Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 4. Нули дзета-функции Римана 31
Задачи к §3
1. Доказать, что
1
=lnx + C + O
n
nx
причем для константы Эйлера C справедливо представление
∞
C =
1
+
2
(x)
2
x
1
dx =
1
2
2. Доказать, что при любом фиксированном положительном δ в
области |arg s| π − δ справедлива формула Стирлинга
ln Γ(s)=s −
1
ln s − s +ln
2
Указание. Для вычисления постоянной ln
ливой для натуральных n формулой удвоения
Γ(2n)
√
π =2
2n−1
Γn +
1
,
x
∞
1
√
2π + O
σ(x)
3
x
dx.
1
.
|s|
+2
√
2π пользоваться справед-
1
Γ(n).
2
3. Доказать, что
N
n=1
2
n
2πi
N
e
=
1+i
1+i
−N
−1
√
N.
Указание. Действовать аналогично доказательству теоремы 10.
4. Доказать, что
lim
s→1
ζ(s) −
1
s −1
= C.
§ 4. Нули дзета-функции Римана
В предыдущем параграфе было установлено, что дзета-функция
Римана аналитична во всей комплексной плоскости за исключением
32 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
точки s =1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом 1. Из
свойств гамма-функции Эйлера (см. задачи 1 и 2 к §2) и последнего
равенства §3 следует, что дзета-функция Римана имеет нули в точках s = −2, −4, −6,..., называемые тривиальными. Других нулей в
полуплоскости Re s<0 нет, так как в противном случае в силу функционального уравнения и свойств гамма-функции ζ(s) имела бы нули
при Re s>1, что, как мы показали в §1, не имеет места. Таким образом, все прочие нули дзета-функции Римана, называемые нетриви-
альными, лежат в критической полосе 0 Re s 1. При этом они расположены симметрично относительно критической прямой Re s =
и вещественной оси Im s =0, поскольку ζ(s) вещественна при вещественных s и удовлетворяет функциональному уравнению. Гипотеза
Римана, до сих пор не доказанная и не опровергнутая, утверждает,
что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой.
Рассмотрим функцию
s
s
−
ξ(s)=s(s −1)π
2
ζ(s).
Γ
2
Из последнего равенства §3 следует, что ξ(s) является целой функцией
и ее нули суть в точности нетривиальные нули дзета-функции Римана.
При этом в силу теоремы 11 имеет место соотношение
1
2
ξ(s)=ξ(1 − s).
В этом параграфе мы получим представление ξ(s) в виде бесконечного произведения по нетривиальным нулям дзета-функции Римана.
Нам потребуются два вспомогательных утверждения из комплексного
анализа.
Теорема 12 (формула Иенсена). Пусть функция f (s) анали-
тична в круге |s| R, не имеет нулей на окружности |s| = R,иf (0)
не равна нулю. Тогда
r1...r
n
=
n
|f(0)|R
ln
где r
,...,rn— модули нулей функции f (s) в круге |s| <R,каждый
1
2π
2π
1
ln |f(Reiϕ)|dϕ,
0
из которых считается столько раз, каков его порядок.
§ 4. Нули дзета-функции Римана 33
Доказательство. Пусть s
,...,sn—нулиf(s) в круге |s| <R.
1
Рассмотрим функцию
n
F (s)=
Эта функция аналитична в круге |s| R и не имеет там нулей, ибо
−1
2
r
R
>R. Следовательно, функция ln F (s) аналитична в круге |s|
k
f(s)
R
R2− ss
n
k=1
s − s
k
.
k
R. В силу теоремы о среднем
2π
ln F (0) =
1
2π
ln F (Reiϕ) dϕ,
0
откуда, отделяя вещественную часть, получим
1
2π
0
R − e
Reiϕ− s
2π
ln |F (Reiϕ)|dϕ.
iϕ
имеем
iϕ
s
k
= |f(Re
k
iϕ
)|,
n
=
n
ln |F (0)| =ln
|f(0)|R
r1...r
Но по определению функции F (s) при s = Re
n
|F (Re
iϕ
)| = |f(Reiϕ)|
k=1
что вместе с предыдущим равенством и обосновывает формулу Иенсена.
Теорема 13 (Борель, Каратеодори). Пусть функция f (s) ана-
литична в круге |s| R. Тогда при любом n 1 справедливы неравен-
ства
f
(n)
(0)
2(A(R) − Re f(0))R
n!
−n
,
где A(R) обозначает максимум Re f (s) на окружности |s| = R.
Доказательство. Согласно формулам Коши имеем
(n)
f
(0)
n!
1
=
2πi
|s|=R
f(s)ds
n+1
s
=
2π
−n
R
2π
f(Reiϕ)e
0
−inϕ
dϕ.
С другой стороны, при n 1 в силу интегральной теоремы Коши
1
2πi
|s|=R
f(s)s
n−1
ds =
R
2π
n
2π
0
f(Reiϕ)e
inϕ
dϕ =0,
34 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
откуда, взяв комплексное сопряжение, найдем
2π
−n
R
2π
f(Reiϕ)e
0
−inϕ
dϕ =0.
Складывая полученные выражения, приходим к соотношению
(n)
f
(0)
R
=
n!
−n
π
2π
Re f(Reiϕ)e
0
−inϕ
dϕ =
2π
−n
R
=
π
(Re f(Reiϕ) − A(R))e
0
−inϕ
dϕ.
Оценивая модуль правой части сверху, получим
f
ибо A(R) Re f (Re
(n)
n!
−n
(0)
R
π
2π
Re f(Reiϕ) dϕ =Re
0
2π
Re f(Re
0
iϕ
) по определению величины A(R). Далее,
iϕ
) − A(R)
R
=
2π
−n
π
dϕ =
2π
(A(R) − Re f(Reiϕ)) dϕ,
0
f(Reiϕ) dϕ =2πRe f(0)
0
в силу теоремы о среднем. Подставляя полученное равенство в предыдущую оценку, получим требуемое.
Теорема 14. Справедливо равенство
ξ(s)=e
as
1 −
s
s
,
e
где в правой части стоит бесконечное произведение по всем нетривиальным нулям функции ζ(s) с учетом кратности, расположенным в порядке возрастания модуля, а
√
a =ln2
π −
C
− 1.
2
Доказательство. Оценим максимум модуля ξ(s) на окружности
|s| = R. Так как ξ(s)=ξ(1 − s), достаточно рассмотреть случай σ
1
,
2
§ 4. Нули дзета-функции Римана 35
точка s лежит на окружности |s| = R или |s − 1| = R.Изтеоремы9
при N =1получаем оценку
|ζ(s)|
1
|s − 1|
1
+
+ |s|
2
1
∞
|(u)|
σ+1
u
du
1
R − 1
∞
1
2
+
R +1
2
+
du
R.
3
2
u
1
Отделяя вещественную часть в формуле Стирлинга (см. задачу 2 к
§3), имеем
ln
σ − 1
s
Γ
=
2
R
2
2
ln
|s|
ln
2
R +1
2
t
−
+
s
arg
2
2
πR
+ O(1) R ln R,
4
−
σ
2
+ln
√
2π + O
|s|
1
откуда при |s| = R найдем
|ξ(s)| =
s(s − 1)π
s
s
−
2
Γ
2
ζ(s)
R
3ec1R ln R
e
c2R ln R
.
Предположим вначале, что множество нетривиальных нулей ζ(s)
бесконечно. Применим формулу Иенсена к функции ξ(s). Легко видеть, что
ξ(0) = ξ(1) = π
Пусть
ственности, выберем R
,...,n—нулиξ(s) в круге |s| R. Используя теорему един-
1
∈ [2R, 3R] так, чтобы функция ξ(s) не имела
1
нулей на окружности |s| = R
|s| R
. С одной стороны, в силу формулы Иенсена
1
2π
2π
1
ln |ξ(Reiϕ)|dϕ c2R1ln R1 c3R ln R,
0
R
ln
|1|...|k|
k
1
=
−
.Пусть1,...,k—нулиξ(s) в круге
1
1
1
2
Γ
=1=0.
2
с другой стороны, имеем
n
R
1
n ln 2,
R
ln
|1|...|k|
k
R
1
ln
ибо |
| R при l =1,...,n. Таким образом, число нулей ξ(s) в круге
l
|s| R есть O(R ln R). В частности, при R = |
n c
|ln |n| c5|n|
4|n
| получим
n
1+ε
.
36 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
Следовательно, при любом положительном a справедлива оценка
a
−
|
n
что означает сходимость ряда
|−a c6n
1+ε
,
||−aпри a>1.
Рассмотрим функцию
F (s)=
1 −
s
s
e
и докажем, что она является целой и имеет своими нулями точки
s = и только их. Пусть R — произвольно большое число. Рассмотрим круг |s| R и разобьем произведение на два сомножителя — с
, по модулю не превосходящими 2R, и с оставшимися , обозначив
эти сомножители через F
(s) и F2(s), соответственно. Функция F1(s)
1
аналитична в круге |s| R и имеет там только заявленные нули. Докажем, что функция F
(s) также аналитична в круге |s| R,ноне
2
имеет там нулей. В силу произвольности R это и даст нам требуемое
утверждение.
Рассматривая соответствующий F
(s) ряд логарифмов, при |s| R
2
и M 2R имеем
||>M
Поскольку ряд
ln
s
1 −
s
+
||−2сходится, то ряд логарифмов сходится равно-
мерно и определяет функцию G
(s), аналитическую в круге |s| R.
2
||>M
||>M
||
|s|
2
+ ...
||
1
.
2
2
3
s
s
+
2
3
3
2
2
R
2
||>M
Пользуясь непрерывностью экспоненты, в круге |s| R получим
lim
M→∞
2R<||M
1 −
s
s
G2(s)
= e
e
,
что и означает сходимость произведения в этом круге к аналитической
функции без нулей.
Итак, функция ξ(s)/F (s) есть целая функция, не имеющая нулей.
Следовательно, ее логарифм есть также целая функция, то есть для
§ 4. Нули дзета-функции Римана 37
ξ(s) справедливо представление
ξ(s)=e
h(s)
1 −
s
s
,
e
где h(s) — некоторая целая функция. Мы доказали эту формулу в
предположении бесконечности множества нетривиальных нулей ,в
случае конечности этого множества формула очевидна. Логарифмируя последнее равенство и дважды дифференцируя его, найдем
h
(s)=
d
ds
ξ
ξ(s)
(s)
+
1
(s − )
.
2
4
R
. Тогда при || >R
2
1
.
2
||
||>R
Пусть R — произвольно большое число и |s|
имеем |s − | ||−|s| >
(s − )
||>R
Из сходимости ряда
1
||, откуда получаем оценку
2
1
2
||>R
||−2заключаем, что сумма в левой части
1
|s − |
2
стремится к нулю с ростом R. В случае конечности множества нулей
она вообще равна нулю тождественно при достаточно большом R.
Рассмотрим теперь функцию
ds
ξ
d
ξ(s)
(s)
+
||R
и применим к h
1
(s − )
(s) теорему Бореля-Каратеодори. Легко видеть, что
R
2
d
=
ds
lnξ(s)
2
2
||R
1 −
−1
s
= h
(s)
R
на окружности |s| =2R имеет место оценка
ξ(s)
||R
1 −
−1
s
e
c3R ln R
,
ибо при |s| =2R и || R справедливы неравенства
− s
||
|s|−||
1.
38 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
Согласно принципу максимума модуля такая же оценка будет выполнена и на окружности |s| = R. Таким образом, при |s| = R имеем
−1
s
c
R ln R,
3
Re h
(s)=ln
R
ξ(s)
||R
1 −
откуда, пользуясь теоремой Бореля-Каратеодори, при n 1 получим
h
R
ибо Re h
лора, в круге |s|
Следовательно, h
(0) = ln |ξ(0)| =0. Раскладывая функцию h
R
|h
R
(s)| =
R
находим
2
∞
n=2
(s) также стремится к нулю с ростом R. Фиксируя
R
s иустремляяR к бесконечности, получаем, что функция h
(n)
(0)
n!
(n)
h
(0)
R
(n − 2)!
2c
n−2
s
3
R
−n+1
8c
ln R,
ln R
3
(s) врядТей-
R
∞
n(n − 1)
R
n=2
n
2
.
(s) равна
нулю тождественно, то есть h(s)=as + b.Итак,
ξ(s)=e
as+b
1 −
s
s
.
e
Полагая в последнем равенстве s =0, немедленно находим, что
b =0. Для вычисления постоянной a возьмем логарифмическую про-
изводную от обеих частей равенства и положим s =0, что приводит
нас к соотношению
s
Γ
1
2
−
s
2
Γ
2
(s)
ζ
ζ(s)
.
a =
(0)
ξ
ξ(0)
= −
ξ
ξ(1)
(1)
= lim
s→1
1
1
−
−
s
s − 1
1
+
ln π −
2
Здесь мы пользовались определением и функциональным уравнением ξ(s). Пользуясь выражением гамма-функции в виде бесконечного
произведения (см. задачу 2 к §2), получим
a =
1
ln π +
2
C
2
=ln2
∞
n=1
π +
1
−
2n
C
− 1 − lim
2
−
√
1
2n +1
s→1
ζ
ζ(s)
− lim
s→1
(s)
+
ζ
ζ(s)
1
s − 1
(s)
1
+
s −1
=
.
§ 4. Нули дзета-функции Римана 39
Для вычисления предела воспользуемся результатом задачи 4 к §3,
согласно которому в проколотой окрестности точки s =1имеем
(s)
ζ
ζ(s)
=
s−1
1
−
1
+ C + c(s − 1) + ...
(s−1)
+ c + ...
2
= −
1
+ C + O(|s −1|).
s − 1
Таким образом, искомый предел равен константе Эйлера C.
Осталось показать, что множество нулей бесконечно. В противном случае ξ(s) есть многочлен, умноженный на экспоненту от линейной функции, то есть
max
|s|=R
|ξ(s)| e
c7R
.
Но если R положительно и стремится к бесконечности, то из формулы
R
Стирлинга и определения функции ξ(s) следует, что ln ξ(R) ∼
2
ln R,
то есть
max
|ξ(s)| |ξ(R)| e
|s|=R
c8R ln R
.
Полученное противоречие доказывает, что множество нетривиальных
нулей ζ (s) бесконечно.
Задачи к §4
1. Функция Мангольдта Λ(n) равна ln p, если n есть степень про-
стого числа p, и равна нулю, если n не является степенью простого
числа.
а) Показать, что
Λ(d)=lnn;
d|n
б) показать, что при Re s>1
∞
Λ(n)
n
n=1
в) показать, что
ln(n!) =
s
kn
= −
Λ(k)
(s)
ζ
ζ(s)
;
n
;
k
40 Глава 1. Метод комплексного интегрирования
г) доказать оценку
ψ(x)=
Λ(n) x;
nx
д) доказать оценку
π(x)=
px
1
x
ln x
;
е) доказать асимптотическую формулу
ln p
=lnx + O(1);
p
px
ж) доказать асимптотическую формулу
1
=lnlnx + B + O
p
px
1
ln x
.
Указание. В пункте г) пользоваться тем, что в правой части равенства
ln(2n)! − 2lnn!=ψ(2n) − ψ(n)+ψ
2n
− ψ
3
n
2
+ ...
стоит знакопеременная сумма монотонно убывающих слагаемых.
2. Доказать, что при фиксированном N в области t 2π, |σ| N
справедлива формула
χ(s)=π
s−
1−s
Γ
1
2
2
=
s
Γ
2
1
−σ
2
t
2π
−it ln
e
2πe
t
π
+i
4
1+O
1
.
t
С помощью функции χ(s) функциональное уравнение можно пе-
реписать в виде
ζ(s)=χ(s)ζ(1 − s).
3. Доказать, что для фиксированного N при t 2π справедливы
оценки
ζ(s)
⎧
1
−σ
2
ln t, −N σ 0,
t
⎪
⎪
⎪
1
⎨
2
ln t, 0 σ
t
ln t,
1
σ 1,
2
1−σ
⎪
t
⎪
⎪
⎩
ln t, 1 σ N.
1
,
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]