Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 151
Пусть λ
— коэффициенты Сельберга, то есть
d
(d)
μ(d)f
λ
=
d
1
Sf(d)
f1(r)
P (z)
r|
d
z
r
d
при d | P (z), d z и f (d) =0, если же хотя бы одно из этих усло-
вий не выполнено, то λ
=0. Тогда при любом y 2 имеет место
d
соотношение
n∈A
1
p|n
py
d|n
2
λ
=
d
X
2
S
z
<kz
y
μ2(k)f1(k)
+ O
z
<py
k
dyz
pk
2
f(p)+
μ2(d)7
ν(d)
|Rd|.
Доказательство. Меняя порядок суммирования и пользуясь соотношением для мощности множества A
n∈A
1
p|n
py
= X
d|n
py
λ
d1,d
d
2
2
=
λ
d
pyd1,d
λ
d
1
2
λ
2
f([p, d1,d2]) +
λ
d
1
, получим
d
d
2
n∈A
py
[p,d1,d2]
d1,d
1=
λ
2
λ
R
d
d
1
2
[p,d1,d2]
.
При этом можно считать, что суммирование идет лишь по тем значениям d
и d2, при которых λ
1
и λ
d
1
не равны нулю.
d
2
Рассмотрим вначале остаточный член. При доказательстве теоремы 7 мы выяснили, что модули коэффициентов Сельберга не превосходят единицы. Учитывая ограничения на d, при которых λ
отличны
d
от нуля, найдем
[p,d1,d2]
dyz
py
μ2(d)|Rd|
2
d1,d2|P (z)
d
z
1,d2
[p,d1,d2]=d
|R
[p,d1,d2]
1
|
dyz
μ2(d)7
2
ν(d)
|Rd|.
py
d1,d
λ
λ
R
d
d
1
2
2
152 Глава 3. Метод решета
Здесь мы пользовались тем, что число решений уравнения [p, d
= d не превосходит числа решений уравнения [k, d
]=d,гдеk не
1,d2
1,d2
]=
обязательно простое. Так как d бесквадратно, число решений послед-
ν(d)
него уравнения есть 7
, ибо для каждого простого, делящего d,су-
ществует только семь возможностей: оно делит либо только одно из
чисел k, d
, d2, либо только два из них, либо, наконец, все три этих
1
числа.
Рассмотрим теперь главный член. Очевидно, что если p не делит
,ниd2,то[p, d1,d2]=p[d1,d2], если же p делит хотя бы одно из
ни d
1
чисел d
и d2,то[p, d1,d2]=[d1,d2]. Так как f(d) мультипликативна,
1
имеем
S
=
p
= f(p)
=
d1,d
d1,d
λ
d
2
d1,d
(di,p)=1
λ
d
1
2
λ
f([p, d1,d2]) =
d
1
2
λ
λ
f([d1,d2]) +
d
d
1
2
2
λ
f([d1,d2]) +f(p) − 1
d
2
d1,d
p|d1d
λ
d
1
2
2
d1,d
2
(di,p)=1
λ
f([d1,d2]) =
d
2
λ
λ
d
d
1
f([d1,d2]).
2
Первая сумма уже была вычислена при доказательстве теоремы 7 и
равна S
виями на d
−1
, а вторая отличается от нее лишь дополнительными усло-
и d2. Повторяя рассуждения доказательства теоремы 7
1
со второй суммой, получим
S
− S−1=f(p) − 1
p
=f(p) − 1
d1,d
(di,p)=1
kz
(k,p)=1
2
μ2(k)
f1(k)
λ
d
λ
f(d1)f(d2)
d
1
2
d≡0(mod k)
(d,p)=1
k|(d1,d2)
λdf(d)
f1(k)
2
,
1
=
2
где множитель μ
(k) учитывает условие k | P (z), а штрих возле знака
суммы означает, что f(k) отлична от нуля. В обозначениях теоремы 7
сумма в скобках равна u
k−ukp
, так как k и p взаимно просты. Снова
обращаясь к доказательству теоремы 7, мы видим, что коэффициентам Сельберга λ
отвечают значения ur= μ(r)f1(r)/S при r z и
d
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 153
=0при r>z. Отсюда, учитывая связь между f1(p) и f (p), найдем
u
r
= S−1−
S
p
1+f
S
(p)
1
2
z
k
p
(k,p)=1
μ2(k)f1(k)+
f(p) − 1
S
z
<kz
p
(k,p)=1
μ2(k)f1(k),
2
при этом штрихи у знаков суммы можно опустить, ибо слагаемые, отвечающие нулевым значениям f (k), будут равны нулю. Снова поль-
зуясь мультипликативностью f
kz
(k,p)=1
μ2(k)f1(k)=
k≡0(mod p)
S −
(d), имеем
1
μ2(k)f1(k)=f1(p)
kz
z
k
p
(k,p)=1
μ2(k)f1(k).
Собирая вместе полученные соотношения, приходим к равенству
=
S
p
2
S
z
<kz
p
(k,p)=1
μ2(k)f1(k),
f(p)
подставляя которое в выражение для главного члена и меняя порядок
суммирования, найдем
X
py
d1,d
λ
λ
f([p, d1,d2]) =
d
d
1
2
2
X
2
S
py
X
=
2
S
z
<kz
y
f(p)
z
p
(k,p)=1
μ2(k)f1(k)
μ2(k)f1(k)=
<kz
z
<py
k
pk
f(p),
чем и завершается доказательство.
С помощью взвешенного решета Сельберга мы докажем, что любое достаточно большое четное число представляется суммой простого числа и числа, имеющего не более четырех простых сомножителей. Проблема представимости нечетного числа суммой трех простых
чисел, так называемая тернарная проблема Гольдбаха, была поставлена в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру и решена в 1937 году Виноградовым. В ответном письме Эйлер заметил, что для этого
достаточно доказать представимость четного числа суммой двух простых чисел. Эта проблема, получившая название бинарной проблемы Гольдбаха, остается нерешенной и по сей день. Бинарная проблема Гольдбаха находится в тесной взаимосвязи с проблемой простых
154 Глава 3. Метод решета
чисел-близнецов, в частности, лучший на сегодняшний день результат
в обеих проблемах получен Ченом в 1973 году и в случае бинарной
проблемы Гольдбаха состоит в том, что любое достаточно большое
четное число представимо суммой простого числа и числа, имеющего
не более двух простых сомножителей. Проблемам Гольдбаха посвящен также §3 главы 4.
Нам потребуется теорема о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем.
Теорема (Бомбьери, Виноградов). Для любого фиксированного A>0 существует B>0 такое, что
k√x ln−Bx
max
(l,k)=1
|R(x; k, l)|
x
lnAx
,
где величина R(x; k, l) определена равенством
R(x; k, l)=π(x; k, l) −
π(x)
ϕ(k)
.
Доказательство этой теоремы проводится методом большого решета, однако требует привлечения теории характеров и L-функций
Дирихле, а потому выходит за рамки настоящей книги. Фактически
теорема Бомбьери-Виноградова утверждает, что для почти всех k,ле-
жащих в интервале от единицы и практически до
ны R(x; k, l) оцениваются величиной чуть большей
√
x, остаточные чле-
√
x. Для каждого
k из указанного промежутка подобные оценки могут быть получе-
ны лишь при условии справедливости аналога гипотезы Римана для
L-функций Дирихле. Отсюда становится ясным громадное значение
теоремы Бомбьери-Виноградова, доказательство которой в 1965 году
ознаменовало настоящий прорыв в аналитической теории чисел.
Теорема 11. Любое достаточно большое четное число представимо суммой простого числа и числа, имеющего не более четырех
простых сомножителей (с учетом кратности).
Доказательство. Пусть A — множество чисел вида 2N − p,гдеp
не превосходит 2N − 2. Имеем
n∈A
1=
d
p2N−2
p≡2N(mod d)
1=π(2N ; d, 2N )+O(1) = π(2N )f(d)+Rd,
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 155
где введено обозначение
1
, (d, 2N )=1,
f(d)=
ϕ(d)
0, (d, 2N ) > 1,
а остаточный член выражается равенством
R
R(2N; d, 2N)+O(1), (d, 2N )=1,
=
d
O(1), (d, 2N ) > 1.
Легко видеть, что неравенства 0 f (p) < 1 выполнены для любого
простого p. В обозначениях теорем 7 и 10 получаем X = π(2N) и
1
,p 2N,
f
(p)=
1
Согласно результату задачи 4 к §5 главы 1 при ln x ln
p−2
0,p| 2N.
0.6
N имеет
место асимптотическая формула
μ2(d)f1(d)=c1(N)lnx + c2(N)+O(x
dx
1
−
4
),
−1
где (ln ln N)
сюда асимптотику суммы S. Далее, выбрав y>z N
положим w
c1(N) 1,аc2(N) ln ln N; при x = z получим от-
0.03
и L =ln3N,
=1при p L, wp=
p
1
при L<p y,иwp=0при p>y.
2
В этом случае имеем
W (A, z)=
p2N−2
1 −
1
2
p|2N−p
p
L
1 −
1
2
p|2N−p
p
y
1
d|2N−p
2
λ
d
или, раскрывая первую скобку и вводя специальные обозначения для
каждой из получающихся сумм,
W (A, z)=W
Рассмотрим сумму W
1
−
3
2
. Применение теоремы 10 приводит нас к
1
W
1
W
−
2
.
1
2
156 Глава 3. Метод решета
равенству
1
y
p
μ2(k)f1(k)
d|2N−p
z
<py
k
pk
2
λ
d
f(p)+O
=
dyz
2
μ2(d)7
ν(d)
|Rd|.
W
1
=
p2N−2
π(2N )
=
S
p|2N−p
2
kz
Оценим вначале остаточный член. Согласно теореме Бомбьери-Виноградова найдется B>0 такое, что при yz
2
√N ln−BN будет спра-
ведлива оценка
|Rd|
2
dyz
Кроме того, легко видеть, что dR
N
.
ln55N
N при d yz2. Применяя нера-
d
венство Коши и приведенные оценки, а также пользуясь свойствами
функции τ
dyz
(n), получим
k
μ2(d)7
2
ν(d)
|Rd|
√
dyz
N
ln
N
27.5
d|Rd|
2
dyz
N
1
2
2
|Rd|
2
d1...d49yz
dyz
1
2
2
dyz
d1...d
2
μ2(d)49
d
τ49(d)
d
2
1
49
ν(d)
1
2
1
2
1
2
N
ln3N
.
2
Итак, при yz
√N ln−BN имеем
π(2N )
W
=
1
2
S
μ2(k)f1(k)
kz
z
<py
k
p2Nk
1
p − 1
+ O
N
ln3N
,
где мы учли вдобавок явный вид функции f (p).
Рассмотрим теперь главный член. В первую очередь необходимо
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 157
избавиться от условия p 2Nk. Меняя порядок суммирования, найдем
z
<kz
p
z
<kz
p
z
k
p|2Nk
<py
1
p − 1
μ2(k)f1(k)+
μ2(k)f1(k)+
=
1
k≡0(mod p)
1
z
<kz
p
μ2(k)f1(k)
μ2(k)f1(k).
z
z
<k
2
p
p
p − 1
py
p2N
(p − 1)(p − 2)
pz
p2N
kz
=
py
p|2N
py
p|2N
μ2(k)f1(k)
1
p − 1
1
p − 1
Воспользовавшись для вычисления внутренних сумм вышеприведенной асимптотической формулой, а также оценками величин c
c
(N), получим
2
+
pN
μ2(k)f1(k)
kz
(p − 1)(p − 2)
0.01
ln p
z
<py
k
p|2Nk
+
p − 1
p>N
1
pN
(p − 1)(p − 2)
0.01
p|2N
ln N
0.01
ln p
p − 1
p|2N
0.01
ln p
p − 1
ln N
p − 1
+
p>N
p|2N
(N) и
1
+
ln ln N.
Последняя оценка доказывается с помощью приема, применявшегося
при решении задачи 2,г) к §1 главы 1, и с использованием результата
задачи 1,е) к §4 главы 1. Таким образом, снова пользуясь упомянутой
асимптотической формулой, имеем следующее равенство
W
1
=
π(2N )
2
S
μ2(k)f1(k)
z
k
e
z
<py
k
1
p − 1
+ O
N(ln ln N )
ln3N
3
,
причем при замене предела суммирования во внешней сумме величи-
z
мы учитываем, что согласно результату задачи 1,ж) к §1 главы
ной
e
1 внутренняя сумма оценивается величиной ln ln N .
Вновь пользуясь задачей 1,ж) к §1 главы 1, при x e найдем
px
1
p − 1
=
px
1
+
p
px
1
p(p − 1)
=lnlnx + B
1
+ O
1
ln x
,
158 Глава 3. Метод решета
что приводит нас к равенству
μ2(k)f1(k)
z
k
e
z
<py
k
p − 1
=
k
1
=
μ2(k)f1(k)ln
z
e
ln y
ln
z
k
+ O
k
μ2(k)f1(k)
z
e
ln
.
z
k
Для того, чтобы оценить остаточный член, заметим, что сумма по
0.01
промежутку [1,N
ln N промежутков вида (ze
] есть O(1), а промежуток (N
−r−1
,ze−r]. Нетрудно видеть, что сумма
по r-ому промежутку оценивается величиной
1
, поэтому весь остаточ-
r
z
0.01
,
] разобьем на
e
ный член есть O(ln ln N ). Здесь мы вновь существенно пользовались
основной асимптотической формулой. Далее, совершая преобразование Абеля, получим
μ2(k)f1(k)lnln
z
k
e
z
z
k
e
=
1
μ2(k)f1(k)
ku
du
,
z
u ln
u
но из основной асимптотической формулы следует, что
0.6
O(ln
c
N),u<U,
(N)lnu + O(ln ln N),u U,
1
где U = e
μ2(k)f1(k)=
ku
0.6
ln
N
. Таким образом, находим
μ2(k)f1(k)lnln
z
k
e
z
e
U
ln udu
z
u ln
u
+ Oln
0.6
z
= c
(N)
1
k
z
e
N
1
du
u ln
,
z
u
откуда, вычисляя интегралы, немедленно приходим к равенству
μ2(k)f1(k)lnln
z
k
e
z
= (lnln z −1) c
k
(N)lnz + O(ln
1
0.6
N lnln N ).
Собирая вместе полученные оценки и пользуясь основной асимптотической формулой, окончательно имеем
W
1
=
π(2N )
S
ln y
+1+ O
ln
ln z
ln
N
2.3
.
N
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 159
Рассмотрим сумму W
W
2
=
p2N−2
π(2N )
=
S
2
p|2N−p
p
z
<kz
L
L
. Вновь применяя теорему 10, получим
2
1
d|2N−p
μ2(k)f1(k)
z
<pL
k
pk
λ
d
2
=
f(p)+O
dz2L
μ2(d)7
ν(d)
|Rd|.
Главный член мы оценим тривиально, пользуясь результатом задачи
1,ж) к §1 главы 1 и основной асимптотической формулой, а остаточный член не превосходит такового в сумме W
N(ln ln N)
W
2
Наконец, рассмотрим сумму W
ln3N
. Пользуясь замечанием к теореме 7,
3
4
.
, поэтому
1
найдем
W
3
=
p2N−2
π(2N )
=
S
d|2N−p
+ O
2
λ
=
d
dz
μ2(d)3
2
ν(d)
|Rd|=
π(2N )
S
+ O
N
ln3N
.
Собирая вместе полученные оценки, приходим к соотношению
2.3
N
.
N
1
W
W (A, z)=W
−
3
2
Далее, выберем z = N
−
2
0.1
1
W
=
1
2
и y = N
π(2N )
0.26
1 − ln
2S
, что согласуется с условиями на
ln y
ln z
+ O
ln
эти параметры. Так как ln 2.6 < 1, при достаточно большом N получим следующую нижнюю оценку
W (A, z)=
p2N−2
1 −
1
2
p|2N−p
p
ln3N
1 −
1
2
p|2N−p
N0.26
p
1
d|2N−p
2
N
ln2N
λ
d
.
Теперь извлечем из полученной оценки арифметическую информацию. В сумме W (A, z) с положительным весом учитываются простые числа p, не превосходящие 2N − 2, и такие, что 2N − p не имеет
160 Глава 3. Метод решета
3
простых делителей, не превосходящих ln
один простой делитель в промежутке (ln
N, и имеет самое большее
3
0.26
N,N
]. Обозначим количество таких чисел через Q(N ). Вес, с которым учитывается каждое
такое число, не превосходит двух, так как λ
при бесквадратном d, не превосходящем z, причем |λ
отлично от нуля только
d
| 1. Следова-
d
тельно, при достаточно большом N имеем
2Q(N) W (A, z)
При этом не исключается, что простой делитель числа 2N − p,лежа-
щий в промежутке (ln
3
N,N
0.26
], будет иметь кратность больше еди-
N
ln2N
.
ницы. Однако среди упомянутых Q(N ) чисел количество таких, для
которых 2N − p делится на квадрат какого-либо простого из промежутка (ln
3
N,N
0.26
], заведомо не превосходит
ln3N<pN
0.26
2N
p
2
N
ln3N
,
то есть величины, бесконечно малой по сравнению с Q(N). Это озна-
чает, что существуют простые числа p, не превосходящие 2N − 2,и
такие, что 2N − p имеет самое большее один простой делитель (суче-
0.26
том кратности), не превосходящий N
. С другой стороны, из три-
виальных соображений 2N − p имеет самое большее три простых де-
0.26
лителя (с учетом кратности), больших N
, что и требовалось.
Задачи к §4
1. Пользуясь решетом Бруна и теоремой Бомбьери-Виноградова,
доказать, что
а) существует бесконечно много простых чисел p таких, что p +2
имеет самое большее восемь простых сомножителей (с учетом кратности);
б) каждое достаточно большое четное число представимо суммой
простого числа и числа, имеющего не более восьми простых сомножителей (с учетом кратности).
Указание. При d>
текает, что R(x; d, l)
√
x ln−Bx из тривиальной оценки π(x; d, l) вы-
√
x lnBx.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]