные авто-
номные системы, 114
Кратность собственного значения, 87
Линейные дифференциальные урав-
нения n-го порядка, 65
Матрица Якоби, 116
Матричная экспонента, 93
Метод
— Рунге–Кутта второго порядка, 143
— Рунге–Кутта четвертого порядка,
143
— Эйлера, 140
— вариации произвольных постоян-
ных, 73
— изоклин, 24
— прогноза и коррекции, 147
Методы
— Адамса–Башфорта, 146
— Адамса–Моултона, 146
Метрическое пространство, 163
Многошаговые численные методы,
144
Модель «хищник–жертва», 14
Неподвижная точка оператора, 167
Неравенство Липшица, 30
Неустойчивое решение, 123
Неустойчивый предельный цикл
(или репеллер), 155
Нормальная система дифференци-
альных уравнений, 18
Линеаризованная система, 116
Линейно независимая система функ-
ций, 66
Линейное уравнение первого поряд-
ка, 58
Общее
— решение, 39
— решение линейного уравнения n-го
порядка, 68
Общий интеграл, 41
180 Предметный указатель
Огибающая семейства интегральных
кривых, 43
Однородная функция порядка m, 51
Однородное дифференциальное
уравнение, 51
Одношаговые численные методы, 144
Оператор сжатия, 167
Определитель Вронского, 67
Особое решение, 42
Поле направлений, 23
Полный дифференциал функции, 53
Полупростое собственное значение,
87
Порядок собственного значения, 87
Предельный цикл, 155
Принцип сжимающих отображений,
168
Присоединенный вектор, 87
Простое собственное значение, 87
Репеллер, 106
Решение дифференциального урав-
нения, 20
Сетка, 134
Сеточная функция, 135
Собственное значение, 85
Собственный вектор, 85
Точка равновесия (неподвижная точ-
ка), 102
Траектория решения, 99
Узловая точка сетки, 134
Уравнение
— Бернулли, 60
— Ван дер Поля, 161
— Риккати, 62
— в полных дифференциалах, 53
— гармонических колебаний, 13
— гармонического осциллятора, 160
— интегрируемое в квадратурах, 49
— с разделяющимися переменными,
50
Условие Липшица, 30
Устойчивость по Ляпунову, 122
Устойчивый предельный цикл (или
аттрактор), 155
Фазовое пространство, 101
Фазовый портрет, 101
Формула
— Коши для решений однородного
уравнения, 58
— Коши для решения линейных ав-
тономных систем, 95
— Остроградского–Лиувилля, 81
Фундаментальная система решений
однородного уравнения, 68
Теорема
—Пеано,29
— Пикара, 31
— о непрерывной зависимости реше-
ния задачи Коши от начальных
данных, 38
— о непрерывной зависимости реше-
ния задачи Коши от параметров,
37
Теория Пуанкаре–Бендиксона, 156
Характеристическое
— уравнение для линейного уравне-
ния n-го порядка, 83
— уравнение для линейного уравне-
ния второго порядка, 76
— уравнение матрицы, 86
Частное решение, 41
Шунт, 106
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]