Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов 221
которая получается тем же приемом, что и результат задачи 2 к §1
главы 2, разумеется, с использованием оценки суммы Гаусса.
В трех следующих задачах S(h, q) обозначает сумму Гаусса.
2
2
3. Доказать, что число решений уравнения p + n
1
+ n
2
+ n
2
3
= N
выражается асимптотической формулой
где
σ(N )=
J(N )=σ(N )
1 −
p>2
p3(p − 1)
6lnN
1
πN
3
2
+ O
p−1
S3(h, p) e
h=1
ln
3
2
N
,
3
2
N
hN
−2πi
p
1.
Указание. Оценка интеграла по малым дугам проводится аналогично
таковой в задаче о сумме пяти квадратов. При вычислении особого
интеграла пользоваться асимптотическими формулами для величин
(N) из доказательства теоремы 10.
j
k
2
2
4. Доказать, что число решений J(N ) уравнения n
2
+ n
+ p2= N выражается асимптотической формулой
4
где σ(N )=γ(N ) σ
σ
(N)=
1
γ(N ) есть 1,
p>2
1+
3
1
,
2
4
2
N
J(N )=σ(N )
(N), причем
1
1
p4(p − 1)
3
и
при N ≡ 0(mod 2), N ≡ 3(mod 4), N ≡ 1(mod 8)
4
π
12 ln N
p−1
S4(h, p)S(h, p) −1e
h=1
3
2
+ O
N
ln2N
3
2
+ n
1
,
hN
−2πi
p
2
+ n
2
3
1,
и N ≡ 5(mod 8), соответственно. Указание. При анализе особого ряда пользоваться тем, что S(h, p
n
)=pS(h, p
n−2
) при (h, p)=1и n 2,
исключая случаи n =2, 3 при p =2. Для доказательства этого соот-
ношения разбить рассматриваемую сумму на подсуммы длины p
n−2
или 2
и воспользоваться результатом задачи 1 к §1 главы 2.
n−1
Особые ряды двух предыдущих задач можно представить и в более
обозримом виде. Исходя из определения символа Лежандра, довольно
просто получить для суммы Гаусса представление
p
S(a, p)=
n=1
n
p
an
2πi
p
e
a
p
S(1,p)
=
+
222 Глава 4. Круговой метод
при p 3 и (a, p)=1. Используя это соотношение и результат задачи
3 к §3 главы 1, для особого ряда задачи 6 имеем
σ(N )=
p>2
1 −
−N
p
p(p −1)
,
а для особого ряда задачи 7 получим
σ(N )=γ(N )
p|N
p>2
1 −
1
2
p
pN
p>2
1+
N
+1
p
p
p2(p − 1)
.
5. Пусть k — фиксированное натуральное число, не меньшее ше-
сти, и J
(N) обозначает количество представлений натурального N
k
суммой k квадратов натуральных чисел. Доказать, что
3
k
где
J
(N)=σk(N)
k
σ
(N)=
k
∞
q=1
Γ
Γ
1
k
q
2
k
2
q
h=1
(h,q)=1
k
−1
2
N
Sk(h, q) e
+ O(N
−2πi
k−3
2
hN
lnmN),
q
1,
а m =3при k =6,иm =1при k 7.
§ 5. Оценка среднего значения модуля
тригонометрических сумм
Круговой метод позволяет найти нижнюю оценку среднего значе-
ния модуля тригонометрической суммы, то есть выражения вида
1
ane
0
nN
Действительно, так как подынтегральная функция неотрицательна,
интеграл по большим дугам не превосходит интеграла по всему отрезку. А интегралы по составляющим большие дуги окрестностям рациональных точек с малыми знаменателями можно пытаться оценить
2πinα
dα.
§ 5. Среднее значение модуля тригонометрических сумм 223
снизу или даже вычислить асимптотически. Разумеется, точность получаемой оценки будет сильно зависеть от арифметической природы
последовательности {a
}. В случае тригонометрической суммы с про-
n
стыми числами эту идею блестяще реализовал Вон в 1988 году, получив почти предельно точную оценку для соответствующего среднего
значения.
Теор е ма 11 (Вон ) . Справедлива оценка
dα
√
N
ln N
.
1
0
pN
2πiαp
e
Для того, чтобы оценить среднее значение модуля такой суммы
сверху, применим неравенство Коши, затем раскроем квадрат модуля
и выполним интегрирование. Имеем
1
2πiαp
e
0
pN
dα
1
0
pN
2πiαp
e
2
dα =π(N )
N
ln N
,
√
то есть верхняя и нижняя оценки отличаются множителем
Доказательство. Выберем параметры δ =
1
и Q =√N. В силу
4N
ln N.
периодичности подынтегральной функции с периодом 1 рассматриваемый интеграл равен такому же интегралу в пределах от δ до 1+δ.
Рассмотрим теперь лежащие в этом интервале δ-окрестности несократимых дробей со знаменателем q, не превосходящим Q. Параметр Q
был специально выбран с тем расчетом, чтобы указанные окрестности не пересекались. Действительно, расстояние между их центрами
,q
− hq|
qq
) есть
1
qq
1
> 2δ,
2
Q
для различных пар (h, q) и (h
ибо hq
− hq — целое число, отличное от нуля в силу несократимо-
h
−
q
|hq
h
=
q
сти соответствующих дробей. Далее, при 1 h q рассматриваемые
окрестности принадлежат отрезку интегрирования, поэтому справедливо неравенство
1+δ
δ
pN
2πiαp
e
dα
qQ
q
h=1
(h,q)=1
δ
−δ
pN
hp
2πi
q
e
2πizp
e
dz,
224 Глава 4. Круговой метод
где мы заодно произвели линейную замену переменной интегрирования.
Пользуясь неравенством треугольника и тем, что модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции,
занесем под знак модуля как интеграл, так и внутреннюю сумму. Это
позволит нам одновременно выполнить интегрирование и просуммировать по h. Имеем
1
0
pN
(p) обозначает сумму Рамануджана. Ограничиваясь суммирова-
где c
q
2πiαp
e
dα
qQ
pN
q
h=1
(h,q)=1
dα
cq(p)
=
sin 2πδp
πp
,
δ
hp
2πi
q
e
=
−δ
qQ
2πiαp
e
pN
нием лишь по бесквадратным значениям q, найдем
πp
.
1
0
pN
2πiαp
e
dα
qQ
μ2(q)
pN
cq(p)
sin 2πδp
Теперь вычислим сумму Рамануджана, используя результат задачи 2
к §1 главы 2. При (p, q)=1имеем c
бесквадратности q имеем c
1
0
2δ
Функция
pN
qQ
sin x
2πiαp
e
x
dα
μ2(q)
pN
неотрицательна и монотонно убывает на промежутке
(p)=μ(q)(1 − p), откуда получаем
q
μ2(q)
qQ
sin 2πδp
2πδp
(p)=μ(q), а при (p, q)=p в силу
q
pN
− 2δ
sin 2πδp
πp
μ2(q)
qQ
−
pN
pN
p|q
p|q
sin 2πδp
p
sin 2πδp
p
2πδp
πp
.
(0,π), а величины 2πδp как раз принадлежат этому промежутку, ибо
параметр δ был специально выбран так, чтобы выполнялось нера-
π
венство 2πδp
ключены между
. Учитывая, что значения упомянутой функции за-
2
2
и 1, а также отбрасывая во второй сумме условие
π
p N, приходим к неравенству
1
0
pN
2πiαp
e
dα
4δ
π
π(N )
μ2(q) − 2δ
qQ
qQ
μ2(q)
p.
p|q
§ 5. Среднее значение модуля тригонометрических сумм 225
Пользуясь результатами задач 1,д) к §4 главы 1 и 1 к §1 главы 3, а
также выбором параметров δ и Q, для первой суммы имеем
δπ(N)
μ2(q)
qQ
а для второй суммы, оценивая μ
δNQ
ln N
2
(q) единицей и меняя порядок сум-
√
N
ln N
,
мирования, найдем
Q
p
p
δQ
2
1,
δ
qQ
μ2(q)
p|q
p δ
pQ
откуда и вытекает требуемая оценка.
Задачи к §5
1. Доказать, что
1
μ2(n)e
0
nN
Указание. Действовать аналогично доказательству теоремы 11, ограничиваясь суммированием лишь по тем значениям q, которые являются квадратами бесквадратных чисел, и пользуясь при этом результатом задачи 1 к §1 главы 3 и приемом, применявшимся при решении
задачи 3,ж) к §1 главы 1.
2. Доказать, что
1
μ(n)e
0
nN
Указание. Пользоваться тем, что
nN
μ2(n)e
2πinα
=
где введено обозначение
S(β)=
nN
2πinα
dα N
2πinα
dα N
1
S(α + β)S(β) dβ,
0
2πinβ
μ(n)e
1
4
.
1
8
.
.
Литература
[1] Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981. 176 с.
[2] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Нау-
ка, 1983. 239 с.
[3] Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967. 511 с.
[4] Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980. 463 с.
[5] Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.:
Физматлит, 1994. 376 с.
[6] Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М.: ИЛ, 1953.
407 с.
[7] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения в
теории чисел. — М.: Наука, 1989. 240 с.
[8] Halberstam H., Richert H. E. Sieve methods. — London, Academic
Press, 1974. 364 p.
[9] Ram Murty M. Problems in analytic number theory. — New York,
Springer-Verlag, 2001. 452 p.
[10] Bombieri E. Le grand crible dans la th´eorie analytique des nomb-
res. — Ast´erisque, V. 18, 1974. 103 p.
[11] Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: Мир,
1974. 160 с.
[12] Чандрасекхаран К. Арифметические функции. — М.: Наука,
1975. 272 с.
[13] Apostol T. M. Modular functions and Dirichlet series in number
theory. — New York, Springer-Verlag, 1990. 204 p.
[14] Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. — М.: Мир, 1985. 182 с.
[15] Vaugan R. C. The L
London Math. Soc., 1988, V. 20, p. 121–123.
1
mean of exponential sums over primes // Bull.
Чанга Марис Евгеньевич
Методы аналитической теории чисел
Авторская редакция
Дизайнер В. А. Толстолуцкая
Технический редактор А. В. Бакиев
Подписано в печать 20.02.2019. Формат 60 × 841/16.
Гарнитура «Computer Modern Roman». Бумага офсетная № 1. Заказ № 19-12.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: +7 (3412) 50-02-95
Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,25. Уч. изд. л. 14,13.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Полный ассортимент литературы издательств
«Институт компьютерных исследований»
и «Регулярная и хаотическая динамика»
по самым доступным ценам представлен
в отделах прямых продаж:
Россия, Москва
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 415
тел.: +7 (495) 641–69–38, +7 (925) 280–78–96
факс: +7 (499) 135–54–37
e-mail: rhd-m@mail.ru
Россия, Ижевск
Удмуртский государственный университет
ул. Университетская, д. 1, корп. 4, оф. 201а/207
тел./факс: +7 (3412) 50–02–95
e-mail: subscribe@rcd.ru
Книги можно приобрести также:
Книжные магазины и киоски:
Московский дом книги
Москва, ул. Новый Арбат, д. 8 (м. «Арбатская»)
Тел.: +7 (495) 789–35–91
Дом технической книги
Москва, Ленинский проспект, д. 40
(м. «Ленинский Проспект»)
Тел.: +7 (499) 137–60–19
Книжные киоски ООО «Аргумент»
Москва, Ленинский проспект, д. 65
(м. «Ленинский Проспект») Главное здание
РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина
ООО «Санкт-Петербургская книготорговая
компания»
Санкт-Петербург, ул. Капитана Воронина, д. 8
Тел.: +7 (812) 295–06–57
На просторах интернета:
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• Отправка заказов осуществляется
почтой РФ из г. Ижевска
• Цены на сайте указаны
без учета стоимости доставки
ООО «Киви»
Самара, ул. Ново-Садовая, д. 381, 4-й этаж —
«ТЦ на Ново-Садовой»
Тольятти, ул. Дзержинского, 21, минус 1-й этаж,
секция 803а – «ТЦ Капитал»
ООО «Пермкнига»
Пермь, ул. Лодыгина, д. 6
Тел.: +7 (342) 242–84–90, 242–72–74
ООО «Издательство «Инфра-Инженерия»
Вологда, ул. Машиностроительная, д. 19, оф. 238
Тел.: +7 (911) 512–48–48
ООО «ВЕЛЕС»
Омск
тел.: +7 (3812) 46–31–12, 46–31–41
http://www.ozon.ru
Геомодель
http://www.eage.ru
Московский дом книги
http://www.mdk-arbat.ru
Инфра-Инженерия
http://www.infra-e.ru
http://www.biblion.ru
Каталог изданий для предприятий
нефтегазового комплекса
http://www.yagello.ru
http://centrlit.ru
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]