Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 101
Доказательство теоремы 11. Не теряя общности, можно считать
P натуральным. При n =1, как и при τ =1, утверждение теоремы
вытекает из результата задачи 1,д) к §4. Далее, достаточно доказать
искомую оценку при k = nτ. Действительно, если k = nτ + m с положительным m,то
(P ) P2mJ
J
k,n
(P ) DτP2mP
nτ,n
2nτ−Δ(τ)
= DτP
Наконец, утверждение теоремы тривиально при P D
J
(P ) P2k DτP
k,n
−Δ(τ)P2k
Итак, достаточно доказать теорему при n, τ 2, k = nτ, P>D
2k−Δ(τ )
1/Δ(τ)
τ
.
,ибо
.
1/Δ(τ)
τ
Нам понадобятся верхние оценки для Δ(τ). С одной стороны, от-
брасывая вычитаемое, имеем
Δ(τ)
n(n +1)
с другой стороны, пользуясь тем, что (1 − 1/n)
,
2
τ
1 −τ/n, найдем
.
Δ(τ)
Из полученных оценок вытекает, что D
τ(n +1)
2
nτ.
1/Δ(τ)
max((2n)8n, (2n)8τ) и
τ
что 2k −Δ(τ ) k.
Проведем доказательство индукцией по τ и P . Точнее, предполагая
справедливость утверждения теоремы при τ m, P Q и τ m +1,
P<Q, докажем его при τ = m +1, P = Q.Положимk = n(m +1),
4
H =(2n)
, R — минимальное целое с условием R Q/H. Нетрудно
видеть, что
J
k,n
(Q) J
k,n
(RH)
как число решений соответствующей системы уравнений. Оценим величину J
(RH). Вводя обозначение f(x)=α1x + ...+ αnxn, имеем
k,n
S =
RH
x=1
2πif(x)
e
H−1
R
z=1
2πif(z+Ry)
e
=
y=0
H−1
=
S(y),
y=0
откуда, возводя в k-ую степень, получаем
H−1
k
S
=
y1=0
...
H−1
S(y1) ...S(yk).
yk=0
102 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Назовем набор y
,...,ykправильным, если среди y1,...,ykесть n чи-
1
сел, модуль разности любых двух из которых больше единицы. Все
остальные наборы назовем неправильными, для них среди любых n
чисел найдутся два, модуль разности которых не превосходит едини-
k
цы. Тогда S
ным наборам y
= W1+ W2,гдеW1— сумма S(y1) ...S(yk) по правиль-
,...,yk,аW2— по неправильным. В силу неравенства
1
Коши
(RH) 2J1+2J2,
J
k,n
где введено обозначение
1
1
J
=
...
1
0
|W1|2dα1...dα
0
n
и аналогичное для интеграла J2.
Оценим интеграл J
H
J
1
где y
,...,ykтаковы, что интеграл принимает максимальное значе-
1
ние. Поскольку набор y
можно считать, что y
При l>nразобьем каждую сумму S(y
сумм длины не большей Q
H2kt
J
1
где S
2(k−n)
0
(yl) — одна из сумм, полученных разбиением S(yl), причем в
. Согласно неравенству Коши имеем
1
1
1
...
|S(y1) ...S(yk)|2dα1...dαn,
0
,...,ykправилен, не ограничивая общности,
1
< ... < yn, y
1−1/n
, что приводит нас к оценке
1
|S(y1) ...S(yn)S(y
0
− yl> 1, l =1,...,n− 1.
l+1
) на не более t =[Q
l
) ...S(yk)|2dα1...dαn,
n+1
1
2k
0
1<y2
...
−1+1/n
]+1
правой части неравенства стоят суммы, дающие максимальное значение интеграла. Пользуясь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим, находим
|S
(y
) ...S(yk)|2
n+1
1
k − n
|S
(y
n+1
2(k−n)
)|
+ ...+ |S(yk)|
2(k−n)
,
откуда, вновь выбирая сумму, дающую максимальное значение интеграла, получаем для J
J
1
H2kt
2(k−n)
оценку
1
1
1
...
0
|S(y1) ...S(yn)|2|S(y)|
0
2(k−n)
dα1...dαn.
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 103
Интеграл в последнем равенстве не превосходит числа решений J
системы уравнений
+ Ry1)l+ ...− (z2n+ Ry2n)l=
(z
1
в натуральных z
=(z
,...,z2n R, z
1
+ a)l+ ...− (z2k+ a)l,l=1,...,n,
2n+1
,...,z2k Q
2n+1
1−1/n
. Действитель-
но, расширяя интервал изменения переменных в случае неполной сум-
, мы только увеличиваем число решений. Здесь y1,...,yn,aобо-
мы S
значают фиксированные целые числа с условиями 0 y
H −1, y
l+1−yl
скобки мы видим, что (x
любом A, если только x
> 1, l =1,...,n−1, 0 a RH . Далее, раскрывая
+ A)l+ ...−(x2k+ A)l=0, l =1,...,n, при
1
l
+ ...− x
1
l
=0, l =1,...,n. Следовательно,
2k
<... <yn
1
наша система эквивалентна системе
(z
+ Ry1− a)l+ ...− (z2n+ Ry2n− a)l=
1
l
= z
2n+1
+ ...− z
с теми же условиями на неизвестные. Пусть λ
(λ1,...,λn) — число решений системы уравнений
J
(z
+ Ry1− a)l+ ...− (z2n+ Ry2n− a)l= λl,l=1,...,n,
1
а J
(λ1,...,λn) — число решений системы уравнений
l
z
2n+1
+ ...− z
l
= λl,l=1,...,n,
2k
l
,l=1,...,n,
2k
,...,λn— целые числа,
1
с теми же условиями на неизвестные, что и прежде. Тогда для величины J справедливо представление
J =
λ1,...,λ
J(λ1,...,λn)J(λ1,...,λn).
n
Пользуясь результатом задачи 1,б) к §4 и предположением индукции, имеем
(λ1,...,λn) J
J
k−n,n
(Q
1−
1
n
С другой стороны, сумма величин J
значениям λ
,...,λnв силу условий на переменные z
1
) DmQ
(λ1,...,λn) по всем возможным
1
1−
)
(
n
(2k−2n−Δ(m))
,...,z2kне
2n+1
.
превосходит числа решений системы неравенств
1
l(1−
)
n
+ Ry1− a)l+ ...− (z2n+ Ry2n− a)l| kQ
|(z
1
,l=1,...,n,
104 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
в натуральных z
,...,z2n R. Для того, чтобы воспользоваться лем-
1
мой, следует при каждом l разбить промежуток изменения величины, стоящей под знаком модуля, на 2k промежутков длины Q
n
Применяя лемму для каждой из (2k)
комбинаций получившихся про-
l(1−1/n)
межутков, найдем
λ1,...,λ
J(λ1,...,λn) (2k)n80H
n
n(n−3)
2
3n−1
2
Q
.
Отметим, что именно в этом месте мы пользуемся правильностью набора y
,...,yk.
1
Собирая вместе все полученные неравенства, для интеграла J
на-
1
ходим оценку
80(2k)nDmt
J
1
2(k−n)H2k+
n(n−3)
3n−1
2
2
Q
+(1−
1
(2k−2n−Δ(m))
)
n
.
Вспоминая определение параметра t, имеем
2(k−n)
t
(RQ
−1+
1
n
+1)
2(k−n)
Q
2(k−n)
n
−2(k−n)
H
(1 + 2HQ
−
1
n
)
2(k−n)
,
ибо R Q/H +1. Далее, пользуясь нижней оценкой величины Q, при
m n получим
HQ
1
−
n
(2n)−4
1
4mn
,
а при m>nаналогично найдем
m
−3
HQ
−
1
n
(2n)
4−8
m
n
n
n
4n
1
4mn
,
причем последнее неравенство вытекает из того, что функция ln n/n
убывает при n e, при n =2оно проверяется непосредственно. Подставляя полученную оценку в неравенство для величины t
тем в оценку J
, а также используя явное выражение для величины
1
2(k−n)
иза-
Δ(m), имеем
80e(2k)nDmH
J
1
Наконец, поскольку k
n
Dm H
n(n+1)
−n(n+1)
пользуясь явным выражением для коэффициента D
интеграла J
оценку
1
1
D
J
1
4
m+1
Q
2k−Δ(m+1)
2
Q
D
m+1
2k−Δ(m+1)
.
, в чем легко убедиться,
, получаем для
m
.
.
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 105
Оценим интеграл J
ный набор. Построим последовательность чисел n
n
=min
2
лучаем 0 n
yin1+2(y1
<n2< ... < nl, nj− n
1
набор был бы правильным. Пусть n
.Пустьy1,...,yk— произвольный неправиль-
2
=min(y1,...,yk),
1
,...,yk), вообще nj=min
j−1
= nlпри l<j n − 1. Таким
j
yin
j−1
> 1,гдеl n − 1, иначе
,...,yk).По-
+2(y1
образом, каждому неправильному набору мы поставили в соответствие некоторый набор n − 1 чисел из 0,...,H − 1. Каждое число y
исходного неправильного набора либо равно одному из чисел нового
набора, либо на единицу превосходит его. Следовательно, количество
неправильных наборов, отвечающих данному набору n − 1 чисел из
k
0,...,H − 1, не больше (2n − 2)
наборов не превосходит величины B = H
, а общее количество неправильных
n−1
(2n − 2)k (2n)
4n−4+k
Согласно неравенству Коши имеем
1
1
...
|S(y1) ...S(yk)|2dα1...dαn,
0
2
B
2
0
J
где y
,...,yk— набор, при котором интеграл принимает максималь-
1
ное значение. Пользуясь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим и как всегда выбирая сумму, дающую
максимальное значение интеграла, найдем
1
1
...
0
|S(y)|2kdα1...dαn.
0
2
B
2
J
i
.
Полученный интеграл равен числу решений системы уравнений
+ Ry)l+ ...− (z2k+ Ry)l=0,l=1,...,n,
(z
1
в натуральных z
,...,z2k R, которая, как мы знаем, равносильна
1
системе уравнений
l
+ ...− z
z
1
l
=0,l=1,...,n,
2k
с теми же условиями на неизвестные. Число решений последней системы есть в точности J
индукции, получим для интеграла J
B2J
J
2
(R), поэтому, пользуясь предположением
k,n
оценку
2
(R) B2D
k,n
m+1
2k−Δ(m+1)
R
.
106 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Учитывая, что R Q/H +1, и что в силу приведенной выше оценки
−1/n
величины HQ
(1 + HQ
имеем
−1)2k−Δ(m+1)
(1 + HQ
1
−
4mn
n
)
e,
а также вспоминая определения параметров B и H , приходим к не-
равенству
J
e(2n)
2
8n−8−6k+4Δ(m+1)
D
m+1
2k−Δ(m+1)
Q
.
Наконец, пользуясь оценкой сверху для величины Δ(m +1), находим
6k − 4Δ(m +1) 6n(m +1)− (2n +2)(m +1) 8n −4,
откуда немедленно получаем для интеграла J
1
D
J
2
4
m+1
2k−Δ(m+1)
Q
оценку
2
,
что и требовалось.
В ходе доказательства следующей теоремы мы применим метод
Виноградова к оценке дзетовой суммы.
Теорема 12. Существует γ>0 такая, что при 2 N t спра-
ведлива оценка
nN
nit Ne
−γ
ln3N
ln2t
.
Доказательство. Оценим вначале сумму
S =
где 100 M N.Пустьa =[M
M<n2M
5/11
nit,
] ипустьx, y — натуральные чис-
ла, не превосходящие a. Выполняя сдвиг переменной суммирования
на xy, имеем
S =
M−xy<n2M −xy
it ln(n+xy)
e
=
M<n2M
nite
it ln(1+
xy
n
)
+ O(a
2
),
откуда, суммируя по всем возможным значениям x и y и затем делая
сумму по n внешней, найдем
S a
−2
M<n2M
|W (n)|+ a2 a−2M|W | + a2,
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 107
где введено обозначение
a
a
W (n)=
x=1
e
y=1
it ln(1+
xy
)
n
,
а W обозначает сумму, имеющую максимальный модуль среди сумм
W (n) с M<n 2M.
Оценим сумму W . Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и пользуясь выбором параметра a,атакже
условиями на n, при r 1 имеем
r
ln1+
xy
=
n
m=1
откуда, вводя обозначения α
тывая, что |e
iϕ
− 1| |ϕ|, получим
a
a
W =
x=1
e
y=1
2πi(α1xy+...+αrxryr)
(−1)
=
m
m
m−1
(−1)
2πm
m−1
xy
m
+ O(M
n
t
·
при m =1,...,r и учи-
m
n
+ O(a2tM
r+1
−
11
r+1
−
11
),
).
Определяя натуральное r из условий r − 1 < 11 ln t/ ln M r и обо-
1
11
1
).
, найдем
значая двойную сумму в правой части через W
W = W
+ O(a2M
1
−
Пусть k — натуральное число. Для того, чтобы оценить сумму W
возведем ее в степень 2k и применим неравенство Гельдера. Раскрывая затем 2k-ую степень модуля внутренней суммы, имеем
|W
|2k a
1
a
2k−1
2k−1
a
x=1
λ1,...,λ
a
2πi(α1xy+...+αrxryr)
e
y=1
J
(a; λ1,...,λr)
k,r
r
2k
a
2πi(α1λ1x+...+αrλrxr)
e
x=1
,
откуда, снова возводя в степень 2k и применяя неравенство Гельдера,
,
1
108 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
получим
2k−1
×
2πi(α1λ1x+...+αrλrxr)
e
2k
.
|W
2
4k
|
1
a
4k2−2k
×
λ1,...,λ
λ1,...,λ
J
(a; λ1,...,λr)
k,r
r
J
(a; λ1,...,λr)
k,r
r
a
x=1
Пользуясь результатами задач 1,б) и в) к §4 и опять раскрывая 2k-ую
степень модуля внутренней суммы, найдем
a
|W
1
8k2−4k
2
4k
|
a
8k2−4k
J
k,r
(a)
λ1,...,λ
J
k,r
(a)
μ1,...,μ
J
(a; μ1,...,μr)
k,r
r
a
2πi(α1λ1x+...+αrλrxr)
e
x=1
r
λ1,...,λ
2πi(α1λ1μ1+...+αrλrμr)
e
r
2k
.
Суммы по λ
татом задач 3 к §1 и 1,б) к §4 и тем, что |λ
,...,λrявляются линейными, поэтому, пользуясь резуль-
1
| и |μm| меньше kamпри
m
m =1,...,r, получим
r
2
|W
4k
|
1
a
8k2−4kJ2
Оценим сумму по μ
(a)
k,r
m=1
.Приm<2lnt/ ln M и при m>4lnt/ ln M
m
|μm|<ka
min(2kam, αmμm−1).
m
оценим ее тривиально, то есть величиной (2ka
m 4lnt/ ln M нетрудно видеть, что |α
| t−1, и для αmсправед-
m
ливо рациональное приближение
h
θ
m
α
m
с qm=[2πmnm/t], hm=(−1)
изменения μ
целым t на не более 2ka
из этих промежутков μ
/2 до qm/2, поэтому
−q
m
(возможно, чуть расширив его) точками qm(t +1/2) с
m
m
/qm+2промежутков длины qm. На каждом
= qmt + r, причем r меняется в пределах от
m
α
mμm
=
=
m−1
q
h
m
m
+
2
q
m
m
и |θm| 1. Разобьем промежуток
r + l
q
m
3θ
+
2q
m)2
.При2lnt/ ln M
,
m
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции 109
где |θ| 1,al — целое, не зависящее от r. Далее, так как h
и q
m
взаимно просты, выражение hmr + l пробегает все вычеты по модулю q
. Следовательно, для суммы по одному из полученных проме-
m
жутков, оценив минимум величиной 2ka
±2(mod q
), имеем
m
m
в случае hmr + l ≡ 0, ±1,
min(2kam, αm(qmt + r)−1)
q
q
m
2
<r
m
2
5 ·2ka
q
5+
m
m
a
m
+2
j
q
m
q
m
2ka
1
j +
m
−2
2
2
ln q
,
m
−
причем при выводе последней оценки мы пользовались выпуклостью
функции 1/x. Умножая полученную оценку на количество промежутков и пользуясь тем, что 2xy x
min(2kam, αmμm−1) (2kam)
|μm|<ka
m
ибо в силу условий на параметры n и m имеем q
3m
100. Так как 2πm 2
q
m
2m
a
t(M
, вспоминая выбор параметра a, получим
2πm(2M)
5
11
− 1)
Наконец, воспользовавшись тем, что q
2
+ y2, найдем
m
26mM
2m
2
2
q
m
m
m
11
t−1 26mt
26mt3 t7,аln t 5t
m
q
m
+
4lnq
2m
a
[2πt],аt M
7
−
11
.
m
,
1/11
при 2lnt/ ln M m 4lnt/ln M имеем
|μm|<ka
min(2kam, αmμm−1) (2kam)227rt
m
6
−
11
,
m
,
где мы учитываем также, что r 11.
Подставляя полученные оценки в неравенство для суммы W
дем
|W
2
4k
|
1
a
8k2−4kJ2
(a)(2k)2ra
k,r
r(r+1)27r
2
6
ln t
−
11
ln M
t
поскольку количество значений m, при которых сумма по μ
, най-
1
,
была
m
оценена нетривиально, не меньше 2lnt/ ln M − 1 ln t/ ln M . Полагая
k = rτ, оценим величину J
(a) с помощью теоремы Виноградова о
k,r
среднем, что приводит нас к неравенству
|W
2
4k
|
1
8k2+r(r+1)(1−
a
τ
1
r
)
(rτ)
12rτ
(2r)
8r(r+1)τ
(2rτ)2r2
2
6
7r
ln t
−
11
ln M
t
,
110 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
извлекая из которого корень степени 4k
2
и пользуясь тем, что x
1/x
—
ограниченная функция, получим
W
1
r
r+1
2
2+
τ
4rτ
a
τ
1
1−
(
2
−
)
r
t
ln t
3
1
2
22
ln M
r2τ
.
Из условий на параметр r следует, что 11 r 12 ln t/ ln M , поэтому,
вспоминая выбор a, имеем
3lnM
W
1
r
2
τ
a2e
11τ
5
(
2
11
откуда, выбирая τ =5r и пользуясь неравенством (1 − 1/r)
τ
1
1−
(
1
−
)
288
)
,
τ
−τ/r
e
r
находим
ln3M
−γ
1
W
a2e
1
ln2t
с некоторой положительной постоянной γ1. Подставляя получившуюся оценку в выражение для суммы W и затем в оценку для суммы S,
имеем
ln3M
−γ
1
ln2t
S Me
откуда, складывая полученные оценки для M =2
значений k, при которых M N
1−γ
,
−k
1
, получим требуемое.
N вплоть до тех
Одним из важных приложений полученной оценки является уточнение границы нулей дзета-функции Римана. Получим вначале оценку ζ(s) в критической полосе.
Теорема 13. Вобластиt 2π,
ζ(s) t
√
где a =2/(3
3γ),аγ — постоянная теоремы 12.
1
σ 1 справедлива оценка
2
3
2
a(1−σ)
ln t,
,
Так как постоянная a довольно велика, оценка теоремы 13 будет
нетривиальной лишь в узкой окрестности прямой Re s =1.
Доказательство. Согласно результату задачи 1 к §2 имеем
nt
1
s
n
+ O(1),
ζ(s)=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]