Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы аналитической теории чисел
.pdf
§ 4. Решето с весом. Бинарная проблема Гольдбаха 161
2. Пользуясь решетом Бруна и теоремой Бомбьери-Виноградова,
доказать, что существует бесконечно много простых чисел p таких,
что как p +2, так и p +6имеют не более пятнадцати простых сомно-
жителей (с учетом кратности). Указание. Пользоваться тем, что для
любого d ∈ D
имеем ν(d) 2b − 1 и, следовательно, 2
1
ν(d)
lncz.
3. Пользуясь решетом Бруна с весом Куна, доказать, что
а) существует бесконечно много чисел n таких, что произведение
n(n +2) имеет не более семи простых сомножителей (с учетом крат-
ности);
б) каждое достаточно большое четное число представимо суммой
двух чисел, произведение которых имеет не более семи простых сомножителей (с учетом кратности).
Указание. Выбрать следующие параметры весовой функции: z =
= x
0.034
, y = x
0.51
, k =6. Параметры решета Бруна следует взять та-
кими: Λ=0.152, λ =0.151, r =1. Учет кратности производится так
же, как в доказательстве теоремы 11.
4. Пользуясь решетом Бруна с весом Куна и теоремой Бомбьери-
Виноградова, доказать, что
а) существует бесконечно много простых чисел p таких, что p +2
имеет самое большее четыре простых сомножителя (с учетом кратности);
б) каждое достаточно большое четное число представимо суммой
простого числа и числа, имеющего не более четырех простых сомножителей (с учетом кратности).
Указание. Выбрать следующие параметры весовой функции: z =
= x
0.022
, y = x
0.33
, k =3. Параметры решета Бруна следует взять та-
кими: Λ=0.304, λ =0.302, r =1. Пользоваться тем, что если число,
не превосходящее x, имеет хотя бы один простой делитель из промежутка (z, y], то оно не может иметь более двух простых делителей,
больших y.
5. (Проблема делителей Титчмарша) Показать, что
τ(p − 1) =
px
ζ(2)ζ(3)
ζ(6)
x + O
x ln ln x
ln x
.
Указание. Дополнить решение задачи 3 к §3 применением теоремы
Бомбьери-Виноградова.
162 Глава 3. Метод решета
6. Пользуясь взвешенным решетом Сельберга, доказать, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p +2имеет не
более четырех простых сомножителей (с учетом кратности).
§ 5. Большое решето. Аддитивный вариант метода
Метод большого решета в его первоначальном варианте был разработан Линником в 1941 году. В последующие несколько десятилетий метод бурно развивался и в настоящее время является одним из
наиболее широко применяемых в аналитической теории чисел. Под
большим решетом Линник подразумевал решето, приспособленное к
отсеиванию большого, то есть растущего вместе с p, количества классов вычетов по каждому простому модулю p. Большое решето лишено
характерной для других методов решета комбинаторной подоплеки, в
его основе фактически лежит неравенство Бесселя для специальных
систем функций.
Теорема 12 (неравенство большого решета). Пусть N 1,
∈ C, S(x)=
a
n
nN
ane
2πinx
. Тогда при любом Q 1 справедливо
неравенство
qQ
q
h=1
(h,q)=1
2
h
S
(N +2Q2)
q
|an|2.
nN
Ясно, что числа N и Q, не теряя общности, можно считать нату-
ральными.
Доказательство. Известно, что последовательности комплексных
чисел f = {f
такие, что ряд
n}n∈Z
плексное линейное пространство, скалярное произведение в котором
задается равенством (f, g)=
|fn|2сходится, образуют ком-
n∈Z
fngn.Пустьf,g1,...,gR— произ-
n∈Z
вольные элементы упомянутого пространства. Для любых комплексных ξ
0 f −
,...,ξRимеем
1
R
ξigi,f−
i=1
R
i=1
ξig
=(f, f)−2Re
i
R
ξi(f,gi)+
i=1
R
ξiξj(gi,gj).
i,j=1
§ 5. Большое решето. Аддитивный вариант метода 163
Последнее слагаемое можно оценить следующим образом
R
ξiξj(gi,gj)
i,j=1
Подставляя полученную оценку в предыдущее неравенство и выбирая
=(f, gi)/
ξ
i
R
R
|(gi,gj)|, окончательно находим
j=1
i,j=1
i=1
R
|ξi|2+ |ξj|
2
|(f,gi)|
R
|(gi,gj)|
j=1
2
2
|(g
(f, f).
i,gj
)| =
R
i=1
|ξi|
2
j=1
R
|(gi,gj)|.
Полученное неравенство обобщает неравенство Бесселя и известно в
литературе как лемма Сельберга.
Заметим теперь, что для доказательства теоремы нам достаточно
доказать неравенство
2
h
1
(2M +2Q2)
q
−MnM
cne
M
|cn|2,
n=−M
2πinx
.Пустьx1,...,xR—
где M 1, c
qQ
∈ C,аS1(x)=
n
h=1
(h,q)=1
q
S
упорядоченные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем,
не превосходящим Q, лежащие в промежутке (0, 1]. Тогда в левой ча-
сти последнего неравенства стоит сумма |S
)|2по всем i =1,...,R.
1(xi
Возьмем в лемме Сельберга
⎧
−2πinx
e
⎪
⎪
⎨
g
=
i
⎪
⎪
⎩
0, |n| >M+ L,
i
, |n| M,
M+L−|n|
−2πinx
e
L
i
,M<|n| M + L,
где L — пока произвольное натуральное число, и возьмем также
, |n| M,
c
f =
n
0, |n| >M.
Применение леммы Сельберга приводит нас к неравенству
R
i=1
|S1(xi)|
R
|(gi,gj)|
j=1
2
M
n=−M
|cn|2,
164 Глава 3. Метод решета
то есть достаточно показать, что для любого i =1,...,R имеет место
оценка
R
|(gi,gj)| 2M +2Q2.
j=1
Вычислим теперь скалярные произведения, стоящие в левой части
последнего неравенства. Вводя обозначение
S
(N,t)=
2
(N −|n|)e
|n|N
2πint
и пользуясь определением gi, получим
(M + L, xj− xi) − S2(M,xj− xi)
S
(g
i,gj
)=
2
L
.
Так как S
(N,0) = N2,то(gi,gi)=2M + L.Еслижеt отлично от ну-
2
ля, то
2πikt
(N,t)=N +2Re
S
2
nN
(N −n)e
2πint
= N +2Ree
−2πiNt
ke
kN −1
Здесь мы ввели новую переменную суммирования k = N −n. Сумма,
фигурирующая в правой части, есть производная по t суммы геомет-
2πit
рической прогрессии со знаменателем e
2πit
S
(N,t)=N +2Re
2
(N − 1)e
− N + e
2πit
(e
. Вычисляя ее, найдем
−2πi(N−1)t
− 1)
2
=
2
sin
sin2πt
πNt
.
Отметим, что в анализе эта функция известна как ядро Фейера. Итак,
при j = i имеем
|(g
i,gj
)|
L sin2π(xj− xi)
1
1
4Lxj− xi
.
2
Теперь внимательно рассмотрим разность, стоящую под знаком
расстояния до ближайшего целого числа. Несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим Q, разделены промежутками длины не
−2
меньшей Q
. Действительно,
h
1
q
1
h
2
−
q
2
|h
=
q1q
2
− h2q1|
1q2
1
,
2
Q
.
§ 5. Большое решето. Аддитивный вариант метода 165
ибо числитель — целое число, и если он равен нулю, то в силу несократимости обеих дробей получаем, что q
тельно, h
рассмотрим величины !xj, которые либо равны xj, либо отличают-
x
j
и h2также равны. При фиксированном i вместо величин
1
совпадает с q2, следова-
1
ся от них на единицу с тем расчетом, чтобы при всех j выполнялось
неравенство |!x
!x
,...,!xRтакже будут разделены промежутками длины не меньшей
1
−2
. Таким образом, имеем
Q
j=1
Доказательство завершается выбором параметра L равным Q
− xi| 1/2. Так как x1=1/Q,аxR=1, точки набора
j
R
|(gi,gj)| 2M + L +
2M + L +
1
4L
Q
2L
4
j=i
∞
k=1
1
|!xj− xi|
1
2M + L +
2
k
2
4
Q
.
L
2
.
Это так называемая аддитивная форма большого решета, изложением которой мы здесь и ограничимся. Существует также мульти-
2πinx
пликативная его форма, в которой вместо функций e
фигурируют характеры Дирихле. Мультипликативная форма большого решета
имеет множество приложений, в частности, именно этим методом была доказана теорема Бомбьери-Виноградова. Аддитивная же форма
большого решета приводит к оценке, поразительно напоминающей решето Сельберга.
Теорема 13 (большое решето). Пусть N 1, Q 1,аN
0
обозначает количество натуральных чисел, не превосходящих N ине
принадлежащих некоторым заданным ω(p) классам вычетов по модулю p для каждого простого p, не превосходящего Q.Пусть
μ2(q)
p|q
ω(p)
p − ω(p)
.
S =
qQ
Тогда имеет место оценка
N +2Q
N
0
2
.
S
Можно считать, что ω(p) <pдля каждого простого p,таккакв
противном случае N
равно нулю.
0
166 Глава 3. Метод решета
Доказательство. Случай Q =1 тривиален, поэтому будем счи-
тать, что Q 2.ПустьA — множество натуральных чисел, не превосходящих N и не принадлежащих заданным в условии теоремы ω(p)
классам вычетов по модулю p для каждого простого p, не превосходящего Q. Количество элементов A, очевидно, равно N
.
0
Фиксируем произвольное бесквадратное число q, не превосходящее Q. В этом случае можно записать q в виде произведения p
,...,ps— некоторые простые числа, также не превосходящие Q.
где p
1
...ps,
1
Пусть B(q) — множество натуральных чисел, не превосходящих q и
лежащих в одном из заданных в условии теоремы ω(p
тов по модулю p
для каждого i =1,...,s. Так как простые делители
i
) классов выче-
i
q попарно взаимно просты, каждая комбинация классов вычетов по
модулям простых делителей дает некоторый класс вычетов по модулю q, и наоборот. Следовательно, количество элементов B(q) равно
числу упомянутых комбинаций, то есть ω(p
) ...ω(ps).
1
Нетрудно видеть, что для любого n ∈ A и любого r ∈ B(q) имеем
(n − r, q)=1. Пользуясь результатом задачи 2 к §1 главы 2, находим
n∈A
e
q
h=1
(h,q)=1
2πi
e
hn
2πi
q
hn
e
q
2
2πi
·
(l,q)=1
h(n−r)
q
r∈B(q)
q
l=1
=
e
r∈B(q)
−2πi
−2πi
e
hr
q
.
2
lr
q
.
N
μ(q)
0
ω(p)=
p|q
n∈A
r∈B(q)
q
=
h=1
(h,q)=1
Далее, применяя неравенство Коши, получим
2
N
μ2(q)
0
ω2(p)
p|q
q
h=1
(h,q)=1
n∈A
Рассмотрим последний сомножитель. Обращая порядок суммирования и вновь пользуясь результатом задачи 2 к §1 главы 2, найдем
q
l=1
(l,q)=1
r∈B(q)
e
=
r1,r2∈B(q)d|(r2−r1,q)
−2πi
lr
q
2
=
r1,r2∈B(q)
μ
q
l=1
(l,q)=1
q
d
d =
e
2πi
d|q
l(r2−r1)
q
μ
q
d
=
d
r1,r2∈B(q)
(mod d)
r
2≡r1
1.
§ 5. Большое решето. Аддитивный вариант метода 167
При фиксированном r
ют те и только те r
вычетов, что и r
1
зом, применяя для подсчета количества чисел r
∈ B(q) приведенному сравнению удовлетворя-
1
∈ B(q), которые принадлежат тем же классам
2
, по модулям всех простых, делящих d. Таким обра-
тот же прием, что и
2
при нахождении мощности множества B(q), имеем
r1,r2∈B(q)
(mod d)
r
2≡r1
Отсюда, заменяя
q
l=1
(l,q)=1
e
r∈B(q)
p|q
ω(p) ·
q
p|
d
ω(p) ·
p|q
ω(p)=
1=
r1∈B(q)
q
через d и пользуясь теоремой 1,в) главы 1, найдем
d
2
lr
−2πi
q
= q
= q
p|q
d|q
1 −
p|q
μ(d)
d
ω(p)
p
ω(p) ·
p|d
=
ω(p).
q
p|
d
ω(p)=
ω(p)p − ω(p).
p|q
Собирая вместе полученные оценки, имеем окончательно
N
2
μ2(q)
0
p|q
ω(p)
p − ω(p)
q
h=1
(h,q)=1
n∈A
2
hn
2πi
q
e
.
Мы произвели сокращение на произведение величин ω(p), что оправдано в том случае, когда все они отличны от нуля. Если же это не так,
полученное неравенство остается справедливым в силу своей тривиальности. Точно так же неравенство остается справедливым и в том
случае, когда q содержит квадрат. Просуммируем полученные неравенства по всем q Q и воспользуемся теоремой 12, взяв a
n, принадлежащем A,иa
μ2(q)
p|q
ω(p)
p − ω(p)
2
N
0
qQ
откуда, сокращая на N
=0в противном случае. Имеем
n
q
qQ
(h,q)=1
, получим требуемое.
0
h=1
n∈A
hn
2πi
q
e
2
(N +2Q2)N0,
=1при
n
Преимущество большого решета состоит в том, что его оценка имеет место независимо от величины ω(p). Кроме того, не нужно оценивать остаточный член, что приходится делать в случае решета Сельберга. Однако решето Сельберга более универсально, так как может
168 Глава 3. Метод решета
применяться к разнообразным последовательностям натуральных чисел.
Задачи к §5
1. Пусть S(x) — комплекснозначная непрерывно дифференцируе-
мая функция. Доказать, что
n
|S(xk)|2
k=1
x
n
1
|S(x)|2dx +2
δ
x
0
x
n
|S(x)|2dx
x
0
1
x
n
2
|S(x)|2dx
x
0
1
2
,
где x
0<x1
<... <xn, δ =min
1kn(xk
− x
). Указание. Для каж-
k−1
дого k рассмотреть интеграл
x
k
|S(x)|
x
k−1
где u
(x) — линейная функция, равная нулю при x = x
k
единице при x = x
.
k
2
uk(x)dx,
k−1
и равная
2. Пользуясь предыдущей задачей, в условиях теоремы 12 дока-
зать следующий вариант неравенства большого решета
qQ
Q
h=1
(h,q)=1
2
h
S
(4πN + Q2)
q
|an|2.
nN
Указание. Несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим
Q, разделены промежутками длины не меньшей Q
3. (Теорема Бруна-Титчмарша) Пользуясь теоремой 13 доказать,
что при (k, l)=1, k
π(x; k, l)
x
, имеет место неравенство
3
2x
ϕ(k)lnx/k
+ O
x ln ln x/k
ϕ(k)ln2x/k
−2
.
.
Указание. Нижняя оценка величины S была получена в доказатель-
ствах теорем 7 и 8.
Глава 4
Круговой метод
Круговой метод является мощным орудием решения аддитивных
задач, то есть задач нахождения асимптотических формул для количества представлений натурального N суммой чисел, принадлежащих
заданным множествам. Суть метода заключается в выражении упомянутого количества представлений через специальный интеграл и
последующем разбиении отрезка интегрирования на два множества,
причем первое состоит из окрестностей точек, в которых подынтегральная функция принимает большие значения, и соответствующий
интеграл затем вычисляется асимптотически, а интеграл по второму
множеству оценивается сверху. Мы рассмотрим классическую задачу о количестве разбиений натурального числа, которой мы обязаны
рождением кругового метода, и тернарную проблему Гольдбаха, в решении которой метод предстает уже вполне оформленным.
§ 1. Модулярные преобразования.
Функция Дедекинда
Пусть a, b, c, d — целые числа с условием ad − bc =1. Отображе-
ние, определяемое дробно-линейной функцией
as + b
Ms =
называется модулярным преобразованием. Тривиальный пример мо-
дулярного преобразования дает тождественное преобразование Is =
= s, отвечающее случаю a = d =1и b = c =0.
cs + d
,
170 Глава 4. Круговой метод
Модулярные преобразования удобно рассматривать в полуплоскости Im s>0, поскольку они взаимно однозначно отображают эту полуплоскость на себя. Действительно, используя соотношение между
коэффициентами преобразования, имеем
Im (Ms)=
Im s
|cs + d|
2
> 0.
С другой стороны, легко убедиться, что прообраз s определяется модулярным преобразованием
−ds + b
−1
M
s =
cs − a
то есть MM
= Ms2вытекает, что s1= s2. Из единственности прообраза сле-
Ms
1
дует также равенство M
−1
s = s, причем этот прообраз единствен, поскольку из
−1
Ms = s, которое, впрочем, можно прове-
,
рить и непосредственно. Заметим, что мы всюду существенно пользовались соотношением ad − bc =1.
Композиция модулярных преобразований снова является модулярным преобразованием. В самом деле, выражение для композиции преобразований M
и M2имеет вид
1
M
1M2
(a
s =
(c1a2+ d1c2)s +(c1b2+ d1d2)
+ b1c2)s +(a1b2+ b1d2)
1a2
.
Легко видеть, что все его коэффициенты являются целыми и, кроме
того, справедливо равенство
(a
+ b1c2)(c1b2+ d1d2) − (a1b2+ b1d2)(c1a2+ d1c2)=
1a2
=(a
− b1c1)(a2d2− b2c2)=1.
1d1
С алгебраической точки зрения модулярные преобразования образуют группу относительно операции композиции.
Рассмотрим примеры модулярных преобразований. Преобразование Ts = s +1с коэффициентами a = b = d =1и c =0соответствует
сдвигу на единицу вправо. Сдвигу на единицу влево соответствует об-
−1
ратное преобразование T
k соответствует преобразование T
s = s −1. Вообще, сдвигу на целое число
k
(считаем T0равным I). Модуляр-
ное преобразование Ss = −1/s с коэффициентами a = d =0, b = −1
−1
и c =1обладает свойством S
3
= I. Впоследствии мы покажем, что преобразования S и Tkпо-
(ST)
= S. Также нетрудно убедиться, что
рождают все множество модулярных преобразований.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]