Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 191
−r − i0 и −R − i0, окружности радиуса R с центром в нуле, проходи-
мой против часовой стрелки, отрезка, проходящего по верхнему берегу разреза и соединяющего точки −R + i0 и −r + i0, четверти окруж-
ности радиуса r с центром в нуле, проходимой по часовой стрелке,
и отрезков, последовательно соединяющих точки ir,
2Q
q
i
и
i
+
2
Q
2Q
Здесь r и R обозначают произвольные достаточно малое и достаточно большое числа, соответственно. Согласно теореме Коши интеграл
по такому контуру равен нулю. Оценим интегралы по участкам контура. Отделяя вещественную часть показателя экспоненты в подынтегральной функции, получим
B(s)=Re
π
12qs
+
2πνs
q
=
πσ
12q|s|
2πνσ
+
2
.
q
.
Поскольку величина B(s) на четвертях окружности радиуса r неположительна, интегралы по этим участкам контура суть O(r
3/2
),то
есть стремятся к нулю при r, стремящемся к нулю. Далее, интегралы по отрезкам мнимой оси, рассматриваемые как функции параметра r, непрерывны в нуле, ибо подынтегральная функция, будучи доопределенной нулем в начале координат, непрерывна на мнимой оси.
При нулевом r интегралы по этим участкам контура оцениваются как
−3/2
O(Q
нец, на горизонтальных отрезках, соединяющих концы L
осью, B(s) не превосходит
), поскольку на мнимой оси величина B(s) равна нулю. Нако-
с мнимой
π
2πν
+
. Таким образом, устремляя r к
2
3
Q
q
нулю, имеем
где Γ
√
π
2πνs
+
12qs
se
L
q
обозначает контур, состоящий из отрезка, проходящего по
R
q
ds =
√
π
2πνs
+
12qs
se
Γ
R
q
ds + O(e
2πn
Q
3
−
2
2
Q
),
верхнему берегу разреза от нуля до точки −R + i0, окружности ра-
диуса R с центром в нуле, проходимой по часовой стрелке, и отрезка,
проходящего по нижнему берегу разреза от точки −R − i0 до нуля.
Доопределение подынтегральной функции нулем в начале координат
позволяет рассматривать интеграл по Γ
2πνs/q
функцию e
√
π
12qs
se
L
q
в ряд Тейлора с центром в нуле, получим
+
2πνs
q
ds =
∞
m=0
1
m!
2πν
q
как собственный. Разлагая
R
m
π
1
m+
12qs
e
Γ
R
s
2
ds + O(e
2πn
Q
3
−
2
2
Q
).
192 Глава 4. Круговой метод
Перемена порядка суммирования и интегрирования оправдана равномерной сходимостью ряда Тейлора на контуре Γ
стью функции
√
se
π
12qs
на том же контуре.
и ограниченно-
R
Рассмотрим теперь функцию
π
G(w)=
комплексной переменной w,гдеe
координат, а s
= e
. Подынтегральная функция непрерывна как
w
w ln s
функция двух переменных при s из Γ
ме того, при любом s, лежащем на контуре Γ
12qs
e
Γ
swds
R
π
12qs
доопределена нулем в начале
и любом комплексном w.Кро-
R
, она аналитична по
R
w во всей плоскости. Следовательно, функция G(w) является целой.
Заметим, что значение G(w) не зависит от R, в чем легко убедиться с помощью теоремы Коши. Далее, пусть w — вещественное число,
w+1
меньшее −1. Интеграл по окружности радиуса R есть O(R
),азна-
чит, он стремится к нулю с ростом R. Записывая явно интегралы по
берегам разреза и устремляя R к бесконечности, находим
∞
π
−
12qx
e
G(w)=−2i sin πw
0
где мы сделали замену переменной y =
xwdx =
= −2isin πw
w+1
π
12q
π
. Пользуясь интеграль-
12qx
∞
e−yy
0
−w−2
dy,
ным представлением гамма-функции Эйлера, при вещественных w,
меньших −1, получаем
w+1
G(w)=−2i sin πw
π
12q
Γ(−w − 1).
Функция в правой части последнего равенства тоже является целой,
ведь полюсы гамма-функции гасятся нулями функции sin πw. Таким
образом, в силу теоремы единственности это равенство будет выполнено при любом комплексном w.
Возвращаясь к выражению для интеграла по отрезку L
дим, что в нем участвует значение функции G(w) в точке m +
,мыви-
q
1
.Вы-
2
числим его, пользуясь формулой понижения для гамма-функции и
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 193
1
тем, что Γ(
Gm +
) есть√π. Имеем
2
1
2
=
−2i(−1)
−m −
3
2
m
π
12q
−m −
m+
1
2
3
2
...−
3
m+
π
2
6q
,
=
√
−2i
2π
(2m +3)!!
1
Γ
2
1
2
где, как и прежде, (2m +3)!!=3· 5 ·7 · ...· (2m +3). Учитывая, что
ν = n −
1
, и пользуясь полученным ранее разложением для входя-
24
щей в формулу Радемахера производной, найдем
∞
m=0
1
m!
2πν
q
m
Gm +
1
= −
2
= −
(3q)
π√2
2iπ
iq
∞
2
m=0
d
sh
m +1
(2m +3)!
π
q
3
2
3
2
dx
2
3
x −
x −
Собирая вместе полученные соотношения и оценивая величину A
m
2
2π
ν
=
2
3q
1
24
.
1
24
x=n
q
(n)
в остаточном члене тривиально, а затем учитывая оценку интеграла
по малым дугам, имеем
1
24
x=n
+ O(e
2πn
Q
1
−
2
2
Q
),
p(n)=
1
π√2
qQ
Aq(n)√q
dx
sh
d
π
2
x −
q
3
x −
1
24
и доказательство завершается переходом к пределу при Q →∞.
Теперь извлечем из формулы Радемахера конкретную информа-
цию об асимптотическом поведении функции разбиений.
Следствие. Имеет место асимптотическая формула
p(n)=
√
π
e
4n√3
2n
3
1+O
1
√
.
n
Доказательство. Пусть α — фиксированное положительное чис-
ло. Разобьем сумму по q в формуле Радемахера на две: в первую из
них войдут слагаемые с q α
√
n, а во вторую — все остальные. Как
и выше, разлагая гиперболический синус в ряд Тейлора и выполняя
194 Глава 4. Круговой метод
√
почленное дифференцирование, при q>α
d
dx
sh
π
2
x −
q
3
x −
1
24
=
24
2π
3q
1
=
x=n
3
∞
2
2
m +1
2
m=0
(2m +3)!
n получим
2
2π
2
3q
n −
24
m
1
q−3.
Отметим, что как в этой, так и в следующих оценках постоянные в
знаках Виноградова зависят от α. Итак, оценивая A
(n) тривиально,
q
то есть величиной q, для соответствующей суммы находим
1
24
x=n
q>α√n
3
−
2
q
n
1
−
4
.
q>α√n
Aq(n)√q
d
dx
sh
π
2
x −
q
3
x −
1
24
Последнюю оценку можно вывести и непосредственно из формулы,
приближающей p(n) частичной суммой ряда Радемахера с явной оценкой остаточного члена, которая была получена в ходе доказательства
теоремы 7.
Поскольку гиперболический синус является полуразностью двух
экспонент, сумма по q α
√
n распадается на две. Выполняя диффе-
ренцирование во второй из этих сумм, имеем
1
x−
(
)
24
1
24
x=n
qα√n
3
2
q
(n−1q−1+ n
−
3
2
) n
1
−
4
qα√n
Aq(n)√q
dx
π
2
−
q
3
e
d
x −
.
Подставляя полученные оценки в формулу Радемахера, приходим к
формуле Харди-Рамануджана
1
x−
(
)
24
+ O(n
1
24
x=n
1
−
4
),
p(n)=
1
2π√2
qα√n
Aq(n)√q
d
dx
π
2
q
3
e
x −
где постоянная в знаке O, разумеется, зависит от α.
Теперь выделим в формуле Харди-Рамануджана первый член и
оценим сверху остальные. Поскольку сумма A
(n) равна единице, вы-
1
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера 195
полняя дифференцирование, получаем для первого члена выражение
1
2π√2
d
dx
2
π
(
3
e
x −
x−
1
)
24
1
24
x=n
π
e
=
4√3n −
√
π
e
=
4n√3
2
n−
(
3
2n
3
1+O
1 −
√
1
π√2
n
√
3
n −
24
.
1
)
24
1
24
1
−
2
1
=
Оценивая сверху последующие члены, найдем
2qα√n
Aq(n)√q
π
2
e
π
2
q
3
e
d
dx
2
n−
(
3
1
)
24
2qα√n
x −
x−
(
1
)
24
1
24
q
x=n
3
2
(n−1q−1+ n
−
3
2
) n
√
1
π
−
2n
4
2
3
e
.
Подстановка полученных соотношений в формулу Харди-Рамануджана приводит нас к искомой асимптотической формуле и завершает
доказательство.
Задачи к §2
1. Пусть pd(n) и po(n) — количества разбиений натурального n с
различными частями и с нечетными частями, соответственно. Доказать, что p
(n)=po(n). Указание. Действуя по аналогии с доказатель-
d
ством теоремы 6, получить представления соответствующих производящих рядов в виде бесконечных произведений и доказать их совпадение между собой.
2. Доказать, что значение функции p
(n), определяемой как число
3
разбиений натурального n с частями, не превосходящими трех, есть
2
ближайшее к (n +3)
/12 целое число. Указание. Вычислить коэффи-
циенты Тейлора соответствующей производящей функции непосредственно, разложив ее в сумму простейших дробей.
3. Показать, что
p(n) e
√
2n
π
3
.
196 Глава 4. Круговой метод
Указание. При 0 <t<1 оценить сверху функцию ln F (t),разлагаяее
врядпостепенямt. Затем оценить функцию F (t) снизу произволь-
ным членом ее степенного ряда, параметр t выбрать оптимальным
образом.
4. Доказать асимптотическую формулу следствия теоремы 7 непосредственно, взяв в качестве больших дуг один-единственный интервал, отвечающий случаю q =1. Указание. Повторить доказатель-
ство теоремы 7, выбирая параметры σ
гая в теореме Дирихле τ равным [1/
= −1/2, t0=1/√96ν, и пола-
0
√
t0].
§ 3. Аддитивные задачи с простыми числами.
Проблемы Гольдбаха
В 1923 году Харди и Литтлвуд с помощью разработанного ими
кругового метода смогли приподнять завесу тайны, окутывавшей так
называемую тернарную проблему Гольдбаха. Эта проблема, поставленная в 1742 году в переписке Гольдбаха с Эйлером, состоит в доказательстве представимости любого достаточно большого нечетного
числа суммой трех простых чисел, в связи с чем она и получила свое
название. Харди и Литтлвуд решили тернарную проблему Гольдбаха,
приняв справедливость аналога гипотезы Римана для L-функций Ди-
рихле. Впоследствии Виноградов ввел в круговой метод ряд важных
усовершенствований, в частности, заменил бесконечные производящие ряды конечными тригонометрическими суммами. В этом случае
место формул Коши занимает тривиальное равенство
dα =
1,n=0,
0,n=0,
1
2πiαn
e
0
справедливое для любого целого n. Однако ключевым моментом, ко-
торый позволил Виноградову в 1937 году найти безусловное решение
тернарной проблемы Гольдбаха, явилась полученная им оценка линейных тригонометрических сумм с простыми числами (см. теорему
3 главы 3).
Нам понадобится асимптотический закон распределения простых
чисел в арифметических прогрессиях.
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 197
A
Теорема (Зигель, Вальфиш). Пусть (q, l)=1, q ln
x, A —
фиксированное положительное число. Тогда имеет место асимптотическая формула
π(x; q, l)=
1
ϕ(q)
x
du
+ Oxe
ln u
2
−c√ln x
.
Доказательство этой теоремы проводится методом комплексного
интегрирования (см. §5 главы 1), однако требует привлечения теории
характеров и L-функций Дирихле, а потому выходит за рамки настоящей книги.
Теорема 8 (Виноградов). Для числа решений J (N ) уравнения
p
+ p2+ p3= N справедлива асимптотическая формула
1
J(N )=σ(N )
2
N
2ln3N
+ O
N
ln4N
2
,
где
σ(N )=
p|N
1 −
(p − 1)
1
pN
1+
(p − 1)
2
1
,
3
причем σ(N ) > 1 при нечетном N, так что любое достаточно большое нечетное число представимо суммой трех простых чисел.
При четном N, как нетрудно убедиться, σ(N) обращается в нуль,
следовательно, в этом случае теорема Виноградова не позволяет сделать заключение о представимости N суммой трех простых чисел.
Доказательство. Используя приведенное выше соотношение ортогональности, представим искомое число решений в виде интеграла
J(N )=
p1,p2,p3N
1
2πiα(p1+p2+p3−N)
e
0
dα =
0
1
S3(α)e
−2πiαN
dα,
где введено обозначение
2πiαp
S(α)=
e
pN
198 Глава 4. Круговой метод
для линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Пусть
A и B — некоторые фиксированные положительные числа. Введем па-
−A
раметры τ = NL
и Q = LB, обозначая для краткости ln N через L.
В силу периодичности подынтегральной функции с периодом 1 имеем
1
1+
J(N )=
1
τ
τ
S3(α)e
−2πiαN
dα.
Как и прежде, разобьем отрезок интегрирования на два множества
— большие и малые дуги, обозначая их через E
Первое из них, множество E
h
1
h
валов (
−
q
qτ
1
,
+
) с q Q и (h, q)=1. При этом мы считаем, что
q
qτ
, мы определим как объединение интер-
1
и E2, соответственно.
1
1 h q, так как только при таких значениях h указанные интер-
валы целиком лежат внутри отрезка интегрирования, более того, при
прочих значениях h они вовсе не пересекаются с ним. Именно с учетом
этих обстоятельств и был сделан сдвиг отрезка интегрирования на
Второе из множеств, E
деть, что интервалы, составляющие множество E
, разумеется, будет дополнением E1. Легко ви-
2
, не пересекаются.
1
Действительно, сумма их полудлин равна
1
1
2Q
qqτ
qτ
+
qτ
а расстояние между их серединами для различных пар (h, q) и (h
есть
ибо hq
h
− hq — целое число, отличное от нуля в силу условий взаимной
h
−
q
q
− hq|
|hq
=
qq
1
<
,
qq
,q
1
qq
,
простоты. Таким образом, для интеграла по большим дугам находим
(N)=
J
1
E
1
S3(α)e
−2πiαN
=
qQ
dα =
h=1
(h,q)=1
q
qτ
−
qτ
h
3
+ ze
S
1
q
−2πi
(
h
+z)N
q
dz.
1
1
.
τ
)
Рассмотрим интеграл по малым дугам. Оценивая его, вынесем изпод знака интеграла максимум модуля суммы S(α) на множестве E
,
2
§ 3. Задачи с простыми числами. Проблемы Гольдбаха 199
а оставшийся интеграл от квадрата модуля упомянутой суммы распространим на весь отрезок. Имеем
E
2
S3(α)e
−2πiαN
Согласно задаче 1 к §3 главы 2 для любого α из отрезка [
dα
max
α∈E
|S(α)|
2
1
τ
1+
1
τ
|S(α)|2dα.
1
, 1+
τ
1
] най-
τ
дутся натуральное q, не превосходящее τ , и целое h, взаимно простое
с q, такие, что α представляется в виде
h
+ z,
α =
q
где |z| <
1
. Если при этом α принадлежит множеству E2,томожно
qτ
заключить, что q>Q. Действительно, вспоминая сказанное в преды-
дущем абзаце, мы видим, что в противном случае α должно либо принадлежать множеству E
интегрирования. Таким образом, для любого α из множества E
, либо вообще лежать за пределами отрезка
1
2
существует рациональное приближение, знаменатель которого удовлетворяет неравенствам Q<q τ. Теперь применение теоремы 3 главы
3 приводит нас к оценке
max
|S(α)|NL
α∈E
2
2
1
τ
+
N
+ e
Q
√
1
−
L
2
NL
A
−
+2
2
+ NL
B
−
+2
2
.
Интеграл же от квадрата модуля суммы S(α) по всему отрезку вы-
числяется точно и равен π(N ). Нужно лишь поменять порядок суммирования и интегрирования и воспользоваться соотношением ортогональности. Итак, оценивая π(N) сверху, получим
J(N )=J
(N)+O(N2L
1
A
−
+1
2
+ N2L
B
−
+1
2
).
Отметим, что такая комбинация нетривиальной оценки одной из сумм
и точного вычисления интеграла от оставшихся двух, которая и позволила достаточно хорошо оценить интеграл по малым дугам, оказалась
возможной благодаря тернарности задачи.
Выведем асимптотическую формулу для суммы S(α) на больших
дугах, то есть, фактически, в окрестности рациональной дроби с малым знаменателем. Группируя слагаемые по арифметическим про-
200 Глава 4. Круговой метод
грессиям с разностью q, находим
S
h
+ z=
q
=
q
l=1
p≡l(mod q)
q
l=1
(l,q)=1
pN
2πi
e
2πi
e
hl
q
pN
p≡l(mod q)
hp
2πizp
q
e
=
2πizp
e
+ O(q),
ибо если q и l имеют нетривиальный общий делитель, то в соответствующей арифметической прогрессии лежит не более одного простого числа. Применяя к внутренней сумме преобразование Абеля (см.
теорему 5 главы 1), получим
pN
p≡l(mod q)
2πizp
e
=
2nN
π(n; q, l) − π(n −1; q, l)e
= π(N; q, l)e
2πizN
− 2πiz
N
π([x]; q, l)e
2
2πizn
=
2πizx
dx.
√
Отсюда, пользуясь теоремой Зигеля-Вальфиша при
N x N и
тривиальными оценками при оставшихся значениях x, а также учи-
1
2πizp
−
qτ
=
2πiz
ϕ(q)
, имеем
2πizN
e
ϕ(q)
2
N
du
−
ln u
2
N
2
[x]
du
ln u
2πizx
dx + ON2τ−1e
e
−c
√
L
2
.
тывая, что |z|
e
pN
p≡l(mod q)
Совершая обратное преобразование Абеля и пользуясь выбором параметра τ , находим
pN
p≡l(mod q)
2πizp
e
=
=
1
ϕ(q)
1
ϕ(q)
2<nN
2<nN
2πizn
e
2πizn
e
ln n
n
du
ln u
n−1
+ ONe
+ ONe
√
−c
L
3
√
−c
L
3
=
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]