Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
Глава 2
Метод тригонометрических
сумм
Многие задачи аналитической теории чисел естественным образом
сводятся к задаче получения верхней оценки модуля некоторой тригонометрической суммы, то есть суммы комплексных чисел, модуль
каждого из которых равен единице. Получение такой оценки — сложная задача, требующая тонкого анализа индивидуальных особенностей тригонометрической суммы. Тем не менее существует ряд методов, применимых к достаточно широкому классу тригонометрических
сумм. Изложение этих методов и является предметом настоящей главы. Каждый метод мы проиллюстрируем, применяя его к конкретной
задаче, например, к проблеме Гаусса о числе целых точек в круге или
к изучению поведения дзета-функции Римана.
§ 1. Дробные доли вещественных функций.
Критерий Вейля
В этом параграфе мы докажем утверждения, выявляющие связь
распределения дробных долей вещественной функции с тригонометрическими суммами.
Пусть f(x) — вещественная функция. Обозначим через D
количество x =1,...,P с условием α {f(x)} <β. Введем периоди-
ческую с периодом 1 функцию G(x), равную единице при α x<βи
равную нулю в противном случае. Нетрудно видеть, что справедливо
(α, β)
P
62 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
равенство
P
D
(α, β)=
P
G(f(x)).
x=1
Однако коэффициенты Фурье функции G(x) убывают недостаточно
быстро, поэтому для приложений более удобен сглаженный вариант
этой функции.
Теор е ма 1. Пусть r — натуральное число, α и β — веществен-
1
ные, 0 < Δ <
, Δ β −α 1 −Δ. Тогда существует периодическая
8
функция g(x) с периодом 1 и с условиями
1) g(x)=1при α +Δ/2 x β − Δ/2,
2) 0 <g(x) < 1 при α −Δ/2 <x<α+Δ/2, β −Δ/2 <x<β+Δ/2,
3) g(x)=0при β +Δ/2 x 1+α − Δ/2,
4) g(x) разлагается в ряд Фурье вида
+∞
g(x)=β −α +
m=−∞
m=0
ame
2πimx
,
причем для ее коэффициентов Фурье справедлива оценка
r
.
|a
| minβ −α,
m
1
π|m|
,
π|m|
1
r
π|m|Δ
Доказательство. Зададим периодическую с периодом 1 функцию
(x) равенствами
g
0
⎧
⎪
1, α<x<β,
⎨
g
0
(x)=
1
,x= α, β,
2
⎪
⎩
0,β<x<1+α.
Δ
Выбирая δ =
, последовательно определим функции g1(x),...,gr(x)
2r
с помощью соотношений
(x)=
g
k
2δ
δ
1
g
(x + u) du,
k−1
−δ
§ 1. Дробные доли вещественных функций. Критерий Вейля 63
так что последняя из этих функций представится в виде повторного
интеграла
−δ
δ
δ
...
g0(x + u1+ ...+ ur) du1...dur.
−δ
(x) является периодической с периодом
r
g
r
(x)=
1
(2δ)
r
Легко видеть, что функция g
1 и удовлетворяет условиям 1–3 из формулировки теоремы. Таким
образом, остается проверить выполнение условия 4.
Разлагая функцию g
g
(x) в ряд Фурье, найдем
0
+∞
(x)=β −α +
0
m=−∞
m=0
a
m,0
2πimx
e
,
причем коэффициенты Фурье a
a
m,0
1
=
0
g0(x)e
−2πimx
Пользуясь рекуррентным соотношением между функциями g
g
(x), мы можем выразить их коэффициенты Фурье a
k−1
задаются формулами
m,0
−πim(α+β)
dx = e
sin πm(β − α)
πm
m,k
.
и a
(x) и
k
m,k−1
друг через друга. Действительно, при k =1,...,r имеем
2δ
1
−δ
δ
du
1
g
(x + u) dx = a
k−1
0
0,k−1
,
1
=
a
0,k
gk(x) dx =
0
а для ненулевых значений m аналогично находим
1
a
=
m,k
δ
1
=
2δ
−δ
2πimu
e
du
1
0
g
k−1
0
(x + u)e
gk(x)e
−2πim(x+u)
−2πimx
dx =
dx =
sin 2πmδ
2πmδ
a
m,k−1
.
Полученные соотношения дают нам явные выражения для коэффициентов Фурье функции g
(x). Точнее говоря, при ненулевых значениях
r
m имеем
−πim(α+β)
= e
a
m,r
а a
= β−α, и доказательство завершается применением элементар-
0,r
sin πm(β − α)
πm
sin 2πmδ
2πmδ
r
,
ных оценок функции sin x.
64 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Функции g(x) были введены Виноградовым и носят название «стаканчиков» Виноградова.
Последовательность дробных долей функции f(x) называется рав-
номерно распределенной, если при любых 0 α<β 1 справедливо
равенство
1
D
lim
P →∞
(α, β)=β −α,
P
P
или, что то же самое, если при любом 0 <γ<1 выполняется условие
1
D
P
(0,γ)=γ.
P
lim
P →∞
Рассмотрим общий критерий равномерного распределения, связывающий вопросы распределения дробных долей с оценками тригонометрических сумм.
Теорема 2 (критерий Вейля). Необходимым и достаточным
условием равномерности распределения дробных долей функции f (x)
является выполнение равенства
P
1
x=1
2πimf(x)
e
=0
lim
P →∞
P
при любом целом ненулевом m.
Другими словами, при любом целом ненулевом m мы требуем, чтобы
P
x=1
2πimf(x)
e
= o(P).
Суммы, подобные стоящей в левой части, называются тригонометрическими. Тривиальная оценка модуля таких сумм есть число слагае-
мых, то есть P . Таким образом, равномерное распределение дробных
долей эквивалентно существованию нетривиальной оценки соответствующих тригонометрических сумм.
Доказательство. Докажем вначале достаточность условия. Пусть
0 <γ<1 и 0 <ε<min
венства
P
x=1
γ
,
2
1−γ
2
1
. В этом случае имеют место нера-
,
8
g1(f(x)) DP(0,γ)
P
x=1
g2(f(x)),
§ 1. Дробные доли вещественных функций. Критерий Вейля 65
(x) и g2(x) — «стаканчики» Виноградова, отвечающие парамет-
где g
1
ε
рам
, γ −
2
, ε,1и−
2
ε
жением функции g
ε
2
(f(x)) в ряд Фурье, получим
1
ε
, γ +
, ε, 1, соответственно. Пользуясь разло-
2
P
g1(f(x)) = (γ −ε)P +
x=1
причем для коэффициента Фурье a
|a
| min
m
Теперь выберем параметр N =[ε
что существует P
лива оценка
(ε) такое, что при P>P0(ε) и 0 < |m| N справед-
0
P
2πimf(x)
e
x=1
+∞
m=−∞
m=0
теорема 1 дает оценку
m
1
,
|m|
|m|2ε
−2
]. Из условия теоремы заключаем,
a
1
εP
ln N
P
2πimf(x)
e
m
x=1
,
.
.
При |m| >N оценим эту тригонометрическую сумму тривиально, то
есть числом ее слагаемых P . Таким образом, используя в каждом из
этих случаев соответствующую оценку коэффициентов a
>P
(ε) найдем
0
P
g1(f(x)) − γP
x=1
Повторяя те же рассуждения с функцией g
кому же неравенству с точностью до замены g
этих неравенств и того факта, что величина D
ду соответствующими суммами, следует, что |D
при P>P
(ε), а в силу произвольности ε это означает, что
0
εP +2
N
m=1
1
mεPln N
+2
(f(x)), мы придем к та-
2
m2ε
m>N
(f(x)) на g2(f(x)).Из
1
(0,γ) заключена меж-
P
(0,γ) − γP| 6εP
P
m
1
P 6εP.
, при P>
1
lim
P →∞
D
P
(0,γ)=γ,
P
то есть дробные доли f(x) распределены равномерно.
Теперь докажем необходимость условия. Зададим ненулевое целое
число m. Для произвольного натурального n>|m| обозначим через
66 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
(k),гдеk =1,...,n, множество тех x =1,...,P, которые удовле-
M
n
творяют неравенствам
P
2πimf(x)
e
x=1
так как |e
=
k=1
iϕ
−1| |ϕ|. Возьмем произвольное ε>0 и выберем n столь
n
x∈Mn(k)
k−1
n
{f (x)} <
2πimf(x)
e
k
. Легко видеть, что
n
n
=
k=1
2πim
e
k
n
x∈Mn(k)
1+O
|m|
P,
n
большим, что модуль остаточного члена будет меньше εP . Вспоминая
определение множеств M
P
2πimf(x)
e
x=1
(k), придем к оценке
n
n
−
k=1
D
k − 1
P
,
n
2πim
k
n
<εP.
k
e
n
Так как дробные доли функции f(x) распределены равномерно, можно выбрать P
неравенство
подставляя которое в предыдущую оценку, при P>P
(ε) так, чтобы при P>P0(ε) и k =1,...,nвыполнялось
0
n
k=1
εP
P
<
−
n
2πi
e
mk
n
,
n
< 2εP.
(ε) найдем
0
P
x=1
D
P
2πimf(x)
e
k − 1
n
k
,
n
P
−
n
Согласно результату задачи 1 к §1 линейная тригонометрическая сумма в левой части равна нулю, поскольку 0 < |m|<nи, следовательно,
n m. Отсюда в силу произвольности ε получаем, что
P
1
x=1
2πimf(x)
e
=0,
lim
P →∞
P
чем и завершается доказательство.
Аналогично доказательству необходимости критерия Вейля можно показать, что если дробные доли f(x) равномерно распределены,
то
lim
P →∞
то есть дробные доли f (x) в среднем равны
1
P
P
{f(x)} =
x=1
1
,
2
1
. Однако в приложени-
2
ях более удобна следующая теорема, в которой вместо предельного
соотношения фигурирует асимптотическая формула.
§ 1. Дробные доли вещественных функций. Критерий Вейля 67
Теор е ма 3. Пусть f (x) — вещественная функция, r —нату-
1
ральное число, 0 < Δ <
, и пусть при любых α и β сусловиемΔ
8
β − α 1 − Δ имеет место соотношение
P
g(f (x)) = (β − α)P + O(R),
x=1
где g(x) — «стаканчик» Виноградова, отвечающий параметрам α, β,
Δ, r, причем величина R и постоянная в знаке O не зависят от α и
β. Тогда справедливо равенство
P
{f(x)} =
x=1
1
P + O(R +ΔP ).
2
Доказательство. При 2Δ β − α 1 −2Δ имеем
P
g1(f(x)) DP(α, β)
x=1
где g
(x) и g2(x) — «стаканчики» Виноградова, отвечающие парамет-
1
рам α +
Δ
2
, β −
Δ
, Δ, r и α −
2
Δ
2
, β +
P
g2(f(x)),
x=1
Δ
, Δ, r, соответственно. Из этих
2
неравенств и условия теоремы получаем
(α, β)=(β − α)P + O(R +ΔP ),
D
P
причем это соотношение распространяется на случай произвольных
α и β, 0 α<β 1. Действительно, при 0 <β− α<2Δ верхняя
оценка величины D
надо пользоваться неотрицательностью D
(α, β) сохраняет силу, а вместо нижней оценки
P
(α, β).Вслучае1 −2Δ <
P
<β−α 1 сохраняет силу нижняя оценка, а вместо верхней оценки
следует воспользоваться тем, что D
Выберем параметр n =[Δ
−1
(α, β) P .
P
] и рассмотрим множества Mn(k) из
доказательства предыдущей теоремы. Группируя слагаемые по этим
множествам, приходим к неравенствам
n
k=1
k − 1
n
D
k − 1
P
P
k
,
n
n
{f(x)}
x=1
n
k=1
D
k − 1
P
k
n
k
,
n
.
n
68 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Совершая с последней суммой преобразование Абеля и пользуясь тем,
что D
(0, 1) = P , найдем
P
n
k=1
k
D
P
n
k − 1
n
D
k
0,
P
+ P.
n
k
,
n
= −
n−1
1
n
k=1
По доказанному выше при k =1,...,n− 1 имеем
k
D
0,
P
k
=
n
P + O(R +ΔP ),
n
причем величина R и постоянная в знаке O не зависят от k. Суммируя
полученные оценки и пользуясь выбором n, находим
n
k=1
k − 1
k
D
P
n
k
,
n
= P −
n
n−1
P
k + O(R +ΔP )=
2
n
k=1
1
P + O(R +ΔP ).
2
С другой стороны, имеем
n
k=1
k − 1
n
D
P
k − 1
n
k
,
n
=
n
k=1
k − 1
k
D
P
n
k
,
n
−
n
1
P
=
P +O(R +ΔP ),
n
2
так что верхняя и нижняя оценки интересующей нас суммы дробных
долей асимптотически совпадают.
Задачи к §1
1. Доказать, что полная линейная тригонометрическая сумма
q
x=1
равна q при a,делящемсянаq, и равна нулю в противном случае.
2. Доказать, что
q
x=1
(x,q)=1
ax
2πi
e
ax
2πi
q
e
q
=
d|(a,q)
q
d.
μ
d
§ 1. Дробные доли вещественных функций. Критерий Вейля 69
Стоящая слева тригонометрическая сумма называется суммой Ра-
мануджана и обозначается через c
справедливо равенство c
(a)=μ(q).
q
(a). При взаимно простых a и q
q
3. Доказать оценку неполной линейной суммы
N
x=1
2πiαx
e
minN,
1
2α
,
где α =min{α}, 1 −{α}обозначает расстояние от α до ближай-
шего целого числа.
4. Доказать, что при (a, q)=1модуль квадратичной суммы
q
x=1
ax2+bx
2πi
q
e
равен√q при нечетном q,√2q при q +2b, делящемся на четыре, и
равен нулю при q +2b вида 4n +2. Указание. Домножить сумму на
комплексно сопряженную ей и произвести замену переменной суммирования вида y = x + h.
При b =0квадратичная сумма называется суммой Гаусса.
5. Доказать оценку неполной суммы Гаусса
N
x=1
2
ax
2πi
q
e
√q ln q
при (a, q)=1 и N<q. Указание. Воспользоваться разрывным мно-
жителем вида
q
1
q
b=1
b(x−y)
2πi
q
e
,
где x q,аy N . Сумма по y будет линейной.
6. Доказать, что последовательность дробных долей αx + β рав-
номерно распределена в том и только в том случае, когда α иррационально.
70 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
§ 2. Формула замены тригонометрической суммы
более короткой
В ряде случаев тригонометрическую сумму удается с хорошей точностью приблизить другой тригонометрической суммой с меньшим по
сравнению с исходной суммой числом слагаемых, то есть «более короткой». Таким образом, уже тривиальная оценка второй суммы дает
нетривиальную оценку для первой. Докажем вначале теорему о приближении тригонометрической суммы суммой интегралов специального вида.
Теор е ма 4 . Пусть f (x) и ϕ(x) — вещественные функции, удо-
влетворяющие на отрезке [a, b] условиям
где α = f
ко от Δ.
(x) и ϕ(x) непрерывны;
1) f
(x) > 0;
2) f
3) существуют H>0, U b − a такие, что
ϕ(x) H, ϕ
(x) HU−1.
Тогда при любом Δ ∈ (0, 1) справедливо равенство
a<xb
ϕ(x)e
2πif(x)
=
α−Δnβ+Δ
b
a
ϕ(x)e
2πi(f(x)−nx)
+ O(H ln(β −α +2)),
(a),β = f(b), причем постоянная в знаке O зависит толь-
dx +
Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае ϕ(x)=1.
Действительно, совершая преобразование Абеля (см. теорему 5 главы
1), получим
a<xb
ϕ(x)e
2πif(x)
= ϕ(b)
a<xb
2πif(x)
e
b
−
ϕ(u)
a
a<xu
2πif(x)
e
du.
Предполагая теорему для случая ϕ(x)=1доказанной и вводя обозначение γ = f
a<xu
(u), имеем
2πif(x)
e
=
α−Δnγ+Δ
u
e
a
2πi(f(x)−nx)
dx + O(ln(β −α +2)).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]