Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 2. Замена тригонометрической суммы более короткой 71
При n>γ+Δ интегрирование по частям приводит нас к оценке
u
e
a
2πi(f(x)−nx)
dx =
1
2πi
u
a
2πi(f(x)−nx)
de
f(x) − n
1
n −γ
,
так как функция в знаменателе отрицательна и монотонно возрастает.
Используя эту оценку, мы можем переписать предыдущее равенство
в виде
a<xu
2πif(x)
e
=
α−Δnβ+Δ
u
2πi(f(x)−nx)
e
a
dx + O(ln(β −α +2)).
Подставляя полученное соотношение в первую формулу и пользуясь
оценками функции ϕ(x) и ее производной, находим
a<xb
−
ϕ(x)e
b
ϕ(u)
a
=
α−Δnβ+Δ
2πif(x)
=
α−Δnβ+Δ
u
2πi(f(x)−nx)
e
a
a
b
ϕ(x)e
dxdu+ O(H ln(β − α +2))=
2πi(f(x)−nx)
ϕ(b)
b
2πi(f(x)−nx)
e
a
dx −
dx + O(H ln(β − α +2)).
Далее, достаточно доказать теорему в случае α − Δ ∈ (0, 1].Действительно, выберем целое число k так, что α − Δ+k ∈ (0, 1].Пусть
(x)=f(x)+kx и, следовательно, α1= α + k.Тогдаα1− Δ ∈ (0, 1]
f
1
и, предполагая теорему в этом случае доказанной, имеем
a<xb
2πif(x)
e
=
α1−Δnβ1+Δ
=
α−Δn−kβ+Δ
=
a<xb
2πif1(x)
e
b
2πi(f1(x)−nx)
e
a
b
a
=
dx + O(ln(β −α +2))=
2πi(f(x)−(n−k)x)
e
dx + O(ln(β −α +2)).
Таким образом, не теряя общности, можно считать, что ϕ(x)=1
72 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
и α − Δ ∈ (0, 1]. Применяя упрощенный вариант формулы суммирования Эйлера (см. теорему 8 главы 1), получим
e
a<xb
где (x)=
2πif(x)
1
−{x}. Первый интеграл есть O(1), поскольку интегриро-
2
b
a
2πif(x)
e
dx − 2πi
=
b
(x)f(x)e
a
2πif(x)
dx + O(1),
вание по частям приводит к оценке
b
2πif(x)
e
a
dx =
где мы пользуемся тем, что f
b
2πif(x)
de
1
2πi
(x) положительна и монотонно возрас-
f(x)
a
1
1
<
Δ
,
α
тает. При нецелых x функция (x) представляется рядом Фурье
∞
sin 2πmx
(x)=
1
π
m=1
m
,
а так как значения (x) в целых точках не влияют на величину интеграла, имеем
∞
b
a
m=1
sin 2πmx
m
f
(x)e
2πif(x)
dx + O(1).
a<xb
2πif(x)
e
= −2i
Докажем возможность почленного интегрирования ряда в правой
части последней формулы. Поскольку функция f
(x)e
2πif(x)
ограни-
чена на отрезке [a, b], достаточно показать, что интеграл
m
dx
b
sin 2πmx
a
m>N
стремится к нулю при N , стремящемся к бесконечности. С одной стороны, прибегая к преобразованию Абеля и пользуясь результатом задачи 3 к §1, при нецелых x получим
N<mM
2πimx
e
m
=
1
M
N<mM
2πimx
e
M
+
N
N<mu
e
2πimx
du
u
1
2
Nx
,
§ 2. Замена тригонометрической суммы более короткой 73
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютна. Отделяя мнимую
часть этого выражения и устремляя M к бесконечности, приходим к
оценке
m>N
sin 2πmx
m
1
Nx
.
С другой стороны, имеем
N
m=1
sin 2πmx
m
=2π
N
x
0
m=1
cos 2πmudu,
причем для подынтегрального выражения при нецелых u справедливо
представление
N
cos 2πmu =Re
m=1
откуда при 0 x
N
sin 2πmx
+ π
m
x
sin π(2N +1)u
0
π(2N +1)x
m=1
+
0
N
2πimu
e
m=1
πi(2N+1)u
e
=Re
1
немедленно получим
2
x
sin π(2N +1)u
=
0
sin u
u
u
du +
=
− e
2i sin πu
1
sin πu
πx
0
πiu
= −
du +
1
−
du − πx = −πx +
πu
sin(2N +1)u
1
sin π(2N +1)u
+
2
2sinπu
1
sin u
,
1
−
du.
u
Поскольку первый интеграл в правой части максимален при верхнем
1
0
находим
2
π
sin u
u
du +
π
2
1
sin u
0
1
−
du,
u
пределе равном π, при 0 x
m
π
+
2
m=1
N
sin 2πmx
причем эта оценка остается справедливой при любых x в силу нечет-
ности и периодичности синуса. Таким образом, частичные суммы ряда
74 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Фурье функции (x) ограничены абсолютной постоянной, а поскольку
этот ряд сходится к ограниченной функции, имеем
sin 2πmx
m>N
m
1.
Собирая вместе полученные оценки, найдем
m
dx
a
b
min1,
1
Nx
dx
√
1
N
= o(1)
b
sin 2πmx
a
m>N
при N, стремящемся к бесконечности, что и доказывает возможность
почленного интегрирования соответствующего ряда. Проводя последнюю оценку, мы разбили отрезок [a, b] на два множества: ε-окрестности целых точек и дополнение к ним, причем ε следует выбирать равным 1/
√
N.
Итак, производя почленное интегрирование, придем к равенству
a<xb
=
m=1
∞
2πif(x)
e
1
m
+ O(1) = −2i
b
f(x)e
a
∞
m=1
2πi(f(x)−mx)
1
m
dx −
b
a
f(x)e
b
f(x)e
a
2πif(x)
sin 2πmxdx =
2πi(f(x)+mx)
dx.
Взяв второй интеграл по частям, получим
b
a
f(x)e
2πi(f(x)+mx)
dx =
1
2πi
b
f(x)+m
a
f(x)
2πi(f(x)+mx)
de
β
β + m
где мы пользовались тем, что дробь под интегралом положительна и
монотонно возрастает. Суммируя результаты по m, найдем
∞
m=1
β
m(β + m)
β
mβ
1
mβ
+ β
m>β
1
ln(β +2).
2
m
Если m>β+Δ, возьмем первый интеграл по частям, что приводит
нас к оценке
b
f(x)e
a
2πi(f(x)−mx)
dx =
1
2πi
b
f(x) − m
a
f(x)
2πi(f(x)−mx)
de
β
m −β
,
,
§ 2. Замена тригонометрической суммы более короткой 75
ибо дробь под интегралом отрицательна и монотонно убывает. Отсюда, выполняя суммирование, имеем
m>β+Δ
β
m(m − β)
β
m>2β
m
1
+ β
2
β+Δ<m2β
1
β(m −β)
ln(β +2).
Наконец, учитывая предыдущую оценку и вновь интегрируя по частям, получаем для интересующей нас суммы выражение
2πif(x)
e
a<xb
+ O(ln(β +2))=
=
α−Δmβ+Δ
m
=
α−Δmβ+Δ
2πim
=
α−Δmβ+Δ
b
1
f(x)e
a
1
b
2πi(f(x)−mx)
e
a
2πi(f(x)−mx)
b
−2πimxde2πif(x)
e
a
dx + O(ln(β +2)),
dx =
=
что и требовалось.
Важным частным случаем доказанной теоремы является утверждение о приближении тригонометрической суммы интегралом.
Следствие (ван дер Корпут). Пусть функции f (x) и ϕ(x) удо-
влетворяют условиям теоремы 4 и, кроме того,
|f
(x)| δ<1
при x ∈ [a, b]. Тогда справедливо равенство
a<xb
ϕ(x)e
2πif(x)
b
ϕ(x)e
2πif(x)
dx + O(H),
=
a
причем постоянная в знаке O зависит только от δ.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 4, выбирая параметр
Δ=
1−δ
.Тогдаβ +Δ
2
1+δ
< 1, α−Δ −
2
1+δ
> −1, значит в правой
2
76 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
части останется единственное слагаемое с n =0, если только α −Δ
0 β +Δ. В противном случае формула также будет справедлива,
поскольку, интегрируя по частям, имеем
b
a
ϕ(x)e
2πif(x)
dx =
ϕ(x)
2πif(x)
−
e
b
ϕ(x)f(x) − ϕ(x)f(x)
a
2πif(x)
2πi(f(x))
b
−
a
2πif(x)
2
e
dx
в силу условий на функции f(x) и ϕ(x).
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы этого параграфа.
Теор е ма 5 . Пусть вещественные функции f(x) и ϕ(x) удовле-
творяют на отрезке [a, b] условиям
(4)
1) f
(x) и ϕ(x) непрерывны;
2) существуют H, A > 0 и U b − a такие, что
(2)
(x) A−1,f
f
ϕ(x) H, ϕ
Тогда, определяя числа x
a<xb
ϕ(x) e
2πif(x)
(3)
πi
4
= e
f(a)nf(b)
ϕ(x
(4)
(x) A−1U−2,
(x) HU−2.
)
n
2πi(f(xn)−nxn)
e
(x) A−1U−1,f
(x) HU−1,ϕ
из уравнения f(xn)=n,имеемравенство
n
c(n)
f(xn)
H
Δ
+ R,
где
−1
R HAU
c(n)=
T (c)=
1,f
1
2
0,f
min(f
+ H ln(f(b) − f(a)+2)+HT(a)+HT(b),
(a) <n<f(b),
,n= f(a),f(b),
(c) ∈ Z,
(c)−1,√A),f(c) /∈ Z,
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютна.
§ 2. Замена тригонометрической суммы более короткой 77
Доказательство. Предположим вначале, что f
(a) и f(b) не яв-
ляются целыми. В этом случае, выбирая в теореме 4 параметр Δ ра-
1
a<xb
, получим
2
ϕ(x)e
2πif(x)
=
f(a)−
1
nf(b)+
2
b
ϕ(x)e
a
1
2
+ O(H ln(f
2πi(f(x)−nx)
(b) − f(a)+2)).
dx +
вным
При [f
(a)] + 1 n [f(b)] применим к интегралам в правой части
теорему 19 главы 1, что приведет нас к равенству
b
ϕ(x)e
a
+ O(H min(|f
где x
определяется из уравнения f(xn)=n. Суммируя полученные
n
2πi(f(x)−nx)
(a) − n|−1,√A)) + O(H min(|f(b) − n|−1,√A)),
dx = e
πi
4
ϕ(xn)
f(xn)
2πi(f(xn)−nxn)
e
+ O(HAU−1)+
соотношения по n, найдем
[f(a)]<n[f(b)]
πi
4
= e
f(a)nf(b)
Если же n =[f
b
2πi(f(x)−nx)
a
ϕ(x)e
ϕ(xn)
dx =
2πi(f(xn)−nxn)
e
+ O(HAU−1)+
f(xn)
+ O(HT(a)+HT(b)) + O(H ln(f
(a)] или n =[f(b)] + 1, то точка xnлежит вне отрезка
(b) − f(a)+2)).
[a, b]. В этом случае, интегрируя по частям и пользуясь условиями на
функции f (x) и ϕ(x), имеем
b
ϕ(x)e
a
b
ϕ(x)(f(x) − n) − ϕ(x)f(x)
1
−
2πi
a
где c = a при n =[f
2πi(f(x)−nx)
2πi(f(x)−nx)
(f(x) − n)
(a)] и c = b при n =[f(b)] + 1. С другой стороны,
2
dx =
ϕ(x)e
2πi(f(x) − n)
2πi(f(x)−nx)
e
b
−
a
dx Hf(c)−1,
предварительно выделяя окрестности концевых точек, подобным же
78 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
образом получим
b
a
ϕ(x)e
= −
2πi(f(x)−nx)
b−√A
1
a+
√
2πi
A
+
(a+√A)−[f(a)] f(a+√A)−f(a)=f(ξ)√A 1/√A всилу
ибо f
dx =
b−√A
a+
√
A
ϕ(x)e
2πi(f(x)−nx)
ϕ(x)(f(x) − n) − ϕ(x)f(x)
(f(x) − n)
2πi(f(x)−nx)
ϕ(x)e
2πi(f(x) − n)
2
b−√A
+ O(H√A) H√A,
√
A
a+
dx + O(H√A)=
2πi(f(x)−nx)
e
dx +
формулы конечных приращений Лагранжа, а в точке b справедлива
аналогичная оценка. Собирая вместе все полученные соотношения,
приходим к искомой формуле.
Пусть теперь f
(a) и (или) f(b) являются целыми числами. В этом
случае доказательство проводится аналогично, но учитывается, что
согласно теореме 19 главы 1 при n = f
(a) и (или) n = f(b) справед-
лива формула
b
a
ϕ(x)e
2πi(f(x)−nx)
dx =
πi
1
2
ϕ(c)
4
e
+ O(HAU
2πi(f(c)−nc)
e
+
f(c)
−1
+ H min(|f(d) − n|−1,√A)),
где c = a, d = b при n = f
(a) и c = b, d = a при n = f(b).
Задачи к §2
1. Доказать, что при фиксированном σ0> 0 в области σ0 σ 2,
2π t πx справедливо равенство
ζ(s)=
nx
n
Указание. Пользоваться теоремой 9 главы 1 и леммой ван дер Корпута, применяя последнюю к суммам с пределами, различающимися
не более чем вдвое, получающимся в результате разбиения исходной
суммы.
1−s
1
x
+
s
s − 1
+ O(x
−σ
).
§ 3. Метод Вейля. Дзета-функция на критической прямой 79
2. (Приближенное функциональное уравнение Харди-Литтлвуда)
Доказать, что при фиксированном σ
> 0 и при σ0 σ 2, x, y 1,
0
2πxy = t справедливо равенство
1
−σ
ζ(s)=
nx
1
−2πiθ(t)
+ e
s
n
2π
2
t
ny
n
1
1−s
+ O(t
1
−σyσ−1
2
+ x−σln t),
где введено обозначение
t
t
t
θ(t)=
2π
ln
2π
−
2π
1
−
.
8
3. Используя приближенное функциональное уравнение Харди-
Литтлвуда, доказать оценку
ζ
1
+ it t
2
1
4
.
§ 3. Метод Вейля. Оценка дзета-функции Римана
на критической прямой
Вейлем был разработан метод оценки полиномиальных тригонометрических сумм, состоящий в последовательном понижении степени многочлена за счет линейной замены переменной суммирования.
Следующая теорема составляет основу метода.
k−1
Теорема 6 (неравенство Вейля). Пусть k 2, K =2
,
где α, α
,...,α
1
неравенство
P
2πif(x)
e
x=1
K−1
k
+ α
+
P −1
r1=1
f(x)=αx
∈ R, α =0. Тогда при любом P 1 имеет место
k−1
K
22KP
KPK−k
+2
k−1
...
k−1
x
+ ...+ α1x,
P −1
min(P, αk!r1...r
r
=1
k−1
k−1
−1).
80 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Доказательство. Не теряя общности, будем считать P натураль-
ным числом. Возводя модуль тригонометрической суммы в квадрат,
имеем
2πif(x)
P −1
r1=1−P
2
x=X
=
X
2
P
x=1
e
1
P
2πi(f(x)−f (y))
e
y=1
2πi(r1αkx
k−1
+...)
P
=
x=1
P −1
r1=1−P
x−1
r1=x−P
X
2
x=X
2πi(f(x)−f (x−r1))
e
2πi(r1αkx
e
1
k−1
+...)
=
,
P
x=1
e
=
где мы произвели линейную замену переменной суммирования y =
= x −r
, при этом X1=max(1,r1+1),аX2=min(P, r1+ P ).Если
1
k =2, то в правой части стоит линейная тригонометрическая сумма.
Оценивая ее с помощью результата задачи 3 к §1, получим
2πif(x)
2
P +2
P −1
min(P, 2αr1−1),
r1=1
P
x=1
e
что и доказывает искомое неравенство в случае k =2.
Если же k 3, то в правой части стоит полиномиальная тригонометрическая сумма, но многочлен уже имеет степень k −1 и старший
коэффициент r
αk. Предположим справедливость оценки Вейля для
1
этой суммы и докажем ее для исходной суммы. Применяя неравенство
Гельдера, найдем
P
x=1
2πif(x)
e
K
(2P )
P −1
×
r2=1
P −1
r1=1−P
P −1
r1=1−P
K
−1
2
...
X
2
1
P −1
P
x=X
K
−1
2
K
2
1
·
+
r1=1−P
2πi(r1αkx
e
P −1
r1=1−P
P −1
=0
r
1
2
min(P, r1αk(k −1)!r2...r
r
=1
k−1
k−1
X
x=X
K
2
P
+...)
e
1
K
2
K
2
2πi(r1αkx
−1
+2
K
2
k−1
K
2
k−1
+...)
K
−k+1
2
P
−1)
×
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]