Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
М. Е. ЧАНГА
МЕТОДЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Москва Ижевск
2019
УДК 511
ББК 22.13
Ч18
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Чанга М.
Методы аналитической теории чисел. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований,
2019. — 228 с.
Учебное пособие вводит в круг классических аналитических методов
теории чисел. Составлено по материалам специальных курсов, прочитанных автором в Научно-образовательном центре при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Cнабжено задачами для самостоятельного
решения.
Для студентов, аспирантов и лиц, изучающих аналитическую теорию
чисел. Предполагается знакомство читателя с математическим и комплексным анализом, а также с элементарной теорией чисел.
ISBN 978-5-4344-0622-2 ББК 22.13
c
М. Е. Ч анга, 2019
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2019
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие ............................ 5
Обозначения ............................ 7
Гл а в а 1 . Метод комплексного интегрирования ...... 10
§ 1. Мультипликативные функции. Производящие ряды Ди-
рихле ............................. 10
§ 2. Сумматорные функции. Формула Перрона ....... 18
§ 3. Дзета-функция Римана. Функциональное уравнение . . 24
§ 4. Нули дзета-функции Римана ............... 31
§ 5. Асимптотический закон распределения простых чисел 41
§ 6. Проблема делителей Дирихле. Формула Вороного . . . 48
Гл а в а 2 . Метод тригонометрических сумм ........ 61
§ 1. Дробные доли вещественных функций. Критерий Вейля 61
§ 2. Формула замены тригонометрической суммы более ко-
роткой............................. 70
§ 3. Метод Вейля. Оценка дзета-функции Римана на крити-
ческойпрямой ........................ 79
§4. МетодвандерКорпута.ПроблемаГаусса........ 85
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции Ри-
мана.............................. 96
Гл а в а 3 . Метод решета ..................... 115
§ 1. Решето Эратосфена. Тригонометрические суммы с про-
стымичислами........................ 115
§ 2. Решето Бруна. Проблема простых чисел-близнецов . . 124
4 Оглавление
§ 3. Решето Сельберга. Теорема Бруна-Титчмарша . . . . . 140
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха . . . . . 149
§ 5. Большое решето. Аддитивный вариант метода . . . . . 162
Гл а в а 4 . Круговой метод .................... 169
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда . . . 169
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера . 182
§ 3. Аддитивные задачи с простыми числами. Проблемы
Гольдбаха........................... 196
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадра-
тов............................... 211
§ 5. Оценка среднего значения модуля тригонометрических
сумм.............................. 222
Литература ............................. 226
Предисловие
Настоящая книга представляет собой учебник по аналитической
теории чисел, предназначенный для студентов, аспирантов и вообще
для интересующихся теорией чисел. Книга состоит из четырех глав,
посвященных четырем основным методам аналитической теории чисел: методу комплексного интегрирования, методу тригонометрических сумм, методу решета и круговому методу. Перечисленные методы четко выделяются на фоне многообразия приемов, применяемых
в аналитической теории чисел, удачным сочетанием широкой применимости с тщательностью разработки.
Так как изложение методов невозможно в отрыве от задач, для
решения которых эти методы применяются, книга также может служить введением в проблематику аналитической теории чисел. Однако следует иметь в виду, что в книге затронут далеко не весь круг
теоретико-числовых проблем, поскольку в фокусе изложения находятся именно методы. Так, совершенно не затрагиваются проблема
распределения простых чисел в арифметических прогрессиях и проблема Варинга, ибо соответствующие методы проиллюстрированы на
других примерах. Для расширения кругозора в области проблематики аналитической теории чисел рекомендуется книга А. А. Карацубы
«Основы аналитической теории чисел».
В основу настоящей книги легли специальные курсы, прочитанные
автором в Научно-образовательном центре при Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН в 2005–2012 годах. Таким образом,
каждая глава книги вместе с приведенными в ней задачами может
служить готовым материалом для чтения подобных курсов и проведения семинарских занятий по аналитической теории чисел.
6 Предисловие
Образцом стиля изложения и компоновки материала послужила
уже упомянутая прекрасная книга А. А. Карацубы «Основы аналитической теории чисел», которая настоятельно рекомендуется для параллельного изучения. Содержания обеих книг с неизбежностью имеют значительные пересечения, особенно в части методов комплексного
интегрирования и тригонометрических сумм. Однако в книге Карацубы упор делается на конкретные теоретико-числовые проблемы, методы же имеют второстепенное значение, поэтому из изложения практически полностью выпадает метод решета, а круговой метод представлен только в одном из его аспектов. Таким образом, обе книги удачно
дополняют друг друга. Иные источники, освещающие изложенные в
книге вопросы, представлены в списке литературы.
Основная цель настоящей книги — дать читателю представление
о важнейших аналитических методах в теории чисел и через решение
задач привить навыки самостоятельного применения этих методов.
Излагаемые здесь результаты являются классическими и датируются
в основном первой половиной двадцатого века. Однако следует учесть,
что современная теория чисел оперирует теми же методами, только в
более развитой и технически сложной форме, поэтому свободное владение материалом книги необходимо для успешной работы в области
аналитической теории чисел.
Главы в общем независимы, тем не менее книгу рекомендуется
читать подряд. Каждая глава разбита на параграфы, посвященные
отдельным темам. Каждый параграф с целью лучшего усвоения материала снабжен задачами для самостоятельного решения. К некоторым задачам тут же даны указания. Для работы с книгой вполне
достаточно знания математического и комплексного анализа в объеме
университетских курсов и элементарной теории чисел в объеме книги
И. М. Виноградова «Основы теории чисел».
Обозначения
Запись d |n при натуральном d ицеломn означает, что d делит n,
то есть существует целое q такое, что n = dq;
запись n ≡ m(mod k) означает, что n и m сравнимы по модулю k,
то есть k | n −m;
(n
,...,nk) — наибольший общий делитель, а [n1,...,nk] — наи-
1
меньшее общее кратное n
p, p
,p1,p2,... — простые числа;
[x] — целая часть x, то есть наибольшее целое число, не превосхо-
дящее x;
{x} — дробная доля x, то есть x −[x],а(x)=
x — расстояние от x до ближайшего целого числа, то есть x =
=min{x}, 1 −{x};
s = σ + it — комплексная переменная;
Re s = σ — вещественная часть s,аIm s = t — мнимая часть s;
s = σ − it — комплексно сопряженное к s число;
Γ(s) — гамма-функция Эйлера;
ζ(s) — дзета-функция Римана;
η(s) — функция Дедекинда;
arg s — главное значение аргумента s;
ln s — главная ветвь логарифма, а n
√
s — главная ветвь квадратного корня;
запись A B (знак Виноградова) при положительном B означает,
что A = O(B), то есть существует положительное c такое, что |A|
cB;
запись A B (знак Харди) означает, что A B и B A;
c, c
,... — положительные постоянные, в различных формулах,
1,c2
вообще говоря, различные;
,...,nk;
1
s
есть e
s ln n
1
−{x};
2
;
8 Обозначения
ε — произвольно малое положительное число;
C — константа Эйлера,
C = lim
N→∞
1+
1
1
+
+ ...+
2
3
1
− ln N;
N
μ(n) — функция Мебиуса, которая равна единице, если n =1,ну-
лю, если n делится на квадрат простого числа, и (−1)
k
, если n есть
произведение k различных простых чисел;
τ(n) — число делителей n;
(n) — количество решений уравнения x1...xk= n в натураль-
τ
k
ных x
,...,xk;
1
σ(n) — сумма делителей n (в §3 и §4 главы 4 — особый ряд аддитивной задачи, не смешивать также с первообразной функции (x),
возникающей в теореме 8 главы 1 и ее приложениях);
ϕ(n) — функция Эйлера, то есть количество взаимно простых с n
чисел, не превосходящих n;
k
Λ(n) — функция Мангольдта, которая равна ln p, если n = p
,и
равна нулю в противном случае;
ψ(x) — функция Чебышева, то есть сумма значений Λ(n) по n,не
превосходящим x;
π(x) — количество простых чисел, не превосходящих x;
π(x; k, l) — количество простых чисел, не превосходящих x и срав-
нимых с l по модулю k;
(x) — количество простых чисел p, не превосходящих x и таких,
π
2
что p +2 также простое;
ν(n) — количество различных простых делителей n;
(n) — количество различных нечетных простых делителей n;
ν
1
Ω(n) — количество простых делителей n с учетом их кратности;
P (z) — произведение всех простых чисел, не превосходящих z;
S(A, z) — количество чисел конечного множества A, взаимно про-
стых с P (z),аA
— множество тех чисел A, которые кратны d;
d
p(n) — функция разбиений, то есть количество представлений n
суммой натуральных чисел без учета порядка слагаемых (кроме доказательства теоремы 6 главы 3);
k
— число сочетаний из n объектов по k;
C
n
Обозначения 9
(n) — сумма Рамануджана,
c
q
q
c
(n)=
q
h=1
(h,q)=1
hn
2πi
q
e
;
s(h, q) — сумма Дедекинда,
s(h, q)=
q−1
r=1
r
q
hr
;
q
S(h, q) — сумма Гаусса,
q
S(h, q)=
x=1
n
— символ Лежандра, равный 1, 0 или −1, если x
p
2
hx
2πi
q
e
;
2
≡ n(mod p)
имеет, соответственно, два, одно или ни одного решения.
Глава 1
Метод комплексного
интегрирования
Метод комплексного интегрирования, выявляющий глубокие связи анализа и арифметики, возник в рамках доказательства асимптотического закона распределения простых чисел, но затем оформился
в совершенно общий метод получения асимптотических выражений
для сумм широкого класса теоретико-числовых функций. В этой главе будет построен весь необходимый математический аппарат метода,
на основе которого мы докажем асимптотический закон распределения простых чисел и формулу Вороного в классической задаче о числе
целых точек под гиперболой.
§ 1. Мультипликативные функции.
Производящие ряды Дирихле
Комплекснозначная функция натурального аргумента f(n) назы-
вается мультипликативной, если она не равна нулю тождественно
и для любых натуральных n и m таких, что (n, m)=1, имеет место
равенство
f(nm)=f (n)f(m).
Если последнее равенство справедливо при любых натуральных n и
m, то функция f (n) называется вполне мультипликативной. Напри-
мер, функция n
плексном s. Заметим, что мультипликативная функция вполне опре-
s
мультипликативна (причем вполне) при любом ком-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]