Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
.pdf
2.5. Общее решение и общий интеграл 41
2.5.2. Частное решение
Пусть x = ϕ(t) — какое-либо решение дифференциального уравнения (2.1), определенное в некотором промежутке t ∈ [a, b]. Говорят, что
оно состоит из точек единственности решения задачи Коши, если при
любом t
∈ [a, b] решение задачи Коши x= f(t, x), x(t0)=ϕ(t0) суще-
0
ствует и единственно (это решение совпадает с функцией x = ϕ(t)).
Определение 2.6. Пусть x = ϕ(t) — какое-либо решение диф-
ференциального уравнения (2.1). Говорят, что оно является частным
решением этого уравнения, если каждая точка решения x = ϕ(t) явля-
ется точкой единственности решения задачи Коши.
Так как в определении общего решения x = x(t, C) предполагается, что в области Ω проходит одна и только одна интегральная кривая
уравнения (2.1), то частные решения могут быть получены из общего
решения при конкретных значениях постоянной C (включая значения
C = ±∞). Так как область Ω может не совпадать с множеством существования и единственности решения задачи Коши, то общее решение
может давать не все частные решения уравнения.
Пример 2.12. Все частные решения уравнения (2.19) могут быть
получены из общего решения x = Ct (t =0). Например, оно имеет
частные решения x =5t, x = −3,5t ит.д.
2.5.3. Общий интеграл
Пусть Ω — область, в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (2.1).
Во многих случаях общее решение уравнения (2.1) определяется
из некоторого равенства
Φ(t, x, C)=0, (2.20)
где C — произвольная постоянная. Равенство (2.20) в этом случае называется общим интегралом дифференциального уравнения (2.1). Дру-
гими словами, равенство (2.20) является общим интегралом уравнения (2.1), если оно позволяет определить общее решение x =
x(t, C)
уравнения (2.1) в некоторой области Ω.
Пример 2.13. Рассмотрим уравнение
dx
dt
t
= −
, (2.21)
x
42 Глав а 2
правая часть которого определена при ненулевых x. Покажем, что
соотношение x
рассматриваемого уравнения. Для этого убедимся в том, что соотношение x
в некоторых областях. Действительно, из этого соотношения находим
x =
2
√
C −t2и x = −√C −t2. Нетрудно убедиться в том, что эти
2
+ t2= C,гдеC>0, является общим интегралом
+ t2= C позволяет найти общие решения уравнения (2.21)
функции являются общими решениями уравнения (2.21) соответственно в областях
= {(t,x): −∞ <t<∞,x>0},
Ω
+
Ω
= {(t,x): −∞ <t<∞,x<0}.
−
2.6. Особые решения и огибающие
2.6.1. Особые решения
Понятие общего и частного решения дифференциального уравнения предполагает, что через каждую точку области проходит единственное решение задачи Коши. Тем самым каждая точка общего или
частного решения является точкой единственности решения задачи Коши.
Определение 2.7. Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши,
называют особым решением.
Непосредственно из этого определения следует, что особое решение не является частным и не может содержаться в формуле общего
решения уравнения.
Выше был рассмотрен пример 2.5, где было показано, что уравнение (2.13) имеет особое решение x(t) ≡0. Рассмотрим еще один пример.
Пример 2.14. Рассмотрим уравнение
dx
=2
dt
Оно имеет общее решение x =(t + C)
Ω={(t, x): −∞ <t<∞, 0 <x<∞}.
√
x. (2.22)
2
(t −C ) в области
2.7. Задача Коши для систем 43
Уравнение (2.22) имеет особое решение x(t) ≡ 0. Действительно, через
любую точку M (t
, 0), лежащую на оси t, проходят по крайней мере
0
два решения:
x
(t) ≡ 0,x2(t)=
1
0,t t
(t − t
0
)2,t>t0.
,
0
2.6.2. Огибающая семейства решений
Определение 2.8. Пусть уравнение (2.1) имеет семейство инте-
гральных кривых
Φ(t, x, C)=0, (2.23)
где C — параметр. Огибающей этого семейства кривых называется
функция x = ϕ(t), которая в каждой своей точке (t, x) касается хотя
бы одной кривой семейства (2.23) и ни на каком участке не совпадает
ни с одной из кривых этого семейства.
Тео рем а 2. 7. Огибающая семейства интегральных кривых (2.23)
является решением уравнения (2.1) и притом особым.
Доказательство. Во-первых, так как в каждой своей точке (t, x)
огибающая x = ϕ(t) касается хотя бы одной кривой семейства (2.23), то
в каждой точке огибающей направление касательной совпадает с направлением поля, определенным уравнением (2.1). Это означает, что
огибающая является интегральной кривой уравнения (2.1), т. е. функция x = ϕ(t) является решением уравнения (2.1). Во-вторых, в каждой
точке огибающей нарушена единственность решения задачи Коши, так
как через эту точку проходят по крайней мере две интегральные кривые: сама огибающая и кривая семейства (2.23), которой огибающая
касается в данной точке.
Пример 2.15. Уравнение (2.22) имеет семейство интегральных
кривых x =(t + C)
2
(t −C). Огибающей этого семейства кривых
является функция x =0,т.е.осьt. Функция x ≡ 0 является особым
решением рассматриваемого уравнения.
2.7. Задача Коши для системы дифференциальных
уравнений
Выше при рассмотрении задачи Коши основное внимание уде-
лялось скалярным уравнениям, а именно уравнению первого поряд-
44 Глав а 2
ка (1.15) с одной неизвестной функцией x(t). В этом разделе будут
рассматриваться системы дифференциальных уравнений с несколькими неизвестными функциями x
(t),x2(t), ··· ,xn(t).
1
2.7.1. Случай нормальных систем
Рассмотрим нормальную систему уравнений вида (1.22):
dx
= f(t, x); (2.24)
dt
обозначения см. в разделе 1.2.3.
Система (2.24) по форме совпадает с уравнением первого порядка (1.15) с одной неизвестной функцией x(t). Это позволяет просто пе-
реформулировать для векторной системы (1.22) все основные понятия,
сформулированные выше для скалярного уравнения (1.15). Приведем
некоторые из этих понятий в краткой форме. При этом для простоты
будем предполагать, что правая часть системы (2.24) определена при
всех t ∈R
1
и x ∈ Rn.
Определение 2.9. Решением системы (2.24) на отрезке a t b
называется вектор-функция
x(t)=(x
(t), ··· ,xn(t)), (2.25)
1
удовлетворяющая на этом отрезке системе (2.24), т.е. при подстановке
в (2.24) вместо x вектор-функции (1.31) получим тождество.
Определение 2.10. Задачей Коши для системы (2.24) называется
задача нахождения решения (1.31) этой системы, удовлетворяющего
начальному условию
)=x10, ··· ,xn(t0)=xn0, (2.26)
x
1(t0
где x
, ··· ,xn0— заданные числа.
10
Задачу Коши системы (2.24) удобно записывать в виде (сравни с (2.3))
где x
=(x10, ··· ,xn0) ∈ Rn— заданный вектор.
0
x(t
x
0
= f(t, x),
)= x0,
(2.27)
Для системы (2.24) несложно сформулировать теоремы существования и единственности решения задачи Коши, являющиеся аналогами
2.7. Задача Коши для систем 45
теорем 2.1, 2.2 и 2.3. В частности, теорема 2.3 Пикара здесь формулируется следующим образом.
Выше для простоты мы предположили, что правая часть системы (2.24) определена при всех t ∈ R
1
и x ∈ Rn; другими словами,
вектор-функция f(t, x) определена в пространстве
n+1
= {(t,x): t ∈ R1, x ∈ Rn}.
R
Пусть Ω ⊂ R
n+1
— некоторая область.
Теорема 2.8 (Пикар). Пусть f (t, x) ∈ C(Ω), причем функция
f(t, x) удовлетворяет условию Липшица по переменной x:
|f(t, x) − f(t, y)| K |x − y| (2.28)
для любых точек (t, x), (t, y) ∈ Ω, где постоянная K>0 не зависит
от t, x, y. Тогда для любой точки (t
, x0) ∈ Ω задача Коши (2.27) име-
0
ет единственное решение.
Так же, как и для уравнения (2.1), для системы (2.24) определяются понятия общего и частного решения.
Определение 2.11. Общим решением системы (2.24) называется
семейство вектор-функций x = x(t,C
вольных постоянных C
, ··· ,Cnтак, что:
1
1) для любого допустимого набора постоянных C
функция x = x(t, C
2) для любой точки (t
, ··· ,Cn0такой, что решение x = x(t, C10, ··· ,Cn0) будет удо-
C
10
, ··· ,Cn) является решением системы (2.24);
1
, x0) ∈ Rnсуществует набор постоянных
0
влетворять начальному условию x(t
, ··· ,Cn), зависящих от n произ-
1
, ··· ,Cnвектор-
1
, ··· ,Cn0)=x0.
0,C10
Естественным образом определяется и частное решение систе-
мы (2.24).
2.7.2. Случай уравнения n-го порядка
Рассмотрим теперь уравнение n-го порядка (1.12), т. е. уравнение
(n)
=0. (2.29)
Ft, x, x
, ··· ,x
46 Глав а 2
Во многих случаях уравнение (2.29) удается разрешить относитель-
(n)
но x
:
(n)
= ft, x, x, ··· ,x
x
(n−1)
. (2.30)
Выше уже отмечалось (см. стр. 26), что уравнение (2.30) может
быть сведено к равносильной нормальной системе дифференциальных
уравнений первого порядка. С этой целью определим новые неизвестные функции
x
= x, x2= x, ··· ,xn= x
1
(n−1)
и рассмотрим систему
⎧
x
= x2,
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
= x3,
x
2
.
.
.
x
= xn,
n−1
= f (t, x1, ··· ,xn).
x
n
(2.31)
Несложно видеть, уравнение (2.30) эквивалентно нормальной системе (2.31) в том смысле, что если x(t) — это решение уравнения (2.30),
то вектор-функция
(t)
x(t)=x(t),x
(t), ··· ,x
(n−1)
будет решением системы (2.31), и наоборот, если вектор-функция
x(t)=(x
— это решение системы (2.31), то функция x(t)=x
(t), ··· ,xn(t))
1
(t) будет решением
1
уравнения (2.30).
Приведенное сравнение уравнения (2.30) и системы (2.31) приводит
к следующему определению.
Определение 2.12. Задачей Коши для уравнения (2.30) называ-
ется задача нахождения решения x(t) этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям
(n−1)
(t0)=xn0, (2.32)
где x
)=x10,x(t0)=x20, ··· ,x
x(t
0
, ··· ,xn0— заданные числа.
10
2.7. Задача Коши для систем 47
Пример 2.16. Сформулируем задачу Коши для уравнения
2
x
d
+ ω2x =0, (2.33)
2
dt
где ω>0. Уравнение (2.33) — это уравнение гармонических колеба-
ний (1.8) (см. стр. 13). В соответствии с определением 2.12 задача Коши
для этого уравнения записывается в виде
+ ω2x =0,x(t0)=x0,x(t0)=x1.
x
Отметим, что уравнение (2.33) равносильно следующей нормаль-
ной системе двух уравнений первого порядка:
= x2,
x
1
x
= −ω2x1,
2
(2.34)
так что если x(t) — это решение уравнения (2.33), то вектор-функция x(t)=(x(t),x
вектор-функция x(t)=(x
функция x(t)=x
(t)) будет решением системы (2.34), и наоборот, если
(t),x2(t)) — это решение системы (2.34), то
(t) будет решением уравнения (2.33).
1
1
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Покажите, что для уравнения x
= x2+ t2условия теоре-
мы 2.3 выполнены во всей плоскости (t, x).
2.2. Определите области Ω вплоскости(t, x), в которой для урав-
нения x
=√1 − x2− t2выполнены все условия теоремы 2.3.
2.3. Покажите, что общим решением данных дифференциальных
уравнений служат указанные функции
(a) x
(b) x
x
, x =
= −
t
= x2+1, x =tg(t + C).
C
;
t
Покажите, что последнее уравнение имеет частное решение
x =
1+tgt
1 − tg t
.
При каком значении C оно может быть получено из общего решения?
48 Глав а 2
2.4. Покажите, что для данных дифференциальных уравнений
указанные соотношения являются общими интегралами:
2t − x
x
=
t − 2x
2
,t
− xt + x2= C2;
x
=
t − x +1
1
x
,Ce
+ t −x =0.
Гла ва 3
Уравнения, интегрируемые
в квадратурах
Задачу интегрирования дифференциальных уравнений можно по-
нимать по-разному. В самой узкой постановке ставится цель выразить решение через элементарные функции. Эта задача, вообще говоря, неразрешима даже для такого простого уравнения, как уравне-
ние x
для элементарной функции также является элементарной функцией.
В качестве примера можно привести уравнение
Несколько шире постановка задачи, при которой решение выражается в квадратурах, т. е. в виде неопределенных интегралов. Например,
решение уравнения (3.1) выражается в квадратурах
тегрируемым в квадратурах, если его решение (интеграл) удается
представить в виде квадратур от элементарных функций и функций,
входящих в уравнение.
= f(t), так как известно, что далеко не всегда первообразная
dx
sin t
=
dt
x =
Определение 3.1. Дифференциальное уравнение называют ин-
В общем случае дифференциальное уравнение
sin t
. (3.1)
t
dt + C.
t
dx
= f(t, x) (3.2)
dt
не интегрируется в квадратурах. Однако многие представляющие теоретический и практический интерес классы дифференциальных уравнений удается проинтегрировать в квадратурах. В этой главе рассматриваются некоторые наиболее важные типы таких уравнений.
50 Глав а 3
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Пусть уравнение (3.2) имеет вид
dx
= g(x)h(t), (3.3)
dt
где g(x) и h(t) — непрерывные функции.
Определение 3.2. Уравнение (3.3) называют уравнением с раз-
деляющимися переменными.
К уравнениям с разделяющимися переменными относятся также
уравнения вида
f
(x)ϕ1(t)dx = f2(x)ϕ2(t)dt, (3.4)
1
где f
(x),f2(x),ϕ1(t) и ϕ2(t) — непрерывные функции.
1
Уравнения (3.3) и (3.4) интегрируются путем «разделения» пере-
менных t и x. Например, уравнение (3.3) преобразуется к виду
dx
= h(t)dt. (3.5)
g(x)
Интегрируя (3.5), получим уравнение
dx
=h(t)dt + C, (3.6)
g(x)
которому удовлетворяют все решения дифференциального уравнения (3.3) (C — произвольная постоянная) и, наоборот, каждое решение
уравнения (3.6) будет решением уравнения (3.3).
Пример 3.1. Проинтегрировать уравнение
dx
= xln x sin t. (3.7)
dt
Разделяя переменные, получим уравнение
dx
=sintdt.
x ln x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]