Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 3. Метод Вейля. Дзета-функция на критической прямой 81
поскольку сумма от X
до некоторого P
до X2линейной заменой сводится к сумме от 1
1
, не превосходящего P . Доказательство завершается
раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.
Тригонометрические суммы с достаточно гладкой функцией в показателе мнимой экспоненты могут быть приближены суммами Вей-
ля, то есть полиномиальными, так что метод Вейля дает оценки и
для таких сумм. В частности, его применение позволяет существенно уточнить оценку модуля дзета-функции Римана на критической
прямой.
Теорема 7 (Вейль). Справедлива оценка
ζ
1
+ it t
2
3
1
2
6
ln
t.
Доказательство. В силу приближенного функционального уравнения Харди-Литтлвуда (см. задачу 2 к §2), полагая x и y равными
t/2π, на критической прямой имеем оценку
1
ζ
+ it
2
Разобьем полученную сумму на две части: по n 10t
<n
t/2π. Оценивая первую подсумму тривиально, то есть суммой
модулей слагаемых, найдем
1
+ it
ζ
2
√
t
n
2π
√
3
10
t<n
1
1
+it
2
n
√
n
t
2π
1
−
4
ln t.
+ t
1/3
ипо10t
+ t
1
6
.
1
1
+it
2
1/3
Теперь разобьем сумму в правой части на O(ln t) сумм по N<n N
где N
2N и 10t
1
по модулю. Это приводит нас к оценке
1
+ it ln t
ζ
2
где мы совершили преобразование Абеля, при этом N
1/3
N t/2π, и выберем среди них наибольшую
N<nN
1
1
+it
2
n
1
1
6
+ t
ln t
√
N
N<nN
−it
n
2
N1таково,
2
+ t
1
6
,
что модуль суммы в правой части максимален. Полученная тригонометрическая сумма с логарифмической функцией в показателе мнимой экспоненты называется дзетовой суммой, ее мы и должны сейчас
оценить.
<
,
1
82 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
−1/3
Полагая M =[Nt
] 10, разобьем рассматриваемую сумму на
подсуммы, каждая из которых (кроме, быть может, последней) содержит ровно M слагаемых. Количество получившихся сумм не превосходит величины L =[N/M ]+1, поэтому
N<nN
причем M
−it
n
2
M , а распространив внешнюю сумму до L − 1 мы лишь
1
M
L−1
l=0
n=1
1
e
−it ln(N +Ml+n)
M
L−1
=
l=0
n=1
1
−it ln(1+
e
n
N+Ml
)
огрубляем оценку. Теперь приблизим функцию в показателе мнимой
экспоненты многочленом Тейлора второй степени. Отметим, что в исходной сумме из-за широты диапазона изменения n мы не смогли бы
обеспечить при этом достаточную точность приближения. Вводя для
остаточного члена обозначение
R(x)=ln1+
x
N + Ml
−
N + Ml
x
+
2
x
2(N + Ml)
2
и совершая преобразование Абеля, получим
n
N+Ml
,
где M
M
n=1
2
e
it
2
n
2(N+Ml)
−
2
M
1
e
n=1
M1таково, что модуль суммы в правой части максимален.
2
it
2
n
2(N+Ml)
2
−
n
N+Ml
−itR(n)
e
Здесь мы существенно пользовались тем, что на отрезке [0,M] справедлива оценка
−itR(x)
e
= −itR(x) e
−itR(x)
tM
N
2
1
.
3
M
Применяя к получившейся квадратичной сумме неравенство Вейля с
k =2, имеем
M
n=1
2
e
it
2
n
2(N+Ml)
2
−
n
N+Ml
M +
M
r=1
minM,
tr
2π(N + Ml)
−1
,
2
,
откуда, собирая вместе все полученные оценки, найдем
N<nN
√
−it
n
2
L
M +
L−1
l=0
M
r=1
minM,
tr
2π(N + Ml)
−1
.
2
§ 3. Метод Вейля. Дзета-функция на критической прямой 83
Сумму минимумов по r, вообще говоря, нельзя оценить нетривиально, поэтому следует поменять порядок суммирования и попытаться оценить сумму минимумов по l. Применяя неравенство Коши, по-
лучим
M +
M
L−1
L
r=1
minM,
l=0
tr
2π(N + Ml)
−1
.
2
N<nN
√
−it
L
n
2
Выражение под знаком расстояния до ближайшего целого положительно и монотонно убывает с ростом l, а разность двух последовательных его значений имеет вид
tr
2π(N + Ml)
−
2
2π(N + M (l +1))
tr
trM (2N + M(2l +1))
=
2π(N + Ml)2(N + M(l +1))
=
2
trM
2
N
r
M
.
2
3
Итак, все эти значения принадлежат некоторому промежутку длины
2
O(rL/M
значит указанный промежуток можно покрыть O(rL/M
ками длины
). В силу условий на параметры M, L и N имеем rL/M2 1,
2
1
, имеющими целые и полуцелые точки в качестве кон-
2
) промежут-
цевых. Отвечающая каждому из этих промежутков часть суммы минимумов оценится как
M +
k
2
M
M +
rk
2
M
r
M
r
2
ln M
M
2
ln t,
r
где добавление первого слагаемого учитывает, что одно из значений
может оказаться близким к целому числу. Здесь существенно используется тот факт, что последовательные значения рассматриваемого
2
выражения отделены друг от друга величиной порядка r/M
. Далее,
суммируя по всем промежуткам и пользуясь выбором параметров L
и M , находим
N<nN
и доказательство завершается подстановкой полученной оценки в неравенство для ζ
1
2
+ it.
√
−it
n
2
L
M lnt t
1
6
√
N lnt,
84 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Один из последних результатов — показатель при t равен
32
205
получен Хаксли в 2005 году, в то же время гипотеза Линделефа утверждает, что этот показатель может быть взят сколь угодно малым.
Задачи к §3
1. (Теорема Дирихле ) Доказать, что для любых α ∈ R и τ ∈ N су-
ществуют h ∈ Z и q ∈ N такие, что (h, q)=1, q τ и
θ
h
+
α =
q
qτ
,
—
где |θ| < 1. Указание. Рассмотреть τ +1 чисел {αn},гдеn =0,...,τ,
n
лежащих на τ промежутках [
2. Пусть k 2, K =2
α, α
,...,α
1
∈ R, α =0, причем для α справедливо рациональное
k−1
k−1
n+1
,
),гдеn =0,...,τ − 1.
τ
τ
, f (x)=αxk+ α
k−1
k−1
x
+ ...+ α1x,где
приближение
θ
h
α =
+
2
q
q
с (h, q)=1и |θ| < 1.
а) При k =2доказать оценку
P
x=1
2πif(x)
e
P
√
q
√
+
q
ln q ;
б) при k 3 доказать оценку
P
x=1
2πif(x)
e
Pq
1
−
K
+ P
1−
1
1−
K
+ P
k
1
K
ε
K
q
;
P
в) при k 3 доказать оценку
P
x=1
2πif(x)
e
Pq
1
−
2K
+ P
1−
2K
1
1−
+ P
2K
2K
K
1
8
P.
ln
k
q
Указание. Пользоваться теоремой 6, причем сумму минимумов преобразовать в однократную, в конечном итоге разбив ее на подсуммы
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса 85
длины q. В пункте б) пользоваться задачей 1,е) к §1 главы 1, а в пунк-
те в) применить неравенство Коши и воспользоваться задачами 1,д)
к §1 главы 1 и 1,б) к §6 главы 1.
3. Доказать, что для равномерности распределения дробных долей
функции f (x) достаточно, чтобы при любом натуральном h дробные
доли ее конечной разности f(x + h) − f(x) были распределены равномерно.
4. Доказать, что дробные доли α
xk+α
k
k−1
k−1
x
+...+α1x распре-
делены равномерно в том и только в том случае, если хотя бы один
из коэффициентов α
,...,αkиррационален.
1
5. Доказать оценку
ζ
7
+ it t
8
9
1
8
40
ln
t.
Указание. Действовать аналогично доказательству теоремы 7, взяв
k =3или k =4в зависимости от N.
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса
Весьма общий метод оценки тригонометрических сумм с функцией, имеющей непрерывную k-ую производную, был предложен ван дер
Корпутом. В его основе лежит следующая теорема, которая напоминает неравенство Вейля для k =2, но является более гибкой за счет
наличия параметра q, который можно варьировать.
Теорема 8 (неравенство ван дер Корпута). Пусть f(x) —
вещественная функция, q — натуральное число, не превосходящее
b − a. Тогда имеет место неравенство
где g
a<xb
r
2πif(x)
e
(x)=f(x + r) −f (x).
2(b − a)
√
4(b −a)
+
q
q
q−1
r=1
a<xb−r
2πigr(x)
e
,
Доказательство. Преобразуем интересующую нас сумму в двойную, выполняя сдвиг переменной суммирования и затем осредняя по
86 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
этому сдвигу. Имеем
q
a<xb
2πif(x)
e
1
=
q
1
=
q
y=1
a−q<xb−1
a−y<xb−y
y=1
e
q
χx(y)e
2πif(x+y)
2πif(x+y)
=
,
где через χ
(y) обозначена характеристическая функция полуинтер-
x
вала (a −x, b −x]. Применяя неравенство Коши и пользуясь условием
на параметр q, найдем
a<xb
2πif(x)
e
2
2(b − a)
2
q
a−q<xb−1
q
y=1
χx(y)e
2πif(x+y)
2
.
Раскрывая квадрат модуля внутренней суммы, получим
q
y=1
χx(y)e
2πif(x+y)
причем в силу определения функции χ
χx(y + r)χx(y)e
a−q<xb−1
q
2
=
y=1
=
a−y<xb−y−r
2
χ
(y)+
x
+2Re
2πigr(x+y)
q−r
q−1
χx(y + r)χx(y)e
r=1
y=1
(y) справедливо равенство
x
=
2πigr(x+y)
e
=
a<xb−r
2πigr(x+y)
2πigr(x)
e
,
.
Собирая вместе все полученные соотношения, находим
a<xb
2πif(x)
e
2
4(b − a)
q(b − a)+
2
q
q−1
r=1
(q − r)
a<xb−r
e
2πig(n)
,
откуда, слегка огрубляя оценку и извлекая квадратный корень, получим требуемое.
Теперь, опираясь на неравенство ван дер Корпута, докажем следу-
ющую теорему, являющуюся центральной в методе ван дер Корпута.
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса 87
k−1
Теорема 9 (ван дер Корпут). Пусть k 2, K =2
, f (x) —
вещественная функция, имеющая на отрезке [a, b] непрерывную k-ую
производную, причем на этом отрезке имеют место неравенства
k
f
(k)
(x) hλk,
0 <λ
и, кроме того, пусть b −a 1. Тогда справедлива оценка
a<xb
2πif(x)
e
h
2
K
(b −a)λ
1
2K−2
k
+(b − a)
1−
1
2
−
2K−2
K
λ
,
k
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютна.
Перед применением теоремы ван дер Корпута сумму обычно разбивают на подсуммы по промежуткам, концы которых различаются
в два раза. В этом случае, как правило, k-ая производная имеет один
и тот же порядок на всем промежутке, поэтому можно считать, что
h 1. Предположение b −a 1 отсекает тривиальный случай суммы
с одним слагаемым.
Доказательство. Рассмотрим вначале случай k =2.Еслиλ
то утверждение теоремы тривиально. Если же 0 <λ
f(a)−
1
, что приводит нас к соотношению
2
a
1
2
b
2πi(f(x)−nx)
e
1
nf(b)+
2
теорему 4, полагая Δ=
2πif(x)
e
a<xb
=
+ O (ln(f
< 1, применим
2
dx +
(b) − f(a)+2)).
2
1,
Рассмотрим интеграл в правой части последнего равенства. Вторая
производная функции в показателе больше λ
. Следовательно, ее пер-
2
вая производная на отрезке [a, b] строго возрастает, то есть обращается
в нуль не более одного раза. Разобьем отрезок [a, b] на промежутки
M
1,M2,M3
разом: в M
M
— те значения x, для которых f(x) − n>√λ2;вM2войдут те
3
значения x, для которых |f
(некоторые из них могут быть и пустыми) следующим об-
войдут те значения x, для которых f(x) − n<−√λ2;в
1
(x) − n| √λ2. Легко видеть, что
M
2πi(f(x)−nx)
e
2
dx
l(M
) 2λ
2
1
−
2
,
2
88 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
где l(M
) обозначает длину промежутка M2, ибо в силу формулы ко-
2
нечных приращений Лагранжа
λ2 f(ξ)l(M2) >λ2l(M2).
2
Интегралы по промежуткам M
и M3нетрудно оценить, интегрируя
1
по частям. Например, имеем
dx
1
=
2π
de
M
3
2πi(f(x)−nx)
f(x) − n
λ
−
2
1
2
,
(x) − n.
2πi(f(x)−nx)
e
M
3
где мы существенно пользовались монотонностью функции f
Собирая вместе полученные оценки, находим
a<xb
2πif(x)
e
(f(b) − f(a)+2)λ
1
−
2
+ln(f(b) − f(a)+2).
2
Остается лишь заметить, что второе слагаемое в правой части всегда
меньше первого, ибо ln x x,аλ
приращений Лагранжа f
(b) − f(a)=f(ξ)(b −a) hλ2(b − a).
Пусть k 3. При этом можно считать 0 <λ
< 1, и согласно формуле конечных
2
< 1, так как в про-
k
тивном случае утверждение теоремы тривиально. Возьмем некоторое
натуральное число q, не превосходящее b −a, и применим к рассмат-
риваемой тригонометрической сумме неравенство ван дер Корпута.
При a x b − r имеем
rλ
k
g
(x) hrλk,
r
(k−1)
ибо в силу формулы конечных приращений Лагранжа
(k−1)
g
r
(x)=f
(k−1)
(x + r) − f
(k−1)
(x)=rf
(k)
(ξ),
где x ξ x + r. Пусть оценка ван дер Корпута по (k −1)-ой производной доказана. Тогда при r b −a − 1 справедливо неравенство
a<xb−r
2πigr(x)
e
Ah
4
K
(b − a)(rλk)
1
K−2
+(b − a)
1−
4
K
(rλk)
1
−
K−2
где A — некоторая постоянная, которую можно считать большей ста.
,
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса 89
Суммируя полученные соотношения по r, найдем
q−1
r=1
a<xb−r
2πigr(x)
e
2Ah
4
K
(b − a) q
1
1+
K−2
+(b − a)
λ
1−
K−2
k
1
+
1
4
1−
K−2
K
q
1
−
K−2
λ
,
k
откуда, возвращаясь к неравенству ван дер Корпута, имеем
2πif(x)
2πif(x)
2(b − a)
√
2(b −a)λ
−
k
1
K−1
q
> (b − a)
+4
2K−2
k
√
2
K
Ah
(b − a)(qλk)
+(b − a)
1
−
K−1
]+1, получим
k
1
+8√Ah
2
K
(b − a)λ
√
+4
4
K
утверждение теоремы тривиально,
1
2K−4
2
1−
K
1
2K−2
k
A(b − a)
+
(qλk)
+
1−
K
1
−
2K−4
.
1
2
−
2K−2
λ
.
k
e
a<xb
Наконец, выбирая параметр q =[λ
e
a<xb
Поскольку при 2λ
условие q b −a можно считать выполненным. Для завершения доказательства теперь достаточно заметить, что так как A больше ста,
то 2+8
√
A будет меньше A.
Метод ван дер Корпута широко применяется при оценке тригонометрических сумм. Одной из задач, в которой его применение приводит к существенному усилению результата, является проблема Гаусса
о числе целых точек в круге. Пусть K(R) обозначает количество точек
с целыми координатами, лежащими в круге радиуса
√
R, то есть
K(R)=
n,m∈Z
2+m2
n
1.
R
Асимптотическое значение величины K(R) при R, стремящемся к бесконечности, есть площадь круга πR, а задача получения возможно
лучшей оценки остатка известна как проблема Гаусса.
90 Глава 2. Метод тригонометрических сумм
Теорема 10 (ван дер Корпут). Справедлива асимптотическая
формула
K(R)=πR + O(R
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию 0 <x
R/2, 0 <y√R − x2. Весь круг x2+ y2 R состоит из восьми
подобных трапеций. Учитывая пересечения этих областей по квадратам со стороной
R/2 и целые точки, лежащие на осях координат,
1
1
−
3
246
ln R).
имеем
2
R
=4√R + O(1) +
2
R
.
2
K(R)=1+4[
+8
x√R/2
√
R ]+8
R − x2− 8
[R − x2] − 4
x√R/2
{R − x2}−2R +4√2R
x√R/2
Пользуясь формулой суммирования Эйлера (см. теорему 8 главы 1),
вычислим первую сумму в правой части, что приведет нас к соотношению
x√R/2
R − x2=
√
R
−
2
+ σ
√
R/2
R − x2dx +
0
R
2
πR
+
=
8
√
R/2
+
0
R
1
R
+
4
2
2
σ(x)
−
d
dx
√
R
2
1
−
2
2
R − x2dx =
2
−
R
2
R
2
R
+ O(1).
2
R
−
2
Здесь мы пользовались тем, что первый интеграл равен площади рассматриваемой криволинейной трапеции, функция
|σ(x)|
1
. Подставляя полученное равенство в формулу для K (R),
8
√
R − x2вогнута, а
находим
K(R)=πR +2
√
2R − 8
{R − x2} + O(1),
x√R/2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]