Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда 181
равны −b, a, −d и c, снова пользуясь законом взаимности и нечетностью суммы Дедекинда, находим
ω(M
S)=e
b−c
πi
−s(c,−d)
(
12d
)
= e
b
d
1
πi
+
(
12d
12c
πi
= e
1
+
+
+s(−d,c)
12cd
4
a+d
1
+
12c
−s(d,c)
4
(
)
)
= e
=
πi
4
ω(M),
что приводит нас к равенству
η(M
Ss)=e
πi
−
4
ω(MS)−i(d − cs−1)√−is η(s)=
= ω(M
S)−i(−ds + c) η(s).
Снова проверяя правильность согласования знаков, мы окончательно
устанавливаем справедливость теоремы для преобразования M
S,что
и завершает доказательство.
Отметим, что множитель ω(M ) является некоторым корнем два-
дцать четвертой степени из единицы, в чем нетрудно убедиться либо
анализируя его явный вид (см. задачу 4), либо пользуясь соотношением
24
(Ms)=(cs + d)12η24(s),
η
которое доказывается с помощью тех же приемов, что и теорема 5.
Задачи к §1
1. Пусть s1и s2— две различные точки области |Re s|
и существует модулярное преобразование M такое, что s
1
= ±
казать, что в таком случае Re s
= −1/s
. Указание. Действовать по аналогии с доказательством тео-
1
1
, s2= s1∓ 1 или |s1| =1, s2=
2
ремы 2.
2. Показать, что 6qs(h, q) — целое число.
3. Используя закон взаимности сумм Дедекинда, доказать, что
а)
s(1,q)=
(q − 1)(q −2)
12q
;
б) при нечетном q
1
, |s| 1,
2
= Ms1.До-
2
s(2,q)=
(q − 1)(q −5)
24q
.
182 Глава 4. Круговой метод
4. Пусть M — модулярное преобразование и величина ω(M) опре-
24
делена так же, как в теореме 5. Доказать, что ω
Пользуясь теоремой 4, показать, что 12hqs(h, q) ≡ h
(M)=1. Указание.
2
+1(modq).
5. Доказать, что любая рациональная точка вещественной оси является особой точкой функции Дедекинда. Указание. Построить мо-
дулярное преобразование, переводящее нуль в произвольную рациональную точку. Пользуясь теоремой 5, показать, что если функция
Дедекинда аналитична в некоторой рациональной точке, то она аналитична и в нуле. Затем из теоремы 3 вывести, что в таком случае
все коэффициенты Тейлора η(s) в нуле равны нулю.
Из этого, в частности, следует, что функция Дедекинда не может
быть аналитически продолжена за пределы полуплоскости Im s>0,
то есть вещественная ось является естественной границей функции
Дедекинда.
§ 2. Задача о количестве разбиений.
Формула Радемахера
Представление натурального числа n суммой натуральных чисел
называется разбиением числа n, а составляющие его слагаемые называются частями этого разбиения. Функция разбиений p(n) определяется как количество всех разбиений числа n, причем разбиения,
отличающиеся лишь порядком слагаемых, учитываются только один
раз. Значение p(0) положим равным единице. Как и следует ожидать,
функция p(n) довольно быстро растет с ростом n. Мы получим асимптотическую формулу для функции разбиений и, более того, докажем
для p(n) представление в виде бесконечного ряда, принадлежащее Радемахеру.
Следующая теорема напоминает тождество Эйлера (см. теорему 4
главы 1), по сути являясь его аддитивным аналогом.
Теор е ма 6. В круге |s| < 1 справедливо тождество
∞
n=0
p(n)sn=
∞
n=1
1
1 − s
.
n
Доказательство. Нетрудно видеть, что функция разбиений p(n)
есть число решений уравнения x
+2x2+3x3+ ...= n в целых неот-
1
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 183
рицательных числах. Величины x
суть количества тех частей разби-
i
ения, которые равны i. При любом натуральном m определим функ-
цию p
которая равна числу решений уравнения x
целых неотрицательных числах. Ясно, что p
нице. Кроме того, имеет место неравенство p
(n) — число разбиений n с частями, не превосходящими m,
m
+2x2+ ...+ mxm= n в
1
(0) и p(0) равны еди-
m
(n) p(n), причем при
m
n m оно обращается в равенство.
Отметим, что бесконечное произведение в правой части доказываемого тождества есть аналитическая и не имеющая нулей в круге
|s| < 1 функция, в чем легко убедиться, рассматривая соответствую-
щий ряд логарифмов. При любом натуральном m рассмотрим частич-
ное произведение
f
(t)=
m
m
n=1
1
1 − t
m
∞
=
n
n=1
tnk,
k=0
где t вещественно, 0 <t<1. Поскольку ряды в правой части сходятся
абсолютно, их можно перемножать в любом конечном числе. Группируя слагаемые по степеням t, получим
∞
(t)=
pm(n)tn=
n=0
f
m
Здесь мы пользовались тем, что p
m
p(n)tn+
n=0
(n) и p(n) совпадают при n m.
m
pm(n)tn.
n>m
Для дальнейшего особенно важно, что в силу выбора t и определе-
ния функций p
(n) и p(n) рассматриваемые здесь ряды имеют по-
m
ложительные члены. Для каждого t последовательность частичных
произведений {f
Учитывая это в последнем равенстве, получаем, что частичные суммы ряда
(t)} сходится и, следовательно, ограничена сверху.
m
∞
p(n)tnтакже ограничены и, следовательно, этот ряд
n=0
сходится. Таким образом, сумма ряда в левой части доказываемого
тождества аналитична в круге |s| < 1. Далее, поскольку p
(n) не пре-
m
восходит p(n), из последнего равенства находим
0 <
m
n=1
1
1 − t
m
−
n
p(n)tn=
n=0
pm(n)tn
n>m
p(n)tn.
n>m
Переход к пределу при m, стремящемся к бесконечности, обосновывает искомое тождество при 0 <t<1, а применение теоремы единственности распространяет его на круг |s| < 1.
184 Глава 4. Круговой метод
Замечание. Величину pm(n) можно интерпретировать и как число
разбиений n не более чем с m частями. Чтобы в этом убедиться, следует в
уравнении x
переменных y
+ ...+ xm= n с условиями x1 ... xm 0 сделать замену
1
= xi− x
i
при i =1,...,m− 1 и ym= xm.
i+1
Обозначим сумму степенного ряда в левой части тождества как
F (s). Теорема 6 позволяет выразить F (s) через функцию Дедекинда. Действительно, вспоминая определение функции Дедекинда, при
Im s>0 находим
F (e
2πis
)=
πis
12
e
η(s)
.
Рассуждая от противного и пользуясь задачей 5 к §1, получаем, что
любая рациональная точка единичной окружности, то есть точка ви-
2πih/q
да e
, является особой точкой функции F (s). В частности, это
означает, что единичная окружность — естественная граница F (s).
Функция F (s) является производящим степенным рядом функции
разбиений. Поэтому, согласно формулам Коши имеем
F (s)ds
p(n)=
1
2πi
C
s
n+1
,
где в качестве контура C можно выбрать, например, окружность радиуса, меньшего единицы, с центром в нуле. Если выбрать этот радиус достаточно близким к единице, то окружность пройдет в непосредственной близости от особых точек F (s), имеющих вид e
2πih/q
плотно заполняющих единичную окружность. Как оказывается, наибольший вклад в интеграл вносят особые точки с малыми значениями
q. Поэтому кажется естественным разбить окружность интегрирования на «большие дуги», расположенные в окрестности особенностей
с малыми q, и «малые дуги», являющиеся дополнением больших. Ин-
теграл по малым дугам достаточно оценить, а интеграл по большим
дугам нужно вычислить асимптотически, используя информацию о
поведении F (s) вблизи соответствующих особых точек. Такое специальное разбиение окружности интегрирования составляет основную
идею кругового метода, метко отразившуюся в его названии. Круговой метод был впервые применен Харди и Рамануджаном в 1918 году
в задаче об асимптотическом поведении функции разбиений. Большой
вклад в его становление как общего метода аналитической теории чисел внес Литтлвуд, поэтому иногда круговой метод называют также
методом Харди-Литтлвуда.
и
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 185
Теорема Харди и Рамануджана дает для функции разбиений приближенное выражение в виде частичной суммы некоторого ряда. Однако, этот ряд является расходящимся, что было установлено Лемером в 1937 году. Слегка модифицировав вычисления Харди, Радемахер в том же 1937 году получил для p(n) точное представление в виде
суммы сходящегося ряда, из которого результат Харди и Рамануджана можно получить в качестве следствия.
Теорема 7 (Радемахер). При любом натуральном n справедли-
во равенство
1
24
,
x=n
p(n)=
1
π√2
∞
q=1
Aq(n)√q
dx
π
2
sh
d
x −
q
3
x −
1
24
где
A
(n)=
q
q
h=1
(h,q)=1
πis(h,q)−2πi
e
nh
q
,
а s(h, q) — сумма Дедекинда.
Разлагая гиперболический синус в ряд Тейлора и осуществляя почленное дифференцирование, находим
π
2
d
dx
sh
x −
q
3
x −
1
24
Отсюда, оценивая A
ном n общий член ряда есть O(q
1
24
(n) тривиально, получаем, что при фиксирован-
q
x=n
=
3
∞
2
2
2π
3q
m +1
2
−3/2
(2m +3)!
m=0
). Таким образом, ряд Радемахера
2
2π
2
3q
n −
24
1
сходится абсолютно.
Доказательство. Поскольку значения функции разбиений p(n)
являются коэффициентами Тейлора соответствующей производящей
функции F (s), они, как уже отмечалось выше, могут быть вычислены
по формулам Коши
F (s)ds
p(n)=
1
2πi
,
n+1
s
C
m
.
186 Глава 4. Круговой метод
где C — окружность радиуса r, меньшего единицы, с центром в нуле.
Если параметризовать окружность интегрирования с помощью соот-
2πiσ
ношения s = re
ным σ
, и учесть упоминавшуюся связь между F (s) и функцией Де-
0
,гдеσ0 σ σ0+1 с произвольным веществен-
декинда, то последний интеграл можно переписать в виде
−2πiνs
e
L
где ν = n −
p(n)=
1
,аL — горизонтальный отрезок единичной длины, ле-
24
жащий в верхней полуплоскости и соединяющий точки σ
+1+it
,где2πt0= −ln r.
0
η(s)
ds,
+ it0и σ0+
0
Возьмем произвольное натуральное число Q и выберем параметры отрезка интегрирования L следующим образом: σ
2
=1/Q
отрезка [σ
. Согласно результату задачи 1 к §3 главы 2 для каждого σ из
+1] существуют натуральное q, не превосходящее 2Q,
0,σ0
=1/2Q и t0=
0
ицелоеh, взаимно простое с q, такие, что σ будет лежать в интервале
h
1
h
−
(
q
2qQ
1
,
+
q
).Приq и q, не превосходящих Q, соответствующие
2qQ
интервалы не пересекаются. В самом деле, сумма их полудлин равна
q + q
2qqQ
1
,
qq
и если пары (h, q) и (h
1
2qQ
,q
1
+
2qQ
=
) различны, то расстояние между середина-
ми соответствующих интервалов есть
так как hq
h
−h
q — целое число, отличное от нуля в силу условий вза-
h
−
q
q
=
qq
− hq|
|hq
1
,
qq
имной простоты. Кроме того, легко убедиться, что при q Q рассмат-
риваемые интервалы лежат внутри отрезка [σ
+1] при 1 h q,
0,σ0
и вне его при всех остальных h, что мы обеспечили соответствующим
выбором параметра σ
.
0
Разобьем отрезок L на два множества. Вещественные части точек
первого из них — обозначим его через E
— образуют узкие окрестно-
1
сти несократимых дробей с малыми знаменателями. Точнее, множество E
одному из интервалов вида (
причем 1 h q. Промежуткам, составляющим множество E
состоит из точек, вещественная часть которых принадлежит
1
h
1
h
−
2qQ
,
q
1
+
q
),гдеq Q и (h, q)=1,
2qQ
, соот-
1
ветствуют дуги окружности C, проходящие вблизи тех особых точек
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 187
производящей функции, которые вносят наибольший вклад в значение p(n). В связи с этим обстоятельством множество E
называется
1
"большими дугами», и для интеграла по этому множеству нам нужно
будет получить асимптотическую формулу. Второе множество — обозначим его через E
— представляет собой разность L \ E1и называ-
2
ется «малыми дугами». Согласно предыдущему абзацу вещественная
часть любой точки множества E
h
1
h
лу (
−
2qQ
,
q
1
+
q
) с (h, q)=1и Q<q 2Q. Действительно, если
2qQ
принадлежит некоторому интерва-
2
предположить, что q Q, то либо вещественная часть рассматриваемой точки будет принадлежать множеству E
, либо эта точка вовсе
1
окажется за пределами отрезка L. Для интеграла по множеству E
будет достаточно оценки.
Вначале оценим интеграл по малым дугам. Как мы уже отмечали, для каждой точки s множества E
найдутся целые числа h и q с
2
условиями Q<q 2Q, (h, q)=1, и такие, что вещественная часть s
h
1
h
лежит в интервале (
−
2qQ
,
q
1
+
q
).Еслиa пробегает полную си-
2qQ
стему вычетов по модулю q,тоah также пробегает все вычеты по
модулю q, так как h и q взаимно просты. Это означает, что найдутся
целые числа a и b такие, что ah = −bq − 1. Таким образом, числа a,
b, q и −h являются коэффициентами некоторого модулярного преоб-
разования M.Пустьs
обозначает образ точки s при преобразовании
M. Вспоминая закон изменения мнимой части под действием модулярного преобразования, найдем
2
1
t
=
|qs − h|
2
= Q2(qσ − h)2+
t
0
Отсюда, учитывая условия на q и σ,получим,чтоt
4
и единицей. Здесь мы пользовались выбором параметра t0, кото-
17
2
q
.
2
Q
заключено между
рый, наряду с выбором верхней границы изменения q, сделан именно
с тем расчетом, чтобы t
было с двух сторон ограничено константами.
Как мы сейчас увидим, это приведет к оптимальной оценке подынтегральной функции. Согласно теореме 5 имеем
1
|η(s)|
=
|qs − h|
|η(s)|
=
1
4
t
0
t
1
|η(s)|
,
причем |qs − h| выражен из вышеприведенного соотношения между t
и t0. Далее, в силу теоремы 6 функция Дедекинда записывается через
188 Глава 4. Круговой метод
производящий степенной ряд функции разбиений, что дает
1
|η(s)|
πt
t
0
=
12
e
t
|F (e
2πis
)|
1
4
Используя двустороннее неравенство для t
1
t
0
t
∞
4
πt
12
e
, получаем для подынте-
p(m)e
m=0
−2πmt
.
гральной функции оценку
−2πiνs
e
η(s)
t
1
2πνt
4
e
0
0
e
2πn
Q
1
−
2
2
Q
,
где постоянные в знаках Виноградова абсолютны. Эта оценка справедлива в каждой точке множества E
, а поскольку суммарная длина
2
составляющих его промежутков не превосходит единицы, для интеграла по малым дугам находим
−2πiνs
e
E
2
η(s)
ds e
Рассмотрим интеграл по большим дугам. Множество E
2πn
Q
1
−
2
2
Q
.
представ-
1
ляет собой объединение непересекающихся интервалов, поэтому
где E
−2πiνs
e
η(s)
E
1
— отрезок, соединяющий точки
h,q
ds =
qQ
q
h=1
(h,q)=1
−2πiνs
e
E
h,q
h
1
−
q
2qQ
η(s)
+ it0и
ds,
h
1
+
2qQ
+ it0.
q
Рассмотрим один из таких отрезков. Как выше, найдем целые числа
a и b такие, что −ah − bq =1.ПустьM
вание с коэффициентами a, b, q и −h,аs
— модулярное преобразо-
h,q
— образ точки s при этом
преобразовании. В силу теоремы 5 имеем
1
η(s)
=
ω(M
)−i(qs − h)
h,q
η(s)
,
где
ω(M
h,q
)=e
a−h
πi
+s(h,q)
(
12q
)
,
а s(h, q) — сумма Дедекинда. Здесь мы воспользовались нечетностью
суммы Дедекинда по первому аргументу. Выражая функцию Деде-
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 189
кинда через производящий степенной ряд функции разбиений и выделяя первый член, находим
1
η(s)
= e
πis
−
12
F (e
2πis
)=e
−
πis
12
+
m=1
p(m)e
2πi(m−
1
)s
24
.
∞
Таким образом, подынтегральную функцию можно записать в виде
−2πiνs
e
η(s)
= ω(M
)−i(qs − h) e
h,q
πis
−
−2πiνs
12
+ R
h,q
(s),
причем для остаточного члена справедлива оценка
∞
|R
(s)| |qs − h|e
h,q
2πνt
m=1
p(m)e
−2π(m−
1
)t
24
.
Так как −ah − bq равно единице, имеем
as + b
=
s
qs − h
=
откуда, учитывая явный вид ω(M
−2πiνs
e
η(s)
= e
πis(h,q)−
πih
12q
−i(qs − h) e
Пусть s принадлежит отрезку E
a
q
), найдем
h,q
1
−
q(qs − h)
12q(qs−h)
. Вспоминая закон изменения
h,q
,
πi
−2πiνs
+ R
(s).
h,q
мнимой части под действием модулярного преобразования, и учитывая, что q не превосходит Q, получим
то есть t
R
1
|qs − h|
=
t
4
. Это приводит нас к оценке
5
t
h,q
(s)
0
t
2
= Q2(qσ − h)2+
t
0
1
4
e
2πνt
0
m=1
∞
p(m)e
−2π(m−
2
q
5
,
2
Q
4
2πn
1
)t
24
e
1
−
2
Q
2
Q
,
которая справедлива для любой точки отрезка E
, причем констан-
h,q
та в знаке Виноградова абсолютна, в частности, не зависит от h и q.
190 Глава 4. Круговой метод
Проинтегрируем последнее равенство предыдущего абзаца по отрезку E
учитывая, что длина E
и воспользуемся только что полученной оценкой для R
h,q
h,q
равна
1
qQ
по всем составляющим множество E
. Затем, суммируя эти интегралы
интервалам, для интеграла по
1
h,q
(s),
большим дугам получим
−2πiνs
e
E
1
η(s)
ds =
qQ
×
E
Параметризуем отрезок E
(h,q)=1
h,q
q
πis(h,q)−
e
h=1
−i(qs − h) e
, полагая s =
h,q
πih
12q
×
πi
12q(qs−h)
−2πiνs
h+t
+
q
ds + O(e
i
с −
2
Q
2Q
1
2πn
Q
−
2
Q
t
1
2
).
1
2Q
что приводит нас к соотношению
E
где L
−i(qs − h) e
h,q
— отрезок, соединяющий точки
q
πi
12q(qs−h)
−2πiνs
ds =
i
e
q
q
2
Q
−
2πiνh
+
q
2Q
√
π
2πνs
+
12qs
i
. Подчерк-
2Q
q
ds,
se
L
q
q
i
и
−
2
Q
нем, что этот отрезок проходится в направлении убывания мнимой
части, то есть сверху вниз. Подставляя полученное равенство в выражение для интеграла по множеству E
и учитывая, что ν = n −
1
1
24
имеем
E
1
−2πiνs
e
η(s)
ds = i
qQ
Aq(n)
q
√
π
2πνs
+
12qs
se
L
q
q
ds + O(e
2πn
Q
1
−
2
2
Q
),
где введено обозначение
q
A
(n)=
q
h=1
(h,q)=1
πis(h,q)−2πi
e
nh
q
.
,
,
Рассмотрим интеграл по отрезку L
. Подынтегральная функция
q
однозначна и аналитична в комплексной плоскости с разрезом вдоль
отрицательной вещественной полуоси. Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка L
щих точки
q
i
−
, −
2
Q
2Q
, отрезков, последовательно соединяю-
q
i
и −ir, четверти окружности радиуса r с
2Q
центром в начале координат, проходимой по часовой стрелке, отрезка, проходящего по нижнему берегу разреза и соединяющего точки
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]